Как найти момент инерции для фигур

Как уже отмечалось выше, к числу простых
плоских фигур относятся три фигуры:
прямоугольник, треугольник и круг.
Простыми эти фигуры считаются потому,
что положение центра тяжести этих фигур
заранее известно. Все остальные фигуры
могут быть составлены из этих простых
фигур и считаются сложными. Вычислим
осевые моменты инерции простых фигур
относительно их центральных осей.

1. Прямоугольник.Рассмотрим сечение
прямоугольного профиля размерами(Рис.4.6). Выделим элемент сечения двумя
бесконечно близко расположенными
сечениями на расстоянииот
центральной оси.

Рис.4.6

Вычислим момент инерции прямоугольного сечения относительно оси :

.
(4.10)

Момент
инерции прямоугольного сечения
относительно оси
найдем аналогично. Здесь вывод не
приводится.

.
(4.11)

Центробежный
момент инерции относительно осей
иравен нулю, так как осииявляются осями симметрии, а, следовательно,
главными осями.

2. Равнобедренный треугольник.Рассмотрим сечение треугольного профиля
размерами(Рис.4.7). Выделим элемент сечения двумя
бесконечно близко расположенными
сечениями на расстоянииот центральной оси.
Центр тяжести треугольника находится
на расстояниот основания. Треугольник принимается
равнобедренным, так что осьсечения является осью симметрии.

Рис.4.7

Вычислим
момент инерции сечения относительно
оси :

.
(4.12)

Величину
определим из подобия треугольников:

;
откуда
.

Подставляя
выражения для
в (4.12) и интегрируя, получим:

.
(4.13)

Момент
инерции для равнобедренного треугольника
относительно оси
находится аналогичным образом и равен:

(4.14)

Центробежный
момент инерции относительно осей
иравен нулю, так как осьявляется осью симметрии сечения.

3. Круг. Рассмотрим сечение круглого
профиля диаметром(Рис.4.8).
Выделим элемент сечения двумя бесконечно
близко расположенными концентрическими
окружностями, расположенными на
расстоянииот центра тяжести круга.

Рис.4.8

Вычислим полярный момент инерции круга,
воспользовавшись выражением (4.5):

.
(4.15)

Используя условие инвариантности для
суммы осевых моментов инерции относительно
двух взаимно перпендикулярных осей
(4.6) и учитывая, что для круга в силу
симметрии
,
определяем величину осевых моментов
инерции:

.
(4.16)

Откуда:

.
(4.17)

Центробежный
момент инерции относительно осей
иравен нулю, так как осииявляются осями симметрии сечения.

4.4. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей

При
вычислении моментов инерции для сложных
фигур следует запомнить одно правило:
значения для моментов инерции можно
складывать, если
они вычислены относительно одной и той
же оси. Для
сложных фигур чаще всего центры тяжести
отдельных простых фигур и всей фигуры
не совпадают. Не совпадают, соответственно,
и центральные оси для отдельных простых
фигур и всей фигуры. В связи с этим
существуют приемы приведения моментов
инерции к одной оси, например, центральной
оси всей фигуры. Это может быть связано
с параллельным переносом осей инерции
и дополнительными вычислениями.

Рассмотрим
определение моментов инерции относительно
параллельных осей инерции, изображенных
на рис.4.9.

Рис.4.9

Пусть
осевые и центробежный моменты инерции
изображенной на рис.4.9. фигуры относительно
произвольно выбранных осей
ис началом координат в точкеизвестны. Требуется вычислить осевые
и центробежный моменты инерции фигуры
относительно произвольных параллельных
осейис началом координат в точке.
Осиипроведены на расстоянияхисоответственно от осейи.

Воспользуемся
выражениями для осевых моментов инерции
(4.4) и для центробежного момента инерции
(4.7). Подставим в эти выражения вместо
текущих координат
иэлемента с бесконечно малой площадью
координатыив новой системе координат. Получим:

.
(4.18)

.
(4.19)

.

(4.20)

Анализируя полученные выражения,
приходим к выводу, что при вычислении
моментов инерции относительно параллельных
осей к моментам инерции, вычисленных
относительно исходных осей инерции,
следует призводить добавки в виде
дополнительных членов, которые могут
оказаться намного больше значений для
моментов инерции относительно исходных
осей. Поэтому пренебрегать этими
дополнительными членами ни в коем случае
нельзя.

Рассмотренный случай представляет
собой самый общий случай параллельного
переноса осей, когда в качестве исходных
были взяты произвольные оси инерции. В
большинстве расчетов встречаются
частные случаи определения моментов
инерции.

Первый частный случай. Исходные оси
являются центральными осями инерции
фигуры. Тогда, используя основное
свойство для статического момента
площади, можно исключить из уравнений
(4.18)(4.20) члены
уравнений, в которые входит статический
момент площади фигуры. В результате
получим:

.
(4.21)

.
(4.22)

.
(4.23)

Здесь оси
ицентральные оси
инерции.

Второй частный случай. Исходные оси
являются главными осями инерции. Тогда,
учитывая, что относительно главных осей
инерции центробежный момент инерции
равен нулю, получим:

.
(4.24)

.
(4.25)

.
(4.26)

Здесь оси
иглавные оси инерции.

Воспользуемся полученными выражениями
и рассмотрим несколько примеров
вычисления моментов инерции для плоских
фигур.

Пример 4.2.Определить осевые моменты
инерции фигуры, приведенной на рис.
4.10, относительно центральных осейи.

Рис.4.10

Решение:

В предыдущем примере 4.1 для изображенной
на рис.4.10 фигуры было определено положение
центра тяжести С. Координата центра
тяжести откладывалась от оси
и составила.
Вычислим расстоянияимежду осямиии осямии.
Эти расстояния составили соответственнои.
Так как исходные осииявляются центральными осями для простых
фигур в виде прямоугольников, для
определения момента инерции фигуры
относительно осивоспользуемся выводами для первого
частного случая, в частности, формулой
(4.21).

см⁴.

Момент инерции относительно оси
получим путем сложения моментов инерции
простых фигур относительно этой же оси,
так как осьявляется общей центральной осью для
простых фигур и для всей фигуры.

см⁴.

Центробежный момент инерции относительно
осей
иравен нулю, так как ось инерцииявляется главной осью (осью симметрии
фигуры).

Пример
4.3. Чему равен
размер b
(в см) фигуры,
изображенной на рис. 4.11, если момент
инерции фигуры относительно оси
равен 1000 см⁴?

Рис.4.11

Решение:

Выразим момент инерции относительно
оси
через неизвестный размер сечения,
воспользовавшись формулой (4.21), учитывая,
что расстояние между осямииравно 7см:

см⁴.
(а)

Решая выражение (а) относительно размера
сечения
,
получим:

см.

Пример.4.4.
Какая из фигур, изображенных на рис.4.12
, имеет больший момент инерции относительно
оси
,
если обе фигуры имеют одинаковую площадьсм²?

Рис.4.12

Решение:

1. Выразим площади фигур через их размеры
и определим:

а) диаметр сечения для круглого сечения:

см²; Откудасм.

б) размер стороны квадрата:

;
Откудасм.

2. Вычисляем момент инерции для круглого
сечения:

см⁴.

3. Вычисляем момент инерции для сечения
квадратной формы:

см⁴.

Сравнивая полученные результаты,
приходим к выводу, что наибольшим
моментом инерции будет обладать сечение
квадратной формы по сравнению с сечение
круглой формы при одинаковой у них
площади.

Пример 4.5.Определить полярный момент
инерции (в см⁴) сечения прямоугольной
формы относительно его центра тяжести,
если ширина сечения
см,
высота сечениясм.

Решение:

1. Найдем моменты инерции сечения
относительно горизонтальной
и вертикальнойцентральных осей инерции:

см⁴;см⁴.

2. Определяем полярный момент инерции
сечения как сумму осевых моментов
инерции:

см⁴.

Пример
4.6. Определить
момент инерции фигуры треугольной формы
изображенной на рис.4.13, относительно
центральной оси
,
если момент инерции фигуры относительно
осиравен 2400 см⁴.

Рис.4.13

Решение:

Момент инерции сечения треугольной
формы относительно главной оси инерции
будет меньше по сравнению с моментом
инерции относительно осина величину.
Поэтому присм
момент инерции сечения относительно
осинайдем следующим образом:

см⁴.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В этом уроке посмотрим, как определяются осевые моменты инерции для сложного сечения (состоящего из простых фигур).

Условие задачи

В качестве примера возьмём симметричное сечение, имеющее две оси симметрии:

Определение положения центра тяжести

Первым делом, необходимо определить положение центра тяжести сечения. Как это делается, можешь посмотреть в отдельном уроке, перейдя по указанной ссылке. Здесь же, я приведу только расчёт.

Подготовим сечение к расчёту:

• разобьём сечение на простейшие фигуры;
• обозначим центры тяжести отдельных фигур;
• введём вспомогательные координатные оси (y₀, x₀).

Площадь сечения

Используя эту страничку, найдём площади отдельных фигур:

Расстояния от центров тяжести отдельных фигур до вспомогательных осей

Статические моменты

Координаты центра тяжести

Покажем центр тяжести всего сечения:

Как видишь, центр тяжести находится ровно посередине сечения. Это свойство симметричного сечения. У такого сечения, которое имеет две оси симметрии, центр тяжести находится на пересечении этих осей. Поэтому для симметричного сечения можно и НЕ рассчитывать положение центра тяжести.

Расчёт осевых моментов инерции

Для выполнения дальнейшего расчёта следует обозначить центральные оси для всего сечения (x, y), а также собственные оси для каждой отдельной фигуры, которые формируют сечение:

Как определить моменты инерции относительно центральных осей?

Осевые моменты инерции (I_x, I_y) относительно центральных осей (x, y) можно определить по следующим формулам:

где I_xi, I_yi – моменты инерции отдельных фигур относительно собственных осей;

A_i – площади отдельных фигур;

y_ci, x_ci – расстояния от центров тяжести отдельных фигур до соответствующей центральной оси.

Определение моментов инерции для каждой фигуры

Определим осевые моменты инерции каждой отдельной фигуры, пользуясь справочной информацией:

Определение расстояний от центров тяжести каждой фигуры до центральных осей

Определение моментов инерции относительно центральных осей

Другие уроки, на проекте – ssopromat.ru, по расчёту геометрических характеристик можно найти здесь.

Формулы площадей, центров тяжести, осевых и полярных моментов инерции, моментов сопротивления и других геометрических характеристик основных простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольника, круга, полукруга, четверти круга, кольцевого и тонкостенного сечений.

Обозначения в формулах:
C — положение центра тяжести фигуры;
A — площадь сечения;
I_x , I_y — осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;
I_x1 , I_y1 — осевые моменты инерции относительно вспомогательных (смещённых) осей;
I_ρ — полярный момент инерции сечения;
W_x , W_y — осевые моменты сопротивления;
W_ρ — полярный момент сопротивления

Прямоугольник

Прямоугольник высотой h и шириной b.

Центр тяжести прямоугольника в точке пересечения его диагоналей, на расстоянии половины высоты (h/2) по вертикали и половины ширины (b/2) по горизонтали.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции прямоугольника

Моменты инерции относительно смещенных осей, проходящих через нижнюю левую точку

Осевые моменты сопротивления прямоугольного сечения

Квадрат

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого высота равна ширине, т.е. h=b=a.

Центр тяжести квадрата находится так же на пересечении диагоналей — на расстоянии половины стороны (a/2) по высоте и ширине.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции квадрата

Моменты инерции относительно смещенных осей, проходящих через нижнюю левую точку

Осевой момент сопротивления квадратного сечения

Треугольник равнобедренный

Равнобедренный треугольник высотой h и шириной основания b.

Центр тяжести треугольника располагается в точке пересечения его медиан на расстоянии 1/3 высоты от основания и 2/3 высоты от его вершин.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции треугольника

Момент инерции относительно смещенной оси x₁, проходящей через его основание

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник высотой h и шириной основания b.

Центр тяжести прямоугольного треугольника располагается аналогично, на пересечении медиан на расстоянии 1/3 высоты от основания и 2/3 высоты от вершины.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁, проходящих через точку, соединяющую его катеты

Трапеция

Равнобокая трапеция высотой H и шириной оснований: малого a и большого b.

Площадь трапеции

Центр тяжести на линии, соединяющей середины оснований трапеции, на высоте, определяемой по формуле:

Круг

Круг диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь круга через его диаметр и радиус

Центральные осевые и полярный моменты инерции круга

Осевые и полярный моменты сопротивления

Полукруг

Половина круга диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь

Осевые моменты инерции полукруга

Четверть круга

Четверть круга диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь

Центральные осевые моменты инерции четверти круга

Моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁

Кольцо

Кольцо с внешним диаметром D и внутренним d, (радиусами: внешним R и внутренним r)

Отношение внутреннего диаметра (радиуса) к внешнему обозначается буквой c.

Площадь

Центральные осевые и полярный моменты инерции кольца

Осевые и полярный моменты сопротивления

Тонкостенное сечение (труба)

Тонкостенный профиль (сечение трубы) средним радиусом R₀ и толщиной стенки трубы t при R₀>>t

Площадь

Центральные осевые и полярный моменты инерции трубного сечения

Осевые и полярный моменты сопротивления

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры:

Другие видео

Смотрите также:
Определение координат центра тяжести сложных фигур
Геометрические характеристики сечений

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.