Как найти момент силы под углом - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно твердого тела, оси или точки.

Обозначение: M, m или M(F).

Размерность — [Н∙м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН∙м]

Аналогом момента силы является момент пары сил.

Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.

Определение

Момент определяется как произведение силы F на плечо h:

M(F)=F×h

Плечо силы h, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:

Другие видео

Например, сила величиной 7 кН приложенная на расстоянии 35см от рассматриваемой точки вращения создает момент M=7×0,35=2,45 кНм.

Пример момента силы

Наиболее наглядным примером момента силы может служить поворачивание гайки гаечным ключом.

Гайки заворачиваются вращением, для этого к ним прикладывается момент, но сам момент возникает при воздействии нашей силы на гаечный ключ.

Вы конечно интуитивно понимаете — для того чтобы посильнее закрутить гайку надо взяться за ключ как можно дальше от нее.

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения её плеча (h2>h1).

Плечом при этом служит расстояние от центра гайки до точки приложения силы.

Плечо момента силы

Рассмотрим порядок определения плеча h момента:

Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F, линия действия которой не проходит через эту точку. Требуется определить момент силы.

Покажем линию действия силы F (штриховая линия)

Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы

Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.

Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).

Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Если сила F приложена перпендикулярно к оси бруса и известно расстояние между точками A и B.

То момент силы F относительно точки A:

М_A=F×AB

Сила расположена под углом к оси стержня

В случае, если сила F приложена под углом α к оси балки

Момент силы относительно точки B:

M_B=F×cosα×AB

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Если известно расстояние от точки где определяется момент до линии действия силы (плечо h)

Момент силы относительно точки B:

M_B=F×h

См. также:

Примеры решения задач >
Момент силы относительно точки
Момент силы относительно оси

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Источник

Рассмотрим несколько задач на тему «вращательный момент» с пояснениями. Будем осуществлять расчет перпендикулярных частей сил и плеч сил в случаях, когда углы между силой и рычагом отличаются от прямого.

Это вторая часть статьи о моменте силы. Первая часть находится тут (откроется в новой вкладке).

Угол между силой и рычагом отличается от прямого

Рассмотрим рисунок 1. На рисунке 1а сила приложена к рукоятке ключа под прямым углом. На рисунках 1б и 1в углы между силой и рукояткой (рычагом) отличаются от прямого.

Рис. 1. Несколько способов приложения силы к рычагу под различными углами

Длина рычага является расстоянием между точкой приложения силы и осью вращения. Когда угол отличается от прямого, для вычисления момента силы нужно раскладывать на проекции либо силу, либо длину рычага (рукоятки).

Раскладываем силу

Разложим приложенную силу ( F ) на части. Одна часть будет располагаться перпендикулярно рукоятке, а другая – параллельно (см. рис. 2).

Рис. 2. Способ разложения силы, приложенной к рычагу под тупым (а) и острым (б) углами

Рукоятку вращает только перпендикулярная часть силы. На рисунке 2 она обозначена, как ( F_{1} ).

Параллельная рукоятке часть обозначена ( F_{2} ). Она не вращает рукоятку, а сдвигает ключ либо от гайки (рис. 2а), либо в сторону гайки (рис 2б).

Рукоятка ключа – это плечо для перпендикулярной части силы.

Момент силы для рисунка 2 считаем по формуле:

[ M = F_{1} cdot d ]

Наиболее выгодно прикладывать силу перпендикулярно рукоятке (см. рис 1а). В этом случае вращательный момент силы будет наибольшим.

В остальных случаях вращать рукоятку будет не вся сила целиком, а только лишь ее перпендикулярная часть.

Помним! Между силой и ее плечом угол прямой.

Задача 1

Угол между приложенной силой и рукояткой ключа равен 30 градусам. Определить часть вектора силы, вращающего гаечный ключ. С помощью этой части вектора силы рассчитать вращательный момент. Сила равна 20 Н. Длина рукоятки 20 см.

Рисунок.

Рис. 3. Раскладываем на проекции силу, приложенную к рычагу под острым углом

Решение:

Проведем перпендикулярную ( F_{1} ) часть и параллельную рычагу ( F_{2} ) часть силы (рис. 3).

Примечание:

Чтобы разложить вектор силы на части, нужно нарисовать прямоугольник. Так, чтобы вектор, который мы раскладываем, оказался диагональю прямоугольника. Две стороны этого прямоугольника будут параллельны рукоятке, а другие две – перпендикулярны ей.

Тогда стороны прямоугольника обозначат проекции – перпендикулярную и продольную (параллельную).

Вычислим перпендикулярную ( F_{1} ) часть силы:

[ F_{1} = F cdot sin(alpha)]

( sin(30^{o})=0,5)

( F_{1} = 20 cdot 0,5)

( F_{1} = 10 left(Hright))

Рассчитаем теперь вращательный момент M этой силы:

[ M = F_{1} cdot d ]

( M = 10 cdot 0,2 )

( M = 2 left( H cdot text{м} right) )

Ответ: Вращательный момент равен ( 2 left( H cdot text{м} right) )

Раскладываем расстояние

Для подсчета вращательного момента, на проекции можно раскладывать не только силу.

На части можно разложить длину рукоятки, так, чтобы одна часть оказалась продольной силе, а другая – параллельной (рис. 4).

После выбираем часть длины, перпендикулярную силе. Эта сторона является плечом силы.

Рис. 4. Раскладываем на проекции длину рычага для приложенных под тупым (а) или острым (б) углом сил

На рисунке 4а перпендикулярно силе располагается ( d_{1} ), для этого случая момент силы считаем так:

[ M = Fcdot d_{1} ]

Из рисунка 4б выбираем перпендикулярную силе величину ( d_{2} ). Момент силы вычисляем, пользуясь формулой:

[ M = Fcdot d_{2} ]

Задача 2

Угол между приложенной силой и рукояткой ключа равен 30 градусам. Определить плечо вектора приложенной силы. С помощью этого плеча рассчитать вращательный момент. Сила равна 20 Н. Длина рукоятки 20 см.

Рис. 5. Для приложенной под острым углом силы раскладываем на проекции длину рычага

Решение:

Проведем параллельную ( d_{1} ) и перпендикулярную силе ( d_{2} ) часть рычага (рис. 5).

Примечание:

Снова рисуем прямоугольник. Но теперь не сила, а рукоятка должна оказаться диагональю прямоугольника. Две стороны этого прямоугольника будут параллельны силе, а другие две – перпендикулярны ей.

В прямоугольнике выбираем сторону, перпендикулярную силе. Эта сторона является плечом силы.

О формулах разложения векторов на проекции подробно написано тут (откроется в новой вкладке).

Вычислим перпендикулярную силе F часть длины ( d_{2} ) рычага – плечо силы F:

[ d_{2} = d cdot sin(alpha)]

( sin(30^{o})=0,5)

( d_{2} = 0,2 cdot 0,5)

( d_{2} = 0,1 left( text{м} right))

Рассчитаем теперь с помощью найденного плеча ( d_{2} ) силы F вращательный момент M:

[ M = F cdot d_{2} ]

( M = 20 cdot 0,1 )

( M = 2 left( H cdot text{м} right) )

Ответ: Вращательный момент равен ( 2 left( H cdot text{м} right) )

Расчет момента силы с помощью формулы, содержащей угол между силой и рычагом

Вращательный момент можно рассчитать без прямого указания плеча силы, зная угол между силой и рычагом. Подробнее в первой части статьи (откроется в новом окне)

Задача 3

Угол между приложенной силой и рукояткой ключа равен 30 градусам. Не рассчитывая плеча силы найти вращательный момент. Сила равна 20 Н. Длина рукоятки 20 см.

Рис. 6. Рассчитаем момент приложенной под острым углом силы без разложения на проекции

Решение:

Воспользуемся формулой для вычисления вращательного момента:

[ M = F cdot d cdot sin(alpha)]

( sin(30^{o})=0,5)

( M = 20 cdot 0,2 cdot 0,5)

( M = 2 left( H cdot text{м} right) )

Ответ: Вращательный момент равен ( 2 left( H cdot text{м} right) )

Как видно из задач 1 — 3, все три способа вычисления вращательного момента дают аналогичные результаты.

Источник

Определение

Статика — раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Виды равновесия

Устойчивое равновесие
	Если тело вывести из устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая его в положение равновесия. Устойчивому равновесию соответствует минимальное значение потенциальной энергии (E_{p min}).
Неустойчивое равновесие
	Если тело вывести из неустойчивого равновесия, то возникает сила, удаляющая тело от положения равновесия. Неустойчивому равновесию соответствует максимальное значение потенциальной энергии (E_{p max}).
Безразличное равновесие
	При выведении тела из положения безразличного равновесия дополнительных сил не возникает.

Момент силы

Определение

Момент силы — векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо силы:

M = Fd

M — момент силы. Единица измерения — Ньютон на метр (Н∙м). Направление вектора момента силы всегда совпадает с направлением вектора силы. d — плечо силы. Единица измерения — метр (м).

Плечо силы — кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.

Пример №1. Стальной шар массой 2 кг колеблется на нити длиной 1 м. Чему равен момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, в состоянии, представленном на рисунке?

Плечом силы тяжести, или кратчайшим путем от прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, до линии действия силы тяжести, будет отрезок, равный максимальному отклонению шара от положения равновесия. Следовательно:

M = Fd = mgd = 2∙10∙0,5 = 10 (Н∙м)

Момент силы может быть положительным и отрицательным.

Если сила вызывает вращение тела по часовой стрелке, то такой момент считают положительным:

M₁ = F₁d₁

Если сила вызывает вращение тела против часовой стрелки, то такой момент считают отрицательным:

M₂ = F₂d₂

Правило моментов

Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

∑Mi=0

Иначе правило моментов можно сформулировать так:

Сумма моментов сил, вызывающих вращение тела по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки.

∑Mпо час. стр.=∑Mпр. час. стр.

Условия равновесия тел

Тело не участвует в поступательном движении:	∑→Fi=0; →vo=0
Тело не участвует во вращательном движении:	∑Mi=0; ω0=0
Тело находится в состоянии равновесия (не участвует ни в поступательном, ни во вращательном движении)	∑→Fi=0; →vo=0 и ∑→Fi=0; →vo=0

Простые механизмы

Определение

Простые механизмы — приспособления, служащие для преобразования силы. К ним относится рычаг, наклонная плоскость, блоки, клин и ворот.

Наклонная плоскость
	Дает выигрыш в силе. Чтобы поднять груз на высоту h, нужно приложить силу, равную силе тяжести этого груза. Но, используя наклонную плоскость, можно приложить силу, равную произведению силы тяжести на синус угла уклона плоскости: mgsinθ<mg
Рычаг
	Дает выигрыш в силе, равный отношению плеча второй силы к плечу первой: F1F2=d2d1
Неподвижный блок
	Изменяет направление действия силы. Модули и плечи сил при этом равны: F₁= F₂ M₁ = M₂
Подвижный блок
	Дает выигрыш в силе в 2 раза: d₁ = R d₂= 2R F₁= 2F₂
Клин
	Делит силу на две равные части, направление которых зависит от формы клина: →F=→F1+→F2

Золотое правило механики

При использовании простых механизмов мы выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии. Поэтому выигрыша в работе простые механизмы не дают.

Задание EF22660

Мальчик взвесил рыбу на самодельных весах с коромыслом из лёгкой рейки (см. рисунок). В качестве гири он использовал батон хлеба массой 0,8 кг. Определите массу рыбы.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать правило моментов и выполнить решение в общем виде.

3.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Известна лишь масса батона: m₁ = 0,8 кг. Но мы также можем выразить плечи для силы тяжести батона и хлеба. Для этого длину линейки примем за один. Так как линейка поделена на 10 секций, можем считать, что длина каждой равна 0,1. Тогда плечи сил тяжести батона и рыба соответственно равны:

d₁ = 0,3

d₂ = 0,4

Запишем правило моментов:

F₁ d₁ = F₂ d₂

Сила тяжести равна произведению массы на ускорение свободного падения. Поэтому:

m₁gd₁ = m₂gd₂

m₁d₁ = m₂d₂

Отсюда масса рыбы равна:

m2=m1d1d2=0,8·0,30,4=0,6 (кг)

Ответ: 0,6

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18706

Однородный куб опирается одним ребром на пол, другим на вертикальную стену (см. рисунок). Плечо силы трения F_тр относительно оси, проходящей через точку О₃ перпендикулярно плоскости чертежа, равно…

Ответ:

а) 0

б) О₂О₃

в) О₂В

г) О₃В

Алгоритм решения

Сформулировать определение плеча силы.
Найти плечо силы трения и аргументировать ответ.

Решение

Плечом силы трения называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Чтобы найти такое расстояние, нужно провести из точки равновесия перпендикуляр к линии действия силы трения. Отрезок, заключенный между этой точкой и линией, будет являться плечом силы трения. На рисунке этому отрезку соответствует отрезок О₃В.

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 9.7k

Источник

Загрузить PDF

Самое лучшее определение вращательного момента – это тенденция силы вращать предмет вокруг оси, точки опоры или точки вращения. Вращательный момент можно рассчитать с помощью силы и плеча момента (перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы), или используя момент инерции и угловое ускорение.

1
Определите силы, действующие на тело и соответствующие им моменты. Если сила не перпендикулярна рассматриваемому плечу момента (т.е. она действует под углом), то вам может понадобиться найти ее составляющие с использованием тригонометрических функций, таких как синус или косинус.
- Рассматриваемая составляющая силы будет зависеть от эквивалента перпендикулярной силы.
- Представьте себе горизонтальный стержень, к которому нужно приложить силу 10 Н под углом 30° над горизонтальной плоскостью, чтобы вращать его вокруг центра.
- Поскольку вам нужно использовать силу, не перпендикулярную плечу момента, то для вращения стержня вам необходима вертикальная составляющая силы.
- Следовательно, нужно рассматривать y-составляющую, или использовать F = 10sin30° Н.
2
Воспользуйтесь уравнением момента, τ = Fr, и просто замените переменные заданными или полученными данными.
- Простой пример: Представьте себе ребенка массой 30 кг, сидящего на одном конце качели-доски. Длина одной стороны качели составляет 1,5 м.
- Поскольку ось вращения качели находится в центре, вам не нужно умножать длину.
- Вам необходимо определить силу, прилагаемую ребенком, с помощью массы и ускорения.
- Поскольку дана масса, вам нужно умножить ее на ускорение свободного падения, g, равное 9,81 м/с². Следовательно:
- Теперь у вас есть все необходимые данные для использования уравнения момента:
3
Воспользуйтесь знаками (плюс или минус), чтобы показать направление момента. Если сила вращает тело по часовой стрелке, то момент отрицательный. Если же сила вращает тело против часовой стрелки, то момент положительный.
- В случае нескольких приложенных сил, просто сложите все моменты в теле.
- Поскольку каждая сила стремится вызвать различные направления вращения, важно использовать знак поворота для того, чтобы следить за направлением действия каждой силы.
- Например, к ободу колеса, имеющего диаметр 0,050 м, были приложены две силы, F₁= 10,0 Н, направленная по часовой стрелке, и F₂ = 9,0 Н, направленная против часовой стрелки.
- Поскольку данное тело – круг, фиксированная ось является его центром. Вам нужно разделить диаметр и получить радиус. Размер радиуса будет служить плечом момента. Следовательно, радиус равен 0,025 м.
- Для ясности мы можем решить отдельные уравнения для каждого из моментов, возникающих от соответствующей силы.
- Для силы 1 действие направлено по часовой стрелке, следовательно, создаваемый ею момент отрицательный:
- Для силы 2 действие направлено против часовой стрелки, следовательно, создаваемый ею момент положительный:
- Теперь мы можем сложить все моменты, чтобы получить результирующий вращательный момент:
Реклама

1
Чтобы начать решать задачу, разберитесь в том, как действует момент инерции тела. Момент инерции тела – это сопротивление тела вращательному движению. Момент инерции зависит как от массы, так и от характера ее распределения.
- Чтобы четко понимать это, представьте себе два цилиндра одинакового диаметра, но разной массы.
- Представьте себе, что вам нужно повернуть оба цилиндра вокруг их центральной оси.
- Очевидно, что цилиндр с большей массой будет сложнее повернуть, чем другой цилиндр, поскольку он “тяжелее”.
- А теперь представьте себе два цилиндра различных диаметров, но одинаковой массы. Чтобы выглядеть цилиндрическими и иметь разную массу, но в то же время иметь разные диаметры, форма, или распределение массы обоих цилиндров должна отличаться.
- Цилиндр с большим диаметром будет выглядеть как плоская закругленная пластина, тогда как меньший цилиндр будет выглядеть как цельная трубка из ткани.
- Цилиндр с большим диаметром будет сложнее вращать, поскольку вам нужно приложить большую силу, чтобы преодолеть более длинное плечо момента.
2
Выберите уравнение, которое вы будете использовать для расчета момента инерции. Есть несколько уравнений, которые можно использовать для этого.
- Первое уравнение – самое простое: суммирование масс и плечей моментов всех частиц.
- Это уравнение используется для материальных точек, или частиц. Идеальная частица – это тело, имеющее массу, но не занимающее пространства.
- Другими словами, единственной значимой характеристикой этого тела является масса; вам не нужно знать его размер, форму или строение.
- Идея материальной частицы широко используется в физике с целью упрощения расчетов и использования идеальных и теоретических схем.
- Теперь представьте себе объект вроде полого цилиндра или сплошной равномерной сферы. Эти предметы имеют четкую и определенную форму, размер и строение.
- Следовательно, вы не можете рассматривать их как материальную точку.
- К счастью, можно использовать формулы, применимые к некоторым распространенным объектам:
3
Найдите момент инерции. Чтобы начать рассчитывать вращательный момент, нужно найти момент инерции. Воспользуйтесь следующим примером как руководством:
- Два небольших “груза” массой 5,0 кг и 7,0 кг установлены на расстоянии 4,0 м друг от друга на легком стержне (массой которого можно пренебречь). Ось вращения находится в середине стержня. Стержень раскручивается из состояния покоя до угловой скорости 30,0 рад/с за 3,00 с. Рассчитайте производимый вращательный момент.
- Поскольку ось вращения находится в середине стержня, то плечо момента обоих грузов равно половине его длины, т.е. 2,0 м.
- Поскольку форма, размер и строение “грузов” не оговаривается, мы можем предположить, что грузы являются материальными частицами.
- Момент инерции можно вычислить следующим образом:
4
Найдите угловое ускорение, α. Для расчета углового ускорения можно воспользоваться формулой α= at/r.
- Первая формула, α= at/r, может использоваться в том случае, если дано тангенциальное ускорение и радиус.
- Тангенциальное ускорение – это ускорение, направленное по касательной к направлению движения.
- Представьте себе объект, двигающийся по криволинейному пути. Тангенциальное ускорение – это попросту его линейное ускорение на любой из точек всего пути.
- В случае второй формулы, легче всего проиллюстрировать ее, связав с понятиями из кинематики: смещением, линейной скоростью и линейным ускорением.
- Смещение – это расстояние, пройденное объектом (единица СИ – метры, м); линейная скорость – это показатель изменения смещения за единицу времени (единица СИ – м/с); линейное ускорение – это показатель изменения линейной скорости за единицу времени (единица СИ – м/с²).
- Теперь давайте рассмотрим аналоги этих величин при вращательном движении: угловое смещение, θ – угол поворота определенной точки или отрезка (единица СИ – рад); угловая скорость, ω – изменение углового смещения за единицу времени (единица СИ – рад/с); и угловое ускорение, α – изменение угловой скорости за единицу времени (единица СИ – рад/с²).
- Возвращаясь к нашему примеру – нам были даны данные для углового момента и время. Поскольку вращение начиналось из состояния покоя, то начальная угловая скорость равна 0. Мы можем воспользоваться уравнением, чтобы найти:
5
Воспользуйтесь уравнением, τ = Iα, чтобы найти вращательный момент. Просто замените переменные ответами, полученными на предыдущих шагах.
- Вы можете заметить, что единица «рад» не подходит к нашим единицам измерения, поскольку считается безразмерной величиной.
- Это значит, что вы можете пренебречь ею и продолжить ваши расчеты.
- Для анализа единиц измерения мы можем выразить угловое ускорение в с^-2.
Реклама

Советы

В первом методе, если тело является кругом и ось его вращения находится в центре, то рассчитывать составляющие силы не нужно (при условии, что сила не приложена под наклоном), поскольку сила лежит на касательной к окружности, т.е. перпендикулярно плечу момента.
Если вам сложно представить, как происходит вращение, то возьмите ручку и попробуйте воссоздать задачу. Для более точного воспроизведения не забудьте скопировать положение оси вращения и направление приложенной силы.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 23 943 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Единицы измерения
Момент силы

Размерность	L²MT⁻²
СИ	Н·м
СГС	Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Содержание

1 Общие сведения
2 Предыстория
3 Единицы
4 Специальные случаи
- 4.1 Формула момента рычага
- 4.2 Сила под углом
- 4.3 Статическое равновесие
- 4.4 Момент силы как функция от времени
5 Отношение между моментом силы и мощностью
6 Отношение между моментом силы и работой
7 Момент силы относительно точки
8 Момент силы относительно оси
9 Единицы измерения
10 Измерение момента
11 См. также

Общие сведения[править | править вики-текст]

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метра от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров от оси вращения. Более точно момент силы частицы определяется как векторное произведение:

{displaystyle {vec {M}}=left[{vec {r}}times {vec {F}}right]}

где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы.

Предыстория[править | править вики-текст]

Для того чтобы понять, откуда появилось обозначение момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол dvarphi . Обозначим через vec dl вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между вектором силы и вектором vec dl равен beta , а угол между векторами и — alpha .

Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке , равна скалярному произведению вектора vec dl и вектора силы, то есть .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора vec dl через радиус-вектор , а проекцию вектора силы на вектор vec dl — через угол alpha .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: , где в случае малого угла справедливо и, следовательно, .

Для проекции вектора силы на вектор vec dl видно, что угол ${displaystyle beta =alpha -{frac {pi }{2}}}$ , а так как ${displaystyle cos {left(alpha -{frac {pi }{2}}right)}=sin alpha }$ , получаем, что .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: , или .

Теперь видно, что произведение есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы , или модуль вектора момента силы .

Теперь полная работа записывается просто: ${displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {r}}times {vec {F}}right|dvarphi }$ , или ${displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {M}}right|dvarphi }$ .

Единицы[править | править вики-текст]

Момент силы имеет размерность «сила на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. Энергия и механическая работа также имеют размерность «сила на расстояние» и измеряются в системе СИ в джоулях. Следует заметить, что энергия — это скалярная величина, тогда как момент силы — величина (псевдо) векторная. Совпадение размерностей этих величин не случайность: момент силы 1 Н·м, приложенный через целый оборот, совершает механическую работу и сообщает энергию 2pi джоулей. Математически:

где Е — энергия, M — вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи[править | править вики-текст]

Формула момента рычага[править | править вики-текст]

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

${displaystyle left|{vec {M}}right|=left|{vec {M}}_{1}right|left|{vec {F}}right|}$

, где: ${displaystyle left|{vec {M}}_{1}right|}$

— момент рычага,

— величина действующей силы.

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору , момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален:

{displaystyle left|{vec {T}}right|=left|{vec {r}}right|left|{vec {F}}right|}

Сила под углом[править | править вики-текст]

Если сила направлена под углом theta к рычагу r, то .

Статическое равновесие[править | править вики-текст]

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени[править | править вики-текст]

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

Видеоурок: вращающий момент

${displaystyle {vec {M}}={frac {d{vec {L}}}{dt}}}$

где {vec L} — момент импульса.

Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

${displaystyle {vec {L_{o}}}=I_{c},{vec {omega }}+[M({vec {r_{o}}}-{vec {r_{c}}}),{vec {v_{c}}}]}$

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если — постоянная величина во времени, то

${displaystyle {vec {M}}=I{frac {d{vec {omega }}}{dt}}=I{vec {alpha }}}$

где — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с²). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

${displaystyle {vec {M_{c}}}=I_{c}{frac {d{vec {omega }}}{dt}}+[{vec {w}},I_{c}{vec {w}}]}$ .

Отношение между моментом силы и мощностью[править | править вики-текст]

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Так же и момент силы, если совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

{displaystyle P={vec {M}}cdot {vec {omega }}}

В системе СИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы — в ньютон-метрах, а угловая скорость — в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой[править | править вики-текст]

${displaystyle A=int _{theta _{1}}^{theta _{2}}left|{vec {M}}right|mathrm {d} theta }$

В случае постоянного момента получаем:

{displaystyle A=left|{vec {M}}right|theta }

В системе СИ работа измеряется в джоулях, момент силы — в ньютон·метр, а угол — в радианах.

Обычно известна угловая скорость omega в радианах в секунду и время действия момента .

Тогда совершённая моментом силы работа рассчитывается как:

{displaystyle A=left|{vec {M}}right|omega t}

Момент силы относительно точки[править | править вики-текст]

Если имеется материальная точка O_F , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющего точки и O_F , на вектор силы :

${displaystyle {vec {M_{O}}}=left[{vec {r}}times {vec {F}}right]}$ .

Момент силы относительно оси[править | править вики-текст]

Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси относительно точки пересечения оси с плоскостью, то есть ${displaystyle M_{z}(F)=M_{o}(F')=F'h'}$ .

Единицы измерения[править | править вики-текст]

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Измерение момента[править | править вики-текст]

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки.

См. также[править | править вики-текст]

Момент инерции
Момент импульса
Теорема Вариньона

Источник

Определение

Пример момента силы

Плечо момента силы

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Сила расположена под углом к оси стержня

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Угол между силой и рычагом отличается от прямого

Раскладываем силу

Задача 1

Раскладываем расстояние

Задача 2

Расчет момента силы с помощью формулы, содержащей угол между силой и рычагом

Задача 3

Виды равновесия

Устойчивое равновесие

Неустойчивое равновесие

Безразличное равновесие

Момент силы

Правило моментов

Условия равновесия тел

Простые механизмы

Наклонная плоскость

Рычаг

Неподвижный блок

Подвижный блок

Клин

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Содержание

Общие сведения[править | править вики-текст]

Предыстория[править | править вики-текст]

Единицы[править | править вики-текст]

Специальные случаи[править | править вики-текст]

Формула момента рычага[править | править вики-текст]

Сила под углом[править | править вики-текст]

Статическое равновесие[править | править вики-текст]

Момент силы как функция от времени[править | править вики-текст]

Отношение между моментом силы и мощностью[править | править вики-текст]

Отношение между моментом силы и работой[править | править вики-текст]

Момент силы относительно точки[править | править вики-текст]

Момент силы относительно оси[править | править вики-текст]

Единицы измерения[править | править вики-текст]

Измерение момента[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]