Как найти момент инерции электродвигателя

Основные параметры электродвигателя

Мощность электродвигателя

Мощность электродвигателя — это полезная механическая мощность на валу электродвигателя.

Механическая мощность

Мощность — физическая величина, показывающая какую работу механизм совершает в единицу времени.

• где P – мощность, Вт,
• A – работа, Дж,
• t — время, с

Работа — скалярная физическая величина, равная произведению проекции силы на направление F и пути s, проходимого точкой приложения силы.

• где s – расстояние, м

Для вращательного движения

• где θ – угол, рад

• где ω – углавая частота, рад/с,

Таким образом можно вычислить значение механической мощности на валу вращающегося электродвигателя

Справка: Номинальное значение — значение параметра электротехнического изделия (устройства), указанное изготовителем, при котором оно должно работать, являющееся исходным для отсчета отклонений.

Частота вращения

• где n — частота вращения электродвигателя, об/мин

Момент инерции ротора

Момент инерции — скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси, равна сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от оси

• где J – момент инерции, кг∙м²,
• m — масса, кг

Момент инерции связан с моментом силы следующим соотношением

• где ε – угловое ускорение, с^-2

Справка: Определение момента инерции вращающейся части электродвигателя описано в ГОСТ 11828-86

Коэффициент полезного действия электродвигателя

Коэффициент полезного действия (КПД) электродвигателя — характеристика эффективности машины в отношении преобразования электрической энергии в механическую.

• где η – коэффициент полезного действия электродвигателя,
• P₁ — подведенная мощность (электрическая), Вт,
• P₂ — полезная мощность (механическая), Вт

При этом 

потери в электродвигатели

 обусловлены:
• электрическими потерями — в виде тепла в результате нагрева проводников с током;
• магнитными потерями — потери на перемагничивание сердечника: потери на вихревые токи, на гистерезис и на магнитное последействие;
• механическими потерями — потери на трение в подшипниках, на вентиляцию, на щетках (при их наличии);
• дополнительными потерями — потери вызванные высшими гармониками магнитных полей, возникающих из-за зубчатого строения статора, ротора и наличия высших гармоник магнитодвижущей силы обмоток.

КПД электродвигателя может варьироваться от 10 до 99% в зависимости от типа и конструкции.

Международная электротехническая комиссия (International Electrotechnical Commission) определяет требования к эффективности электродвигателей. Согласно стандарту IEC 60034-31:2010 определено четыре класса эффективности для синхронных и асинхронных электродвигателей: IE1, IE2, IE3 и IE4.

Номинальное напряжение

Номинальное напряжение (англ. rated voltage) — напряжение на которое спроектирована сеть или оборудование и к которому относят их рабочие характеристики.

Электрическая постоянная времени

Электрическая постоянная времени — это время, отсчитываемое с момента подачи постоянного напряжения на электродвигатель, за которое ток достигает уровня в 63,21% (1-1/e) от своего конечного значения.

• где  – постоянная времени, с

Момент электродвигателя

Вращающий момент (синонимы: вращательный момент, крутящий момент, момент силы) — векторная физическая величина, равная произведению радиус вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

• где M – вращающий момент, Нм;
• F – сила, Н;
• r – радиус-вектор, м

Начальный пусковой момент — момент электродвигателя при пуске.

Механическая характеристика

Механическая характеристика двигателя представляет собой графически выраженную зависимость частоты вращения вала от электромагнитного момента при неизменном напряжении питания.

Области применения электродвигателей

Электродвигатели являются крупнейшими потребителями электроэнергии в мире, на них приходится около 45% от всей потребляемой электроэнергии.

Электродвигатели используются повсеместно, основные области применения:
• промышленность: насосы, вентиляторы, компрессоры, конвейеры, движущая сила для других машин и др.
• строительство: насосы, вентиляторы, конвейеры, лифты, системы отопления, вентиляции и кондиционирование воздуха и др.
• потребительские устройства: холодильники, кондиционеры, персональные компьютеры и ноутбуки (жесткие диски, вентиляторы), пылесосы, стиральные машинки, миксеры и др.

ЭД1	Функции	Области применения
Вращающиеся электродвигатели	Насосы	Системы водоснабжения и водоотведения
Системы перекачки охлажденной или нагретой воды, системы отопления, ОВК2, системы полива
Системы канализации
Перекачка нефтепродуктов
Вентиляторы	Приточно-вытяжная вентиляция, ОВК2, вентиляторы
Компрессоры	Системы вентиляции, холодильные и морозильные установки, ОВК2
Накопление и распределение сжатого воздуха, пневматические системы
Системы сжижения газа, системы перекачки природного газа
Вращение, смешивание, движение	Прокатный стан, станки: обработка металла, камня, пластика
Прессовое оборудование: обработка алюминия, пластиков
Обработка текстиля: ткачество, стирка, сушка
Смешивание, взбалтывание: еда, краски, пластики
Транспорт	Пассажирские лифты, эскалаторы, конвейеры
Грузовые лифты, подъемные краны, подъемники, конвейеры, лебедки
Транспортные средства: поезда, трамваи, троллейбусы, автомобили, электромобили, автобусы, мотоциклы, велосипеды, зубчатая железная дорога, канатная дорога
Угловые перемещения  (шаговые двигатели, серводвигатели)	Вентили (открыть/закрыть)
Серво (установка положения)
Линейные электродвигатели	Открыть/закрыть	Вентили
Сортировка	Производство
Хватать и перемещать	Роботы

Из курса теоретической механики известно, что кинетическая энергия системы, вращающейся с угловой скоростью:

где J — момент инерции системы; ω — угловая скорость.

Если рабочая машина соединена непосредственно с электродвигателем, то под моментом инерции J подразумевается суммарный момент инерции ротора двигателя, соединительной муфты и вращающегося органа рабочей машины.

Если рабочая машина соединяется с электродвигателем посредством механических передач, причем угловая скорость рабочей машины отличается от угловой скорости ротора двигателя, то кинетическая энергия системы:

где Jn — момент инерции n-й ступени; k — число ступеней передачи.

При наличии у рабочей машины кроме вращающихся частей поступательно движущихся общая кинетическая энергия:

где l — число поступательно движущихся органов машины; mp — масса p-го поступательно движущегося органа; υp — его линейная скорость.

Для упрощения расчетов при исследовании движения подобного электропривода вводится понятие эквивалентного момента инерции, приведенного к валу электродвигателя.

Условием приведения является равенство кинетических энергий реальной системы и эквивалентного ротора электродвигателя, вращающегося с той же угловой скоростью:

Следовательно, эквивалентный момент инерции:

Учитывая, что jn = ωм/ωn — есть передаточное число от вала двигателя к n-му валу механизма, получают:

причем суммирование выполняют по всем вращающимся и движущимся частям.

Если вращающаяся система под действием внешних сил изменяет свое состояние, то возникает избыточная, или динамическая, мощность, вызванная изменением кинетической энергии:

и избыточный, или динамический, момент:

Используя выводы из начала Даламбера, можно записать условие равновесия моментов вращающейся системы, состоящей из двигателя и рабочей машины:

где Мд — момент на валу электродвигателя; Мс — статический момент рабочей машины, приведенный к валу двигателя.

Обычно на судах встречаются электроприводы, у которых момент инерции постоянен, в этом случае динамический момент определяется только вторым слагаемым:

тогда

или

Это уравнение называется основным уравнением теории электропривода.

Условием получения приведенного к валу двигателя статического момента сопротивления Мс является равенство мощностей приведенной системы и реальной:

где Мр.м — момент сопротивления на валу рабочей машины; ωр.м — угловая скорость вала рабочей машины; η — коэффициент полезного действия передачи.

Откуда

где j = ωм/ωр.м — передаточное число от вала рабочей машины к валу электродвигателя.

Анализ основного уравнения электропривода показывает, что при Мд >Мс ʃ (dωм/dt) > 0 угловая скорость системы увеличивается, а при Мд < Мс ʃ (dωм/dt) < 0 угловая скорость уменьшается.

Для нормальной работы системы двигатель — рабочая машина с постоянной угловой скоростью необходимо условие dωм/dt = 0 или Мд = Мс.

На рис. 1 приведены механические характеристики асинхронного двигателя 1 и рабочей машины первого класса 2. Из рисунка видно, что во время пуска Мд > Мс, поэтому двигатель начнет разгоняться до тех пор, пока избыточный момент больше нуля, т. е. до точки а.

Рис. 1. Механические характеристики совместной работы двигателя с механизмом

Следовательно, режиму работы системы с ω = const соответствует точка пересечения характеристик двигателя и рабочей машины. Если нагрузка рабочей машины будет больше М’с = const > Мc (характеристика 3), то, как видно из рисунка, двигатель не запустится.

Однако не всегда двигатель может работать устойчиво совместно с рабочей машиной.

Предположим, что двигатель работает в режиме, соответствующем точке с. Под влиянием случайных изменений параметров системы, возможно нарушение равенства моментов Мд и М’с, и если Мд будет меньше М’с, то двигатель начнет останавливаться, что приведет к дальнейшему увеличению разности Мс — Мд вплоть до полной его остановки.

При Мд > Мс угловая скорость начнет увеличиваться, а вместе с ней увеличиваться избыточный момент, который вызовет дальнейшее нарастание угловой скорости вплоть до значения, соответствующего точке b.

Подобный анализ показывает, что точка b соответствует устойчивому режиму работы электродвигателя с механизмом (также, как и точка а), а точка с — неустойчивому.

Основные параметры электродвигателя

Мощность электродвигателя

Мощность электродвигателя — это полезная механическая мощность на валу электродвигателя.

Механическая мощность

Мощность — физическая величина, показывающая какую работу механизм совершает в единицу времени.

• где P – мощность, Вт,
• A – работа, Дж,
• t — время, с

Работа — скалярная физическая величина, равная произведению проекции силы на направление F и пути s, проходимого точкой приложения силы.

• где s – расстояние, м

Для вращательного движения

• где θ – угол, рад

• где ω – углавая частота, рад/с,

Таким образом можно вычислить значение механической мощности на валу вращающегося электродвигателя

Справка: Номинальное значение — значение параметра электротехнического изделия (устройства), указанное изготовителем, при котором оно должно работать, являющееся исходным для отсчета отклонений.

Частота вращения

• где n — частота вращения электродвигателя, об/мин

Момент инерции ротора

Момент инерции — скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси, равна сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от оси

• где J – момент инерции, кг∙м²,
• m — масса, кг

Момент инерции связан с моментом силы следующим соотношением

• где ε – угловое ускорение, с^-2

Справка: Определение момента инерции вращающейся части электродвигателя описано в ГОСТ 11828-86

Коэффициент полезного действия электродвигателя

Коэффициент полезного действия (КПД) электродвигателя — характеристика эффективности машины в отношении преобразования электрической энергии в механическую.

• где η – коэффициент полезного действия электродвигателя,
• P₁ — подведенная мощность (электрическая), Вт,
• P₂ — полезная мощность (механическая), Вт

При этом 

потери в электродвигатели

 обусловлены:
• электрическими потерями — в виде тепла в результате нагрева проводников с током;
• магнитными потерями — потери на перемагничивание сердечника: потери на вихревые токи, на гистерезис и на магнитное последействие;
• механическими потерями — потери на трение в подшипниках, на вентиляцию, на щетках (при их наличии);
• дополнительными потерями — потери вызванные высшими гармониками магнитных полей, возникающих из-за зубчатого строения статора, ротора и наличия высших гармоник магнитодвижущей силы обмоток.

КПД электродвигателя может варьироваться от 10 до 99% в зависимости от типа и конструкции.

Международная электротехническая комиссия (International Electrotechnical Commission) определяет требования к эффективности электродвигателей. Согласно стандарту IEC 60034-31:2010 определено четыре класса эффективности для синхронных и асинхронных электродвигателей: IE1, IE2, IE3 и IE4.

Номинальное напряжение

Номинальное напряжение (англ. rated voltage) — напряжение на которое спроектирована сеть или оборудование и к которому относят их рабочие характеристики.

Электрическая постоянная времени

Электрическая постоянная времени — это время, отсчитываемое с момента подачи постоянного напряжения на электродвигатель, за которое ток достигает уровня в 63,21% (1-1/e) от своего конечного значения.

• где  – постоянная времени, с

Момент электродвигателя

Вращающий момент (синонимы: вращательный момент, крутящий момент, момент силы) — векторная физическая величина, равная произведению радиус вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

• где M – вращающий момент, Нм;
• F – сила, Н;
• r – радиус-вектор, м

Начальный пусковой момент — момент электродвигателя при пуске.

Механическая характеристика

Механическая характеристика двигателя представляет собой графически выраженную зависимость частоты вращения вала от электромагнитного момента при неизменном напряжении питания.

Области применения электродвигателей

Электродвигатели являются крупнейшими потребителями электроэнергии в мире, на них приходится около 45% от всей потребляемой электроэнергии.

Электродвигатели используются повсеместно, основные области применения:
• промышленность: насосы, вентиляторы, компрессоры, конвейеры, движущая сила для других машин и др.
• строительство: насосы, вентиляторы, конвейеры, лифты, системы отопления, вентиляции и кондиционирование воздуха и др.
• потребительские устройства: холодильники, кондиционеры, персональные компьютеры и ноутбуки (жесткие диски, вентиляторы), пылесосы, стиральные машинки, миксеры и др.

ЭД1	Функции	Области применения
Вращающиеся электродвигатели	Насосы	Системы водоснабжения и водоотведения
Системы перекачки охлажденной или нагретой воды, системы отопления, ОВК2, системы полива
Системы канализации
Перекачка нефтепродуктов
Вентиляторы	Приточно-вытяжная вентиляция, ОВК2, вентиляторы
Компрессоры	Системы вентиляции, холодильные и морозильные установки, ОВК2
Накопление и распределение сжатого воздуха, пневматические системы
Системы сжижения газа, системы перекачки природного газа
Вращение, смешивание, движение	Прокатный стан, станки: обработка металла, камня, пластика
Прессовое оборудование: обработка алюминия, пластиков
Обработка текстиля: ткачество, стирка, сушка
Смешивание, взбалтывание: еда, краски, пластики
Транспорт	Пассажирские лифты, эскалаторы, конвейеры
Грузовые лифты, подъемные краны, подъемники, конвейеры, лебедки
Транспортные средства: поезда, трамваи, троллейбусы, автомобили, электромобили, автобусы, мотоциклы, велосипеды, зубчатая железная дорога, канатная дорога
Угловые перемещения  (шаговые двигатели, серводвигатели)	Вентили (открыть/закрыть)
Серво (установка положения)
Линейные электродвигатели	Открыть/закрыть	Вентили
Сортировка	Производство
Хватать и перемещать	Роботы

Энергетический расчёт и выбор на этой основе исполнительных двигателей

Блог компании Специальный Технологический Центр

Разберём, как можно выбрать исполнительные двигатели для своего проекта, самоделки и иных целей. Будет использоваться подход к синтезу, который получил название синтеза цифровой системы по ее непрерывному аналогу. Начальным этапом процесса проектирования является выполнение энергетического расчёта и выбор на этой основе исполнительных двигателей, механических передач и силовых преобразователей (усилителей мощности), в совокупности обеспечивающих возможность реализации силового воздействия на объект управления.

1. Энергетический расчёт.

Целью энергетического расчета является рациональный выбор исполнительных элементов приводов системы, которые обладают энергетическими возможностями для обеспечения механического объекта управления по заданному закону во всех предусмотренных режимах работы. Задача энергетического расчета состоит в анализе сил (моментов сил) и скоростей, которые должны развивать приводы системы и выборе исполнительных элементов, энергетически обеспечивающих возможность получения требуемых сил и скоростей движения механических объектов управления и удовлетворяющих заданным критериям эффективности такого выбора.

Считаем, что динамическая жёсткость приводов бесконечно высока и поэтому взаимовлияние степеней подвижности манипулятора не проявляется. Тогда можно считать, что при движении одного из звеньев второе звено остаётся неподвижным.

Примем себе техническое задание:

Спроектировать привода для двухзвенного плоского манипулятора робота.  Возьмём для этого упрощенную модель двухзвенного механизма манипулятора (рис.1), имеющего «плечевое» и «локтевое» звенья, причем рабочий орган (РО) условно считается закрепленным непосредственно на конце «локтевого» звена.

На рисунке приняты обозначения:

q₁ и q₂ — обобщённые координаты манипуляционного механизма. Они представляют собой углы поворота «плечевого» и «локтевого» звеньев манипулятора, соответственно. Угол q₁ определяется как отклонение «плечевого» звена от вертикали, а угол q₂ определяется как отклонение «локтевого» звена от продольной оси «плечевого» звена. Положительные значения этих углов соответствуют вращению звеньев по часовой стрелке;

L₁ и L₂ — длины «плечевого» и «локтевого» звеньев, соответственно. L₂ — расстояние от оси поворота «локтевого» звена до центра масс рабочего органа с объектом манипулирования;

m₁ и m₂ — массы «плечевого» и «локтевого» звеньев, соответственно.

Считается, что каждая из этих масс сосредоточена в центре соответствующего звена;

m₀ — суммарная масса рабочего органа и объекта манипулирования;

m_ДВ1 и m_ДВ2 — массы исполнительных двигателей;

V и a — скорость и ускорение конечной точки манипулятора соответственно;

R — расстояние от оси вращения «плечевого» звена до конечной точки манипулятора;

M₁ и M₂ — моменты сил, развиваемые приводами и действующие на звенья манипулятора.

Таблица 1. Параметры манипуляционного механизма:

Таблица 2. Основные требования к исполнительной системе робота:

1.1 Выбор двигателя и редуктора привода второго звена.

Кинематический анализ:

Найдём максимальные значения угловой скорости и углового ускорения для второго звена манипулятора.

Максимальное угловое ускорение 2-го звена:

Максимальная угловая скорость рабочего движения 2-го звена:

Максимальное угловое ускорение рабочего движения 2-го звена:

Максимальный суммарный момент сил  M2max , который должен развивать привод второго звена, определяется по формуле.

η — КПД механической передачи.

Статический момент относительно оси вращения 2-го звена определяется по формуле:

где g =9.807 м/с2 —  ускорение свободного падения.

Mст2  имеет максимальное значение при выполнении условия sin(q1+q2)=1. Mст2 = 30.4 Н*м.

Для вычисления динамического момента, действующего на второе звено, находим эквивалентный момент инерции Jэкв2 этого звена по формуле:

Jэкв2 = 0.62 кг*м2

Максимальное значение динамического момента (для режима переброски) получим:

       

С целью обеспечения точной работы приводов манипулятора могут быть

выбраны волновые или планетарные редукторы. Предварительно выбираем волновой редуктор HDUR-32 компании Harmonic drive gearing. По данным производителя КПД такого редуктора η2̗ = 0.85 В этом случае максимальный суммарный момент сил M2max , который должен развивать привод второго звена:

Оценка мощности двигателя второго звена:

Максимальное значение мощности механического движения второго звена:

Требуемую мощность двигателя второго звена P2 выбираем из условия.

P2≈(2…3)*P2max.  P2= 420 Вт

Выбор исполнительного двигателя производим по требуемой мощности. Выбираем двигатель TETRA 85SR2.2, обладающий следующими параметрами:

Pн2 = 650 Вт — номинальная мощность.

Мн2 = 2.2  ̗- номинальный момент Н*м.

 J дв2 =1.8Έ10˕4 кг*Ем2  — момент инерции ротора.

mдв2 = 4.2 кг — масса двигателя.

 n2ном  =  3000 об/мин — номинальная частота вращения.

Rя  = 19.76  Ом — активное сопротивление якоря.

U2ном = 250 В — номинальное напряжение якоря.

Определение требуемого передаточного отношения и марки редуктора.

Оценка значения передаточного отношения редуктора привода второго звена:

Выбираем редуктор HDUR FDD-32-260, обладающий следующими параметрами:

i_р2 = 260 — передаточное отношение.

m_p2 ̗= 1.7 кг- масса редуктора.

Для дальнейших расчётов и выбора компонентов привода первого звена принимаем массу привода второго звена равной:

Теперь проверим выполнения необходимых условий правильности выбора

двигателя и редуктора. Проверяем выбранный двигатель по моменту:

Следовательно, подсистема «двигатель-редуктор» способна создавать момент, не меньше требуемого.

1.2 Выбор двигателя и редуктора привода первого звена.

Кинематический анализ манипуляционного механизма

Расчёты проводятся в соответствии с кинематической схемой и схемой действия сил, представленной на рис. 3

В таком положении момент М1 первого звена будет иметь значения, наиболее близкие к максимально возможным значениям. Скорость вращения первого звена Ω1 определяется по формуле:

где q2 — обобщённая координата, характеризующая положение второго звена

относительно продольной оси первого звена. Таким образом, видно, что скорость вращения первого звена Ω1 зависит от обобщенной координаты q2

Угловое ускорение, с которым движется первое звено, определяется по формуле:

Следовательно, угловое ускорение тоже зависит от q2.

Силовой анализ манипуляционного механизма.

Определяется момент сил, который должен развивать привод первого звена. При этом считаем, что силы приложены в центрах масс первого и второго звеньев, рабочего органа и объекта манипулирования

Статический момент Мст1 действующий относительно оси поворота первого звена, зависит от обобщённых координат:

Динамический момент Mдин1 , зависящий от углового ускорения ε1 и

эквивалентного момента инерции Jэкв1 вычисляется по формуле:

Эквивалентный момент инерции манипуляционного механизма, перемещаемого первым приводом, можно оценить по формуле:

где ρ — расстояние от оси вращения первого звена до центра масс второго звена, причём

Максимальное значение суммарного момента М1 можно определить, варьируя значения переменных q1 и q2. Для упрощения решения задачи будем рассматривать конфигурацию манипулятора, представленную на рис. 3, при которой рабочий орган находится на горизонтальной прямой линии, проходящей через ось вращения первого звена. Тогда между переменными q1 и q2 будет существовать связь следующего вида:

КПД редуктора привода первого звена примем η1̗0.85

Оценка мощности механического движения первого звена.

Для определения максимального значения мощности механического движения первого звена воспользуемся графиком зависимости требуемой мощности P1 от обобщенной координаты q2.

P1max = 303 Вт. Примем q2pmax = 58 град.

1.3 Выбор двигателя привода первого звена.

Выбираем двигатель по мощности из расчета P1≈(2…3)*P1max. P1 = 2.5 * P1max = 757.5 Вт.

Выбираем двигатель ESA 3L обладающий следующими параметрами:

Pн1 = 800 Вт — номинальная мощность.

Мн1 = 1.75 Н*м — номинальный момент.

Jдв1 = 0.64 * 10^-4 кг*м^2 — момент инерции ротора.

Mдв1 = 3.05 кг – масса двигателя.

n1ном = 3000 обмин — номинальная частота вращения.

Rя1 = 5.24 Ом — сопротивление якоря.

U1ном = 250 В — номинальное напряжение якоря.

Iяном = 2.5 А — номинальный ток якоря.

Tэ = 0.00275  — электромагнитная постоянная времени.

Вычислим номинальную угловую скорость двигателя:

Выбираем редуктор аналогичный редуктору второго звена HDUR-32-260

обладающий следующими параметрами:

i = 260 — передаточное отношение.

m 1.7 кг- масса редуктора.