Как найти момент сопротивления швеллера - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Зачем нужен момент инерции сечения

Несмотря на то, что наука о прочности давно уже шагнула вперёд, и давно уже развиваются многие её направления (строительная механика, механика разрушения, теория упругости и другие), а также несмотря на то, что всё чаще расчеты сложных конструкций выполняются при помощи метода конечного элемента посредством специализированных программных комплексов, прикидочные расчеты на основе методов сопромата не утратили своей актуальности. Ведь именно они, во-первых, позволяют дать оценку прочности конструкции «в полевых условиях» (без трудоёмкого построения конечно-элементной модели, без сложных математических выкладок), а во-вторых — позволяют это сделать достаточно быстро.

В основном, расчеты в сопротивлении материалов имеют целью проверить общую (а не местную) прочность балок. Поэтому расчетная схема принимается упрощенной, и многими конструктивными элементами, даже являющимися концентраторами напряжений, в ней пренебрегают. Тем не менее, несмотря на ряд упрощений в схеме и принятые допущения (гипотезы, принятые для построения теории сопротивления материалов), в этой науке разработаны методы, позволяющие с довольно большой точностью определить опасные сечения и напряжения, возникающие в них.

Вообще, поперечное сечение балки может представлять собой тавр, швеллер, двутавр, круг, прямоугольник, кольцо, полый прямоугольник и т.п. или может быть составным, т.е. составленным из нескольких однотипных или различных профилей. От его формы и размеров зависит прочность и жесткость балки. Площадь поперечного сечения является важной характеристикой, но знать только лишь её достаточно разве что для задач на центральное растяжение. Если же балка испытывает изгиб или кручение, то знать только лишь площадь поперечного сечения оказывается недостаточно. Балка может «проходить» (т.е. обладать достаточной прочностью и жесткостью) с одним типом сечения и «не проходить» с другим типом сечения такой же площади. В процессе решения задач по сопромату, касающихся определения напряжений в балке при её изгибе или кручении, проверке устойчивости сжатых стержней, а также при решении некоторых других задач требуется знать не только площадь, но и другие геометрические характеристики сечения (момент инерции площади сечения, момент сопротивления площади сечения, полярный момент инерции площади сечения). Во-первых, они требуются для решения конкретной задачи об определении напряжений в данной балке с заданными размерами поперечного сечения. Во-вторых, они нужны для выполнения сравнительного анализа разных типов сечений (например, выбора среди нескольких различных сечений с одинаковой площадью именно того сечения, которое будет лучше сопротивляться изгибу или кручению), для подбора оптимального сечения для балки, работающей в конкретно заданных условиях. Поскольку нахождение геометрических характеристик сечения требует определенных знаний и практических навыков, в любом учебнике или справочнике по сопромату выделен раздел, посвященный определению этих характеристик, а в любом задачнике по сопромату приведены задачи по нахождению момента инерции или момента сопротивления сечения.

Что такое момент инерции сечения

Обычно, когда речь идёт о геометрических характеристиках сечения, слово «площадь» опускают, чтобы не было нагромождения слов, и говорят не «момент инерции площади сечения», «момент сопротивления площади сечения», а просто «момент инерции сечения», «момент сопротивления сечения» или даже просто «момент инерции», «момент сопротивления». При этом различают осевой, полярный и центробежный момент инерции площади сечения.

Осевой момент инерции площади фигуры (сечения) — это интеграл произведений элементарных площадок данного сечения на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Другое, менее распространенное его название – экваториальный момент инерции. Величина осевого момента инерции всегда положительна.

Полярный момент инерции площади фигуры (сечения) относительно данной точки (полюса) — это интеграл произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от полюса. Величина полярного момента инерции всегда положительна.

Центробежный момент инерции площади фигуры — это интеграл произведений элементарных площадок на их расстояния от координатных осей. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. При повороте осей вокруг начала координат на 90 градусов знак центробежного момента инерции меняется на обратный.

Задавая вопросы «в чем измеряется момент инерции», «какова единица измерения момента инерции», «как обозначается момент инерции» необходимо четко представлять, что именно имеется в виду: момент инерции сечения (о котором идёт речь в сопромате и, в частности, в настоящей статье) или же момент инерции тела (который упоминается в физике и в теории механизмов и машин). Размерность момента инерции сечения – это размерность длины в четвертой степени (например, см⁴, м⁴, мм⁴). Моменты инерции сечений стандартных профилей (швеллеров, уголков, тавров, двутавров) приведены в справочных таблицах в размерности «см⁴». При необходимости, данную в таблице величину можно представить в другой единице измерения. Обычно при решении задач возникает необходимость перевода этой величины в «мм⁴». Обозначается момент инерции сечения буквой I с нижним индексом, который указывает, относительно какой оси вычислена данная характеристика (например, I_x, I_y). Момент сопротивления сечения обозначается буквой W, также с нижним индексом, указывающим на ось, относительно которой дана эта величина (например, W_x, W_y).

Что такое главные оси

Главные оси инерции — оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Главные центральные оси — главные оси, проходящие через центр тяжести сечения.

Как найти момент инерции сечения

При вычислении момента инерции сечения можно воспользоваться непосредственно определением момента инерции и вычислить эту характеристику сечения путём нахождения интеграла по площади. Так и поступают при нахождении момента инерции треугольника, круга, прямоугольника, кругового сектора и других простых фигур.

Обозначив характерные размеры сечения через параметры (т.е. буквами) и выполнив соответствующее интегрирование по площади, получают формулы для определения моментов инерции этих сечений. Ход решения показан, например, в учебнике по сопромату Г.С. Писаренко на примере вывода формул для определения момента инерции прямоугольника, треугольника, кругового сектора и эллипса. Такие формулы приведены во многих справочниках по сопромату (например, в книге Писаренко Г.С., Яковлев А.П. Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – К: Наукова думка, 1975, на страницах 24 — 77) для многих типов сечений (квадрат, полый квадрат, прямоугольник, полый прямоугольник, прямоугольник с круглым отверстием, прямоугольник с двумя отверстиями, прямоугольник с полукруглыми вырезами, повернутый прямоугольник, крестовина, корытное сечение, треугольник, трапеция, круг, кольцо, круговое незамкнутое тонкостенное кольцо, полукруг, четверть круга, круговой сектор, круговой сегмент, полукольцо, сектор кольца, круг с лыской, правильный шестиугольник, правильный многоугольник, круговое сечение с одной или с двумя шпоночными канавками, эллипс, полуэллипс, четверть эллипса, полый эллипс, параболический сегмент, параболический полусегмент, круговой треугольник, сечение железнодорожного рельса). Готовыми формулами из справочника пользоваться намного проще, чем выводить каждый раз нужную формулу самостоятельно путём интегрирования.

В этом же справочнике приведены и формулы для приближенного вычисления геометрических характеристик (F, I, W) сечений стандартных прокатных профилей: уголков (равнобокого и неравнобокого), швеллера, тавра, двутавра, однако на практике этими формулами пользуются весьма редко, т.к. все необходимые характеристики стандартных сечений уже вычислены и приведены в соответствующих нормативных документах (см. ГОСТ 8240-97 для швеллеров, ГОСТ 8509-93 для равнополочных уголков, ГОСТ 8510-86 для неравнополочных уголков, ГОСТ 26020-83 и ГОСТ 8239-89 для двутавров). Выдержки из перечисленных выше стандартов приведены во многих справочниках, учебниках и решебниках по сопромату.

Скачать примеры решения задач, касающиеся того, как найти момент инерции и момент сопротивления, можно здесь (бесплатно, без регистрации):

При вычислении моментов инерции сложных сечений их разбивают на отдельные простые части, моменты инерции которых известны.

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту инерции относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

При повороте прямоугольных осей сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции.

Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения.

Размерность моментов сопротивления – единица длины в кубе (например, см³, м³, мм³).

Практическое значение имеют моменты сопротивления относительно главных центральных осей, которые обычно называются просто моментами сопротивления. Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения.

Источники:

Н.М. Беляев. Сопротивление материалов.
Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. Справочник по сопротивлению материалов.
А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. Сопротивление материалов.
reshusam.ucoz.ru — Примеры определения моментов инерции сечений.

Дополнительно на Геноне:

Что такое сопромат

Источник

Как рассчитать и выбрать размер швеллера с учетом нагрузки на изгиб

Швеллер в наличии на складе в Москве

Швеллер является продукцией прокатного производства, которая имеет U-образное поперечное сечение. В зависимости от технологии производства, швеллеры бывают горячекатаные и гнутые.

Размеры и форма г/к швеллеров общего назначения регламентируются стандартом ГОСТ 8240-97. Ширина проката согласно указанному нормативному документу может быть от 32 до 115 мм, а высота 50 — 400 мм.

В обозначении номера профиля зашифрована высота швеллера в сантиметрах (цифра) и серия или тип профиля (буква).

Размеры гнутого швеллера регламентируются стандартом ГОСТ 8278-83. В соответствии этому документу высота профиля может принимать значение от 25 до 410 мм, толщина швеллера – от 2 до 8 мм, и ширина может быть 26 — 160 мм.

В APEX METAL вы сможете приобрести швеллер наиболее востребованных размеров из стали марок Ст3 и 09Г2С:

серии П с параллельными гранями — типоразмеры профиля 5П — 30П;
серии У с уклоном граней — типоразмеры профиля 6,5У — 30У;
гнутый швеллер с размерами от 50х40х3 до 250х125х6.

Значения высоты и ширины полки, ширины и толщины стенки по ГОСТ 8240-97 смотрите на странице — Как правильно расшифровать условное обозначение швеллера.

Методика расчета швеллера на изгиб

Наиболее часто швеллер используют в качестве элемента, который работает на изгиб. Следовательно, ни один расчет данного профиля не обходится без определения его прочности под воздействием изгибных нагрузок. На сегодняшний день создано множество программных продуктов и калькуляторов расчета швеллера, которые позволяют произвести массовые, прочностные и проверочные расчеты.

Покажем, как самостоятельно всего за 3 шага найти момент сопротивления и подобрать соответствующий размер швеллера с учетом действующих нагрузок.

1. Сначала необходимо определить максимальное значение момента в профиле швеллера, который вычисляется по формуле:

М = 9,81 х q х l²/ 8 / 1000, где

q – значение распределенной нагрузки l – длина швеллера.

2. Зная изгибающий момент, определяем необходимое значение момента сопротивления сечения швеллера, чтобы обеспечить его прочность:

Wн = M х 1000 / Ry, где

Ry – расчетное значение сопротивления материала по пределу текучести (согласно СНиП 2-23-81).

Наименование стали	Марка стали по ГОСТ	Ry, МПа, с толщиной проката
С245	Ст3пс5, Стсп5	240 МПа (2 — 20 мм), 230 МПа (20 — 30 мм)
С275	Ст3пс	240 МПа (2 — 20 мм)
С345	12Г2С, 09Г2С	335 МПа (2 — 10 мм), 315 МПа (10 — 20 мм), 300 МПа (20 — 40 мм)

3. Сравниваем полученное расчетное значение момента сопротивления швеллера и теоретические значения в таблицах ГОСТ, выбираем требуемый размер проката.

Номер швеллера серии У	Момент сопротивления	Номер швеллера серии П	Момент сопротивления	Размер швеллера по ГОСТ 8278	Момент сопротивления
5У	9,1	5П	9,1	50х40х3	5,62
6,5У	15	6,5П	15	60х32х2,5	5,1
8У	22,4	8П	22,5	60х32х3	5,85
10У	34,8	10П	34,9	80х32х4	10,71
12У	50,6	12П	50,8	80х50х4	15,92
14У	70,2	14П	70,4	80х60х4	18,81
16У	93,4	16П	93,8	100х50х3	17,18
18У	121	18П	121	100х50х4	21,57
20У	152	20П	153	100х50х5	25,56
22У	192	22П	193	120х50х3	21,98
24У	242	24П	243	120х60х4	32,25
27У	308	27П	310	120х60х5	38,6
30У	387	30П	389	140х60х5	47,8
40У	761	40П	763	140х60х6	55,08
—	—	—	—	160х50х4	41,76
—	—	—	—	160х60х4	48,84
—	—	—	—	160х60х5	58,38
—	—	—	—	160х80х4	60,01
—	—	—	—	160х80х5	72,69
—		—	—	180х70х6	79,15
—	—	—	—	180х80х5	85,22
—	—	—	—	200х80х4	80,94
—	—	—	—	200х80х6	114,84
—	—	—	—	200х100х6	137,43
—	—	—	—	250х125х6	221,64

Выбор размера швеллера на примере

Пусть имеется швеллер, длина которой составляет 6 метров и он имеет шарнирное закрепление. На него действует распределенная нагрузка, величина которой составляет 250 кг/м. Расчет ведется в следующей последовательности:

Максимальное значение момента в профиле швеллера М = 9,81 х 250 х 6²/ 8 / 1000 = 11,04 кН∙м.
Необходимое значение момента сопротивления сечения швеллера, Wн = 11,04 х 1000 / 240 = 46,0 см3 (согласно СНиП 2-23-81 для стали С245 Ry = 240 МПа).
Подбираем по таблице ГОСТ размер швеллера с моментом сопротивления не ниже вычисленного значения 46,0 см3.

Это будет швеллер 12П (У) ГОСТ 8240-97 — значение момента сопротивления 50,8 см3 или швеллер гнутый 140х60х5 ГОСТ 8278-83 — значение момента сопротивления 47,8 см3.

Выбор швеллера с точки зрения экономической целесообразности

Расчет стоимости швеллера производится на основании данных о массе и стоимости за тонну:

Характеристика / Наименование	Швеллер 12П	Швеллер 140х60х5
Вес 1 метра, кг	10,7	9,77
Вес швеллера длиной 6 метров, кг	64,2	58,6
Цена за тонну*	78290 руб.	79290 руб.
Цена за 1 штуку швеллера	5026 руб.	4646 руб.

* Цена по состоянию на май 2023 года, актуальные цены на дату покупки сморите в интернет-магазине в разделе Металлопрокат — Швеллер.

Можно заметить, что из условий расчета швеллера на прочность, работающего на изгиб, немного более экономичным решением будет использование гнутого швеллера в сравнении с горячекатаным.

Балка двутавровая

Прайс-лист на балку ГОСТ 19425 серии М, ГОСТ 8239, СТО АСЧМ 20-93, ГОСТ 57837 (Б-нормальную, Ш-широкополочную, К-колонную) для перекрытий.

Уголок металлический

Цены на уголок равнополочный сталь 3 сп/пс и 09Г2С, оцинкованный, неравнополочный ст. 3 для гражданского и промышленного строительства.

Источник

Решение задач по сопромату. Сортамент фасонных профилей: швеллер

Сортамент швеллеров / Швеллеры. Сталь прокатная (по ГОСТ 8240-56)

Необходимость выбора швеллера возникает при решении многих практических задач по сопротивлению материалов.

Сортамент швеллеров менее разнообразен, чем сортамент уголков, но разновидностей швеллеров достаточно для принятия конструкторского решения, при котором нужно следовать универсальному правилу для любых сечений балки: нужно выбирать номер швеллера, который удовлетворяет условиям инженерной задачи, чтобы он был как можно ближе к началу таблицы сортамента швеллеров. Если характеристики выбранного швеллера уступают расчетным меньше, чем на 5% (например, осевой момент сопротивления), то останавливают выбор на этом швеллере, если больше 5%, то принимают следующий за ним номер швеллера.

По таблице сортамента швеллеров определяются не только геометрические размеры (чертеж швеллера показан на изображении выше), но и другие параметры:

вес погонного метра швеллера
площадь сечения швеллера
осевой момент инерции швеллера относительно центральных осей
осевой момент сопротивления швеллера относительно центральных осей
радиусы инерции швеллера относительно центральных осей

Источник

1) Выписываем из таблицы сортамента (ГОСТ 8240-72 и ГОСТ 8509-86) необходимые геометрические характеристики для швеллера, уголка и вычисляем по формулам прямоугольника:

а) Полоса (прямоугольник) 240Х18

б) Швеллер №33

в) Уголок 50Х5

2) Определяем положение центра тяжести сечения относительно начальных осей (осей полосы)

На отдельном листе бумаги в масштабе чертим схему поперечного сечения (рис. 2) и указываем положение центральных осей каждого элемента. Выполняем привязку (указываем расстояния) центров тяжести каждого элемента относительно начальных осей

Координаты центров тяжести элементов в осях

$y_12 = ~-~ ({24}/2 ~-~ 2,59) = ~-~ 9,41$ см,

$y_13 = ~-~ ({24}/2 + 1,42) = ~-~ 13,42$ см,

$z_12 = {1,8} / 2 + {33 / 3} = 17,4$ см,

$z_13 = {1,8} / 2 + 33 ~-~ 5 + 1,42 = 30,32$ см.

Рис. 2

Площадь поперечного сечения:

$A=sum{i=1}{3}{A_i}= 43,2 + 46,5 + 4,8 = 94,5$ см ²,

Координаты центра тяжести сечения:

$y_c={S_{z_1}}/{sum{i=1}{3}{A_i}}={sum{i=1}{3}{A_i y_{1i}}}/A={43,2*0+46,5*(~-~ 9,41)+4,8*(~-~ 13,42)}/{94,5}= ~-~ 5,31$ см,

$z_c={S_{y_1}}/{sum{i=1}{3}{A_i}}={sum{i=1}{3}{A_i z_{1i}}}/A={43,2*0+46,5*17,4+4,8*30,32}/{94,5}= 10,1$ см.

Откладываем на рисунке координаты y_c и z_c с учетом знаков, обозначаем положение центра тяжести (точка С) и проводим центральные оси

Контролируем достоверность определения положения центра тяжести сложного сечения. Для этого вычисляем координаты центров тяжести элементов сечения в координатных осях y_c и z_c (расстояния между собственными центральными осями отдельных элементов и центральными осями сечения):

и статические моменты площади сечения относительно центральных осей:

$S_y_c=sum{i=1}{3}{A_i a_i}= 43,2*(~-~10,1) + 46,5*7,3 + 4,8*20,22 = 436,506 ~-~ 436,32 = 0,186$ см ³,

погрешность:

$S_z_c=sum{i=1}{3}{A_i b_i}= 43,2*5,31 + 46,5*(~-~ 4,1) + 4,8*(~-~ 8,11) = 229,392 ~-~ 229,578 = ~-~0,186$ см ³,

погрешность:

3) На основании формул параллельного перехода вычисляем моменты инерции сечения относительно центральных осей и

— осевые

$I_y_c=sum{i=1}{3}{(I_y_i+{a_i}^2 A_i)}= 11,66 + {(~-~10,1)}^2*43,2 + 7980 + {7,3}^2*46,5 + 11,2 + {20,22}^2*4,8 =$
см ⁴,

$I_z_c=sum{i=1}{3}{(I_z_i+{b_i}^2 A_i)}= 2073,6 + {5,31}^2*43,2 + 410 + {(~-~ 4,1)}^2*46,5 + 11,2 + {(~-~ 8,11)}^2*4,8 =$
см ⁴,

— центробежный

$I_{{y_c}{z_c}}=sum{i=1}{3}{(I_{{y_i}{z_i}}+{a_i} {b_i} A_i)} = 0 + {(~-~10,1)}*{5,31}*43,2 + 0 + {7,3}*{(~-~ 4,1)}*46,5 +$ см ⁴.

4) Определяем положение главных центральных осей инерции:

$tg2{alpha_0}={2I_{{y_c}{z_c}}}/{I_z_c~-~I_y_c}={2*(~-~4489,16)}/{4810,24 ~-~ 16850,15} = 0,7457 .$

Отсюда $2{alpha_0}=36,72^circ ;~~~~~alpha_0=18,36^circ .$

На рисунке откладываем положительный угол против часовой стрелки и чертим главные центральные оси инерции (рис. 3).

5) Для определения величин главных центральных моментов инерции используем три вида формул.

а)

$I_U={I_y_c}cos^2{alpha_0}+{I_z_c}sin^2{alpha_0}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=16850,15 cos^2{18,36^circ}+4810,24 sin^2{18,36^circ} ~-~$
$~-~ (~-~4489,16) sin{2*18,36^circ} = 18339,68$ см ⁴,

$I_V={I_y_c}sin^2{alpha_0}+{I_z_c}cos^2{alpha_0}+{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=16850,15 sin^2{18,36^circ}+4810,24 cos^2{18,36^circ} +$
$+ (~-~4489,16) sin{2*18,36^circ} = 3320,71$ см ⁴,

Для проверки правильности нахождения главных моментов инерции, определяем центробежный момент инерции относительно главных осей:

$I_UV = I_{{y_c}{z_c}} cos{2alpha_0} + 1/2 ( I_y_c ~-~ I_z_c ) sin{2alpha_0} =$
$~= (~-~4489,16) cos{2*18,36^circ} + 1/2 (16850,15 ~-~ 4810,24) sin{2*18,36^circ} = ~-~5036,4 + 5037,39 = 0,99$ ,

погрешность:

б)

$I_U={I_y_c}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}= 16850,15 ~-~ (~-~4489,16) tg{18,36^circ} = 18339,68$ см ⁴,

$I_V={I_z_c}+{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}= 4810,24 + (~-~4489,16) tg{18,36^circ} = 3320,71$ см ⁴,

в)

$I_{matrix{2}{1}{max min}}={{I_y_c}+{I_z_c}}/2 pm sqrt{{{({{I_y_c}~-~{I_z_c}}/2)}^2}+{I_{{y_c}{z_c}}}^2}=$
$~={16850,15 + 4810,24}/2 pm sqrt{{{({16850,15 ~-~ 4810,24}/2)}^2} + {(~-~4489,16)}^2}=$

Поскольку ${I_y_c}>{I_z_c}$ , то ${I_U}>{I_V} :$

${I_U}={I_min}= 10830,195 + 7509,485 = 18339,68$ см ⁴,

${I_V}={I_max}= 10830,195 ~-~ 7509,485 = 3320,71$ см ⁴.

Проверяем условие инвариантности осевых моментов инерции:

${I_U}+{I_V}={I_y_c}+{I_z_c} ,$

${I_U}+{I_V}= 18339,68 + 3320,71 = 21660,39$ см ⁴,

${I_y_c}+{I_z_c}=16850,15 + 4810,24 = 21660,39$ см ⁴.

6) Вычисляем главные радиусы инерции:

$i_U=sqrt{{I_U}/{A}}=sqrt{{18339,68}/{94,5}} = 13,93$ см,

$i_V=sqrt{{I_V}/{A}}=sqrt{{3320,71}/{94,5}} = 5,93$ см,

и строим эллипс инерции (рис. 3). Определяем графически радиусы инерции относительно осей

см, см.

Вычисляем моменты инерции относительно этих осей:

$I_y_c={i_y_c}^2 A= {13,35}^2 * 94,5 = 16842,03$ см ⁴,

$I_z_c={i_z_c}^2 A= {7,14}^2 * 94,5 = 4817,57$ см ⁴,

и сравниваем с ранее вычисленными значениями:

см ⁴, см ⁴.

7) Определяем главные моменты сопротивления и

Наиболее удаленной точкой от оси является точка а от оси — точка Измеряя на рисунке расстояния до этих точек от соответствующих главных осей, находим: см, см.

Проверяем по формулам:

см,

см.

Главные моменты сопротивления:

$W_U = {I_U}/{V_max} = {18339,68}/{24,7} = 742,62$ см ³,

$W_V = {I_V}/{U_max} = {3320,71}/{13,53} = 171,82$ см ³.

Рис. 3

Понравилась статья! Поддержи проект! Ставь ЛАЙК!

Источник

3.Подбор сечения балки из прокатной стали по методу допускаемых напряжений

В опасном сечении по нормальным напряжениям (сечение A на рис.12)

Mmax 92кНм=92 10-3 МНм.

Из условия прочности (1) определяем требуемую величину момента сопротивления

треб

Мmax

92 10 3 МНм

-4

=5, 75·10

м =5,75·10

·10

см =575 см ;

160

МН

м2

R A

F =20кН

R C =36кН

M A

q =20кН/м

m =18кНм

Q ,кН

1м

2м

1м

Эпюра поперечных сил

x, м

Эпюра изгибающих моментов

	0
			x, м
M,кНм	14,4	8	18

Рис.12

Вначале проведем подбор двутаврового сечения (рис.13) (для четных схем).

По сортаменту прокатной стали ближайшим к Wyтреб является значение момента сопротивления Wy =597 см3 , которое

соответствует двутавру №33.

Итак, для двутавра №33 фактический момент сопротивления Wyфакт 597см3=597·10-6 м3.

Проверяем выполнение условия прочности:

	92 10 3 МНм	154,104 МПа=154 МПа < [ ]=160 МПа.
597	10 6	м3

Условие прочности выполняется. Балка недогружена. Выбираем двутавр №33.

Замечание. Метод расчета по допускаемым напряжениям допускает перегрузку балок в пределах 5 %. Т.е. величина перегрузки

	[ σ ] max	5 %.


[σ ]

Проведем теперь подбор сечения, состоящего из двух швеллеров (рис.14) (для нечетных схем).

Момент сопротивления относительно оси y

J y

, но J

2 J

шв

, поэтому

zmax

2 J yшв

2W шв .

zmax

Здесь с индексом “шв” обозначается момент инерции и момент сопротивления одного швеллера, а без индекса — момент инерции и момент сопротивления двух швеллеров.

Рис.14

Приравнивая Wy и Wyтреб , получаем, что момент со

противления одного швеллера должен удовлетворять условию

Wyшв	Wyтреб	575 см3	см3.
			288
2	2

По сортаменту прокатной стали (прил.2) выбираем швеллер № 27, т.к. его момент сопротивления Wyшв 308 см3, тогда фактический момент сопротивления

Wyфакт 2Wyшв =2·308 см3=616 см3=616·10-6 м3.

Для выбранного сечения проверяем выполнение условия прочности:

		M	max	92 10 3 МНм	149,4 МПа =149 МПа < [ ] =160 МПа.
max		616 10 6 м3
	W	факт

		y

Условие прочности выполняется. Выбираем сечение из швеллеров № 27.

4. Проверка прочности выбранного сечения по касательным напряжениям

Касательные напряжения ( ) в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле Д.И. Журавского

где Q абсолютная величина поперечной силы (определяется по эпюре поперечных сил);

Syотс абсолютное значение статического момента площади отсеченной

части фигуры;

b(z) толщина поперечного сечения на расстоянии z от оси y; J y осевой момент инерции.

Максимальные касательные напряжения определяются в опасном сечении (Q = Qmax ) в точках поперечного сечения, лежащих на оси y, поэтому b(z)= d для двутавра и b(z)= 2d для двух швеллеров. Отсеченная часть верхняя поло-

вина поперечного сечения, поэтому S отс = S	12	для двутавра и	S отс =2 S	12	для
y	y		y	y

сечения из двух швеллеров. ( Sy12 статический момент половины сечения. Для

прокатных профилей эта величина приводится в сортаменте).

Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде

		Q	max	S	12
max				y	,	(4)
	dJy

где допускаемое касательное напряжение. Для стальных элементов

= 0, 6 .

В нашем примере опасным сечением по касательным напряжениям является сечение А (рис.12)

Qmax = 44 кН

Из сортамента прокатной стали для двутавра №33 определяем следующие значения:

h=33 см; b=14 см; d=0,7 см; t=1,12 см; Jy=9840 см4; Sy12 339 см4. Проверяем выполнения условия прочности (4)

			Qmax Sy12	44 кН 339 см3	2,1655	кН	2,17 10 МПа=
max	dJ y	0,7 см 9840 см4	см2

=21,7 МПа < 0,6 160 МПа=96 МПа.

Условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

Определяем максимальное касательное напряжение для сечения из двух швеллеров №27. Из сортамента прокатной стали для швеллера №27 определяем следующие значения:

h=27 см; b=9,5 см; d=0,6 см; t=1,05 см; Jy=4160 см4; Sy12 178 см4.

			Qmax 2 Sy12	44 кН 178 см3	1,5689	кН	1,57 10 МПа=
max	2d 2 J y	2 0,6 см 4160 см4	см2

=15,7 МПа < 96 МПа.

Условие прочности по касательным напряжениям для двух швеллеров №27 выполняется.

5а. Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении балки по нормальным напряжениям

В опасном сечении балки по нормальным напряженииям (сечение A на рис.12) растянуты верхние волокна, поэтому в опасных точках, лежащих на линии 1–1 , напряжение положительное и равно

1-1 = + max = 154 МПа.

В опасных точках, лежащих на линии 3–3, напряжение отрицательное и равно 3-3 = – max = – 154 МПа.

Используя полученные данные, строим эпюру нормальных напряжений по высоте балки, которая графически изображается наклонной прямой линией (рис.15).

				Эпюра нормальных
		z	напряжений
	t
	z	154
1		1

,МПа


3		3	154
	b

Рис.15

Для сечения, состоящего из двух швеллеров в опасных точках, лежащих на линии 1–1, напряжение положительное и равно

1-1 = + max = 149 МПа.

В опасных точках, лежащих на линии 3–3, напряжение отрицательное и равно 3-3 = – max = – 149 МПа.

5б. Построение эпюры касательных напряжений в опасном сечении по касательным напряжениям

В опасном сечении балки по касательным напряжениям (сечение A на рис.12)

Qmax = 44 кН.

Из сортамента прокатной стали для двутавра №33 определяем следующие значения:

h=33 см; b=14 см; d=0,7 см; t=1,12 см; Jy=9840 см4; Sy12 339 см4.

При определении касательных напряжений в характерных точках сечения, лежащих на линиях 4 – 4, 2 – 2 и 5 – 5 , двутавр представляется в виде условного двутаврового сечения (рис.16), составленного из прямоугольников. Касательные напряжения в этом случае можно определять по формуле Журавского (3).

Касательные напряжения в точках линии 2 – 2 равны max :

2 2 max 21,7МПа.

Для определения касательного напряжения в точках линии 4 – 4 найдем статический момент полки (отсеченная часть сечения) – заштрихованный прямоугольник со сторонами b и t (рис.16):

Syотс Syполка Aполка zcполка ,

где Аполка – площадь полки двутавра;

zcполка – координата центра тяжести полки относительно оси y. Аполка bt =14 см 1,12 см =15,7 см2;

zполка

33 1,12

см 15,9см;

Тогда Syполка (15,7см2) (15,9см)= 250см3.

Вычисляем напряжения по линиям 4 – 4 и 5 – 5

Qmax Syполка

44 кН 250 см3

1,60

кН

1,60 10 МПа=16,0 МПа.

4 4

5 5

dJ y

0,7 см 9840 см4

см2

По полученным значениям строим эпюру касательных напряжений по высоте стенки (рис.16).

												Эпюра													Эпюра
												касательных													касательных
			t		z			напряжений										z			напряжений
											t

										16,0														11,5


	4
		4							,МП			4		4
		d													,МПа
																d




h		2				2											2			2
													h
										21,6
																			15,7

																							y
			5	5			y											5




															5

												16,0														11,5



						b
																						b


										Рис.16							Рис.17

Переходим к определению касательных напряжений для сечения из двух швеллеров №27.

При определении касательных напряжений в характерных точках сечения, лежащих на линиях 4 – 4, 2 – 2 и 5 – 5 , швеллер представляется в виде условного сечения(рис.17), составленного из прямоугольников.

Из сортамента прокатной стали для швеллера №27 определяем следующие значения:

h=27 см; b=9,5 см; d=0,6 см; t=1,05 см; Jy=4160 см4; Sy12 178 см4.

Касательные напряжения в точках линии 2 – 2 равны2 2 max 15,7МПа.

Для определения касательного напряжения в точках линии 4 – 4 найдем статический момент полки швеллера – заштрихованный прямоугольник со сторонами b и t (рис.17):

S полка Aполка zполка ,

Аполка bt =9,5

см 1,05 см =9,98 см2; zcполка

27 1,05

см 13,0 см;

Тогда Syполка (9,98 см2) (13,0 см)= 130 см3. Очевидно, что

Syотс 2 Syполка .

Вычисляем напряжения по линиям 4 – 4 и 5 – 5

Qmax 2 Syполка

44 кН 130 см3

кН

4 4 5 5

1,15

11,5 МПа.

2 0,6 см 4160 см4

см2

2d 2 J y

По полученным значениям строим эпюру касательных напряжений по высоте стенки (рис.17).

Источник