Как найти молярный объем метана

Рудничный газ или метан (CH₄). Рассчитайте объем,  массу и число частиц, если количество вещества равна 3 моль.

Решение задачи

Объем метана (CH₄) найдем по формуле, устанавливающей связь между объемом и химическим количеством вещества:

Получаем:

V (CH₄) = 3 моль ⋅ 22,4 л/моль = 67,2 (л).

Массу метана (CH₄) найдем по формуле, устанавливающей связь между массой и химическим количеством вещества:

Используя таблицу Менделеева, рассчитаем молярную массу метана (CH₄):

M (CH₄) = 12 + 4⋅1 = 16 (г/моль).

Получаем:

m (CH₄) = 3 моль ⋅ 16 г/моль = 48 (г).

Число частиц найдем по формуле, устанавливающей связь между числом частиц и химическим количеством вещества:

Постоянная Авогадро (N_А) указывает число структурных единиц в одном моле вещества:

Получаем:

N (CH₄) = 3 моль ⋅ 6,02 ⋅ 10²³ моль^-1 = 18,06 ⋅ 10²³.

Ответ:

объем метана равен 67,2 литра;

масса метана равна 48 грамм;

число частиц метана равно 18,06 ⋅ 10²³.

Идеальный газ − математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Необходимо найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления Pитемпературы T.

Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дер-Ваальса:

где:

R – универсальная газовая постоянная,

T – температура газа,

P_c – критическое давление,

T_c – критическая температура,

V – молярный объем газа.

Величины критических параметров P_cи T_c отдельных газов приведены в следующей таблице:

Таблица 1. Величины критических параметров P_cи T_c отдельных газов

Решим задачу методом касательных (Ньютона) и найдем молярный объем газа Vдля метана.

Таблица 2. Параметры метана

Запишем исходное уравнение в виде:

Заменим на и представим последнее равенство в виде функции:

С помощью пакета Mathcad построим график функции и отделим корень (см. рис. 1).

Рис.1 – Графическое отделение корней

Следовательно, искомый корень находится на интервале [1075;1110].

Убедимся, что данный интервал является интервалом изоляции искомого корня, т.е. для него выполняется два условия:

1. На концах интервала функция принимает значения разных знаков.

2. Первая производная сохраняет свой знак на интервале (см. рис.2).

Рис.2 – Графическое отделение корней

Найдем корень уравнения с помощью встроенной функции root.

Рис.3 – Нахождение корня уравнения

Подтвердим найденный корень методом касательных (Ньютона) до точности и определим число разделений, записав алгоритм в программе PascalABC.

Рис.4 – Нахождение корня в программе Pascal

Таблица 3 – Найденный корень и значение функции

Исследуем зависимость точности нахождения корня ξ от числа разбиений.

Таблица 4 – Зависимость числа разбиений от точности нахождения корня

Таким образом, решение, найденное при помощи пакета Mathcad, совпадает с решением алгоритма записанного в программе PascalABC.

Действительно при подставлении заданных параметров и найденного объема Vуравнение Ван-дер-Ваальса обращается в верное тождество.

При заданных значениях давления P = 2,2 МПа и температуры T = 305 К молярный объем данного газа V = 1105 л/моль.

Список литературы

1. Любитов Ю. Н., Идеальный газ, Физическая энциклопедия, Гл. ред. А. М. Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1990. – Т. 2. – С. 98. – 704 с.

2. Любитов Ю. Н., Ван-дер-Ваальса уравнение, Физическая энциклопедия, Гл. ред. А. М. Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – Т. 1. – С. 240. – 704 с.

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г., Численные методы. – 8-е изд. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

4. Акулич И. Л., Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.

Для того, чтобы найти количество молекул, мы должны сначала найти количество вещества метана. 
Масса метана (дана в условии задачи) — 4 г.
Молекулярная масса метана (находим по таблице Менделеева) — 12 + 1 * 4 = 16.
Количество вещества метана (массу делим на молярную массу) равно 4 / 16 = 0,25 моль.
Количество вещества находится умножением количества вещества на число Авогадро: 0,25 * 6,023 * 10²³ = 1,5 * 10²³.
Объем метана находим путем умножения количества вещества на молярный объем: 22,4 * 0,25 = 5,6л.