Как найти момент инерции если известна масса - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

The moment of inertia, referred to as the angular mass or rotational inertia, with respect to the rotation axis is a quantity that determines the amount of torque necessary to achieve a desired angular acceleration or a characteristic of a body that prevents angular acceleration. The moment of inertia is calculated as the sum of each particle’s mass times the square of its distance from the rotational axis.

Moment of Inertia

The term “moment of inertia” refers to the quantity that describes how a body resists angular acceleration and is calculated as the product of the mass of each particle times the square of the particle’s distance from the rotational axis. Or, to put it another way, you could say that it’s a quantity that determines how much torque is required for a certain angular acceleration in a rotating axis. Inertia moment is often referred to as rotational inertia or angular mass. kg m² is the unit of moment of inertia in the SI system.

Moment of Inertia of a System of n Particles

The moment of inertia is the following for a system of point particles rotating around a fixed axis:

I = ∑m_ir_i²

where,
r_i is the distance between the axis and the i_th particle,
m_i is the mass of i_th particle.

How to Calculate Moment Of Inertia?

Several ways are used to calculate the moment of inertia of any rotating object.

For uniform objects, the moment of inertia is calculated by taking the product of its mass with the square of its distance from the axis of rotation (r²).
For non-uniform objects, we calculate the moment of inertia by taking the sum of the product of individual point masses at each different radius for this the formula used is

I = ∑m_ir_i²

Formulas For Calculating Moment Of Inertia

Expressions for the moment of inertia for some symmetric objects along with their axis of rotation are discussed below in this table.

Object	Axis	Expression of the Moment of Inertia
Hollow Cylinder Thin-walled	Central	I = Mr²
Thin Ring	Diameter	I = 1/2 Mr²
Annular Ring or Hollow Cylinder	Central	I = 1/2 M(r₂² + r₁²)
Solid Cylinder	Central	I = 1/2 Mr²
Uniform Disc	Diameter	I = 1/4 Mr²
Hollow Sphere	Central	I = 2/3 Mr²
Solid Sphere	Central	I = 2/5 Mr²
Uniform Symmetric Spherical Shell	Central	$I = frac{2}{5}Mfrac{(r_2^5-r_1^5)}{(r_2^3-r_1^3)}$
Uniform Plate or Rectangular Parallelepiped	Central	I = 1/12 M(a² + b²)
Thin rod	Central	I = 1/12 Mr²
Thin rod	At the End of Rod	I = 1/3 Mr²

Solved Examples of Moment of Inertia

Example 1: Determine the solid sphere’s moment of inertia at a mass of 22 kg and a radius of 5 m.

Answer:

Given:
M = 22 kg, R = 5 m

We have for solid sphere, MOI (I) = 2/5 MR²

I = 2/5 × 22 × 25

I = 220 kg m²

Example 2: Calculate the mass of the uniform disc when its moment of inertia is 110 kg m²and its radius is 10 m.

Answer:

Given:
I = 110 kg m², R = 10 m

We have for uniform disc (I) = 1/4 MR²

M = 4I / R²

M = 4 × 110 / 10²

M = 440 / 100

M = 4.4 kg

Example 3: If a uniform plate has a mass of 23 kg, a length of 10 m, and a breadth of 7 m, determine its moment of inertia.

Answer:

Given: M = 23 kg, L = 10 m, b = 7 m

We have for uniform plate MOI $I=frac{1}{12}M(L^2+b^2)$

$I=frac{1}{12}×23×(10^2+7^2)$

$I=frac{1}{12}×23×(100+49)$

$I=frac{1}{12}×23×(149)$

I = 285 kg m²

Example 4: When the uniform hollow right circular cone has a moment of inertia of 98 kg m²and a mass of 20 kg, determine the radius of the cone.

Answer:

Given:
I = 98 kg m², M = 20 kg

We have for right circular cone, MOI (I) = 1/2 MR²

R² = 2I / M

R² = 2 × 98 / 20

R² = 9.8

R = √9.8

R = 3.13 m

Example 5: If the mass is 10 kg and the radius is 7 m, determine the hollow cylinder’s moment of inertia.

Answer:

Given:
M = 10 kg, R = 7 m

We have for hollow cylinder, MOI (I) = MR²

I = 10 × 49

I = 490 kg m²

Example 6: When r₁ is 10 m, r₂ is 20 m, and the mass of the annular ring is 14 kg, calculate the moment of inertia of the ring.

Answer:

Given: r₁ = 10 m, r₂ = 20 m, M = 14 kg

We have for Annular ring (I) = 1/2 M(r₂² + r₁²)

I = 1/2 × 14 × (400 + 100)

I = 7000 / 2

I = 3500 kg m²

Related Resources

Mass and Inertia

Inertia

Rotational Inertia

Last Updated :
15 Oct, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 2 >> Глава 19. Центр масс; момент инерции

Вычисление момента инерции

Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси z имеет вид

Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси (x²_i + y²_i). Заметьте, что это верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами.

В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3). Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния х (в этом случае все у — нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от х², умноженный на «элементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной dx, то соответствующий элемент массы будет пропорционален dx, а если бы dx составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна М. Поэтому

Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины, так что единственная существенная величина, которую мы вычислили, это множитель 1/3.

А чему будет равен момент инерции I, если ось вращения проходит через середину стержня? Чтобы найти его, нам снова нужно взять интеграл, но уже в пределах от —1/2L до +1/2L. Заметим, однако, одну особенность этого случая. Такой стержень с проходящей через центр осью можно представлять себе как два стержня с осью, проходящей через конец, причем масса каждого из них равна М/2, а длина равна L/2. Моменты инерции двух таких стержней равны друг другу и вычисляются по формуле (19.5). Поэтому момент инерции всего стержня равен

Таким образом, стержень гораздо легче крутить за середину, чем за конец.

Можно, конечно, продолжить вычисление моментов инерции других интересующих нас тел. Но поскольку такие расчеты требуют большого опыта в вычислении интегралов (что очень важно само по себе), они как таковые не представляют для нас большого интереса. Впрочем, здесь имеются некоторые очень интересные и полезные теоремы. Пусть имеется какое-то тело и мы хотим узнать его момент инерции относительно какой-то оси. Это означает, что мы хотим найти его инертность при вращении вокруг этой оси. Если мы будем двигать тело за стержень, подпирающий его центр масс так, чтобы оно не поворачивалось при вращении вокруг оси (в этом случае на него не действуют никакие моменты сил инерции, поэтому тело не будет поворачиваться, когда мы начнем двигать его), то для того, чтобы повернуть его, понадобится точно такая же сила, как если бы вся масса была сосредоточена в центре масс и момент инерции был бы просто равен I₁ = MR²_ц.м., где R_ц.м — расстояние от центра масс до оси вращения. Однако формула эта, разумеется, неверна. Она не дает правильного момента инерции тела. Ведь в действительности при повороте тело вращается. Крутится не только центр масс (что давало бы величину I₁), само тело тоже должно поворачиваться относительно центра масс. Таким образом, к моменту инерции I₁нужно добавить I_ц — момент инерции относительно центра масс. Правильный ответ состоит в том, что момент инерции относительно любой оси равен

Эта теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов х и у, т. е. I = Σm_i(x²_i + y²_i). Мы сейчас сосредоточим наше внимание на х, однако все в точности можно повторить и для у. Пусть координата х есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние х` от центра масс вместо х от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать
x_i = x`_i + X_ц.м.
Возводя это выражение в квадрат, находим
x²_i = x`²_i + 2X_ц.м.x`_i + X²_ц.м.

Что получится, если умножить его на m_i и просуммировать по всем r? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим

I_x = Σm_ix`²_i + 2X_ц.м.Σm_ix`_i + X2_ц.м.Σm_i

Третью сумму подсчитать легко; это просто МХ²_ц.м. . Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых Σm_ix`_i; он равен x`-координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь х` отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть х от I_ц. Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).

Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен ML²/3. А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии L/2. Таким образом, мы должны получить, что ML²/3=ML²/12+M(L/2)². Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.

Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине ML², умноженной на некоторый неизвестный коэффициент γ. После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэффициент 1/4γ. Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что γ=1/4γ + 1/4, откуда γ=1/3. Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!

При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось I_ц должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.

Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью z, направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси z равен сумме моментов инерции относительно осей х и у. Доказывается это совсем просто. Заметим, что

Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, например с массой М, шириной ω и длиной L относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто

поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости пластинки и параллельной ее длине, равен Mω²/12, т. е. точно такой же, как и для стержня длиной ω, а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен ML²/12, такой же, как и для стержня длиной L.

Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью z:

1. Момент инерции равен

2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.
3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.
4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерции относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью.

В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а в табл. 19.2 — моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием перечисленных выше свойств.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:

Социальные комментарии Cackle

Источник

Определение момента инерции

Момент
инерции J (кгм2) – параметр, аналогичный
по физическому смыслу массе при
поступательном движении. Он характеризует
меру инерции тел, вращающихся относительно
фиксированной оси вращения. Момент
инерции материальной точки с массой m
равен произведению массы на квадрат
расстояния от точки до оси вращения:
.

Момент
инерции тела есть сумма моментов инерции
материальных точек, составляющих это
тело. Он может быть выражен через массу
тела и его размеры[1].

Моменты
инерции однородных тел простых форм
приведены в табл. 2.1.

Таблица
2.1

Моменты
инерции некоторых однородных тел

Диск или цилиндр вращающийся вокруг центральной оси
Момент инерции стержня при вращении относительно оси, проходящей через его конец
Момент инерции стержня при вращении относительно оси, проходящей через его центр
Момент инерции шара при вращении относительно оси, проходящей через его центр

Момент
инерции тела, если известно распределение
массы тела относительно оси вращения
mi (R), может быть определён как

.
(2.11)

Детали
электропривода, например ротор
электрической машины, представляют
собой конструкции, состоящие из деталей
сложных форм и изготовленные из материалов
различной плотности. Следовательно,
расчёт момента инерции связан со
значительными трудностями.

В
случаях, когда расчёт момента инерции
не возможен либо затруднён, используют
следующие методы экспериментального
определения момента инерции.

Метод
свободного выбега (самоторможения)[2].
Сущность этого метода состоит в следующем.
Исследуемый агрегат, включающий в себя
электродвигатель и механически
соединённые с ним элементы, разгоняется
до некоторой установившейся частоты
вращения в режиме х.х..
После этого электродвигатель отключают
от сети и наступает процесс самопроизвольного
торможения, т.е. торможения исключительно
за счёт внутренних сил трения в подшипниках
электродвигателя и сочленённых с ним
вращающих частей о воздух. На преодоление
этих сил трения затрачивается кинетическая
энергия (Дж), запасенная во вращающихся
частях агрегата:

.
(2.12)

С
другой стороны, эта энергия может быть
определена как произведение мощности,
затраченной на приведение во вращение
агрегата в режиме х.х.
на
время:

.
(2.13)

Приравняв
(9.1) к (9.2), получим выражение общего
момента инерции, кг·м2:

.
(2.14)

Значения
иопределяют
экспериментально, выполнив опыт х.х. и
опыт свободного выбега, по кривой выбега:.

Метод
вспомогательного маятника. Этот метод
применяют в тех случаях, когда метод
свободного выбега не может быть
использован, в частности для электрических
машин большой мощности – до 1000 кВт.

Для
реализации этого метода вращающуюся
часть машины устанавливают на подшипниках
балансировочного станка. Если вращающаяся
часть машины имеет собственные подшипники,
то могут быть использованы и они.
Испытания проводят на собственной
машине. У коллекторных машин или
асинхронных двигателей с фазным ротором
при определении момента инерции следует
поднять щётки.

При
использовании метода вспомогательного
маятника к валу исследуемой вращающейся
части прикрепляют дополнительную массу
mдоп центр тяжести которой находится
на расстоянии а от центра вала.

Вращающуюся
часть вместе со вспомогательным маятником
следует привести в колебательное
движение. При этом одностороннее угловое
отклонение не должно превышать 15о.
Период колебаний принимают как средний
из нескольких колебаний. Для точности
рекомендуется производить измерения
периода колебаний в момент нахождения
маятника через положение статического
равновесия.

Момент
инерции испытуемой вращающейся части
определяется по формуле

.
(2.15)

Для
повышения точности измерения момента
инерции рекомендуется проводить
измерения несколько раз с разными
значениями дополнительной массы
вспомогательного маятника mдоп или
расстояния а.[3]

10.Приведення
моментів інерції і сил опору.

Приведення
моментів опору і моментів інерції при

обертальному
русі

Зазвичай
двигун приводить в дію робочий механізм
через систему передач (рисунок 2.1).

Приведення
моментів опору до вісі обертання
електродвигуна виконується на основі
енергетичного балансу всієї системи.
При цьому статичний момент опору,
приведений до валу двигуна

де – статичний момент опору робочого
механізму;

– швидкість обертання валу робочого
механізму;

– швидкість обертання валу двигуна;

– коефіцієнт корисної дії передачі
(редуктора).

Приведення
моментів інерції до однієї вісі обертання
спирається на те, що величина сумарного
запасу кінетичної енергії частин
приводу, що рухаються, віднесена до
однієї вісі, залишається незмінною. При
наявності обертових частин, що мають
моменти інерції
і кутові швидкості,
можна замінити їх динамічну дію дією
одного моменту інерції, приведеного до
швидкості обертання валу двигуна, тобто

Зазвичай
в робочих механізмах використовуються
редуктори, в яких частини, що рухаються,
мають форму порожнього циліндру,
зрізаного конусу і прямолінійного
тонкого стрижня (вал). Моменти інерції
цих тіл визначаються наступними виразами.

Для
довгого тонкого валу відносно його вісі
обертання

де m –
маса валу;

l –
довжина валу.

Для
порожнього циліндра відносно його вісі
обертання

де R1,
R2 – зовнішній і внутрішній радіуси
циліндру.

Для
зрізаного прямого конусу відносно його
вісі обертання

де R1,
R2 – радіуси основ конусу.

Для
суцільного циліндру

Приведення
сили і маси при поступальному русі до
моменту при обертальному русі

Необхідність
приведення поступального руху до
обертального виникає, наприклад, у
підйомниках, кранах, стругальних
верстатах і т.п.

Приведений
до швидкості обертання валу двигуна
підйомника (рисунок 2.2) момент опору

де Fс.м
– сила опору робочого механізму,
обумовлена силою ваги вантажу G, який
рухається поступально;

V –
швидкість поступального руху вантажу.

Момент
інерції, приведений до валу двигуна,

Якщо
механізм має елементи, які рухаються
обертально і поступально, то сумарний
приведений до валу двигуна момент
інерції

11.Система
рівнянь двигуна незалежного збудження
(ДНЗ) для природного ввімкнення.

Для
получения простейшей модели электропривода
постоянного тока, описывающей
установившиеся (статические) режимы и
позволяющей получить основные
характеристики, воспользуемся схемой
на рис. 1.

Будем
полагать, что якорная цепь питается от
независимого источника с напряжением
U* , сопротивление цепи якоря R постоянно,
магнитный поток Ф определяется лишь
током возбуждения и не зависит от
нагрузки (реакция якоря не проявляется),
индуктивные параметры цепей пока не
учитываются, поскольку рассматриваются
лишь установившиеся (статические)
режимы.

Рис.
1. Схема электропривода с двигателем
постоянного тока

Взаимодействие
тока I в обмотке якоря с магнитным потоком
Ф, создаваемым обмотками, расположенными
на полюсах машины, приводит в соответствии
с законом Ампера и возникновению
электромагнитных сил, действующих на
активные проводники обмотки и,
следовательно, электромагнитного
момента М:

М
= kФI
(1)

где
k- конструктивный параметр машины.

В
движущихся с угловой скоростью
в
магнитном поле под действием момента
М проводниках обмотки якоря в соответствии
с законом Фарадея наводится ЭДС вращения
Е:

E
= kФw ,
(2)

направленная
в рассматриваемом случае встречно по
отношению к вызвавшей движение причине
— ЭДС источника питания U.

В
соответствие со вторым законом Кирхгоффа
для якорной цепи машины справедливо
уравнение:

U-E
= IR.
(3)

Уравнения
(1)-(3) — простейшая, но достаточная для
понимания главных процессов в
электроприводе постоянного тока модель.
Для решения практических задач они
должны быть дополнены уравнением
движения с моментом потерь
,
входящим в Мс,

и
уравнениями цепи возбуждения для
конкретной схемы электропривода.

Разумеется,
в условиях каждой задачи должно быть
строго оговорено, что задано и известно,
а что нужно искать.

Рассмотрим
подробнее роль, которую играет ЭДС Е в
процессе преобразования энергии,
осуществляемом электрической машиной.
Если существовал некоторый установившийся
режим М1 = Мс1, а затем Мс изменился,
например, возрос до величины Мс2, то для
получения нового установившегося режима
необходимо иметь средство, которое
изменило бы М, приведя его в соответствие
с новым значением Мс. В двигателе
внутреннего сгорания эту роль выполнит
оператор, увеличив подачу топлива; в
паровой турбине — специальный регулятор,
который увеличит подачу пара. В
электрической машине эту роль выполнит
ЭДС. Действительно, при возрастании Мс
скорость двигателя начнет снижаться,
значит уменьшится в соответствии с (2)
и ЭДС (полагаем для простоты, что Ф, а
также U и R — постоянные). Из (3) следует,
что

следовательно,
ток вырастет, обусловив тем самым рост
момента в соответствии с (1). Двигатель
автоматически, без каких-либо внешних
воздействий перейдет в новое установившееся
состояние. Эти процессы будут иметь
место при любых величинах и знаках Мс,
то есть ЭДС будет выполнять функцию
регулятора как в двигательном, так и в
тормозных режимах работы машины.

12.Природні
механічні характеристики ДНЗ.

Двигатели
независимого и параллельного возбуждения.

Схема включения двигателя независимого
возбуждения показана на рис.
5.19.

Рис.
5.19.

В
цепь якоря может быть включено добавочное
сопротивление Rд, например пусковой
реостат. Для регулирования тока
возбуждения в цепь обмотки возбуждения
может быть включен регулировочный
реостат Rр. У двигателя параллельного
возбуждения обмотки якоря и возбуждения
подключены к одному источнику питания,
и напряжение на них одинаковое.
Следовательно, двигатель параллельного
возбуждения можно рассматривать как
двигатель независимого возбуждения
при Uя= Uв.

Механические
характеристики.
Механические
характеристики двигателей принято
подразделять на естественные и
искусственные. Естественная характеристика
соответствует номинальному напряжению
питания и отсутствию добавочных
сопротивлений в цепях обмоток двигателя.
Если хотя бы одно из перечисленных
условий не выполняется, характеристика
называется искусственной.
Уравнения
электромеханической ω=f(I я) и механической
ω=f(M эм.) характеристик могут быть найдены
из уравнения равновесия ЭДС и напряжений
для якорной цепи двигателя, записанного
на основании второго закона Кирхгофа:

U
я=E я+I я)(R я+R д), (5.35)

где
R я – активное сопротивление
якоря.
Преобразуя (5.35) с
учетом (5.6), получим уравнение
электромеханической характеристики

ω=(U
я-I я(R я+R д))/kФ. (5.36)

В
соответствии с (5.10) ток якоря I я=M эм./kФ
и выражение (5.36) преобразуется в уравнение
механической характеристики:

ω=Uя/
kФ – ( R я+ R д)/( kФ) 2)Mэм. . (5.37)

Это
уравнение можно представить в виде ω=
ω о.ид.- Δ ω, где

ω
о.ид.=Uя/kФ (5.38)

ω
о.ид — угловая скорость идеального
холостого хода ( при Iя=0 и, соответственно,
Мэм.=0 ); Δ ω= Мэм. [(Rя+Rд)/(kФ)2]– уменьшение
угловой скорости, обусловленное нагрузкой
на валу двигателя и пропорциональное
сопротивлению якорной цепи.
Семейство
механических характеристик при
номинальном напряжении на якоре и потоке
возбуждения и различных добавочных
сопротивлениях в цепи якоря изображено
на рис.
5.20,а.

Рис.5.20

Механические
характеристики двигателей принято
оценивать по трем показателям:
устойчивости, жесткости и
линейности.
Естественная
механическая характеристика,
соответствующая (5.37) при Rд=0, изображена
прямой линией 1. Механическая характеристика
линейная; отклонение от линейного закона
может быть вызвано реакцией якоря,
приводящей к изменению потока Ф. Эта
характеристика жесткая, так как при
изменении момента нагрузки и соответственно
скорости поток возбуждения не изменяется.
Жесткость характеристики уменьшается
при введении добавочного сопротивления
в цепь якоря (прямые линии 2 и 3 –
искусственные реостатные характеристики).
Характеристики устойчивые, так как
dω/dMэм.<0, и обеспечивают саморегулирование
двигателя, т.е. он автоматически
приспосабливается к изменяющейся
нагрузке. Увеличение статического
момента сопротивления на валу двигателя
приводит к уменьшению угловой скорости
и ЭДС якоря. Ток якоря, выражение для
которого можно записать на основании
(5.35),

Iя=
(Uя-Eя)/(R я+ R д)=(Uя -kωФ;)/( R я R д ),
(5.39)

возрастает.
Соответственно растет электромагнитный
момент вплоть до нового значения момента
сопротивления (переход из точки А в
точку В на механической характеристике).
По
аналогии на основании (5.37) может быть
построено семейство искусственных
характеристик при различных значениях
Uя или Ф. Анализ таких характеристик
будет проделан в разделе исполнительных
двигателей постоянного тока (§ 5.7).

13.Штучні
характеристики ДНЗ.

Механические
характеристики двигателей принято
подразделять на естественные и
искусственные.Механическая характеристика
двигателя это зависимость электромагнитного
момента, развиваемого двигателем, от
угловой скорости ротора. Механические
характеристики двигателей принято
подразделять на естественные и
искусственные. Естественная характеристика
соответствует номинальному напряжению
питания и отсутствию добавочных
сопротивлений в цепях обмоток двигателя.
Если хотя бы одно из перечисленных
условий не выполняется, характеристика
называется искусственной.

14.Статичні
режими роботи ДНЗ.

15.Переваги
ДНЗ перед двигунами послідовного
збудження.

16.Переваги
асинхронних (АД) двигунів перед
колекторними.

Преимущество
асинхронных двигателей перед коллекторными
— они не имеют коллектора, следовательно,
в асинхронном двигателе меньше потерь
на трение.

17.Схема
заміщення (АД)

Асинхронними
двигунами називаються такі двигуни
змінного струму, в яких швидкість
обертання ротора n при даній частоті
струму в мережі змінюється зі зміненням
навантаження.

Асинхронні
двигуни бувають трифазні, двофазні та
однофазні. Найбільш широке застосування
в РЛС та АСУ одержали трифазні та двофазні
асинхронні двигуни. Вони застосовуються
для обертання антени, вентиляторів, у
системах слідкування тощо.

Асинхронні
двигуни, як і інші електромашини,
зворотні, тобто можуть працювати в
режимі генератора. Але асинхронні
генератори застосовуються порівняно
рідко, оскільки вони значно поступаються
синхронним генераторам за своїми
“характеристиками”.

СХЕМА
ЗАМІЩЕННЯ АСИНХРОННОГО ДВИГУНА

Рис.
3. Схема замещения фазы асинхронного
двигателя

Принцип
действия асинхронной машины в самом
общем виде состоит в следующем: один из
элементов машины — статор используется
для создания движущегося с определенной
скоростью магнитного поля, а в замкнутых
проводящих пассивных контурах другого
элемента — ротора наводятся ЭДС, вызывающие
протекание токов и образование сил
(моментов) при их взаимодействии с
магнитным полем. Все эти явления имеют
место при несинхронном — асинхронном
движении ротора относительно поля, что
и дало машинам такого типа название —
асинхронные.

Статор
обычно выполнен в виде нескольких
расположенных в пазах катушек, а ротор
— в виде “беличьей клетки” (короткозамкнутый
ротор) или в виде нескольких катушек
(фазный ротор), которые соединены между
собой, выведены на кольца, расположенные
на валу, и с помощью скользящих по ним
щеток могут быть замкнуты на внешние
резисторы.

Несмотря
на простоту физических явлений и
материализующих их конструктивов полное
математическое описание процессов в
асинхронной машине весьма сложно:

во-первых,
все напряжения, токи, потокосцепления
— переменные, т.е. характеризуются
частотой, амплитудой, фазой или
соответствующими векторными величинами;

во-вторых,
взаимодействуют движущиеся контуры,
взаимное расположение которых изменяется
в пространстве;

в-третьих,
магнитный поток нелинейно связан с
намагничивающим током (проявляется
насыщение магнитной цепи), активные
сопротивления роторной цепи зависят
от частоты (эффект вытеснения тока),
сопротивления всех цепей зависят от
температуры и т.п.

Рассмотрим
самую простую модель асинхронной машины,
пригодную для объяснения основных
явлений в асинхронном электроприводе.

Принцип
получения движущегося магнитного
поля

Пусть
на статоре расположен виток (катушка)
А-Х (рис. 1,а,б), по которому протекает
переменный ток iA = Imsinw t; w = 2p f1. МДС FА,
созданная этим током, будет пульсировать
по оси витка

FА
= Fmsinw t

а)

б)

в)

г)

Рис.
1. К образованию
вращающегося
магнитного поля в машине

(горизонтальные
штриховые стрелки на рис. 1,в). Если
добавить виток (катушку) В-Y, расположенный
под углом 900 к А-Х, и пропускать по нему
ток iB = Imcosw t, то МДС FВ будет пульсировать
по оси этого витка
(вертикальные
стрелки):

FВ
= Fmcosw t.

Вектор
результирующей
МДС имеет модуль

Его
фаза a определится из условия

Таким
образом, вектор результирующей МДС при
принятых условиях, т.е. при сдвиге двух
витков в пространстве в
и
при сдвиге токов во времени на,
вращается с угловой скоростью,
где f1 — частота токов в витках.

В
общем случае для машины, имеющей р пар
полюсов (р=1,2,3…), синхронная угловая
скорость
,
рад/с, т.е. скорость поля, определится
как

;

(1)

для
частоты вращения n0, об/мин, будем иметь:

,

(2)

т.е.
при питании от сети f1=50Гц синхронная
частота вращения может быть 3000, 1500, 1000,
750, 600… об/мин в зависимости от конструкции
машины.

Выражения
(1) и (2) имеют принципиальный характер:
они показывают, что для данной машины
имеется лишь одна возможность изменять
скорость поля — изменять частоту источника
питания f1.

Процессы
при w = w 0

Пусть
ротор вращается со скоростью w 0, т.е. его
обмотки не пересекают силовых линий
магнитного поля и он не оказывает
существенного влияния на процессы.

В
весьма грубом, но иногда полезном
приближении можно представить обмотку
фазы статора как некоторую идеальную
катушку, к которой приложено переменное
напряжение
.
Мы будем дальше либо обозначать его и
другие синусоидально изменяющиеся
переменные соответствующими заглавными
буквами, если интерес представляют лишь
их действующие значения, либо будем
добавлять точку вверху, показывая тем
самым, что речь идет о временнo м векторе,
имеющем амплитудуи
фазу j .

Очевидно,
что приложенное напряжение
уравновесится
ЭДС самоиндукции(рис.
2,а,б)

,
(3)

где
w — число витков обмотки; kоб — коэффициент,
зависящий от конкретного выполнения
обмотки.

а)
б) в)

Рис.
2. Идеализированная модель асинхронной
машины при w = w 0 (а), векторная диаграмма
(б) и кривая намагничивания (в)

Можно
приближённо считать, что магнитный
поток определяется приложенным
напряжением, частотой и параметрами
обмотки:

.
(4)

Ток
в обмотке (фазе) статора — ток намагничивания
определится при этом лишь магнитным
потоком и характеристикой намагничивания
машины (рис. 2,в):

В
серийных машинах при U1=U1н и f1=f1н, т.е. при
номинальном магнитном потоке ток
холостого хода I10 составляет обычно 30%
— 40% от номинального тока статора I1н.

Процессы
под нагрузкой

При
нагружении вала
;
отличие скоростей w и w 0 принято
характеризовать скольжением

.

(5)

Теперь
в роторной цепи появится ЭДС,
наведенная по закону электромагнитной
индукции и равная

=E1ў
s;
(6)

штрихом
здесь и далее отмечены приведенные
величины, учитывающие неодинаковость
обмоток статора и ротора. Частота
наведенной ЭДС составляет

f2=f1s

(7)

Ток
I2ў в роторной цепи, обладающей
сопротивлением R2ў и индуктивностью L2ў
, определится как

или
после простых преобразований

,
(8)

где
Х2ў — индуктивное сопротивление рассеяния
вторичной цепи при частоте f1.

Мы
получили уравнение, соответствующее
традиционной схеме замещения фазы
асинхронного двигателя — рис. 3, в которой
учтены и параметры статора R1 и Х1. Эта
простая модель пригодна для анализа
установившихся режимов при симметричном
двигателе с симметричным питанием.

Рис.
3. Схема замещения фазы асинхронного
двигателя

18.
Механічна характеристика АД.(есть в
Чиликине -74стр.)

Асинхронные
двигатели в силу ряда достоинств
(относительная дешевизна, высокие
энергетические показатели, простота
обслуживания) являются наиболее
распространенными среди всех электрических
машин. В количественном отношении
они составляют около 90 % всего парка
машин в народном хозяйстве, а по
установленной мощности – около 55 %.[1]

В
настоящее время самым распространённым
двигателем промышленных электроприводов
является трёхфазный асинхронный
двигатель с короткозамкнутым ротором.
Про него можно сказать, что он является
самым простым, самым надёжным и самым
дешёвым электродвигателем в широком
диапазоне частоты вращения и мощности.
Самым эффективным и самым распространённым
среди глубокорегулируемых асинхронных
электроприводов является частотно-регулируемый
электропривод на основе преобразователя
частоты с промежуточным звеном постоянного
тока.

Применение
частотно-регулируемого асинхронного
электропривода в механизмах
подъемно-транспортного оборудования
является эффективным методом повышения
технологичности производства.
Использование таких приводов позволяет:

1)
значительно (до 40 %) снизить энергопотребление
крана, что особенно актуально при
постоянно растущих тарифах на
энергоносители;

2)
осуществить разгон и торможение двигателя
плавно, по линейному закону от времени,
при варьировании временем разгона и
временем торможения от долей секунды
до 50 мин;

3)
повысить комфортные показатели при
движении крана и долговечность
механического оборудования благодаря
плавности переходных процессов;

4)
защитить двигатель от перегрузок по
току, перегрева, утечек на землю и от
обрывов в цепях питания двигателей;

5)
снизить эксплуатационные расходы на
капитальный ремонт оборудования за
счет значительного снижения динамических
нагрузок в элементах кинематической
цепи;

6)
изменять скорости и ускорения движения
механизмов крана применительно к
конкретным технологическим задачам.

Эффективность
и экономичность таких электроприводов
в значительной степени зависит от
правильности выбора номинальных
параметров их основных элементов, т.е.
двигателя и преобразователя частоты[2].

Принцип
действия асинхронной машины в самом
общем виде состоит в следующем: один из
элементов машины – статор используется
для создания движущегося с определенной
скоростью магнитного поля, а в замкнутых
проводящих пассивных контурах другого
элемента – ротора наводятся ЭДС,
вызывающие протекание токов и образование
сил (моменты) при их взаимодействии с
магнитным полем. Все эти явления имеют
место при несинхронном (асинхронном)
движении ротора относительно поля, что
и дало машинам такого типа название –
асинхронные[3][10].

Статор
обычно выполнен в виде нескольких,
расположенных в пазах, катушек, а ротор
– в виде «беличьей клетки» (короткозамкнутый
ротор) или в виде нескольких катушек
(фазный ротор), которые соединены между
собой, выведены на кольца, расположенные
на валу, и, с помощью скользящих по ним
щеток, могут быть замкнуты на внешние
резисторы.

Несмотря
на простоту физических явлений и
материализующих их конструктивов полное
математическое описание процессов в
асинхронной машине весьма сложно.

В
общем случае для машины, имеющей р пар
полюсов (р = 1,2,3…), синхронная угловая
скорость 0, рад/с, т.е. скорость поля,
определится как

;

                    (4.11)

для
частоты вращения n0, об/мин, будем иметь:

,
(4.12)

т.е.
при питании от сети f1 = 50 Гц синхронная
частота вращения может быть 3000, 1500, 1000,
750, 600… об/мин в зависимости от конструкции
машины (числа пар полюсов р).

Выражения
(4.11) и (4.12) имеют принципиальный характер:
они показывают, что для данной машины
имеется лишь одна возможность изменять
скорость поля – изменять частоту
источника питания f1.

При
нагружении вала   0 отличие скоростей
 и 0 принято характеризовать
скольжением:

,
(4.13)

Асинхронный
электропривод, как и электропривод
постоянного тока, может работать в
двигательном и трёх тормозных режимах
с таким же, как в электроприводе
постоянного тока, распределением потоков
энергии (рис. 4.7).

Рис.
4.7. Механическая характеристика
асинхронной машины

Как
следует из рис. 4.7, по мере увеличении
момента сопротивления увеличивается
скольжение машины и развиваемый момент.
При некотором критическом значении
скольжения sКР, момент двигателя достигает
максимального (или критического) значения
– МКР. Жёсткость механической
характеристики асинхронных двигателей
переменна: на рабочем участке s = 0…sКР:
b < 0, а при ½s½>½sКР½ – положительна:
b < 0.

Специфическим
является режим динамического торможения,
которое представляет собою генераторный
режим отключенного от сети переменного
тока асинхронного двигателя, к статору
которого подведен постоянный ток Iп.
Этот режим применяется в ряде случаев,
когда после отключения двигателя от
сети требуется его быстрая остановка
без реверса.

Постоянный
ток, подводимый к обмотке статора,
образует неподвижное в пространстве
поле. При вращении ротора в его обмотке
наводится переменная эдс, под действием
которой протекает переменный ток. Этот
ток создает также неподвижное поле.

Складываясь,
поля статора и ротора образуют
результирующее поле, которое при
взаимодействии с током ротора создает
тормозной момент. Энергия, поступающая
с вала двигателя, рассеивается при этом
в сопротивлениях роторной цепи.

На
шильдике или в паспорте асинхронного
двигателя обычно указаны номинальные
линейные напряжения при соединении
обмоток в «звезду» и «треугольник»:
;
токи;
частота f1н; мощность на валу Рн; частота
вращения при номинальном моменте ωн
(nн); кпд – hн, cos jн.

Для
двигателей с короткозамкнутым ротором
в каталоге приводятся кратности пускового
тока:
;
пускового момента:;
критического момента:.
Следует иметь в виду, что данных,
приводимых в каталоге, недостаточно,
чтобы определить по ним параметры схемы
замещения и пользоваться ей при всех
расчетах, однако по каталожным данным
можно построить естественную
электромеханическую и механическую
характеристики, воспользовавшись
уравнением приближённой механической
характеристики[4].

Приближенное
уравнение механической характеристики
асинхронного двигателя (формула Клосса)
удовлетворительно воспроизводит
механическую характеристику в области
малых скольжений (от s = 0 до s = sкр)[5].

.
(4.14)

Необходимо
помнить, что на время разгона существенно
влияет вид механической характеристики
в области больших скольжений от s = 1 до
s = sкр, поэтому для определения моментов
при значениях скольжения, которое больше
критического, следует пользоваться
выражением

,
(4.15)

где
b – коэффициент, определяемый следующим
образом. Для пускового момента (s = l)
соотношение (4.14) приобретает следующий
вид:

Критическое
скольжение можно определить по
выражению:

откуда
.

(4.16)

.
(4.17)

Значение
пускового момента Мп можно вычислить
через кратность пускового момента
относительно номинального Мп / Мн,

которая приводится в справочниках
[4].

Используя
выражения (4.14)–(4.16) и паспортные данные
машины можно построить приближённую
механическую характеристику, которая
с достаточной точностью соответствует
реальной характеристике, приведённой
на рис. 4.8.[6]

Пример
построения механической характеристики
асинхронного электродвигателя обычного
исполнения с использованием соотношений
(4.14)–(4.17) приведен в подразд. 5.2 и прил.
1.

Двигатели
с повышенным скольжением предназначены
для привода механизмов с высоким
коэффициентом инерции, механизмов с
неравномерной пульсирующей нагрузкой
и механизмов с частыми пусками.
Двигатели отличаются от базовых
обмоткой короткозамкнутого ротора,
которая выполняется из сплава
повышенного сопротивления. Механическая
характеристика имеет вид, показанный
на рис. 4.9.[7]

Технические
данные двигателей с повышенным
скольжением приведены в [4]. Уровень
шума двигателей не превышает значений,
установленных для базовых двигателей
соответствующего габарита и частоты
вращения[8].

Электромеханическую
характеристику асинхронного
электродвигателя можно построить,
воспользовавшись несколькими опорными
точками (рис. 4.10).

При
номинальном моменте и, соответственно,
номинальной частоте вращения машина
потребляет из сети номинальный ток:

.
(4.18)

В
серийных машинах при U = Uн и f1 = fн, т.е.
при номинальном магнитном потоке, ток
холостого хода I10 составляет обычно
30…40 % от номинального тока статора
Iн:

.
(4.19)

Ток,
потребляемый машиной при критическом
скольжении:

.
(4.20)

Ток
при заторможенном роторе (в начальный
момент пуска) определяется по паспортной
характеристике – кратности пускового
тока:

.
(4.21)

19.Регулювання
швидкості обертання АД.

Частота
вращения асинхронного двигателя

n
= n1 (1 – s) = (60f1/p) (1-s) (85)

Из
этого выражения видно, что ее можно
регулировать, изменяя частоту f1 питающего
напряжения, число пар полюсов р и

Рис.
266. Схема переключения катушек обмотки
статора (одной фазы) для изменения числа
полюсов: а — при четырех полюсах; б —
при двух полюсах

скольжение
s. Последнее при заданных значениях
момента на валу Мвн и частоты f1 можно
изменять путем включения в цепь обмотки
ротора реостата.

Регулирование
путем изменения частоты питающего
напряжения. Этот способ требует наличия
преобразователя частоты, к которому
должен быть подключен асинхронный
двигатель. На основе управляемых
полупроводниковых вентилей (тиристоров)
созданы статические преобразователи
частоты и построен ряд опытных электровозов
и тепловозов с асинхронными двигателями,
частота вращения которых регулируется
путем изменения частоты питающего
напряжения. Такой способ регулирования
частоты вращения ротора асинхронного
двигателя является весьма перспективным.

Регулирование
путем изменения числа пар полюсов.
Этот способ позволяет получить ступенчатое
изменение частоты вращения. Для этой
цели отдельные катушки 1, 2 и 3, 4, составляющие
одну фазу (рис. 266), переключаются так,
чтобы изменялось соответствующим
образом направление тока в них (например,
с последовательного согласного соединения
на встречное). При согласном включении
катушек (рис. 266, а) число полюсов равно
четырем, при встречном включении (рис.
266, б) — двум. Катушки двух других фаз,
сдвинутые в пространстве на 120°,
соединяются таким же образом. Такое же
уменьшение числа полюсов можно осуществить
при переключении катушек с последовательного
на параллельное соединение. При изменении
числа полюсов изменяется частота
вращения n₁
магнитного поля двигателя, а следовательно,
и частота вращения n его ротора. Если
нужно иметь три или четыре частоты
вращения n₁,
то на статоре располагают еще одну
обмотку, при переключении которой можно
получить еще две частоты. Существуют
двигатели, которые обеспечивают изменение
частоты вращения n₁
при постоянном наибольшем моменте или
при приблизительно постоянной мощности
(рис. 267).

В
асинхронном двигателе число полюсов
ротора должно быть равно числу полюсов
статора. В короткозамкнутом роторе это
условие выполняется автоматически и
при переключении обмотки статора никаких
изменений в обмотке ротора выполнять
не требуется.

Рис.
267. Механические характеристики
двухскоростных асинхронных двигателей
с постоянным наибольшим моментом (а) и
постоянной мощностью (б)

Рис.
268. Механические характеристики
асинхронного двигателя при регулировании
частоты вращения путем включения
реостата в цепь обмотки ротора

Рис.
269. Схемы подключения асинхронного
двигателя к сети при изменении направления
его вращения

В
двигателе же с фазным ротором в этом
случае надо было бы изменять число
полюсов обмотки ротора, что сильно
усложнило бы его конструкцию, поэтому
такой способ регулирования частоты
вращения используется только в двигателях
с коротко-замкнутым ротором. Такие
двигатели имеют большие габаритные
размеры и массу по сравнению с двигателями
общего применения, а следовательно, и
большую стоимость. Кроме того, регулирование
осуществляется большими ступенями; при
частоте f₁
= 50 Гц частота вращения поля n₁
при переключениях изменяется в отношении
3000:1500:1000:750.

Регулирование
путем включения в цепь ротора реостата.
При включении в цепь обмотки ротора
реостата с различным сопротивлением
(R_п4,
R_пЗ,
R_п2
и т. д.) получаем ряд реостатных механических
характеристик 4, 3 и 2 двигателя. При этом
некоторому нагрузочному моменту М_ном
(рис. 268) будут соответствовать меньшие
частоты вращения n₄,
n₃,
n₂
и т. д., чем частота n_е
при работе двигателя на естественной
характеристике 1 (при R_п
= 0). Это способ регулирования может быть
использован только для двигателей с
фазным ротором. Он позволяет плавно
изменять частоту вращения в широких
пределах. Недостатками его являются
большие потери энергии в регулировочном
реостате, поэтому его используют только
при кратковременных режимах работы
двигателя (при пуске и пр.).

Изменение
направления вращения. Для
изменения направления вращения двигателя
нужно изменить направление вращения
магнитного поля, создаваемого обмотками
статора. Это достигается изменением
порядка чередования тока в фазах обмотки
статора. Например, если максимумы токов
поступают в фазы обмотки статора 1 (рис.
269, а) в следующем порядке: фаза А — фаза
В — фаза С, то ротор 2 двигателя будет
вращаться по часовой стрелке. Если же
подавать их в такой последовательности:
фаза В — фаза А — фаза С, то ротор начнет
вращаться против часовой стрелки. Для
этой цели необходимо изменить схему
соединения обмоток статора с сетью,
переключив две любые фазы (провода).
Например, зажим А обмотки статора,
который ранее был соединен с линейным
проводом Л1, нужно переключить на провод
Л2, а зажим В этой обмотки, соединенный
ранее с Л2, переключить на провод Л1 (рис.
269,б). Такое переключение можно осуществить
обычным переключателем.

ИЛИ
ВОТ ЭТОТ ВАРИАНТ

Регулирование
скорости асинхронного двигателя

Наиболее
распространены следующие способы
регулирования скорости асинхронного
двигателя: изменение
дополнительного сопротивления цепи
ротора, изменение напряжения, подводимого
к обмотке статора, двигателя изменение
частоты питающего напряжения, а также
переключение числа пар полюсов.

Регулирование
частоты вращения асинхронного двигателя
путем введения резисторов в цепь
ротора

Введение
резисторов
в цепь ротора приводит к увеличению
потерь мощности и снижению частоты
вращения ротора двигателя за счет
увеличения скольжения, поскольку n =
nо (1 — s).

Из
рис. 1 следует, что при увеличении
сопротивления в цепи ротора при том
же моменте частота вращения вала
двигателя уменьшается.

Жесткость
механических
характеристик значительно
снижается с уменьшением частоты
вращения, что ограничивает диапазон
регулирования до (2 — 3) : 1. Недостатком
этого способа являются значительные
потери энергии, которые пропорциональны
скольжению. Такое регулирование
возможно только для двигателя
с фазным ротором.

Регулирование
частоты вращения асинхронного двигателя
изменением напряжения на статоре

Изменение
напряжения, подводимого к обмотке
статора асинхронного двигателя,
позволяет регулировать скорость с
помощью относительно простых технических
средств и схем управления. Для этого
между сетью переменного тока со
стандартным напряжением U1ном
и статором электродвигателя включается
регулятор напряжения.

При
регулировании частоты вращения
асинхронного
двигателя изменением
напряжения, подводимого к обмотке
статора, критический момент Мкр
асинхронного двигателя изменяется
пропорционально квадрату подводимого
к двигателю напряжения Uрет
(рис. 3), а скольжение от Uрег
не зависит.

Рис.
1. Механические характеристики
асинхронного двигателя с фазным
ротором при различных сопротивлениях
резисторов, включенных в цепь ротора

Рис.
2. Схема регулирования скорости
асинхронного двигателя путем изменения
напряжения на статоре

Рис.
3. Механические характеристики
асинхронного двигателя при изменении
напряжения подводимого к обмоткам
статора

Если
момент сопротивления рабочей машины
больше пускового момента электродвигателя
(Мс > Мпуск), то двигатель не будет
вращаться, поэтому необходимо запустить
его при номинальном напряжении 17ном
или на холостом ходу.

Регулировать
частоту вращения короткозамкнутых
асинхронных двигателей таким способом
можно только при вентиляторном
характере нагрузки. Кроме того, должны
использоваться специальные
электродвигатели с повышенным
скольжением. Диапазон регулирования
небольшой, до nкр.

Для
изменения напряжения применяют
трехфазные
автотрансформаторы и
тиристорные регуляторы напряжения.

Рис.
4. Схема замкнутой системы регулирования
скорости тиристорный регулятор
напряжения — асинхронный двигатель
(ТРН — АД)

Замкнутая
схема управления асинхронным двигателем,
выполненным по схеме тиристорный
регулятор напряжения — электродвигатель
позволяет регулировать скорость
асинхронного двигателя с повышенным
скольжением (такие двигатели применяются
в вентиляционных установках).

Регулирование
частоты вращения асинхронного двигателя
изменением частоты питающего напряжения

Так
как частота вращения магнитного поля
статора nо
= 60f/р,
то регулирование частоты вращения
асинхронного двигателя можно производить
изменением частоты питающего напряжения.

Принцип
частотного метода
регулирования скорости асинхронного
двигателя заключается
в том, что, изменяя частоту питающего
напряжения, можно в соответствии с
выражением при неизменном числе пар
полюсов р изменять угловую скорость
nо
магнитного поля статора.

Этот
способ обеспечивает плавное регулирование
скорости в широком диапазоне, а
механические характеристики обладают
высокой жесткостью.

Для
получения высоких энергетических
показателей асинхронных двигателей
(коэффициентов мощности, полезного
действия, перегрузочной способности)
необходимо одновременно с частотой
изменять и подводимое напряжение.
Закон изменения напряжения зависит
от характера момента нагрузки Мс. При
постоянном моменте нагрузки напряжение
на статоре должно регулироваться
пропорционально частоте.

Схема
частотного электропривода приведена
на рис. 5, а механические характеристики
АД при частотном регулировании — на
рис. 6.

Рис.
5. Схема частотного электропривода

Рис.
6. Механические характеристики
асинхронного двигателя при частотном
регулировании

С
уменьшением частоты f критический
момент несколько уменьшается в области
малых частот вращения. Это объясняется
возрастанием влияния активного
сопротивления обмотки статора при
одновременном снижении частоты и
напряжения.

Частотное
регулирование скорости асинхронного
двигателя позволяет изменять частоту
вращения в диапазоне (20 — 30) : 1. Частотный
способ является наиболее перспективным
для регулирования асинхронного
двигателя с короткозамкнутым ротором.
Потери мощности при таком регулировании
невелики, поскольку минимальны потери
скольжения.

Большинство
современных преобразователей
частоты построено по
схеме двойного преобразования. Они
состоят из следующих основных частей:
звена постоянного тока (неуправляемого
выпрямителя), силового импульсного
инвертора и системы управления.

Звено
постоянного тока состоит из неуправляемого
выпрямителя и фильтра. Переменное
напряжение питающей сети преобразуется
в нем в напряжение постоянного тока.

Силовой
трехфазный импульсный инвертор
содержит шесть транзисторных ключей.
Каждая обмотка электродвигателя
подключается через соответствующий
ключ к положительному и отрицательному
выводам выпрямителя. Инвертор
осуществляет преобразование
выпрямленного напряжения в трехфазное
переменное напряжение нужной частоты
и амплитуды, которое прикладывается
к обмоткам статора электродвигателя.

В
выходных каскадах инвертора в качестве
ключей используются силовые
IGBT-транзисторы.
По сравнению с тиристорами они имеют
более высокую частоту переключения,
что позволяет вырабатывать выходной
сигнал синусоидальной формы с
минимальными искажениями. Регулирование
выходной частоты Iвых
и выходного напряжения осуществляется
за счет высокочастотной широтно-импульсной
модуляции.

Регулирование
частоты вращения асинхронного двигателя
переключение числа пар полюсов

Ступенчатое
регулирование скорости можно
осуществить, используя специальные
многоскоростные
асинхронные двигатели с короткозамкнутым
ротором.

Из
выражения nо
= 60f/р
следует, что при изменении числа пар
полюсов р получаются механические
характеристики с разной частотой
вращения nо
магнитного поля статора. Так как
значение р определяется целыми числами,
то переход от одной характеристики к
другой в процессе регулирования носит
ступенчатый характер.

Существует
два способа изменения числа пар
полюсов. В первом случае в пазы статора
укладывают две обмотки с разным числом
полюсов. При изменении скорости к сети
подключается одна из обмоток. Во втором
случае обмотку каждой фазы составляют
из двух частей, которые соединяют
параллельно или последовательно. При
этом число пар полюсов изменяется в
два раза.

Рис.
7. Схемы переключения обмоток асинхронного
двигателя: а — с одинарной звезды на
двойную; б — с треугольника на двойную
звезду

Регулирование
скорости путем изменения числа пар
полюсов экономично, а механические
характеристики сохраняют жесткость.
Недостатком этого способа является
ступенчатый характер изменения частоты
вращения асинхронного двигателя с
короткозамкнутым ротором. Выпускаются
двухскоростные двигатели с числом
полюсов 4/2, 8/4, 12/6. Четырехскоростной
электродвигатель с полюсами 12/8/6/4
имеет две переключаемые обмотки.

Использованы
материалы книги Дайнеко В.А., Ковалинский
А.И. Электрооборудование сельскохозяйственных
предприятий.

20.Механічні

характеристики
АД в гальмівних режимах.(Есть в
Чиликине-82стр.)

Асинхронный
двигатель может работать в следующих
тормозных режимах: в режиме рекуперативного
торможения, противовключения и
динамическом.

Рекуперативное
торможение асинхронного двигателя

Режим
рекуперативного торможения осуществляется
в том случае, когда скорость ротора
асинхронного двигателя превышает
синхронную.

Режим
рекуперативного торможения практически
применяется для двигателей с переключением
полюсов и в приводах грузоподъемных
машин (подъемники, экскаваторы и т.п.).

При
переходе в генераторный режим вследствие
изменения знака момента меняет знак
активная составляющая тока ротора. В
этом случае асинхронный
двигатель отдает активную
мощность (энергию) в сеть и потребляет
из сети реактивную мощность (энергию),
необходимую для возбуждения. Такой
режим возникает, например, при торможении
(переходе) двухскоростного двигателя
с высокой на низкую скорость, как показано
на рис. 1 а.

Рис.
1. Торможение асинхронного двигателя в
основной схеме включения: а) с рекуперацией
энергии в сеть; б) противовключением

Предположим,
что в исходном положении двигатель
работал на характеристике 1 и в точке
а, вращаясь со скоростью ωуст1. При
увеличении числа пар полюсов двигатель
переходит на характеристику 2, участок
бс которой соответствует торможению с
рекуперацией энергии в сеть.

Этот
же вид торможения может быть реализован
в системе преобразователь
частоты – двигатель при
останове асинхронного двигателя или
при переходе с характеристики на
характеристику. Для этого осуществляется
уменьшение частоты выходного напряжения,
а тем самым синхронной скорости ωо = 2πf
/ p.

В
силу механической инерции текущая
скорость двигателя ω будет изменяться
медленнее чем синхронная скорость ωо,
и будет постоянно превышать скорость
магнитного поля. За счет этого и возникает
режим торможения с
отдачей энергии в сеть.

Рекуперативное
торможение также может быть реализовано
в электроприводе
грузоподъемных машин при
спуске грузов. Для этого двигатель
включается в направлении спуска груза
(характеристика 2 рис. 1 б).

После
окончания торможения он будет работать
в точке со скоростью –ωуст2. При этом
осуществляется процесс спуска груза с
отдачей энергии в сеть.

Рекуперативное
торможение является наиболее экономичным
видом торможения.

Торможение
асинхронного электродвигателя
противовключением

Перевод
асинхронного двигателя в режим торможения
противовключением может быть выполнен
двумя путями. Один из них связан с
изменением чередования двух фаз питающего
электродвигатель напряжения.

Допустим,
что двигатель работает на характеристике
1 (рис. 1 б) при чередовании фаз напряжения
АВС. Тогда при переключении двух фаз
(например, В и С) он переходит на
характеристику 2, участок аб которой
соответствует торможению противовключением.

Обратим
внимание на то обстоятельство, что при
противовключении скольжение
асинхронного двигателя
изменяется от S = 2 до S = 1.

Ротор
при этом вращается против направления
движения поля и постоянно замедляется.
Когда скорость спадает до нуля, двигатель
должен быть отключен от сети, иначе он
может перейти в двигательный режим,
причем ротор его будет вращаться в
направлении, обратном предыдущему.

При
торможении противовключением токи в
обмотке двигателя могут в 7–8 раз
превышать соответствующие номинальные
токи. Заметно уменьшается коэффициент
мощности двигателя. О КПД в данном случае
говорить не приходится, т.к. и преобразуемая
в электрическую механическая энергия
и энергия, потребляемая из сети,
рассеиваются в активном сопротивлении
ротора, и полезно используемой энергии
в данном случае нет.

Короткозамкнутые
двигатели кратковременно перегружаются
по току. Правда, у них при (S > 1) вследствие
явления вытеснения тока заметно
возрастает активное сопротивление
ротора. Это приводит к уменьшению и
увеличению момента.

С
целью увеличения эффективности торможения
двигателей с фазным ротором в цепи их
роторов вводят добавочные сопротивления,
что позволяет ограничить токи в обмотках
и увеличить момент.

Другой
путь торможения противовключением
может быть использован при активном
характере момента нагрузки, который
создается, например, на валу двигателя
грузоподъемного механизма.

Допустим,
что требуется осуществить спуск груза,
обеспечивая его торможение с помощью
асинхронного двигателя. Для этого
двигатель путем включения в цепь ротора
добавочного резистора (сопротивления)
переводится на искусственную характеристику
(прямая 3 на рис. 1).

Вследствие
превышения моментом нагрузки Мс пускового
момента Мп двигателя и его активного
характера груз может опускаться с
установившейся скоростью –ωуст2. В этом
режиме торможение скольжения асинхронного
двигателя может изменяться от S = 1 до S
= 2.

Динамическое
торможение асинхронного двигателя

Для
динамического торможения обмотки
статора двигатель отключают от сети
переменного тока и подключают к источнику
постоянного тока, как это показано на
рис. 2. Обмотка ротора при этом может
быть закорочена, или в ее цепь включаются
добавочные резисторы с сопротивлением
R2д.

Рис.
2. Схема динамического торможения
асинхронного двигателя (а) и схема
включения обмоток статора (б)

Постоянный
ток Iп, значение которого может
регулироваться резистором 2, протекает
по обмоткам статора и создает относительно
статора неподвижное магнитное поле.
При вращении ротора в нем наводится
ЭДС, частота которой пропорциональна
скорости. Эта ЭДС, в свою очередь, вызывает
появление тока в замкнутом контуре
обмотки ротора, который создает магнитный
поток, также неподвижный относительно
статора.

Взаимодействие
тока ротора с результирующим магнитным
полем асинхронного двигателя создает
тормозной момент, за счет которого
достигается эффект торможения. Двигатель
в этом случае работает в режиме генератора
независимо от сети переменного тока,
преобразовывая кинетическую энергию
движущихся частей электропривода и
рабочей машины в электрическую, которая
рассеивается в виде тепла в цепи ротора.

На
рисунке 2 б показана наиболее
распространенная схема включения
обмоток статора при динамическом
торможении. Система возбуждения двигателя
в этом режиме является несимметричной.

Для
проведения анализа работы асинхронного
двигателя в режиме динамического
торможения несимметричную систему
возбуждения заменяют симметричной. С
этой целью принимается допущение, что
статор питается не постоянным током
Iп, а некоторым эквивалентным трехфазным
переменным током, создающим такую же
МДС (магнитодвижущую силу), что и
постоянный ток.

Электромеханическая
и механические характеристики представлены
на рис. 3.

Рис.
3. Электромеханическая и механические
характеристики асинхронного двигателя

Характеристика
расположена на рисунке в первом квадранте
I, где s
= ω
/ ωo
– скольжение асинхронного двигателя
в режиме динамического торможения.
Механические характеристики двигателя
расположены во втором квадранте II.

Различные
искусственные характеристики асинхронного
двигателя в режиме динамического
торможения можно получить, изменяя
сопротивление R2д
добавочных резисторов 3 (рис. 2) в цепи
ротора или постоянный ток Iп,
подаваемый в обмотки статора.

Варьируя
значения R2д
и Iп,
можно получить желаемый вид механических
характеристик асинхронного двигателя
в режиме динамического торможения и,
тем самым, соответствующую интенсивность
торможения асинхронного электропривода.

21.Класифікація
засобів живлення електричною енергією.

Источник

Вычисление моментов инерции

Моменты инерции материальной кривой

Моментом инерции материальной точки относительно оси ell называется число md^2 , где — масса точки, а — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.

Пусть Gamma — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине dell , а момент инерции dell_x такого участка относительно оси абсцисс равен y^2,dell . Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:

$I_x=intlimits_{0}^{ell} y^2,dell$ . Так же доказывается, что $I_y= intlimits_{0}^{ell} x^2,dell$ и $I_0=intlimits_{0}^{ell} bigl(x^2+y^2bigr)dell$ ,

где I_0 — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что I_0=I_x+I_y .

Если линия Gamma задана параметрическими уравнениями $begin{cases} x=varphi(t),\ y=psi(t),end{cases} 0 leqslant t leqslant ell$ , то

$I_x=intlimits_{0}^{ell} psi^2(t)sqrt{bigl( varphi'(t)bigr)^2+ bigl(psi'(t)bigr)^2},dt,.$

Аналогичные формулы справедливы для I_y и I_0:

$I_y=intlimits_{0}^{ell} varphi^2(t)sqrt{bigl( varphi'(t)bigr)^2+ bigl(psi'(t)bigr)^2},dt,;qquad I_0=intlimits_{0}^{ell} bigl(varphi^2(t)+psi^2(t)bigr)sqrt{bigl( varphi'(t)bigr)^2+ bigl(psi'(t)bigr)^2},dt,$

Моменты инерции криволинейной трапеции

Перейдем к вычислению моментов инерции криволинейной трапеции. Будем считать, что ее поверхностная плотность равна единице. Сначала найдем момент инерции прямоугольника со сторонами и ell относительно стороны . Разобьем его на элементарные прямоугольники со сторонами и (см. рис. 61). Площадь (а потому и масса) каждого такого прямоугольника равна k,dy . Значит, момент инерции элементарного прямоугольника относительно стороны равен ky^2,dy , а момент инерции всего прямоугольника относительно этой стороны выражается формулой

$intlimits_{0}^{ell} ky^2,dy= left.{frac{k}{3},y^3}right|_{0}^{ell}= frac{kell^2}{3},.$

Криволинейную трапецию разобьем на элементарные прямоугольники со сторонами |y| и . Момент инерции каждого из этих прямоугольников относительно оси абсцисс выражается формулой $frac{|y|^3}{3},dx= frac{|y|y^2}{3},dx$ . Интегрируя, получаем момент инерции всей криволинейной трапеции относительно оси абсцисс:

$I_x=frac{1}{3} intlimits_{a}^{b} |y|y^2,dx,.$

Аналогично доказывается, что момент инерции криволинейной трапеции относительно оси ординат выражается формулой

$I_y= intlimits_{a}^{b} |y|x^2,dx$

(момент инерции элементарного прямоугольника относительно оси ординат равен x^2|y|,dx ).

Полярный момент инерции (т. е. момент относительно начала координат) в этом случае выражается формулой

$I_0= intlimits_{a}^{b} |y|! left(x^2+frac{1}{3},y^2right)!dx,.$

Пример 9. Вычислить момент инерции равнобедренного треугольника относительно его основания.

Решение. Расположим оси координат так, как показано на рисунке 65.

Чертёж равнобедренного треугольника на плоскости

Пусть основание треугольника |AC|=b , высота |BO|=h . Прямая (BC) проходит через точки B(0;h) и $C! left(frac{b}{2}; 0right)$ . Ее уравнение $frac{x-0}{b/2-0}= frac{y-h}{0-h}$ , то есть $y=frac{h}{b}(b-2x)$ .

Ясно, что момент инерции I_x треугольника ABC относительно оси равен удвоенному моменту инерции треугольника BOC относительно той же оси. Значит,

$I_x=frac{2}{3} intlimits_{0}^{b/2} y^3,dx= frac{2}{3} intlimits_{0}^{b/2} frac{h^3}{b^3}(b-2x)^3,dx= left.{frac{2h^3}{3b^3cdot 4(-2)}(b-2x)^4}right|_{0}^{b/2}= frac{bh^3}{12},.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник