Как найти момент инерции составного сечения

Для определения
момента инерции составных сечений
выполняют процедуру, которая включает
следующие этапы.

1. Заданную
сложную фигуру поперечного сечения
разбивают на n простейших, для
которых в предыдущем параграфе определены
моменты инерции.

2. Определяют
положение центра тяжести сложного
сечения, используя зависимости:

,

3. Определяют
собственные осевые моменты инерции
отдельных частей сечения относительно
их центральных осей. Наиболее
распространенные формулы вычисления
характеристик сечения для простейших
фигур приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

№	Сечение	Характеристики сечения
1	Прямоугольник	yc = h/2 zc = b/2 F = bh ,
2	Параллелограмм	yc = h/2 F = bh
3	Треугольник	yc = h/3 F = bh/2
4	Круг	F = πr2
5	Полукруг	F = πr2/2 yc = 0,424r Izc = 0,1098r4
6	Четверть круга	F = πr2/4
7	Кольцо	F = π (r12 — r22)
8	Тонкостенное кольцо	F = 2π δ
9	Тонкостенное полукольцо	F = π δ

4. Вычисляют
осевые моменты инерции каждой простейшей
фигуры относительно заданной оси при
помощи зависимостей изменения момента
инерции в случае параллельного переноса
осей:

I_z
i= I_zc
i + y_c
i²
F_i

I_y
i= I_yc
i + z_c
i²
F_i

5.
Вычисляют центробежные моменты инерции
каждой простейшей фигуры относительно
центральных осей составного сечения
I_{zc
yc i}
по формулам, приведенным в таблице 5.2.

6. Алгебраическим
суммированием моментов инерции
простейших фигур определяют осевые
моменты инерции сложного поперечного
сечения относительно заданной оси I_z,
I_y
и центробежный момент инерции относительно
центральной оси I_zc
yc:

I_z=
I_{z i}
, I_y=
I_{y i},
I_zc
yc = 
I_{zc yc i}

7.
Определяют осевые моменты инерции
сложного поперечного сечения относительно
центральных осей I_zc,
I_yc:

I_zc
= I_z
— y_c²
F,
I_yc
= I_y
— z_c²
F

8. Определяют
угол наклона главных центральных осей:

9. Определяют
главные центральные моменты инерции
составного сечения:

Пример 5.2.

Задано
поперечное сечение балки, представленное
на рисунке 5.13.

Определить
координаты центра тяжести y_c,
z_c, моменты
инерции I_y,
I_z,
I_zy,
угол поворота главных центральных осей
α, главные центральные моменты
инерции I_zc,
I_yc.

Рисунок
5.13

Решение.

1. Разбиваем
поперечное сечение на три прямоугольника
(рис. 5.14).

Рисунок
5.14

2. Определим
положение центра тяжести. Вычисления
проводим в форме таблицы 5.3.

Таблица 5.3

Участок	F, м2	y, м	z, м	F y, м3	F z, м3
1	0,015	0,2125	0,3	3,18810-3	4,510-3
2	210-3	0,1	0,3	210-4	6 10-4
3	1,210-3	7,510-3	0,345	910-6	4,14 10-4
Сумма	0,0182			3,39710-3	5,514 10-3

Из таблицы:

3. Вычисляем
осевые моменты инерции в форме таблицы
5.4. Собственные моменты инерции вычисляем
по формулам для прямоугольника:

,
,

Таблица 5.4

Участок	F, м2	y, м	z, м	F y2, м4	F z2, м4	Iyci, м4	Izci, м4
1	0,015	0,2125	0,3	6,77310-4	1,3510-3	4,510-4	7,8110-7
2	210-3	0,1	0,3	210-5	1,810-4	1,6710-8	6,6710-6
3	1,210-3	7,510-3	0,345	6,7510-8	1,42810-4	6,410-7	2,2510-8
Сумма	0,0182			6,97410-4	1,67310-3	4,5110-4	7,4710-6

Из таблицы
осевые моменты инерции относительно
заданных осей z, y:

I_z=
I_zc
+ y_c²
F
=7,47 10^-6 + 6,97410^-4
= 7,04910^-4
м⁴,

I_y=
I_yc
+ z_c²
F
= 4,5110^-4
+ 1,67310^-3
= 2,12410^-3
м⁴.

4. Центробежный
момент инерции относительно центральных
осей z_c
и y_c:

I_yс
zс=0,015(0,3-z_c)(0,2125-y_c)+210^-3(0,3-z_c)(0,1-y_c)+1,210^-3(0,345-z_c)

(7,510^-3—y_c)=
-1,16610^-6+5,19610^-7-9,0210^-6
= -9,67310^-6
м⁴.

5. Используя
формулы для параллельного переноса
осей, определим центральные осевые
моменты инерции сечения:

I_zc
= I_z
— y_c²
F
= 7,04910^-4
– 0,1866² 0,0182
= 7,11810^-5
м⁴,

I_yc
= I_y
— z_c²
F=
2,12410^-3
– 0,303² 0,0182
= 4,53110^-4
м⁴.

6. Определим
главные центральные моменты инерции
сечения:

I₁
= 45,3 10^-5
м⁴,

I₂
= 7,1 10^-5
м⁴

6. Угол наклона главных центральных
осей:

,
откуда

α = -1,45

8. Круг инерции
Мора (рис. 5.15):

Рисунок
5.15

Пример 5.3

На рисунке 5.16
приведено типовое сечение крыла, которое
состоит из двух секций. Обшивка на
верхней и нижней поверхности подкреплена
z-образными стрингерами.
Необходимо определить положение главных
центральных осей и вычислить главные
центральные моменты инерции.

Рисунок
5.16

Решение.

1. Расчетное
сечение представим в виде площадей
сосредоточенных в центрах тяжести
стрингеров, каждое из которых
характеризуется площадью F_i,
которая складывается из площади
стрингера F_стр
i и
эффективной площади обшивки F_обш
i . Также
зададим координаты центров тяжести
стрингеров z_i
и y_i
в выбранной системе координат “z-y”
(рис. 5.17)

Рисунок
5.17

Геометрические
характеристики представлены в таблице
5.5.

В таблице
также приведены результаты расчетов
осевых моментов инерции I_z,
I_y
и центробежного момента I_zy.

Таблица 5.5

№	Fi, мм2	yi, мм	zi, мм	Fi yi мм3	Fi yi2 мм4	Fi zi мм3	Fi zi2 мм4	Fiziyi мм4
1	87,5	100	-828,8	0	0	0	0	0
2	87,5	150	-732	0	0	0	0	0
3	237,5	175	-621,2	0	0	0	0	0
4	106,2	184,2	-529,5	0	0	0	0	0
5	106,2	188,8	-415	0	0	0	0	0
6	106,2	187,5	-315	0	0	0	0	0
7	106,2	182,5	-215	0	0	0	0	0
8	106,2	172,5	-100	0	0	0	0	0
9	181,2	162,5	-8,8	0	0	0	0	0
10	106,2	-82,5	-831,2	0	0	0	0	0
11	106,2	-122,5	-657	0	0	0	0	0
12	175	-148,8	-621,2	0	0	0	0	0
13	193,8	-185	-467,5	0	0	0	0	0
14	193,8	-203,2	-310,5	0	0	0	0	0
15	193,8	-215,5	-152,5	0	0	0	0	0
16	218,8	-221,8	-8,8	0	0	0	0	0
	0			0	0	0	0	0

2. Определим
положение центра тяжести, используя
данные таблицы 5.5.

3. Из таблицы
осевые моменты инерции относительно
заданных осей z, y:

I_z=73311837
мм⁴,

I_y=
515535527,9
мм⁴.

Центробежный
момент инерции относительно осей z
и y:

I_yz=
-6097010,3 мм⁴.

4. Используя
формулы для параллельного переноса
осей, определим центральные моменты
инерции сечения I_zc,
I_yc,
I_yc
zc:

I_zc
= I_z
— y_c²
F
= 73311837 – 10,04² 2312,3
= 7,310^-5
м⁴,

I_yc
= I_y
— z_c²
F=
515535527,9 – (-389,9)²
2312,3
= 1,6410^-4
м⁴,

I_yczc=
I_zy
— z_c
y_c
F=
-6097010,3 – ((-389,9) (-10,04)2312,3)
= -1,5110^-5
м⁴.

5. Угол наклона
главных центральных осей:

,
откуда

α = -9,13

6. Определим
главные центральные моменты инерции
сечения:

I₁
= 16,64 10^-5
мм⁴, I₂
= 7,06 10^-5
мм⁴.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В этом уроке посмотрим, как определяются осевые моменты инерции для сложного сечения (состоящего из простых фигур).

Условие задачи

В качестве примера возьмём симметричное сечение, имеющее две оси симметрии:

Определение положения центра тяжести

Первым делом, необходимо определить положение центра тяжести сечения. Как это делается, можешь посмотреть в отдельном уроке, перейдя по указанной ссылке. Здесь же, я приведу только расчёт.

Подготовим сечение к расчёту:

• разобьём сечение на простейшие фигуры;
• обозначим центры тяжести отдельных фигур;
• введём вспомогательные координатные оси (y₀, x₀).

Площадь сечения

Используя эту страничку, найдём площади отдельных фигур:

Расстояния от центров тяжести отдельных фигур до вспомогательных осей

Статические моменты

Координаты центра тяжести

Покажем центр тяжести всего сечения:

Как видишь, центр тяжести находится ровно посередине сечения. Это свойство симметричного сечения. У такого сечения, которое имеет две оси симметрии, центр тяжести находится на пересечении этих осей. Поэтому для симметричного сечения можно и НЕ рассчитывать положение центра тяжести.

Расчёт осевых моментов инерции

Для выполнения дальнейшего расчёта следует обозначить центральные оси для всего сечения (x, y), а также собственные оси для каждой отдельной фигуры, которые формируют сечение:

Как определить моменты инерции относительно центральных осей?

Осевые моменты инерции (I_x, I_y) относительно центральных осей (x, y) можно определить по следующим формулам:

где I_xi, I_yi – моменты инерции отдельных фигур относительно собственных осей;

A_i – площади отдельных фигур;

y_ci, x_ci – расстояния от центров тяжести отдельных фигур до соответствующей центральной оси.

Определение моментов инерции для каждой фигуры

Определим осевые моменты инерции каждой отдельной фигуры, пользуясь справочной информацией:

Определение расстояний от центров тяжести каждой фигуры до центральных осей

Определение моментов инерции относительно центральных осей

Другие уроки, на проекте – ssopromat.ru, по расчёту геометрических характеристик можно найти здесь.

Обратите внимание, на этом сайте есть онлайн-сервис для вычисления центра тяжести и моментов инерции составных сечений, которые состоят из прокатных профилей (двутавр, уголок и т.д.) и из простых фигур.

Часто при расчете элементов строительных конструкций приходится определять геометрические характеристики профилей, составленных из элементарных геометрических фигур (прямоугольник, круг и т.п.) и прокатных профилей. Рассмотрим подробно пример расчета.

Необходимо определить геометрические характеристики составного сечения (рис.), который состоит из уголка 20/12,5/1,2, уголка 14/1 и прямоугольника 20х2см.

Определение собственных характеристик отдельных профилей – составляющих сечения

Собственные характеристики прокатных профилей определяются из сортамента.

Для неравнополочного уголка 20/12,5/1,2:

– высота и ширина уголка h = 20 см, b = 12,5 см;

– площадь $A$= 37,9 см2;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x}$=1570 см4, ${I_y}$= 482 см4;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=505 см4;

– координаты центра тяжести ${x_c}$= 2,83 см, ${y_c}$= 6,51 см.

Для равнополочного уголка 14/1:

– высота и ширина уголка h = b = 14 см;

– площадь $A$= 27,3 см2;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x}$= ${I_y}$= 512 см4;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=301 см4;

– координаты центра тяжести ${x_c}$= ${y_c}$= 3,82 см.

Для прямоугольника 20х2см:

– высота и ширина прямоугольника h = 20 см, b = 2 см;

– площадь $A$= 20∙2 = 40 см²;

– собственные осевые моменты инерции ${I_x} = frac{{2 cdot {{20}^3}}}{{12}} = 1330$ см⁴, ${I_y} = frac{{20 cdot {2^3}}}{{12}} = 13,3$см⁴;

– собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$= 0, так как профиль имеет ось симметрии.

Определение центра тяжести сечения

Общая площадь всего сечения    A = 37,9+27,3+40 = 105см2.

Проводим вспомогательные оси $X$ и $Y$ и определяем относительно них центр тяжести сечения:

${X_c} = frac{{sum {{X_i} cdot {A_i}} }}{A} = frac{{{text{37}}{text{,9}} cdot {text{( — 13}}{text{,5) + 27}}{text{,3}} cdot {text{( — 3}}{text{,82) + 40}} cdot {text{1}}}}{{{text{105}}}}{text{ =  — 5}}{text{,49}}$см;

${Y_c} = frac{{sum {{Y_i} cdot {A_i}} }}{A} = frac{{{text{37}}{text{,9}} cdot {text{( — 2}}{text{,83) + 27}}{text{,3}} cdot {text{10}}{text{,2 + 40}} cdot {text{10}}}}{{105}} = 5,44$.

При этом в координатах центров тяжести составных обязанности’обязательно учитываем знак. Откладываем оси, которые проходят через центр тяжести –центральные оси $Xc$ и ${Y_c}$.

Определение центральных моментов инерции

Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяем по формулам перехода между параллельными осями. Для этого находим и показываем на чертеже расстояния между центральными осями всего сечения и собственными осями каждой из фигур.

$Ix = sum {left( {I{x_i} + A cdot {b^2}} right) = {text{482 + 8}}{text{,2}}{{text{7}}^{text{2}}} cdot {text{37}}{text{,9 + 512 + 4}}{text{,7}}{{text{6}}^{text{2}}} cdot {text{27}}{text{,3 + 1330 + 4}}{text{,5}}{{text{6}}^{text{2}}} cdot {text{40  =  6360}}} $см4;

$Iy = sum {left( {I{y_i} + A cdot {a^2}} right)}  = {text{1570 + 8}}{text{,0}}{{text{1}}^{text{2}}} cdot {text{37}}{text{,9 + 512 + 1}}{text{,6}}{{text{7}}^{text{2}}} cdot {text{27}}{text{,3 + 13}}{text{,3 + 6}}{text{,4}}{{text{9}}^{text{2}}} cdot {text{40  =  6280}}$см4;

${I_{xy}} = sum {left( {{I_{xy}}_i + A cdot a cdot b} right)}  = $

$ = 505 + ( — 8,01) cdot ( — 8,27) cdot 37,9 — 301 + 1,67 cdot 4,76 cdot 27,3 + 0 + 6,49 cdot 4,56 cdot 40 = 4120$см4.

При этом обязанности’обязательно учитываем размещения фигур относительно рассматриваемых осей. Так, при определении момента инерции ${I_x}$ в формулу подставляем собственный момент инерции неравнополочного уголка относительно оси, которая параллельна оси ${X_c}$, в сортаменте это ось $Y$, и наоборот.

Определение положения главных осей и главных моментов инерции

Угол поворота главных осей относительно осей, для которых известны моменты инерции, определяется по формуле

[tg,2alpha  = frac{{2 cdot {I_{xy}}}}{{{I_y} — {I_x}}} = frac{{2 cdot 4120}}{{6280 — 6360}} =  — 97]                  $alpha  = frac{{arctg( — 97)}}{2} =  — 44,7^circ $.

Если $alpha  > 0$, главные оси откладываются против часовой стрелки, и наоборот.

Главные моменты инерции определяются так

${I_{x0}} = {I_x} cdot {cos ^2}alpha  + {I_y} cdot {sin ^2}alpha  — {I_{xy}} cdot sin 2alpha  = $

$ = 6360 cdot {cos ^2}( — 44,7^circ ) + 6280 cdot {sin ^2}( — 44,7^circ ) — 4120 cdot sin ( — 2 cdot 44,7^circ ) = 10430$см4.

${I_{y0}} = {I_y} cdot {cos ^2}alpha  + {I_x} cdot {sin ^2}alpha  + {I_{xy}} cdot sin 2alpha  = $

$ = 6280 cdot {cos ^2}( — 44,7^circ ) + 6360 cdot {sin ^2}( — 44,7^circ ) + 4120 cdot sin ( — 2 cdot 44,7^circ ) = 2210$см4.

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Радиусы инерции. Моменты сопротивления

Радиусы инерции сечения

${i_x} = sqrt[{}]{{frac{{{I_x}}}{A}}} = sqrt[{}]{{frac{{10430}}{{105}}}} = 9,96$см,                 ${i_y} = sqrt[{}]{{frac{{{I_y}}}{A}}} = sqrt[{}]{{frac{{2210}}{{105}}}} = 4,58$см.

Моменты сопротивления сечения определяем относительно центральных осей. Для этого необходимо определить расстояния ${x_{max }}$ и ${y_{max }}$ до максимально удаленных точек от главных осей. Сначала необходимо по чертежам определить, какие точки являются наиболее удаленными. В нашем случае это точки $A$ и $B$ (рис.). Искомые расстояния можно определить, имея координаты этих точек в центральных (не возвращенных осям).

${x_{max }} = {x_A} cdot cos left( alpha  right) + {y_A} cdot sin left( alpha  right)$

${y_{max }} = {y_B} cdot cos left( alpha  right) — {x_B} cdot sin left( alpha  right)$

XА= –8,53см       YA=8,57см

XB= –14,5см      YB= –18см

xmax = –12,1см   ymax = –23см

Моменты сопротивления

${W_x} = frac{{{I_x}}}{{{y_{max }}}} = frac{{10430}}{{23}} = 454$см3;                ${W_y} = frac{{{I_y}}}{{{x_{max }}}} = frac{{2210}}{{12.1}} = 183$см3.