Как найти момент инерции кольца относительно оси

Вычислим
моменты инерции некоторых простых тел.
Найдем момент инерции однородного
тонкостенного полого цилиндра (кольца)
(см. рис. 1.55) массой m
и радиусом R относительно
перпендикулярной плоскости кольца оси
симметрии. Разобьем кольцо на элементарные
массы dm. По определению
момент инерции
. Ввиду малой
толщины стенок цилиндра, можно считать,
что все элементарные массы находятся
на одинаковом расстоянии R
от оси
. То есть, r
= R = const.,
тогда
. Так как
есть масса
кольца, следовательно, момент инерции
кольца относительно оси, перпендикулярной
к его плоскости и проходящей через центр
масс

Рис.
1.55

_{I
= mR2.}

1.8.4.3. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)

Найдем
момент инерции однородного сплошного
цилиндра массой m и
радиусом R относительно
его геометрической оси
. Разобьем
цилиндр на отдельные полые концентрические
цилиндры бесконечно малой толщины
и радиуса
. На рис. 1.56
показан только один такой цилиндр
(выделен темным цветом). Момент инерции
каждого полого цилиндра
, где dm
– масса элементарного цилиндра. Введем
понятие поверхностной плотности массы
цилиндра
, где
– площадь
поверхности основания цилиндра. Тогда
элементарная масса
, где
– площадь
поверхности элементарного кольца, т.
е.
. Момент инерции
сплошного цилиндра

.

Вынесем
за знак
интеграла:

Рис.
1.56

.

Учитывая, что
, получим

.

То есть момент
инерции однородного сплошного цилиндра
массой m и радиусом R
относительно его геометрической оси:

.

Для
полого цилиндра момент инерции равен
, где
R₁
и R₂
– его внешний и внутренний радиусы.

1.8.4.4. Момент инерции однородного стержня

Найдем
момент инерции тонкого однородного
стержня относительно оси
, проходящей
через один из его концов перпендикулярно
продольной геометрической оси симметрии
(см. рис. 1.57). Разобьем стержень на
элементарные массы dm
бесконечно малой длины
, удаленные от
оси вращения на расстояние
. Введем понятие
линейной плотности массы стержня
, где m
– масса стержня, 
– его длина, тогда элементарная масса
, а момент
инерции стержня будет равен

Рис.
1.57.

.

Учитывая, что
, получим момент
инерции однородного стержня относительно
оси
:

.

1.8.4.5. Теорема Штейнера

Как
правило, путем интегрирования легко
вычислить момент инерции I₀
симметричного тела относительно оси,
проходящей через центр масс. Теорема
Штейнера позволяет найти момент инерции
относительно произвольной параллельной
оси. Она формулируется следующим образом:

Момент
инерции относительно произвольной оси
вращения равен сумме момента инерции
тела относительно параллельной оси
вращения, проходящей через центр инерции
тела, и произведения массы этого тела
на квадрат расстояния между осями.

Рис.
1.58.

.

Найдем
момент инерции диска относительно оси,
проходящей через его край перпендикулярно
плоскости диска (рис. 1.58). В этом случае
a =
R и, согласно теореме
Штейнера,

.

Теперь
рассчитаем момент инерции

стержня относительно
оси, проходящей через центр инерции
(середину) стержня. Относительно оси,
проходящей через конец стержня
. Расстояние
между осями
(рис.
1.59). Тогда по теореме Штейнера.
Отсюда
.

Рис.
1.59

Видим,
что в любом случае момент инерции тела
представляется в виде I
= kmr²,
где r – какой-либо
характерный размер тела, а k
– коэффициент пропорциональности,
зависящий от формы тела. Единица измерения
момента инерции – кг∙м².

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти момент инерции трубы или кольца?

Момент инерции трубы (кольца) относительно центральной оси z равен моменту инерции относительно центральной оси y и можно рассчитать по формулам:

l_y =  l_z =  Π^.D⁴ (1-(d/D)⁴)/64 ,

где

l_y  — момент инерции относительно центральной оси y в мм⁴ ;

l_z  — момент инерции относительно центральной оси z в мм⁴ ;

D — наружный диаметр сечения в мм;

d — внутренний диаметр сечения в мм.

Момент сопротивления трубы или кольца (формула и расчет)

Радиус инерции трубы или кольца (формула и расчет)

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.