Как найти момент импульса колеса

Что в курсе механики (простой, не аналитической) всегда вызывало у меня удивление, так это вращательное движение, моменты сил, импульса… В этой заметке рассмотрим основные интересные вещи, связанные с вращением.

• Момент силы и момент импульса
• Момент инерции
• Сохранение момента импульса при изменяющемся моменте инерции
• Энергия поступательного и вращательного движения
• Вращательный дисбаланс
• Колесо на палке, волчок, прецессия

Литература

• Дуглас Джанколи — Физика в 2-х томах — Москва, Мир, 1989. Разделы 9,10 — Вращательное движение.

Момент силы и момент импульса

На рисунке 1 показано определение понятия «момент силы» (греческая буква тау) и «момент импульса» (буква L). Момент силы представляет собой векторное произведение силы, действующей на материальную точку, на радиус-вектор этой точки. Аналогично определяется момент импульса. Связь между моментом силы и моментом импульса мы найдем, если векторно умножим 2-й закон Ньютона для материальной точки на радиус-вектор этой точки.

Почему вообще вводят понятие «момент силы», «момент импульса»? Разве для того, чтобы рассчитать движение системы тел, не хватает обычных законов Ньютона? Да, не хватает. Рассматривая систему из нескольких тел (материальных точек) все силы делят на внутренние и внешние по отношению к системе. Внутренние силы действуют между телами системы, а внешние действуют на тела системы со стороны других тел, в систему не входящих. Так вот: если величины внешних сил обычно известны, то величины внутренних сил обычно неизвестны. Введение понятия момента силы позволяет исключить внутренние силы из рассмотрения, поскольку момент внутренних сил обращается в ноль благодаря тому, что силы между двумя материальными точками действуют вдоль линии их соединяющей и тому, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю (см. рис. 2). Остается лишь момент внешних сил, поэтому скорость изменения момента импульса системы материальных точек оказывается равной моменту внешних сил.

И все же, откуда взялась эта идея векторного произведения? Нельзя же так с бухты барахты сказать: «а возьму ка я, да умножу векторно 2-й закон Ньютона для мат. точки на ее радиус-вектор»! Я думаю, тут не обошлось без Архимедова принципа рычага и понятий работы и энергии. Действительно, работа, совершаемая силой, поворачивающей тело рычаг на некоторый угол, в точности равна модулю векторного произведения силы на ее плечо, умноженному на этот угол. И в то же время ось вращения как раз перпендикулярна плоскости в которой лежит плечо рычага и сила. Напрашивается ввести понятие момента силы, причем интуитивно понятно и то, что это вектор, и то, каким должны быть его модуль и направление.

Является ли векторное произведение вектором?

Читая учебники, с удивлением узнаю, что векторное произведение несколько отличается от привычного понятия «вектор». На пальцах это объясняют так: возьмем два вектора и их найдем векторное произведение; теперь посмотрим на их отражение в зеркале и найдем векторное произведение векторов отраженных в зеркале — мы увидим, что векторное произведение отраженных векторов направлено противоположно произведению исходных векторов. Т. е. векторное произведение при отражении ведет себя не так, как ведут себя обычные вектора. Поэтому его называют псевдовектором. Однако в классической механике это совершенно неважно, а в остальном векторное произведение ведет себя как обычный вектор, т. е. подчиняется законам коммутативности и ассоциативности сложения, дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов и другим.

Момент относительно точки и относительно оси

Приведенное выше определение — это определение момента силы и импульса относительно точки. Существуют еще понятия момента силы и импульса относительно оси. Эти понятия используются, как правило, при решении задач о вращении тела вокруг некоторой… оси. Момент относительно точки — это вектор (точнее — псевдовектор), момент относительно оси — скаляр (точнее — псевдоскаляр). Момент относительно оси — это проекция на эту ось момента относительно любой точки на оси. Момент силы относительно оси равен произведению силы на расстояние от оси до точки приложения силы (это расстояние называется плечом силы). Аналогично — с моментом импульса. Как показано в следующем разделе, ось вращения можно указать для произвольного движения тела в произвольный момент времени. Другое дело, что эта ось может менять свое направление со временем.

Как будет двигаться твердое тело, на которое не действуют внешние силы?

Этот вопрос меня интересовал. Интуитивно представляется, что это тело будет двигаться поступательно с постоянной скоростью и при этом вращаться вокруг некоторой оси. То, что скорость поступательного движения (скорость центра масс тела) постоянна, легко следует из законов Ньютона. Но как быть с вращением вокруг оси? Наличие оси вращения подразумевает наличие в теле линии, точки которой неподвижны относительно центра масс. Как доказать, что такая линия существует? На помощь приходит теорема Эйлера: Произвольное перемещение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку. В доказательстве показывается, что любая матрица поворота имеет собственное число равное 1, а соответствующий собственный вектор задает направление оси вращения. Также Эйлер придумал геометрический способ нахождения оси вращения. Как эта теорема поможет доказать, что тело вращается вокруг оси? А вот как: если рассмотреть бесконечно малое перемещение, которое тело совершает за бесконечно малый промежуток времени, то это перемещение, в виду его бесконечной малости, можно выполнить единственным способом и этот способ согласно теореме Эйлера представляет собой чистое вращение. Ось этого вращения называется «мгновенной осью вращения». Вектор угловой скорости направлен вдоль оси. Поскольку ось проходит через центр масс, вектор момента импульса прямо пропорционален вектору угловой скорости (об этом — ниже). А поскольку момент внешних сил равен нулю, то момент импульса не изменяется, следовательно не изменяется и вектор угловой скорости, следовательно мгновенная ось вращения не меняет своего направления со временем, что и следовало доказать. Аналогично показывается, что если на твердое тело действуют внешние силы, но момент их относительно центра масс тела равен нулю, то тело будет двигаться поступательно и вращаться с постоянной угловой скоростью вокруг некоторой оси, проходящей через его центр масс. Ось вращения будет двигаться поступательно вместе с центром масс тела.

Момент инерции

Если записать аналог 2-го закона Ньютона для тела, вращающегося вокруг оси (рис. 3), то становится очевидной аналогия между силой и моментом силы, скоростью и угловой скоростью, а также массой и некоей величиной, называемой моментом инерции. Насколько я понимаю, момент инерции задается только относительно оси, задавать момент инерции относительно точки бессмысленно. Причем момент инерции имеет смысл задавать относительно не любой оси, а именно той, вокруг которой тело вращается в данный момент. Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния ее до оси. Проекция момента импульса тела на его мгновенную ось вращения равна произведению момента инерции на угловую скорость вращения. Соответственно проекция момента внешних сил на ось вращения равна произведению момента инерции на производную от угловой скорости по времени.
Существует довольно очевидная теорема связи моментов инерции, вычисленных относительно двух параллельных осей (одна из которых проходит через центр масс тела), находящихся на некотором расстоянии друг от друга — эта теорема проиллюстрирована на рисунке 3.

Сохранение момента импульса при изменяющемся моменте инерции.

В учебниках в качестве примера действия закона сохранения момента импульса приводят вращающегося на льду фигуриста. На фигуриста не действует момент сил, поэтому его момент импульса не меняется. Однако фигурист может изменить угловую скорость своего вращения прижимая руки к корпусу или наоборот вытягивая их в стороны, т. е. изменяя свой момент инерции. И если с математической точки зрения тут все понятно, то с точки зрения интуиции… может быть и не очень. Раз угловая скорость повышается, то повышается тангенциальная скорость. Значит, казалось бы, на тело действует тангенциальное ускорение. Но откуда же ему взяться, если мы знаем, что никакой тангенциальной силы на тело не действует? Поэтому я решил рассмотреть эту задачу без привлечения понятия момента, используя только законы Ньютона. На рисунке 4 показана задачка вычисления зависимости скорости вращения груза на веревке, которую тянут по направлению к оси вращения. В задачке я выделяю два направления: нормальное (буква n) — к оси вращения и тангенциальное (буква тау) — по касательной к окружности, которая проходит через вращающийся груз и центр которой находится на оси вращения; эти два направления перпендикулярны друг другу. Так вот, оказывается, что хотя тангенциальная составляющая скорости груза и увеличивается по мере его приближения к оси вращения, это вовсе не означает, что существует ненулевая тангенциальная составляющая ускорения груза. Дело в том, что нормальная составляющая скорости — т. е. та скорость, с которой груз подтягивают к оси вращения, постоянно меняет свое направление, что означает наличие ускорения.

Произвольное движение как сумма поступательного и вращательного

Произвольное движение тела можно описать как поступательное движение его центра масс плюс вращение вокруг оси, проходящей через центр масс. Оговоримся, что поступательное движение центра масс вовсе не обязано быть равномерным так же как ось вращения, проходящая через центр масс не обязана сохранять свое направление неизменным. Кинетическая энергия движения равна сумме кинетической энергии центра масс и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс. Что понимается под обеими энергиями — показано на рисунке 5.
Аналог 2-ого закона Ньютона для вращательного движения справедлив в только инерциальной системе отсчета и в еще одной системе отсчета, которая в общем случае не является инерциальной (но является очень удобной с точки зрения представления движения в виде суммы поступательного и вращательного) — системе центра масс. Доказательство этого приведено в [Джанколи, раздел 10.5].

Вращательный дисбаланс

Неожиданным может показаться тот факт, что в общем случае момент импульса не сонаправлен с осью вращения. Яркий пример, иллюстрирующий это — дисбаланс колес автомобиля (рис. 6). Если ось вращения не совпадает с осью симметрии вращающегося тела (предполагаем, что тело однородно), то момент импульса сам будет вращаться вокруг оси вращения, а это значит, что будет существовать момент сил (тоже вращающийся). Откуда берется момент сил? Это силы реакции опор оси вращения. Эти силы будут приводить к разбалтыванию оси, особенно, если частота вращения колеса близка к резонансной частоте колебаний оси.

Колесо на палке, волчок, прецессия

Еще одна вещь, связанная с вращением, которая может показаться загадочной — волчок. Он, как известно, крутится и до определенного момента не падает. По мере того, как вращение волчка замедляется из-за трения, становится заметным, что его ось меняет направление — вращается (это называется прецессией). Момент силы тяжести всегда перпендикулярен моменту импульса волчка, поэтому момент импульса волчка будет поворачиваться вокруг вертикальной оси. Сам волчок никогда не стоит строго вертикально, его ось наклонена, и угол наклона зависит от момента импульса волчка. Аналогичен случай вращающегося колеса на палке (рис. 7). Несмотря на действие силы тяжести, ось колеса не повисает вертикально вниз, а начинает прецессировать. Можно рассчитать и угловую скорость прецессии. Эти примеры приведены в [Джанколи, раздел 10.9].