Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно твердого тела, оси или точки.
Обозначение: M, m или M(F).
Размерность — [Н∙м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН∙м]
Аналогом момента силы является момент пары сил.
Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.
Определение
Момент определяется как произведение силы F на плечо h:
M(F)=F×h
Плечо силы h, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.
Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:
Другие видео
Например, сила величиной 7 кН приложенная на расстоянии 35см от рассматриваемой точки вращения создает момент M=7×0,35=2,45 кНм.
Пример момента силы
Наиболее наглядным примером момента силы может служить поворачивание гайки гаечным ключом.
Гайки заворачиваются вращением, для этого к ним прикладывается момент, но сам момент возникает при воздействии нашей силы на гаечный ключ.
Вы конечно интуитивно понимаете — для того чтобы посильнее закрутить гайку надо взяться за ключ как можно дальше от нее.
В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения её плеча (h2>h1).
Плечом при этом служит расстояние от центра гайки до точки приложения силы.
Плечо момента силы
Рассмотрим порядок определения плеча h момента:
Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F, линия действия которой не проходит через эту точку. Требуется определить момент силы.
Покажем линию действия силы F (штриховая линия)
Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы
Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.
Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).
Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.
Примеры расчета момента силы
Сила расположена перпендикулярно оси стержня
Если сила F приложена перпендикулярно к оси бруса и известно расстояние между точками A и B.
То момент силы F относительно точки A:
МA=F×AB
Сила расположена под углом к оси стержня
В случае, если сила F приложена под углом α к оси балки
Момент силы относительно точки B:
MB=F×cosα×AB
Известно расстояние от точки до линии действия силы
Если известно расстояние от точки где определяется момент до линии действия силы (плечо h)
Момент силы относительно точки B:
MB=F×h
См. также:
- Примеры решения задач >
- Момент силы относительно точки
- Момент силы относительно оси
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Роман Алексеевич Лалетин
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Теоретическая механика представляет раздел физики, в котором изложены основные законы механических взаимодействий и движений материальных тел.
Понятие момента силы в теоретической механике
Определение 2
В теоретической механике говорится о таком понятии, как момент силы. Он представляет собой величину, характеризующую вращательную способность силы.
Парой сил считается система двух параллельных, противоположно направленных и равнозначных по модулю сил: $vec{F}$, $vec{F^2}$. Тело, под воздействием пары сил, будет совершать вращательные движения.
Системой сил является комплекс сил, оказывающих непосредственное воздействие на механическую систему. Плоскую систему при этом представляют силы, чьи линии действия лежат в одной плоскости. Пространственную систему – силы, у которых линии действия не лежат в одинаковой плоскости.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Систему сходящихся сил представляют силы, чьи линии действия будут пересекаться в одной точке. В произвольной системе линии действия сил не будут пересекаться в одной точке.
Равновесное состояние характеризует такое положение, тело при котором в момент действия сил или сохраняет неподвижность, или движется равномерным и прямолинейным образом.
Уравновешенной системой сил считается такая система, которая, прилагаясь к свободному твердому телу, сохраняет неизменность его механического состояния (то есть не выводит из равновесия). Равнодействующей силой будет та сила, чье воздействие на тело эквивалентно действиям системы сил.
Проекцию силы на ось представляет заключенный между перпендикулярами отрезок. При этом они проведены из начала и конца вектора силы к данной оси. Проекция положительная при совпадении направленности отрезка и положительного направления оси. Проекцию силы на плоскость представляет вектор на плоскости между перпендикулярами, которые проведены из начала и конца вектора силы к такой плоскости.
«Моменты в теоретической механике» 👇
Момент силы относительно оси
Замечание 1
Моментом силы относительно оси будет считаться момент проекции такой силы на перпендикулярную оси плоскость в отношении точки их пересечения.
Момент окажется положительным при условии, что поворот, совершаемый силой, осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным – если против, записывается это формулой:
$M_z (vec{F} = M_0 (vec{F_xy}) = hF_xy$
Для нахождения момента силы относительно оси нужно:
- провести перпендикулярно оси $z$ плоскость и спроецировать на нее силу $F$;
- спроецировать силу $F$ на вышеуказанную плоскость с последующим вычислением величины проекции $F_xy$;
- провести $h$ (плечо) из точки, где пересекается ось с плоскостью, на линию действия проекции $F_xy$ с последующим определением его длины;
- вычислить произведение этого плеча, а также — проекции силы с соответствующим знаком.
Нулевое значение момент силы относительно оси обретает в том случае, когда $F_xy=0$ (при параллельности силы $F$ оси). Второе условие заключается в том, что линия действия силы будет пересекать ось, т.е. $h=0$.
Равнодействующую $R$ двух сходящихся сил находят по аксиоме параллелограмма сил. Геометрическую сумму любого числа сходящихся сил вычисляют посредством последовательного суммирования двух сил (способом векторного многоугольника).
Таким образом, систему сходящихся сил $vec{F_n}$ приводят к одной равнодействующей силе $vec{R}$
Аналитически равнодействующую силу определяют ее проекцией на оси координат:
$R=sqrt{R_x^2+R_y^2R_z^2}$
Исходя из теоремы, проекция равнодействующей на ось вычисляется формулой:
$R_x=F_1x+F_2x+F3x$
Или
$F_kx=sum{F_kx}$
С учетом этого, равнодействующую определяет выражение:
$R=sqrt{(sum{F_kx})^2+(sum{F_ky})^2+(sum{F_kz})^2}$
Действие системы для сходящихся сил будет эквивалентным действию одной равнодействующей силы. Условием равновесия тела считается нулевое значение равнодействующей, т.е. $vec{R}=0$
Из формулы $R=sqrt{(sum{F_kx})^2+(sum{F_ky})^2+(sum{F_kz})^2}$ следует, что главным и необходимым условием равновесного состояния пространственной системы сходящихся сил будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$, $Z$:
$sum{F_kx}=0$
$sum{F_ky}=0$
$sum{F_kz}=0$
Необходимым условием равновесия для плоской будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$:
$sum{F_kx}=0$
$sum{F_ky}=0$
Момент силы относительно точки
Абсолютное значение момента в теоретической механике вычисляется формулой:
$M_0(vec{F})=hF$
При положительном моменте сила вращает плечо $h$ против часовой стрелки, а при отрицательном – по часовой.
Согласно свойствам момента силы относительно точки, он сохраняет свою неизменность, если точка приложения силы переносится вдоль линии ее действия. Еще одно свойство проявляется в том, что момент равнодействующей силы относительно точки определяет сумма моментов слагаемых сил в отношении этой точки:
$M_0(vec{R})=M_0(vec{F_1})+M_0(vec{F_1})$,
где $vec{R}=vec{F_1}+vec{F_2}$
Момент пары сил
Момент пары сил определяет формула: $M(vec{F},vec{F})=Fh$где $vec{F},vec{F}) – силы, которые составляют пару, $h$ — плечо пары. — плечо пары.
Момент пары окажется положительным при стремлении сил к вращению плеча против часовой стрелки. Свойства пары сил выражены в: нулевом значении суммы проекций сил на ось; неизменности момента пары при одновременном изменении значения сил и плеча пары, возможности переноса пары в плоскости ее действия при неизменности действия пары на тело.
Момент силы относительно точки будет выражать следующая формула: $M_0(vec{F})=hF$. Момент окажется положительным при стремлении силы к вращению плеча против часовой стрелки и отрицательным – когда вращать будет по часовой.
Свойства момента силы в отношении точки выражаются в следующем: его неизменности в момент переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия; момент равнодействующей силы в отношении точки представляет суммарное значение моментов слагаемых сил относительно нее: $M_0(vec{R})=M_0(vec{F_1})+M_0(vec{F_2})$, где $vec{R}=vec{F_1}+vec{F_2}$, нулевом значении момента силы при прохождении линии действия силы через точку ее приложения;
Приложенную к твердому телу силу возможно перенести. При этом будет неизменным оказываемое ею действие, а перенос осуществляется параллельно в другую точку тела. Также при этом добавляется пара сил с моментом, равнозначным переносимой силе относительно точки, куда она переносится. Вследствие вышеуказанного преобразования мы наблюдаем формирование сходящейся системы сил и суммы моментов пар сил. Действие такой системы заменяют действия суммарной силы, а действие моментов — суммарный момент.
Суммарный вектор $vec{R}$ считается главным вектором системы сил. Суммарный момент $M_0(vec{F_k})$ — основной момент системы сил.
Итогом становится тождественное преобразование произвольной системы сил в главный вектор и момент такой системы. Аналитически главный вектор и момент системы могут определяться их проекциями на оси координат:
$R=sqrt{sum{R_kx}^2+sum{R_ky}^2+sum{R_kz}^2}$
$M=sqrt{sum{M_kx}^2+sum{M_ky}^2+sum{M_kz}^2}$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание:
Моменты силы относительно точки и оси:
Для рассмотрения различных систем сил необходимо ввести понятия алгебраического и векторного моментов силы относительно точки и момента силы относительно оси. Введем эти характеристики действия силы на твердое тело и рассмотрим их свойства.
Алгебраический момент силы относительно точки
При рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твердому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.
Рис. 19
Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки (рис. 19), взятое со знаком плюс или минус.
Плечом 
относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т. е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки 
на линию действия силы 
.
Обозначим 
или 
алгебраический момент силы 
относительно точки . Тогда
Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке — знак минус.
Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину (в 
).
Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль ее линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе 
и моментной точке:
Векторный момент силы относительно точки
При рассмотрении пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, применяется понятие векторного момента силы относительно точки.
Векторным моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки (рис. 20).
Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.
Рис. 20
Условимся векторный момент силы 
относительно точки обозначать 
, а его числовую величину — 
. Тогда, согласно определению,
Как и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:
Справедлива формула
где 
—радиус-вектор, проведенный из моментной точки в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.
Чтобы убедиться в справедливости формулы (3), достаточно показать, что
по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки . По определению векторного произведения двух векторов известно, что
Как показано на рис. 20, 
, причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор . Итак,
что совпадает с векторным моментом силы относительно точки . Вектор , как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , т. е. плоскости треугольника 
, которой перпендикулярен и векторный момент .
Направление тоже совпадает с направлением . Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.
Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным
нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.
Рис. 21
Если сила дана своими проекциями 
на оси координат и даны координаты 
точки приложения этой силы (рис. 21), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (3), после разложения по осям координат вычисляем по формуле
где 
— единичные векторы, направленные по осям координат.
Используя формулу (4), можно выделить проекции на оси координат:
Модуль векторного момента и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам
В формулах (6) числовую величину 
берем со знаком плюс.
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 22). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси 
обозначим 
.
Рис. 22
По определению,
где 
— вектор проекции силы 
на плоскость 
, перпендикулярную оси , а точка — точка пересечения оси с плоскостью .
Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы 
и точке пересечения оси с плоскостью:
Из формулы (8) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:
- Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.
- Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью и, следовательно, равно нулю плечо силы
относительно точки .
В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Объединяя их, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.
Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси
Используя формулу (8), имеем (рис. 23)
Векторный момент силы относительно точки , взятой на пересечении оси с перпендикулярной плоскостью , выражается в виде
Векторный момент 
направлен перпендикулярно плоскости треугольника 
. Аналогично, для другой точки 
оси
причем векторный момент 
направлен перпендикулярно плоскости треугольника 
. Треугольник 
является проекцией треугольников 
и 
на плоскость . Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника 
является ось , а перпендикулярами к плоскостям треугольников 
и 
—соответственно векторные моменты 
и 
. Таким образом, 
, где 
— угол между вектором и осью . Отсюда по формулам (8′) и (9) имеем
причем знак 
полностью определяется знаком 
.
Аналогично,
т. е.
где 
— любая точка на оси .
Формулы (11) и (12) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.
Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.
Рис. 23
Формулы для моментов силы относительно осей координат
Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси, можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы. Для оси 
имеем
Согласно (5),
следовательно,
Аналогично, для осей 
и 
Окончательно
По формулам (13) можно вычислить моменты силы относительно прямоугольных осей координат.
По этим формулам получаются необходимые знаки для 
, если проекции силы 
на оси координат и координаты 
точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.
При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение, т. е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.
Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил
При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной —сложить их (найти равнодействующую). Пара сил нс поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.
Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом — произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).
Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 нм (ньютон-метр = 1 н-1ж), а в системе МКГСС (технической)— 1 кГ-м.
Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:
При равновесии пар сил
Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.
Дальнейшее изложение основано на правиле, т. е. считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело но ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.
В том случае когда пары сил действуют на тело будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно
к плоскости действия пары сил (рис. 62). Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.
Задача 1.
Определить момент пары сил (рис. 63), если 
н, АВ — 0,5 м и а = 30°.
Решение.
1. При определении момента пары сил нужно прежде всего правильно определить плечо пары. При этом необходимо различать следующие понятия: плечо пары сил и расстояние между точками приложения сил нары.
Так как в механике твердого тела сила—скользящий вектор, то действие силы не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль линии ее действия. Значит расстояние между точками приложения сил, образующих пару, можно изменять неограниченно. Но плечо пары при этом переносе остается неизменным.
В частном случае расстояние между точками приложения сил, образующих пару, может быть равно плечу.
Чтобы определить плечо данной пары из точки приложения одной из сил, например из точки В, восставим перпендикуляр ВС к линии действия другой силы. Расстояние ВС и есть плечо данной пары сил. Расстояние между точками приложения сил, образующих пару, АВ=0,5 м.
Легко видеть, что
2. Найдем момент пары сил:
Задача 2.
Как изменится момент пары сил 
показанной на рис. 64, а (P = 50 н, AВ=0,4 м и а=135), если
повернуть силы 
так, чтобы они стали перпендикулярными АВ? Решение.
1. Найдем момент пары при заданном положении ее сил (рис. 64, а).
Из точки В восставим перпендикуляр ВС к линиям действия сил 
и найдем его длину:
Момент пары при заданном положении сил
2. Повернем силы
из заданного положения на угол 
=а°— 90э в направлении против хода часовой стрелки (рис. 64, б). При таком положении сил относительно АВ плечом пары сил является расстояние между точками их приложения, поэтому
3. Сравнивая полученные результаты, видим, что после поворота сил момент пары увеличивается на 20—14,5 = 5,85 н-м.
4. Легко заметить, что силы 
могут достичь перпендикулярного положения к АВ после их поворота на угол у в направлении по ходу часовой стрелки (рис. 64, в). В том случае плечом пары является тот же отрезок АВ, но момент пары
Момент пары сил изменяет свой знак.
Задача 3.
К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м (рис. 65, а), приложены равные по модулю силы (Р = 12н) таким образом, что они образуют две пары сил
Определить момент равнодействующей пары сил
Решение 1.
Плечи у обеих пар сил равны стороне квадрата поэтому
Решение 2.
1. Перенесем силы 
из точек 
в точки В и D (рис. 65, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил 
и
одинаковыми модулями.
2. Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих случаях
3. Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил 
заменяющей собой две данные.
4. Найдем момент пары 
и, следовательно,
Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары 
с плечом BD (диагональю данного квадрата).
Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24 и, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD (рис. 65, в)
- Заказать решение задач по теоретической механике
Задача 4.
На прямоугольник ABCD (рис. 67) вдоль его длинных сторон действует пара сил 
Какую пару сил нужно приложить к прямоугольнику, направив силы вдоль его коротких сторон, чтобы уравновесить пару 
Решение.
1. Момент данной пары сил
необходимо уравновесить парой, момент которой обозначим Л1м. Тогда, согласно условию равновесия,
Откуда
2. Обозначив силы, образующие искомую пару 
замечая, что ее плечо равно ВС, получим
Отсюда
•Значит к прямоугольнику необходимо приложить пару сил с положительным (направленным против хода часовой стрелки) моментом, равным 48 н м. Силы, образующие эту пару, равняются
20 н каждая и одна из них должна действовать вдоль стороны АВ от А к В, вторая — вдоль стороны CD от С к D.
Задача 5.
Прямолинейный стержень АВ должен находиться в равновесии в положении, показанном на рис. 68, а (угол а = 
При этом в точках А и В на стержень действуют вертикальные силы 
образующие пару 
Какие две равные силы нужно приложить к стержню в точках С и D, направив их перпендикулярно к стержню, чтобы обеспечить равновесие. АВ = 3 м, CD— 1 м, 
Решение.
1. Пару сил можно уравновесить только парой сил. Поэтому в точках С и D к стержню необходимо приложить две равные силы так, чтобы они образовали пару сил с моментом, равным моменту пары 
но имеющим противоположный знак.
Так как пара 
поворачивает стержень на ходу часовой стрелки, искомые силы должны поворачивать его против хода часовой стрелки (рис. 68, б).
2. Применяем условие равновесия:
Или, подставив значения моментов,
где
Отсюда
Следовательно, в точках С и D необходимо приложить силы 
по 150 н каждая, как показано на рис. 68, б.
Момент силы относительно точки
Момент силы относительно точки при решении задач по статике, а затем и по динамике имеет не менее важное значение, чем проекции сил. Поэтому нужно уметь определять эту величину безошибочно. Обычно его числовое значение находят неправильно из-за ошибок, допускаемых при определении плеча.
Чтобы не допускать ошибок при определении моментов сил относительно точки, рекомендуется придерживаться следующего порядка:
- Прежде всего нужно научиться «видеть» силу, момент которой определяем, и центр моментов — точку, относительно которой определяем момент (рис. 70 — сила и центр моментов — точка В).
- Затем из центра момента проводим прямую ВЬ перпендикулярно к линии действия силы DF. Длина перпендикуляра ВС от центра момента до линии действия силы и есть плечо.
- Потом находим знак момента. При этом если сила стремится повернуть плечо вокруг центра момента против хода часовой стрелки, то считаем момент положительным; если по ходу часовой стрелки, то отрицательным (тоже правило, что и при определении знака момента пары сил).
- Находим числовое значение момента силы относительно точки, умножив модуль силы на плечо.
и центр моментов — точка В).По рис. 70
В частном случае момент силы может равняться нулю. Это происходит тогда, когда центр моментов лежит на линии действия силы, при этом плечо равняется нулю. По рис. 70 момент силы 
относительно точки А (или С) равен нулю.
Задача 6.
Определить моменты шести заданных сил (рис. 71) относительно точек А, В и С, если
Решение 1 — определение моментов гнести заданных сил относительно точки А (рис. 71, а).
1. Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил 
Значит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,
2. Находим момент силы 
Опустив из точки А на линию действия
силы 
перпендикуляр AD, получим плечо силы 
Длину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD:
3. Величина момента отрицательная (сила 
поворачивает плечо AD вокруг точки А но ходу часовой стрелки), следовательно,
4. Находим момент силы 
Плечом силы 
является перпендикуляр АЕ к СЕ — линии действия силы 
Из треугольника АСЕ
Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой 
против хода часовой стрелки). Следовательно,
5. Находим момент силы 
Плечом силы 
относительно точки А является отрезок АС, так как сила 
направлена к АС перпендикулярно. Величина момента отрицательная:
Решение 2 — определение моментов сил относительно точки В (рис. 71, б).
1. Центр моментов в точке В.
2. Через точку В проходят линии действия двух сил: 
Следовательно,
3. Находим момент силы 
Плечо силы 
Величина момента отрицательная:
4. Находим момент силы 
Плечо силы 
Момент отрицательный:
5. Находим момент силы 
Плечо силы 
Величина момента положительная:
6. Находим момент силы 
Плечом силы
является отрезок ВС. Момент положительный:
Решение 3 — определение моментов сил относительно точки С (рис. 71, в) рекомендуется выполнить самостоятельно.
Ответ. 
В задаче силы расположены так, что либо их плечи определяются очень просто — как катеты прямоугольных треугольников, в которых даны гипотенузы, либо плечи заданы в условии задачи (ВС и АС).
Но иногда некоторые силы заданной системы оказываются расположенными относительно выбранного центра моментов так, что определить длину плеча трудно и требуется, например, предварительно вычислить длины еще одного-двух отрезков. В таких случаях целесообразно силу разложить на две составляющие и применить для определения ее момента теорему Вариньона.
Задача 7.
Определить моменты относительно точки 
я, приложенных в точках А, В и С, как показано на рис. 72, а. Углы
ВС =1,5 м.
Решение.
1. Относительно точки А моменты сил
определяются аналогично
2. Находим момент силы 
Вариант 1-й (рис. 72, а). Плечо АЕ силы 
в данном случае определяем из 
в котором известен только 
. Значит нужно предварительно определить одну из сторон. Найдем AF:
AF = AB — FB.
Величину FB находим из 
в котором 
следовательно,
И теперь можем определить плечо АЕ:
Раскрываем скобки и заменяем 
Момент положительный, следовательно:
Вариант 2-й. Чтобы избежать определения плеча АЕ, которое в данном случае находится после предварительного вычисления двух отрезков (FB и AF), необходимо момент силы 
относительно точки А найти по теореме Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в той же плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.
Разложим силу 
на две составляющие: одну, направленную вдоль отрезка ВС, и другую — перпендикулярно к нему (рис. 72, б).
Модуль первой составляющей 
а ее плечо — отрезок АВ, длина которого задана. Модуль второй составляющей 
а ее плечо АК = ВС =1,5 м.
Применяя теорему Вариньона, получаем
Как видно, получено точно такое же значение момента, что и в первом варианте решения:
- Теория пар сил
- Приведение системы сил к простейшей системе
- Условия равновесия системы сил
- Плоская система сил
- Аксиомы и теоремы статики
- Система сходящихся сил
- Плоское движение тела
- Принцип виртуальных перемещений
Содержание:
- Момент силы
- Момент силы относительно точки (центра)
- Момент силы относительно оси
- Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку
- Моменты силы относительно координатных осей
- Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)
Момент силы (момент силы относительно точки; также: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — эо векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение.
На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.
Момент силы
Система сходящихся сил, которая будет рассмотрена в главе 2, является особой среди
систем сил. Только в этой системе линии действия сил имеют одну точку пересечения. Поэтому для ее изучения достаточно основных понятий статики, рассмотренных в разделе 1. Для изучения других систем сил необходимо ознакомиться с понятиями момента силы и пары сил.
Понятие о моменте силы — одно из основных понятий механики, которое широко используется и в теоретических исследованиях и при практических расчетах. К понятию момента силы человечество пришло, рассматривая равновесие и движение тел, имеющих точку или ось вращения (в частности блоков и рычагов, которые использовались в практике еще до нашей эры).
Например, на неподвижный блок (рис. 3.1) действует сила 
, вращающей его вокруг горизонтальной оси О. Стержень АВ (рис. 3.2), который имеет неподвижную шарнирную опору A, будет вращаться вокруг оси шарнира под действием собственной силы тяжести 
В обоих примерах сила обуславливает вращательное движение тела. По мере вращательного действия силы на тело является момент силы.
Момент силы относительно точки (центра)
Заданная сила 
, изображена вектором 
, приложенная к некоторому телу в точке А. Определим момент силы 
относительно точки О (рис. 3.3). Векторным моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный векторному произведению радиуса вектора точки приложения силы на вектор силы:
где 
— радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.
Определим величину (модуль) и направление вектора 
. Согласно понятиям и свойствам векторного произведения двух векторов, величина (Модуль) момента силы 
относительно точки О равна:
Обозначим 
. Поскольку 
Тогда:
где 
(рис. 3.3) — высота 
опущенная из вершины В (с точки О) на сторону АВ этого треугольника, совпадает с линией действия силы. Короткое расстояние от точки О до линии действия силы называется плечом силы относительно этой точки. Из этого следует, что модуль (величина) момента силы относительно точки равна произведению величины силы на ее плечо относительно этой точки.
Вектор 
направляется по правилу векторного произведения: векторный момент силы относительно точки (Центра) является перпендикулярным к плоскости, в которой размещены сила и точка (центр) так, чтобы с его конца было видно попытки силы возвращать тело вокруг точки (Центра) против хода часовой стрелки.
Заметим, что 
. Поэтому:
Модуль момента силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, вершинами которого является точка и начало и конец вектора 
Если линия действия силы проходит через точку (центр), то h = 0, и из формулы (3.2) видно, что момент силы относительно этой точки будет равняться нулю.
Момент силы относительно точки не изменяется при переносе силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы относительно точки (рис. 3.4).
Если на тело действует плоская система сил, то векторы моментов всех сил системы относительно некоторого центра, что лежит в плоскости действия сил, будут перпендикулярны этой плоскости, а следовательно, параллельные и их можно считать скалярными величинами, которые отличаются только величиной и знаками.
В этом случае целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы относительно точки (центра), равный взятом со знаком «+» или «-» произведения модуля силы на плечо относительно этой точки (центра)
Будем считать момент положительным, если сила пытается вращать тело вокруг точки (центра) против хода часовой стрелки (рис. 3.5, а), и отрицательным — если по ходу часовой стрелки (рис. 3.5, б). Единицы момента силы: 
Момент силы относительно оси
Изучая пространственные системы сил, будем использовать понятие момента силы относительно оси.
Моментом силы относительно оси называется величина, равная алгебраическому моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.
Пусть к телу в некоторой точке А приложена сила 
(Рис. 3.6). определим момент силы 
относительно произвольной оси 
. Проведем плоскость П, перпендикулярную оси 
.
Точку пересечения плоскости П с осью 
обозначим А. Спроектируем силу 
на плоскость П и получим силу 
Согласно определению 
Таким образом, чтобы определить момент силы относительно оси, необходимо:
— спроектировать эту силу на плоскость, перпендикулярную оси;
— найти точку пересечения оси с этой перпендикулярной плоскостью;
— определить алгебраический момент полученной проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью.
Из формулы (3.5) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если:
1) сила параллельна оси, тогда 
2) линия действия силы пересекает ось, тогда 
Эти два условия эквивалентны одному условию: момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось лежат в одной плоскости. поскольку момент силы относительно оси 
, то согласно принятому правилу знаков моментов следует, что момент силы относительно оси положительный, если, смотря с конца оси, видим, что проекция этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, пытается вращать тело вокруг оси против часовой стрелки (рис. 3.7, а). если вращение происходит в направлении хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси будет отрицательным (рис. 3.7, б). Можно доказать, что момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О на этой оси.
Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку
Теорема 3.1. Проекция векторного момента силы относительно точки на ось, проходящей через эту точку, равен моменту силы относительно этой оси.
Доказательство. Сила 
приложена в точке А пространства. Выберем произвольную точку О и проведем оси 
(рис. 3.8). Определим момент силы 
относительно оси 
и относительно точки О на ней.
Известно, что 
где 
Из курса элементарной геометрии известно, что 
где 
— угол между плоскостями этих треугольников, а следовательно, и угол между перпендикулярами к этим плоскостей.
Поскольку вектор 
перпендикулярный плоскости
, а ось 
перпендикулярна к 
Учитывая равенства (3.6), (3.7), получим 
Знак 
полностью определяется знаком 
.
Поскольку
что и требовалось доказать.
Моменты силы относительно координатных осей
Пусть на тело действует сила 
приложенная в точке А (рис. 3.9). выберем произвольную точку О и из нее проведем оси декартовой системы координат.
Определим момент силы 
относительно этих осей. Для этого запишем выражение для момента силы 
относительно точки О.
Согласно (3.1),
где 
— радиус-вектор точки А относительно точки О.
Вектор силы 
и радиусвектор 
через проекции на оси координат выражаются:
где 
— координаты точки А; 
— орты выбранной системы координат.
Тогда векторное произведение 
можно записать в виде определителя:
Раскрывая этот определитель, получим
Представим векторный момент 
через его проекции на оси координат:
Сравнивая правые части равенств (3.9) и (3.10), получим:
Поскольку точка О принадлежит осями 
, то из формул (3.11), учитывая зависимость (3.8), получим выражения:
Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)
Теорема 3.2. Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил
относительно некоторого центра (точки) равна векторной сумме моментов составляющих сил относительно того же центра (точки).
Доказательство. На тело действует пространственная система сходящихся сил 
линии действия которых пересекаются в точке В (Рис. 3.10, а). заменим
данную систему сил эквивалентной системой, все силы которой приложенные в точке В
(Рис. 3.10, б). Равнодействующую системы, прилагаемую в той же точке В, обозначим 
. Найдем момент равнодействующей 
относительно точки (центра) О. Согласно формуле (3.1), 
где 
— радиус-вектор точки приложения всех сил системы и равнодействующей относительно центра О.
Известно, что 
. Тогда 
Итак, получили равенство 
Теорема доказана.
Уравнение (3.13) является математическим записи теоремы Вариньона для пространственной системы сходящихся сил.
В случае плоской системы сходящихся сил теорема Вариньона запишется так:
Итак, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторого центра (точки), лежащий в плоскости действия сил, равна алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этого самого центра (точки).
Рассмотрим пример на применение теоремы Вариньона.
Задача. На согнутый под прямым углом стержень АВС действуют силы 
и 
как показано на рис. 3.11. Найти моменты этих сил относительно точки А, если 
Решение.
Для определения момента силы 
относительно точки используем теорему Вариньона.
Разложим силу 
на две составляющие: горизонтальную 
и вертикальную 
. Величины этих составляющих 
Тогда, согласно теоремой 3.2, получим:
Услуги по теоретической механике:
- Заказать теоретическую механику
- Помощь по теоретической механике
- Заказать контрольную работу по теоретической механике
Учебные лекции:
- Статика
- Система сходящихся сил
- Пара сил
- Произвольная система сил
- Плоская произвольная система сил
- Трение
- Расчет ферм
- Расчет усилий в стержнях фермы
- Пространственная система сил
- Произвольная пространственная система сил
- Плоская система сходящихся сил
- Пространственная система сходящихся сил
- Равновесие тела под действием пространственной системы сил
- Естественный способ задания движения точки
- Центр параллельных сил
- Параллельные силы
- Система произвольно расположенных сил
- Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
- Кинематика
- Кинематика твердого тела
- Движения твердого тела
- Динамика материальной точки
- Динамика механической системы
- Динамика плоского движения твердого тела
- Динамика относительного движения материальной точки
- Динамика твердого тела
- Кинематика простейших движений твердого тела
- Общее уравнение динамики
- Работа и мощность силы
- Обратная задача динамики
- Поступательное и вращательное движение твердого тела
- Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
- Сферическое движение твёрдого тела
- Движение свободного твердого тела
- Сложное движение твердого тела
- Сложное движение точки
- Плоское движение тела
- Статика твердого тела
- Равновесие составной конструкции
- Равновесие с учетом сил трения
- Центр масс
- Колебания материальной точки
- Относительное движение материальной точки
- Статические инварианты
- Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
- Динамика системы материальных точек
- Общие теоремы динамики
- Теорема об изменении кинетической энергии
- Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- Потенциальное силовое поле
- Метод кинетостатики
- Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
Раздел 1. Теоретическая
механика
Тема 1.4 Момент силы относительно центра и оси. Пара
сил
Цель: Изучение способов
вычисления момента силы относительно центра и оси, свойств пары сил, условий
и уравнений равновесия плоской системы произвольно расположенных сил
Задачи:
1.
Научиться вычислять момент силы относительно центра
и оси, ознакомиться со свойствами пары сил, с условиями и уравнениями
равновесия плоской системы произвольно расположенных сил.
2.
Совершенствовать умение применять основные термины
и формулы на практике.
3.
Способствовать пониманию
сущности и социальной значимости своей будущей профессии, проявлению к ней
устойчивого интереса.
Информационное
обеспечение:
Основная
литература:
1.
Олофинская В.П. Техническая механика. Курс лекций с
вариантами практических и тестовых заданий. — М.: ФОРУМ-ИНФРА-М, 2013.
2.
Сафонова Г.Г., Артюховская Т.Ю., Ермаков Д.А.
Техническая механика. — М.: ИНФРА-М, 2013.
Дополнительная
литература:
1.
Аркуша
А.И., Фролов М.И. Техническая механика. — М.: Высшая школа, 1983.
2.
Аркуша
А.И. Руководство к решению задач по теоретической механике. — М.: Высшая
школа, 1976.
3.
Эрдеди
А.А., Медведев Ю.А., Эрдеди Н.А. Техническая механика. — М.: Высшая школа,
1991.
Интернет-ресурсы:
http:/antigtu.ru/video—l—p/ —
видеолекции по теоретической механике, по деталям машин; электронные лекции по
механике и сопромату; готовые решения задач из различных задачников.
Содержание
1.
Момент силы относительно точки
2.
Пара сил. Свойства пары сил
3.
1. Момент силы
относительно точки
Момент –способность силы создавать вращение
(М).
Момент силы относительно точки равен произведению силы на
перпендикуляр, опущенный из точки вращения на линию действия силы.
 |
а – плечо, перпендикуляр или кратчайшее расстояние между
точкой вращения и линией действия силы F (Рисунок 1).
 |
Рисунок 1. Схема действия силы F
Единица измерения М [Н * м] 1кНм = 103 Нм
1МНм =
106 Нм
Если вращение тела происходит по часовой стрелке, то
момент положительный (Рисунок 2).
 |
|||
 |
|||
Рисунок 2. Схема действия силы F по часовой стрелке
Момент отрицательный, если вращение тела происходит против часовой
стрелки (Рисунок 3).
 |
Рисунок 3. Схема действия силы F против часовой стрелки
Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы
проходит через точку вращения, (плечо равно нулю, нет вращения) (Рисунок 4).
Мо (F1) = 0, М0 (F2) = 0
Рисунок 3. Схема действия сил, проходящих
через точку вращения
Задача:
Определить моменты сил F1, F2, F3 относительно
точек А, В, С (Рисунок 4).
 |
2. Пара сил. Свойства пары сил
Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны
и не лежащие на одной прямой, называются парой сил (Рисунок 5).
 |
 |
||
F=F‘ F=F‘
Рисунок 5. Схемы
действия пары сил
На практике действие пары сил можно встретить в следующих
случаях: усилие рук водителя, крутящего рулевое колесо; ручное регулирование
расхода жидкости или газа (нефть, газ, горячая или холодная вода и т.п.) на
трубопроводах через задвижку (рисунок 6).
Рисунок 6. Действия
пары сил на практике
Обозначим момент пары М, а кратчайшее расстояние
между силами а, тогда М = F*а = F’*а.
Плечо пары (а) – это кратчайшее расстояние между
линиями действия сил, поэтому момент пары сил по абсолютному значению равен
произведению одной из сил на ее плечо.
Основные свойства пары сил.
Основные свойства пары
характеризуются следующими тремя теоремами.
Теорема 1. Пара сил не имеет
равнодействующей.
Это значит, что при F1=F2 равнодействующая
не существует.
Из этой теоремы следует, что пара
сил не может быть уравновешена одной силой; пара сил может быть уравновешена
только парой.
Теорема 2. Алгебраическая сумма
моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия
пары есть величина постоянная, равная моменту пары.
Из этой теоремы следует,
что при любом центре моментов пара сил войдет в уравнение моментов с
одним и тем же знаком и одной и той же величиной.
Теорема 3. Алгебраическая сумма
проекций сил пары на ось всегда равна нулю.
Из этой теоремы следует, что пара
сил не входит ни в уравнение сил, ни в уравнение проекций сил.
Теорема о сложении пар
Теорема. Всякая плоская система
пар эквивалента одной результирующей паре, момент которой равен алгебраической
сумме моментов данных пар.
Эквивалентные пары
Две пары называются эквивалентными,
если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния
свободного твердого тела (рисунок 7).
 |
|||||
 |
 |
||||
Рисунок 7. Схемы действия эквивалентных
пар
Теорема об эквивалентных парах формулируется так: если
моменты двух пар алгебраически равны, то эти пары эквивалентны.
Из доказанной теоремы об
эквивалентных парах вытекает три следствия:
1. не изменяя механического
состояния тела, пару можно
перемещать как угодно в плоскости ее действия;
2. не изменяя механического
состояния тела, можно менять
силы и плечо пары, но так, чтобы ее момент остаются неизменным;
3. чтобы задать пару, достаточно
задать ее момент, поэтому иногда слово «пара» заменяют словом «момент» и
условно изображают его так, как показано на рис. 8.
 |
Рисунок 8. Условное
изображение момента пары сил
Условие равновесия плоской системы
пар
Для равновесия плоской системы пар
необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар
равнялась нулю.
.
Задача. Определить момент пары сил М(F1 F11) (Рисунок
9)
 |
|||
 |
|||
Рисунок 9. Схема действия пары сил
Задача. Определить моменты сил относительно точек А, В (Рисунок 10)
 |
|||||
 |
|||||
 |
Рисунок 10. Схема действия сил
Контрольные вопросы
1. Как можно вычислить момент силы относительно любой точки?
2. Что такое плечо силы?
3. В каких единицах определяется значение момента силы?
4. В каком случае момент силы будет иметь положительное значение?
5. В каком случае момент силы будет иметь отрицательное значение?
6. Какие силы называют парой сил?
7. Почему пара сил не имеет равнодействующей?
8. Как определить момент пары сил?
9. В каком случае две пары сил считаются эквивалентными?