Как найти модули векторов по точкам

Этот калькулятор онлайн вычисляет длину (модуль) вектора. Вектор может быть задан в 2-х и 3-х мерном пространстве.

Онлайн калькулятор для вычисления длины (модуля) вектора не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура
тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые
определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только
скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать
не только значение этой силы, но и направление ее действия.
Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок, т.е. отрезок вместе с заданным на нем
направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В — его концом. Направлением отрезка считают
направление от начала к концу.

Определение
Направленный отрезок называется вектором.

Будем обозначать вектор символом ( overrightarrow{AB} ), причем первая буква означает начало вектора, а вторая — его конец.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ( vec{0} ) или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается ( |overrightarrow{AB}| ) или ( |vec{a}| ).

Векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные
векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором; длина его равна нулю, т.е. ( |vec{0}| = 0 ).

Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение
Векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) называются равными (( vec{a} = vec{b} )), если они коллинеарны, одинаково направлены
и их длины равны.

На рис. 1 изображены слева неравные, а справа — равные векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ).
Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный
данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.

Пусть в пространстве заданы ось ( u ) и некоторый вектор ( overrightarrow{AB} ). Проведем через точки А и В плоскости,
перпендикулярные оси ( u ). Обозначим через А’ и В’ точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).

Проекцией вектора ( overrightarrow{AB} ) на ось ( u ) называется величина А’В’ направленного отрезка А’В’ на оси ( u ).
Напомним, что
( A’B’ = |overrightarrow{A’B’}| ) , если направление ( overrightarrow{A’B’} ) совпадает c направлением оси ( u ),
( A’B’ = -|overrightarrow{A’B’}| ) , если направление ( overrightarrow{A’B’} ) противоположно направлению оси ( u ),
Обозначается проекция вектора ( overrightarrow{AB} ) на ось ( u ) так: ( Пр_u overrightarrow{AB} ).

Теорема
Проекция вектора ( overrightarrow{AB} ) на ось ( u ) равна длине вектора ( overrightarrow{AB} ) ,
умноженной на косинус угла между вектором ( overrightarrow{AB} ) и осью ( u ) , т.е.

( Пр_u overrightarrow{AB} = |overrightarrow{AB}|cos varphi )
где ( varphi ) — угол между вектором ( overrightarrow{AB} ) и осью ( u ).

Замечание
Пусть ( overrightarrow{A_1B_1}=overrightarrow{A_2B_2} ) и задана какая-то ось ( u ). Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем
( Пр_u overrightarrow{A_1B_1} = Пр_u overrightarrow{A_2B_2} )
т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор ( overrightarrow{AB} ). Пусть, далее,
( X = Пр_u overrightarrow{AB}, ;; Y = Пр_u overrightarrow{AB}, ;; Z = Пр_u overrightarrow{AB} ). Проекции X, Y, Z вектора
( overrightarrow{AB} ) на оси координат называют его координатами. При этом пишут
( overrightarrow{AB} = (X;Y;Z) )

Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), координаты вектора
( overrightarrow{AB} ) определяются следующими формулами:

X = x₂-x₁, Y = y₂-y₁, Z = z₂-z₁

Замечание
Если вектор ( overrightarrow{AB} ) выходит из начала координат, т.е. x₂ = x, y₂ = y, z₂ = z, то координаты
X, Y, Z вектора ( overrightarrow{AB} ) равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.

Пусть дан произвольный вектор ( vec{a} = (X;Y;Z) ); будем считать, что ( vec{a} ) выходит из начала координат и не лежит ни в
одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они
образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (см. рисунок).

Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех
его измерений. Следовательно,
( |OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 )
Но ( |OA| = |vec{a}|, ;; |OA_x| = |X|, ;; |OA_y| = |Y|, ;;|OA_z| = |Z| ); таким образом, получаем
( |vec{a}|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 )
или
( |vec{a}| = sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} )

Эта формула выражает длину произвольного вектора через его координаты.

Обозначим через ( alpha, ; beta, ; gamma ) углы между вектором ( vec{a} ) и осями координат. Из формул проекции вектора на
ось и длины вектора получаем
$$ cos alpha = frac{X}{sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $$
$$ cos beta = frac{Y}{sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $$
$$ cos gamma = frac{Z}{sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $$
( cos alpha, ;; cos beta, ;; cos gamma ) называются направляющими косинусами вектора ( vec{a} ).

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
( cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1 )
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.

Пусть даны два вектора ( vec{a} ) и ( vec{b} ). Суммой ( vec{a} + vec{b} ) называется вектор, который идет из
начала вектора ( vec{a} ) в конец вектора ( vec{b} ) при условии, что вектор ( vec{b} ) приложен к концу вектора
( vec{a} ) (см. рисунок).

Замечание
Действие вычитания векторов обратно действию сложения, т.е. разностью ( vec{b} — vec{a} ) векторов ( vec{b} ) и
( vec{a} ) называется вектор, который в сумме с вектором ( vec{a} ) дает вектор ( vec{b} ) (см. рисунок).

Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора
( vec{a},;; vec{b}, ;; vec{c} ). Сложив ( vec{a} ) и ( vec{b} ), получим вектор ( vec{a} + vec{b} ).
Прибавив теперь к нему вектор ( vec{c} ), получим вектор ( vec{a} + vec{b} + vec{c} )

Пусть даны вектор ( vec{a} neq vec{0} ) и число ( lambda neq 0 ). Произведением ( lambda vec{a} ) называется вектор,
который коллинеарен вектору ( vec{a} ), имеет длину, равную ( |lambda| |vec{a}| ), и направление такое же, как и вектор
( vec{a} ) , если ( lambda > 0 ), и противоположное, если ( lambda < 0 ) (см. рисунок).

Геометрический смысл операции умножения вектора ( vec{a} neq vec{0} ) на число ( lambda neq 0 ) можно выразить следующим
образом: если ( |lambda| >1 ), то при умножении вектора ( vec{a} ) на число ( lambda ) вектор ( vec{a} ) «растягивается»
в ( lambda ) раз, а если ( |lambda| <1 ) — «сжимается» в ( 1/lambda ) раз. При ( lambda <0 ) вектор изменяет направление
на противоположное. На рисунке изображен случай ( |lambda| >1 ).

Если ( lambda =0 ) или ( vec{a} = vec{0} ), то произведение ( lambda vec{a} ) считаем равным нулевому вектору.

Замечание
Используя определение умножения вектора на число нетрудно доказать, что если векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} )
коллинеарны и ( vec{a} neq vec{0} ), то существует (и притом только одно) число ( lambda ) такое, что
( vec{b} = lambda vec{a} )

1. Переместительное свойство сложения
( vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a} )

2. Сочетательное свойство сложения
( (vec{a} + vec{b})+ vec{c} = vec{a} + (vec{b}+ vec{c}) )

3. Сочетательное свойство умножения
( lambda (mu vec{a}) = (lambda mu) vec{a} )

4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
( (lambda +mu) vec{a} = lambda vec{a} + mu vec{a} )

5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
( lambda ( vec{a}+vec{b}) = lambda vec{a} + lambda vec{b} )

Замечание
Эти свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия.
Например, в силу свойств 4 и 5 можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».

Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
( Пр_u (vec{a} + vec{b}) = Пр_u vec{a} + Пр_u vec{b} )

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Теорема
При умножении вектора ( vec{a} ) на число ( lambda ) его проекция на ось также умножается на это число, т.е.
( Пр_u lambda vec{a} = lambda Пр_u vec{a} )

Следствие
Если ( vec{a} = (x_1;y_1;z_1) ) и ( vec{b} = (x_2;y_2;z_2) ), то
( vec{a} + vec{b} = (x_1+x_2; ; y_1+y_2; ; z_1+z_2) )

Следствие
Если ( vec{a} = (x;y;z) ), то ( lambda vec{a} = (lambda x; ; lambda y; ; lambda z) ) для любого числа ( lambda )

Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах.
В самом деле, равенство ( vec{b} = lambda vec{a} )
равносильно равенствам ( x_2 = lambda x_1, ; y_2 = lambda y_1, ; z_2 = lambda z_1 ) или
( frac{x_2}{x_1} = frac{y_2}{y_1} = frac{z_2}{z_1} )

т.е. векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) коллинеарны в том и только в том случае, когда их координаты пропорциональны.

Пусть векторы ( vec{i}, ; vec{j}, ; vec{k} ) — единичные векторы осей координат, т.e. ( |vec{i}| = |vec{j}| = |vec{k}| = 1 ), и каждый из них
одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов ( vec{i}, ; vec{j}, ; vec{k} )
называется базисом.
Имеет место следующая теорема.

Теорема
Любой вектор ( vec{a} ) может быть единственным образом разложен по базису ( vec{i}, ; vec{j}, ; vec{k}; ), т.е. представлен в виде
( vec{a} = lambda vec{i} + mu vec{j} + nu vec{k} )

где ( lambda, ;; mu, ;; nu ) — некоторые числа.