Как найти момент инерции барабана

Момент
инерции J
тела относительно любой оси вращения
и момент инерции J₀
тела относительно оси, параллельной
данной, и проходящей через центр инерции
тела, связаны соотношением (теорема
Штейнера)

J
= J₀
+
m d ²,

где
m
– масса тела; d
– расстояние между осями.

Поскольку
угловое ускорение
то

Произведение

называется моментом импульса тела.

Тогда

Отсюда
следует вторая формулировка основного
закона динамики вращательного движения:
скорость изменения момента импульса
со временем равна суммарному моменту
сил, действующих на тело.

Примеры решения задач

Задача
1. На барабан
радиусом R
= 0,5 м намотан шнур, к концу которого
привязан груз m
= 10 кг. Определить момент инерции барабана,
если груз опускается с ускорением а
= 2,04
.

Дано:

R
= 0,5 м

m
= 10 кг

а
= 2,04

J
– ?

Рис.
3.5

Решение

1)
Определим все силы, действующие в
системе. Изобразим их на рисунке (рис.
3.5). На груз действуют силы: тяжести
— вниз; натяжения нити— вверх.

На
барабан действует сила натяжение нити
,
приложенная к ободу барабана. Эта сила
создаёт вращающий момент, т.к. она
приложена в точке касания нити и барабана.
Плечо этой силы равноR
– радиусу барабана.

На
барабан, кроме того, действует сила
давления на ось барабана, уравновешенная
силой реакции барабана.

2) Составим уравнение
движения тел системы в векторном виде:

груз:

барабан:

3)
Выберем систему координат. Ось X
направим по направлению ускорения
груза.

Определим
направление углового ускорения и момента
силы. Вращение барабана происходит
против часовой стрелки, значит вектор
момента силы направлен перпендикулярно
плоскости чертежа вверх (т.е. к нам).
Пусть ось Y
для барабана совпадает с направлением
вектора момента силы и
.

4)
Запишем проекции сил на оси координат,
чтобы решить векторное уравнение:

(1)

Решим полученную
систему:

М
= Т R
– численное значение момента силы, где
R
– плечо силы Т;

 =
— связь углового и линейного ускорений
барабана.

Тогда
Т = m
(g
– a)
из уравнения (1); М
= m(g
– a)R.

Подставив это выражение в уравнение (2), найдём

кг^.м²
=9,75 кг^.м².

Ответ:
момент инерции барабана J
= 9,75 кг^.м2.

Задача
2. К ободу
однородного диска радиусом R
= 0,2 м приложена постоянная касательная
сила F
= 100 Н. При вращении на диск действует
момент сил трения М_тр
= 5 Н^.м.
Найти массу диска, если известно, что
диск вращается с постоянным угловым
ускорением 
= 100
(рис.3.6).

Дано:

R
= 0,2 м

F
= 100 H

M_тр
= 5 Н^.м

 =
100

m
-?

Рис.3.6

Соседние файлы в папке Часть 1

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Число пусковых ступеней: 3

Технические данные механизма подъема:

Диаметр барабана:

Масса груза:

Передаточное число редуктора:

Момент инерции  барабана:

Высота подъема:

ЗАДАЧА №1

1.1 Приведение  моментов инерции движущихся
инерционных массы привода к скорости вращения электродвигателя.

Приведем поступательно
движущуюся массу груза к вращательному

движению барабана на основе баланса кинетической
энергии [1, c. 33]

  
                                                (1)

где  — момент инерции груза
приведенный к оси вращения барабана, -угловая скорость
вращения барабана, — линейная скорость движения
груза,  — масса груза.

Линейная скорость движения груза
связанна с частотой вращения барабана согласно выражению:

                                                            (2)

где — диаметр барабана.

На основании выражений (1), (2) можно получить
выражение:

Приведем моменты инерции масс
находящихся на оси барабана, к оси вращения двигателя используя баланс
кинетических энергии. [1, с. 32]

                                                      (3)

где — момент инерции масс
находящихся на оси вращения барабана приведенные к оси двигателя, — угловая частота ращения оси двигателя,

 — момент инерции
барабана,  — суммарный момент инерции соединительных
муфт и шестерни редуктора, вращающихся со скоростью барабана.

          Согласно условиям задачи:

Частоты вращения двигателя и
барабана связаны через передаточное число редуктора зависимостью:

                                                                                                    (4)

где  — передаточное число
редуктора.

          На основании выражений (4), (3) можно
получить выражение

Используя формулы (4) и (2)
получим выражение, связывающее линейную скорость движения груза с угловой
скоростью вращения двигателя:

                                                                                         (5)

Так как все инерционные массы
приведены к оси вращения двигателя можно записать выражение для суммарного
момент инерции расчетной эквивалентной механической схемы привода:

где — суммарный момент
инерции расчетной эквивалентной механической схемы привод, — момент инерции двигателя,  — суммарный момент инерции соединительных
муфт и шестерни редуктора, вращающихся со скоростью двигателя.

Согласно условиям задачи:

Тогда:

1.2. Приведение моментов
статического сопротивления к скорости вращения для двух режимов работы
электродвигателя.

1.2.1 Двигательный режим – при
подъеме груза.

Приведение статических моментов
к скорости вращения электродвигателя выполняется на основе равенства
элементарных работ (мощностей), выполняемых в реальной и в эквивалентной
расчетной кинематических схемах электропривода.    [2, с. 4]

При составлении такого равенства
необходимо учитывать то, что покрытие потерь энергии на преодоление моментов
сопротивления на трение в редукторе в режиме подъема груза реализуется за счет
механической энергии, поступающей с вала электродвигателя, а  в режиме
опускания груза – за счет потенциальной энергии опускаемого груза.

Найдем момент статического
сопротивления созданный весом груза приведенный к оси вращения барабана на
основании равенства мощностей:

                                                                                       (6)

где — мощность подводимая к
барабану,  — момент статического сопротивления
созданного весом груза приведенный к оси вращения барабана, — мощность подъема груза,

-ускорение свободного
падения, — мощность потерь на трение в механизме
барабана.

Найдем выражение для  мощности
потерь на трение в механизме барабана,  используя  выражение для КПД механизма
барабана при подъеме груза:

где  —  коэффициент
полезного действия механизма барабана,  —
полезная мощьность совершаемая механизмом барабана равная мощности подъема
груза,  — затрачиваемая мощность складывающаяся из
мощности подъема груза и мощности потерь.