Как найти мощность силы тяжести формула

Перейти к контенту

Содержание:

• Определение и формулы мощности
• Единицы измерения мощности
• Примеры решения задач

Определение и формулы мощности

В том случае, если за равные малые промежутки времени выполняется разная работа, то мощность является переменной во времени.
Тогда вводят мгновенное значение мощности:

$$P=lim _{Delta t rightarrow 0} frac{delta A}{Delta t}=frac{d A}{d t}$$

где $delta A$ – элементарная работа, которую выполняет сила,
$Delta t$ – отрезок времени в течение, которого данная работа была выполнена.
Если мгновенная мощность не является постоянной величиной, то выражение (1) определяет среднюю мощностьза время
$Delta t$.

Мощность силы можно определить как скалярное произведение силы на скорость, с которой движется точка приложения рассматриваемой силы:

$$P=bar{F} bar{v}=F_{tau} v$$

где $F_{tau}$ – проекция силы
$bar{F}$ на направление вектора скорости (
$bar{v}$).

При поступательном движении некоторого тела, имеющего массу m под воздействием силы
$bar{F}$ мощность можно вычислить, применяя формулу:

$$P=m v dot{v}(4)$$

В общем случае произвольного перемещения твердого тела суммарная мощность есть алгебраическая сумма мощностей всех сил,
которые действуют на тело:

$$P=sum_{i=1}^{k} bar{F}_{i} cdot bar{v}_{i}(5)$$

где $bar{v}_{i}$ – скорость перемещения точки, к которой приложена сила
$bar{F}_{i}$.

В случае поступательного движения твердого тела со скоростью $bar{v}$ мощность можно определить при помощи формулы:

$$P=overline{F v}(6)$$

где $bar{F}$ – главный вектор внешних сил.

Если твердое тело совершает вращение вокруг точки О или вокруг неподвижной оси, которая проходит через точку О, то формулой для счет мощности можно считать выражение:

$$P=bar{M} bar{omega}(7)$$

где $bar{M}$ – главный момент внешних сил по отношению к точке О,
$bar{omega}$ – мгновенная угловая скорость вращения тела.

Единицы измерения мощности

Основной единицей измерения мощности силы в системе СИ является: [P]=вт (ватт)

В СГС: [P]=эрг/с.

1 вт=10⁷ эрг/( с).

Примеры решения задач

Читать дальше: Формула плотности вещества.

Сила, перемещающая тело, совершает работу. Работа – это разность энергии тела в начале процесса и в его конце. А мощность – это работа за одну секунду. Коэффициент полезного действия (КПД) – это дробное число. Максимальный КПД равен единице, однако, часто, КПД меньше единицы.

Работы силы, формула

Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу (рис. 1).

Работа силы — это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.

Работу, совершаемую силой, можно посчитать, используя векторный или скалярный вид записи такой формулы:

Векторный вид записи

[ large boxed{ A = left( vec{F} , vec{S} right) }]

Для решения задач правую часть этой формулы удобно записывать в скалярном виде:

[ large boxed{ A = left| vec{F} right| cdot left| vec{S} right| cdot cos(alpha) }]

( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;

( S left( text{м} right) ) – перемещение тела под действием силы;

( alpha ) – угол между вектором силы и вектором перемещения тела;

Работу обозначают символом (A) и измеряют в Джоулях. Работа – это скалярная величина.

В случае, когда сила постоянная, формула позволяет рассчитать работу, совершенную силой за полное время ее действия.

Если сила изменяется со временем, то в каждый конкретный момент времени будем получать мгновенную работу. Эти, мгновенные значения для разных моментов времени будут различаться.

Рассмотрим несколько случаев, следующих из формулы:

1. Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная;
2. А если угол тупой — работа отрицательная, так как косинус тупого угла отрицательный;
3. Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!

Работа — разность кинетической энергии

Работу можно рассчитать еще одним способом — измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце процесса движения. Рассмотрим такой пример. Пусть автомобиль, движется по горизонтальной прямой и, при этом увеличивает свою скорость (рис. 2). Масса автомобиля 1000 кг. В начале его скорость равнялась 1 м/с. После разгона скорость автомобиля равна 10 метрам в секунду. Найдем работу, которую пришлось проделать, чтобы ускорить этот автомобиль.

Для этого посчитаем энергию движения автомобиля в начале и в конце разгона.

( E_{k1} left(text{Дж} right) )  – начальная кинетическая энергия машины;

( E_{k2} left(text{Дж} right) )  – конечная кинетическая энергия машины;

( m left( text{кг}right) ) – масса автомобиля;

( displaystyle v left( frac{text{м}}{c}right) ) – скорость, с которой машина движется.

Кинетическую энергию будем вычислять, используя формулу:

[ large E_{k} = m cdot frac{v^{2}}{2} ]

[ large E_{k1} = 1000 cdot frac{1^{2}}{2} = 500 left(text{Дж} right) ]

[ large E_{k2} = 1000 cdot frac{10^{2}}{2} = 50000 left(text{Дж} right) ]

Теперь найдем разницу кинетической энергии в конце и вначале разгона.

[ large boxed{ A = Delta E_{k} }]

[ large Delta E_{k} = E_{k2} — E_{k1} ]

[ large Delta E_{k} = 50000 – 500 = 49500 left(text{Дж} right) ]

Значит, работа, которую потребовалось совершить, чтобы разогнать машину массой 1000 кг от скорости 1 м/с до скорости 10 м/с, равняется 49500 Джоулям.

Примечание: Работа – это разность энергии в конце процесса и в его начале. Можно находить разность кинетической энергии, а можно — разность энергии потенциальной.

[ large boxed{ A = Delta E }]

Работа силы тяжести — разность потенциальной энергии

Рассмотрим теперь следующий пример. Яблоко массой 0,2 кг упало на садовый стол с ветки, находящейся на высоте 3 метра от поверхности земли. Столешница располагается на высоте 1 метр от поверхности (рис. 3). Найдем работу силы тяжести в этом процессе.

Посчитаем потенциальную энергию яблока до его падения и энергию яблока на столешнице.

( E_{p1} left(text{Дж} right) )  – начальная потенциальная энергия яблока;

( E_{p2} left(text{Дж} right) )  – конечная потенциальная энергия яблока;

Примечание: Работу можно рассчитать через разность потенциальной энергии тела.

Потенциальную энергию будем вычислять, используя формулу:

[ large E_{p} = m cdot g cdot  h]

( m left( text{кг}right) ) – масса яблока;

Величина ( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) ) – ускорение свободного падения.

( h left( text{м}right) ) – высота, на которой находится яблоко относительно поверхности земли.

Начальная высота яблока над поверхностью земли равна 3 метрам

[ large E_{p2} = 0,2 cdot 10 cdot  3 = 6 left(text{Дж} right) ]

Потенциальная энергия яблока на столе

[ large E_{p1} = 0,2 cdot 10 cdot  1 = 2 left(text{Дж} right) ]

Теперь найдем разницу потенциальной энергии яблока в конце падения и перед его началом.

[ large Delta E_{p} = E_{p2} — E_{p1} ]

[ large Delta E_{p} = 2 – 6 = — 4 left(text{Дж} right) ]

Важно помнить: Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!

Чтобы работа получилась положительной, в правой части формулы перед ( Delta  E_{p}) дополнительно допишем знак «минус».

[ large boxed{ A = — Delta E_{p} }]

Значит, работа, которую потребовалось совершить силе тяжести, чтобы яблоко массой 0,2 кг упало с высоты 3 м на высоту 1 метр, равняется 4 Джоулям.

Примечания:

1. Если тело падает на землю, работа силы тяжести положительна;
2. Когда мы поднимаем тело над землей, мы совершаем работу против силы тяжести. Наша работа при этом положительна, а работа силы тяжести будет отрицательной;
3. Сила тяжести относится к консервативным силам. Для консервативных сил перед разностью потенциальной энергии мы дописываем знак «минус»;
4. Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой двигалось тело;
5. Работа для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени.

Рисунок 4 иллюстрирует факт, что для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) работа зависит только от разности высот и не зависит от траектории, по которой тело двигалось.

Мощность

В механике мощность часто обозначают символами N или P и измеряют в Ваттах в честь шотландского изобретателя Джеймса Уатта.

Примечание: Символ (vec{N}) используется для обозначения силы реакции опоры — она измеряется в Ньютонах и является векторной величиной. Чтобы не возникло путаницы, мощность вместо N будем обозначать символом P. Символ P – первая буква в английском слове power – мощность.

Мощность – это работа, совершенная за одну секунду (энергия, затраченная за 1 сек).

Расчет работы осуществляем, используя любую из формул:

[ large A = Delta E_{k} ]

[ large A = Delta E_{p} ]

[ large A = F cdot S cdot cos(alpha) ]

Разделив эту работу на время, в течение которого она совершалась, получим мощность.

[ large boxed{ P = frac{A}{Delta t} }]

Если работа совершалась равными частями за одинаковые интервалы времени – мощность будет постоянной величиной.

Мощность переменная, когда в некоторые интервалы времени совершалось больше работы.

Еще одна формула для расчета мощности

Есть еще один способ расчета мощности, когда сила перемещает тело и при этом скорость тела не меняется:

[ large P = left( vec{F} , vec{v} right) ]

Формулу можно записать в скалярном виде:

[ large P = left| vec{F} right| cdot left| vec{v} right| cdot cos(alpha) ]

( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;

( displaystyle v left( frac{text{м}}{c} right) ) – скорость тела;

( alpha ) – угол между вектором силы и вектором скорости тела;

Когда векторы (vec{F}) и (vec{v}) параллельны, запись формулы упрощается:

[ large boxed{ P = F cdot v }]

Примечание: Такую формулу для расчета мощности можно получить из выражения для работы силы, разделив обе части этого выражения на время, в течение которого работа совершалась (а если точнее, найдя производную обеих частей уравнения).

КПД

КПД – коэффициент полезного действия. Обычно обозначают греческим символом (eta) «эта». Единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах.

Примечания:

1. Процент – это дробь, у которой в знаменателе число 100.
2. КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.

Вычисляют коэффициент (eta) для какого-либо устройства, механизма или процесса.

[ large boxed{ eta = frac{ A_{text{полезная}}}{ A_{text{вся}}} }]

(eta) – КПД;

( large A_{text{полезная}} left(text{Дж} right)) – полезная работа;

(large A_{text{вся}} left(text{Дж} right)) – вся затраченная для выполнения работы энергия;

Примечание: КПД часто меньше единицы, так как всегда есть потери энергии. Коэффициент полезного действия не может быть больше единицы, так как это противоречит закону сохранения энергии.

[ large boxed{ eta leq 1 }]

Величина (eta) является дробной величиной. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, полученная дробь будет равна исходной. Используя этот факт, можно вычислять КПД, используя мощности:

[ large boxed{ eta = frac{ P_{text{полезная}}}{ P_{text{вся затраченная}}} }]

Выводы

1. Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу;
2. Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная, а если угол тупой — работа отрицательная; Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!
3. Работу можно вычислить, измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце его движения;
4. Вычислить работу можно через разность потенциальной энергии тела в начальной и в конечной высотах над землей;
5. Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!
6. Мы совершаем работу против силы тяжести, когда поднимаем тело над землей. При этом наша работа положительная, а работа силы тяжести — отрицательная;
7. Сила тяжести — это консервативная сила. Поэтому, работа силы (displaystyle F_{text{тяж}}) не зависит от траектории, по которой двигалось тело, а зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени;
8. Мощность – это работа, совершенная за одну секунду, или затраченная за 1 сек. энергия;
9. Коэффициент полезного действия обозначают греческим символом (eta) «эта», единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах;
10. КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.
11. Можно вычислять КПД, подставляя в формулу работу, или мощности

Содержание:

1. Работа и мощность силы
2. Работа силы
3. Элементарная работа
4. Аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на конечном перемещении
5. Работы сил тяжести и упругости
6. Работа силы, приложенная к вращающемуся телу
7. Мощность силы
8. Порядок решения задач на определение работы и мощности силы
9. Примеры решения задач на тему: работа и мощность силы

Работа постоянной силы равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы и косинуса угла между ними. Мощность – отношение работы к интервалу времени, за который эта работа совершена.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Работа и мощность силы

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность N=A/t, где t — время, в течение которого произведена работа.

Работа силы

Работа силы на любом перемещении является одной из основных характеристик, которая оценивает действие силы на этом перемещении.

Работа постоянной силы (рис.9.1) на некотором прямолинейном перемещении точки приложения силы определяется по выражению:

Если угол острый, то работа — положительная, .

При работа равна:

Если угол — тупой, то работа отрицательная, .

При работа равна:

Если угол , то есть сила направлена перпендикулярно перемещению, то работа равна нулю: .

Знак работы имеет такой смысл: работа — положительная, когда сила ускоряет движение; работа — отрицательная, когда сила тормозит движение.

Выражение для вычисления работы можно представить как скалярное произведение векторов:

Работа постоянной по модулю и направлению силы при прямолинейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы на вектор перемещения точки ее приложения.

Элементарная работа

В общем случае, когда материальная точка движется по криволинейной траектории под действием переменной силы вводится понятие элементарной работы.

Элементарная работа силы на элементарном перемещении  (рис.9.2) определяется следующим образом:

где  — проекция силы на тангенциальную ось, которая направлена в сторону перемещения точки; — бесконечно малое перемещение точки.

Поскольку

то

Аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на конечном перемещении

Элементарную работу силы можно представить в виде скалярного произведения векторов и  (рис.9.3):

где  — вектор элементарного перемещения точки .

Выражение элементарной работы переменной силы через проекции силы на оси декартовых координат имеет вид:

где  — проекции силы на координатные оси, а — проекции вектора элементарного перемещения на координатные оси.

Работа силы на любом конечном перемещении определяется интегралом:

или

Работы сил тяжести и упругости

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению силы тяжести на вертикальное перемещение точки ее приложения

где  — сила тяжести;

 — вертикальное перемещение точки приложения силы.

Из этой формулы вытекает, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории между начальной и конечной точками движения, а зависит только от расстояния между горизонтальными плоскостями, которые проходят через исходное и конечное положение точки.

Если начальная точка расположена выше конечной, то работа силы тяжести положительная, в противном случае – отрицательная.

Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости пружины на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины

Работа силы упругости отрицательна в том случае, когда деформация увеличивается, то есть когда . Это соответствует перемещению конца пружины от положения равновесия. Если , работа будет положительная. В этом случае конец пружины перемещается к положению равновесия.

Работа силы, приложенная к вращающемуся телу

Элементарная работа силы, приложенной к любой точке тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, например , равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота:

Для того, чтобы определить работу силы, которая действует на тело при его повороте на угол от к , необходимо проинтегрировать уравнение в этих пределах, выразив момент силы как функцию угла поворота:

В отдельном случае, когда момент силы является постоянным, то есть , работа равна произведению момента силы на угол поворота тела:

Единицей измерения работы в системе СИ является Джоуль (1), а в системе 

Мощность силы

Мощностью называется величина, определяющая работу, которую выполняет сила за единицу времени:

Это выражение справедливо, если работа выполняется равномерно.

В общем случае

Поскольку , то:

Таким образом, мощность равна произведению величины касательной составляющей силы на скорость движения.

При вращательном движении тела:

Тогда

Мощность выражается произведением вращательного момента на угловую скорость.

Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт в системе

Порядок решения задач на определение работы и мощности силы

При определении работы необходимо различать следующие случаи:

Прямолинейное движение под действием постоянной силы; в этом случае применяются формулы (9.2) и (9.3).

Прямолинейное движение под действием силы, которая является функцией расстояния; в этом случае используют формулу (9.5), которая, если направить ось по траектории точки, принимает вид:

Криволинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы; в этом случае можно использовать формулу (9.4) или (9.5).

Криволинейное движение под действием силы, что определяется функцией координат точки приложения силы; в этом случае определение работы сводится к вычислению криволинейного интеграла по формуле (9.5).

Вращательное движение твердого тела под действием постоянного момента или момента, который является функцией угла поворота тела; в этом случае для вычисления работы используются формулы (9.8) или (9.9).

Для вычисления мощности в зависимости от характера движения пользуются формулой (9.11), если имеет место прямолинейное или криволинейное движение точки приложения силы, или формуле (9.12) – в случае вращательного движения твердого тела.

Во всех этих случаях перед вычислением работы или мощности необходимо изобразить все внешние силы, которые приложены к телу или рассматриваемой механической системе.

Примеры решения задач на тему: работа и мощность силы

Задача № 1

Определить наименьшую работу , которую необходимо выполнить, чтобы поднять на высоту груз передвигая его по наклонной плоскости, которая составляет с горизонтом угол ; коэффициент трения

Решение: Изобразим груз в произвольном положении на наклонной плоскости и покажем все действующие на него силы (рис.9.4): силу тяжести , силу трения и нормальную реакцию .

Работа, расходуемая на подъем груза на высоту , равна сумме работ силы трения вдоль длины  и силы тяжести на перемещении точки ее приложения. Нормальная реакция работы не выполняет, поскольку она перпендикулярна перемещению.

Вычислим работу силы трения:

Поскольку и то

Работа силы тяжести в нашем случае отрицательная, поскольку груз движется вверх, и равна:

Полная работа, затраченная на подъем груза, равна 

Ответ: 

Задача № 2

Тело (рис.9.5) удерживается в равновесии на гладкой наклонной поверхности, расположенной под углом к горизонту, с помощью пружины. Вследствие полученного толчка тело переместилось вниз по наклонной поверхности на расстояние .

Определить сумму работ всех сил, приложенных к телу на этом перемещении, если сила тяжести тела угол жесткость пружины

Решение. К телу приложены следующие силы: сила тяжести , нормальная реакция поверхности и сила упругости растянутой пружины (рис.9.5).

Ось направим параллельно наклонной поверхности, а начало отсчета совместим с концом недеформированной пружины.

Тогда тело под действием толчка начнет двигаться из положения , которое характеризуется координатой , что равно:

где  — статическое отклонение пружины.

Вычислим сумму работ сил , ,  на перемещении 

где  — работа силы тяжести на перепаде высот между точками  и ,

 — работа силы упругости пружины,

 — работа нормальной реакции.

Работа силы тяжести равна:

Работа силы упругости пружины определяется по формуле:

где 

Итак. 

Окончательно

Вычислим  — статическое отклонение пружины, которое имеет место в положении равновесия тела (точка ), когда пружина растянута постоянной силой тяжести. Для этого положения запишем в проекции на ось уравнение равновесия для сил тяжести и силы упругости пружины , которые действуют на тело:

Поскольку

Тогда

Окончательно,

Работа нормальной реакции равна нулю, так как эта сила перпендикулярна перемещению тела, то есть

Итак,

Ответ: 

Задача № 3

Материальная точка массой движется прямолинейно по горизонтальной плоскости по закону под действием силы (рис.9.6).

Определить работу этой силы при перемещении точки ее приложения из исходного положения ( ) в положение, где

Решение Сила, действующая на материальную точку , меняется с течением времени. Следовательно, для определения работы этой силы необходимо воспользоваться уравнением (9.4):

где — проекция силы на элементарное перемещение точки приложения силы.

В нашем случае заданная сила совпадает по направлению с перемещением точки , а работу необходимо высчитывать на перемещении от к .

Таким образом, уравнение (1) примет вид:

Найдем зависимость между силой и перемещением , исключив параметр , который входит в выражения для значения силы и перемещения:

Подставив новое выражение для силы в уравнение (2), получим:

Вычислим этот интеграл:

Ответ: 

Задача № 4

Шлифовальный камень радиусом делает об/мин. Потребляемая мощность равна коэффициент трения шлифовального камня равен

Определить, с какой силой прижимает камень деталь, которая шлифуется?

Решение. Деталь (рис.9.7) прижимается к шлифовальному камню с силой . Возникающая при этом сила трения развивает мощность , равную потребленной мощности 1,5 , то есть

где  — скорость точки на ободе камня, к которому приложена сила .

Сила трения между камнем и деталью будет составлять:

угловая скорость камня будет:

а скорость точки на ободе камня равна:

Тогда

Откуда: 

Ответ: 

Задача № 5

Для измерения мощности двигателя на его шкив надета лента с деревянными колодками (рис.9.8).

Правая часть ленты удерживается упругими весами силой , а левая ее часть  натягивается грузом .

Определить мощность двигателя , если его вал при равномерном вращении делает об/мин, при этом пружинные весы показывают натяжение ленты вес груза диаметр шкива

Примечание: разность натяжений частей  и ленты равна силе, которая тормозит шкив.

Решение. Поскольку шкив вращается равномерно, то сила трения, которая возникает между шкивом и деревянными колодками, вместе с силой уравновешивают силу (рис.9.8), следовательно

Мощность силы трения равна мощности двигателя при условии, что шкив вращается равномерно:

 — скорость точки обода шкива, на который действует сила трения и которая равна:

Ответ: 

Задача № 6

Груз весом , который опускается по наклонной плоскости, приводит к вращению барабана весом , на который намотана нить (рис.9.9). Принять за механическую систему совокупность тел  и , которые соединены между собой невесомой нитью, которая не растягивается.

Определить сумму работ всех сил, приложенных к этой системе за один оборот барабана , если — радиус барабана, — коэффициент трения скольжения груза по наклонной плоскости, которая составляет угол с горизонтом.

Решение. Данная механическая система является неизменной. На нее наложены следующие связи: наклонная плоскость и шарнирная опора барабана у точке .

Реакция наклонной плоскости состоит из нормальной реакции и силы трения , которая направлена в сторону, противоположную перемещению груза .

Реакция () шарнира лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, проходит через ось шарнира и может занимать в этой плоскости любое положение.

Поскольку данная система является неизменной, то работа всех сил, которые приложены к ней, определяется только работой внешних сил: силы тяжести  груза ; нормальной реакции наклонной плоскости; силы трения груза по наклонной плоскости; силы тяжести барабана ; реакции шарнира .

Вычислим элементарную работу внешних сил системы

где  — элементарные работы внешних сил, приложенных, соответственно, к телам  и .

Тело движется поступательно. Элементарная работа внешних сил, приложенных к этому телу, равна

где  — элементарные работы силы тяжести , нормальной реакции и силы трения .

Элементарная работа реакции равна нулю, поскольку  перпендикулярна  перемещению тела.

Элементарная работа силы тяжести равна

Элементарная работа силы трения  определяется из выражения:

Поскольку

то

Итак,

Тело вращается вокруг неподвижной оси, которая проходит через точку перпендикулярно плоскости рисунка. Элементарная работа внешних сил, приложенных к телу , определится из выражения:

где  — главный момент внешних сил ( и ) относительно оси вращения;

 — элементарное угловое перемещение тела относительно оси вращения.

Поскольку линии действия сил  и пересекают ось вращения, то и 

Подставляя (2) и (3) в (1), получим

Перемещение груза связано с углом поворота барабана равенством , тогда последнее уравнение дает выражение элементарной работе всех сил, приложенных к данной механической системе, на элементарном перемещении барабана :

Для определения работы сил за один оборот барабана возьмем определенный интеграл в пределах от к :

Ответ: 

Задача № 7

Колесо радиусом катится без скольжения по прямолинейной горизонтальной рейке (рис.9.10) под действием устойчивой силы , которая приложена в центре тяжести колеса и параллельна рельсу, и постоянного вращательного момента .

Определить сумму работ всех внешних сил, если ось колеса переместилась на расстояние . Трением качения пренебречь.

Решение. К колесу приложены внешние силы и момент: — сила тяжести колеса, — движущая сила, — вращательный момент, — нормальная реакция рейки, — сила трения.

Работы реакции и силы трения равны нулю, поскольку эти силы приложены в мгновенном центре вращения колеса , элементарное перемещение которого равно нулю. Работа силы тяжести колеса  тоже равна нулю, в связи с тем, что элементарное перемещение  точки перпендикулярно линии действия силы тяжести .

Следовательно необходимо вычислить только работу движущей силы и момента :

где 

Согласно условию задачи, колесо катится без скольжения, поэтому

Соответственно, уравнение (1) запишется следующим образом:

Для определения суммы работ всех сил на перемещении оси колеса на расстояние проинтегрируем последнее уравнение в пределах от к :

Ответ: 

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Обратная задача динамики
31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
33. Сферическое движение твёрдого тела
34. Движение свободного твердого тела
35. Сложное движение твердого тела
36. Сложное движение точки
37. Плоское движение тела
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

1. Определение работы

С механической работой (работой силы) вы уже знакомы из курса физики основной школы. Напомним приведенное там определение механической работы для следующих случаев.

Если сила направлена так же, как перемещение тела, то работа силы

A = Fs     (1)

В этом случае работа силы положительна.

Если сила направлена противоположно перемещению тела, то работа силы

A = –Fs     (2)

В этом случае работа силы отрицательна.

Если сила f_vec направлена перпендикулярно перемещению s_vec тела, то работа силы равна нулю:

A = 0      (3)

Работа – скалярная величина. Единицу работы называют джоуль (обозначают: Дж) в честь английского ученого Джеймса Джоуля, сыгравшего важную роль в открытии закона сохранения энергии. Из формулы (1) следует:

1 Дж = 1 Н * м.

? 1. Брусок массой 0,5 кг переместили по столу на 2 м, прикладывая к нему силу упругости, равную 4 Н (рис. 28.1). Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2. Чему равна работа действующей на брусок:
а) силы тяжести m?
б) силы нормальной реакции ?
в) силы упругости ?
г) силы трения скольжения _тр?

Суммарную работу нескольких сил, действующих на тело, можно найти двумя способами:
1. Найти работу каждой силы и сложить эти работы с учетом знаков.
2. Найти равнодействующую всех приложенных к телу сил и вычислить работу равнодействующей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Чтобы убедиться в этом, вернитесь к предыдущему заданию и ответьте на вопросы задания 2.

? 2. Чему равна:
а) сумма работ всех действующих на брусок сил?
б) равнодействующая всех действующих на брусок сил?
в) работа равнодействующей? В общем случае (когда сила f_vec направлена под произвольным углом к перемещению s_vec) определение работы силы таково.

Работа A постоянной силы равна произведению модуля силы F на модуль перемещения s и на косинус угла α между направлением силы и направлением перемещения:

A = Fs cos α     (4)

? 3. Покажите, что из общего определения работы следуют к выводы, показанные на следующей схеме. Сформулируйте их словесно и запишите в тетрадь.

? 4. К находящемуся на столе бруску приложена сила, модуль которой 10 Н. Чему равен угол между этой силой и перемещением бруска, если при перемещении бруска по столу на 60 см эта сила совершила работу: а) 3 Дж; б) –3 Дж; в) –3 Дж; г) –6 Дж? Сделайте пояснительные чертежи.

2. Работа силы тяжести

Пусть тело массой m движется вертикально от начальной высоты h_н до конечной высоты h_к.

Если тело движется вниз (h_н > h_к, рис. 28.2, а), направление перемещения совпадает с направлением силы тяжести, поэтому работа силы тяжести положительна. Если же тело движется вверх (h_н < h_к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.

В обоих случаях работа силы тяжести

A = mg(h_н – h_к).     (5)

Найдем теперь работу силы тяжести при движении под углом к вертикали.

? 5. Небольшой брусок массой m соскользнул вдоль наклонной плоскости длиной s и высотой h (рис. 28.3). Наклонная плоскость составляет угол α с вертикалью.

а) Чему равен угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения бруска? Сделайте пояснительный чертеж.
б) Выразите работу силы тяжести через m, g, s, α.
в) Выразите s через h и α.
г) Выразите работу силы тяжести через m, g, h.
д) Чему равна работа силы тяжести при движении бруска вдоль всей этой же плоскости вверх?

Выполнив это задание, вы убедились, что работа силы тяжести выражается формулой (5) и тогда, когда тело движется под углом к вертикали – как вниз, так и вверх.

Но тогда формула (5) для работы силы тяжести справедлива при движении тела по любой траектории, потому что любую траекторию (рис. 28.4, а) можно представить как совокупность малых «наклонных плоскостей» (рис. 28.4, б).

Таким образом,
работа силы тяжести при движении но любой траектории выражается формулой

A_т = mg(h_н – h_к),

где h_н – начальная высота тела, h_к – его конечная высота.
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории.

Например, работа силы тяжести при перемещении тела из точки A в точку B (рис. 28.5) по траектории 1, 2 или 3 одинакова. Отсюда, в частности, следует, что рибота силы тяжести при перемещении по замкнутой траектории (когда тело возвращается в исходную точку) равна нулю.

? 6. Шар массой m, висящий на нити длиной l, отклонили на 90º, держа нить натянутой, и отпустили без толчка.
а) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия (рис. 28.6)?
б) Чему равна работа силы упругости нити за то же время?
в) Чему равна работа равнодействующей сил, приложенных к шару, за то же время?

3. Работа силы упругости

Когда пружина возвращается в недеформированное состояние, сила упругости совершает всегда положительную работу: ее направление совпадает с направлением перемещения (рис. 28.7).

Найдем работу силы упругости .
Модуль этой силы связан с модулем деформации x соотношением (см. § 15)

F = kx.     (6)

Работу такой силы можно найти графически.

Заметим сначала, что работа постоянной силы численно равна площади прямоугольника под графиком зависимости силы от перемещения (рис. 28.8).

На рисунке 28.9 изображен график зависимости F(x) для силы упругости. Разобьем мысленно все перемещение тела на столь малые промежутки, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной.

Тогда работа на каждом из этих промежутков численно равна площади фигуры под соответствующим участком графика. Вся же работа равна сумме работ на этих участках.

Следовательно, и в этом случае работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости F(x).

? 7. Используя рисунок 28.10, докажите, что

работа силы упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние выражается формулой

A = (kx₂)/2.     (7)

? 8. Используя график на рисунке 28.11, докажите, что при изменении деформации пружины от x_н до x_к работа силы упругости выражается формулой

Из формулы (8) мы видим, что работа силы упругости зависит только от начальной и конечной деформации пружины, Поэтому если тело сначала деформируют, а потом оно возвращается в начальное состояние, то работа силы упругости равна нулю. Напомним, что таким же свойством обладает и работа силы тяжести.

? 9. В начальный момент растяжение пружины жесткостью 400 Н/м равно 3 см. Пружину растянули еще на 2 см.
а) Чему равна конечная деформация пружины?
б) Чему равна работа силы упругости пружины?

? 10. В начальный момент пружина жесткостью 200 Н/м растянута на 2 см, а в конечный момент она сжата на 1 см. Чему равна работа силы упругости пружины?

4. Работа силы трения

Пусть тело скользит по неподвижной опоре. Действующая на тело сила трения скольжения направлена всегда противоположно перемещению и, следовательно, работа силы трения скольжения отрицательно при любом направлении перемещения (рис. 28.12).

Поэтому если сдвинуть брусок вправо, а пегом на такое же расстояние влево, то, хотя он и вернется в начальное положение, суммарная работа силы трения скольжения не будет равна нулю. В этом состоит важнейшее отличие работы силы трения скольжения от работы силы тяжести и силы упругости. Напомним, что работа этих сил при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю.

? 11. Брусок массой 1 кг передвигали по столу так, что его траекторией оказался квадрат со стороной 50 см.
а) Вернулся ли брусок в начальную точку?
б) Чему равна суммарная работа действовавшей на брусок силы трения? Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,3.

5. Мощность

Часто важна не только совершаемая работа, но и скорость совершения работы. Она характеризуется мощностью.

Мощностью P называют отношение совершенной работы A к промежутку времени t, за который эта работа совершена:

P = A/t.      (9)

(Иногда мощность в механике обозначают буквой N, а в электродинамике – буквой P. Мы считаем более удобным одинаковое обозначение мощности.)

Единица мощности – ватт (обозначают: Вт), названная в честь английского изобретателя Джеймса Уатта. Из формулы (9) следует, что

1 Вт = 1 Дж/c.

? 12. Какую мощность развивает человек, равномерно поднимая ведро воды массой 10 кг на высоту 1 м в течение 2 с?

Часто мощность удобно выражать не через работу и время, а через силу и скорость.

Рассмотрим случай, когда сила направлена вдоль перемещения. Тогда работа силы A = Fs. Подставляя это выражение в формулу (9) для мощности, получаем:

P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv.     (10)

? 13. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч. При этом его двигатель развивает мощность 20 кВт. Чему равна сила сопротивления движению автомобиля?

Подсказка. Когда автомобиль движется по горизонтальной дороге с постоянной скоростью, сила тяги равна по модулю силе сопротивления движению автомобиля.

? 14. Сколько времени потребуется для равномерного подъема бетонного блока массой 4 т на высоту 30 м, если мощность двигателя подъемного крана 20 кВт, а КПД электродвигателя подъемного крана равен 75%?

Подсказка. КПД электродвигателя равен отношению работы по подъему груза к работе двигателя.

Дополнительные вопросы и задания

15. Мяч массой 200 г бросили с балкона высотой 10 и под углом 45º к горизонту. Достигнув в полете максимальной высоты 15 м, мяч упал на землю.
а) Чему равна работа силы тяжести при подъеме мяча?
б) Чему равна работа силы тяжести при спуске мяча?
в) Чему равна работа силы тяжести за все время полета мяча?
г) Есть ли в условии лишние данные?

16. Шар массой 0,5 кг подвешен к пружине жесткостью 250 Н/м и находится в равновесии. Шар поднимают так, чтобы пружина стала недеформированной, и отпускают без толчка.
а) На какую высоту подняли шар?
б) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
в) Чему равна работа силы упругости за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
г) Чему равна работа равнодействующей всех приложенных к шару сил за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?

17. Санки массой 10 кг съезжают без начальной скорости со снежной горы с углом наклона α = 30º и проезжают некоторое расстояние по горизонтальной поверхности (рис. 28.13). Коэффициент трения между санками и снегом 0,1. Длина основания горы l = 15 м.

а) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности?
б) Чему равна работа силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности на пути 20 м?
в) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горе?
г) Чему равна работа силы трения при спуске санок?
д) Чему равна работа силы тяжести при спуске санок?
е) Чему равна работа равнодействующей сил, действующих на санки, при их спуске с горы?

18. Автомобиль массой 1 т движется со скоростью 50 км/ч. Двигатель развивает мощность 10 кВт. Расход бензина составляет 8 л на 100 км. Плотность бензина 750 кг/м₃, а его удельная теплота сгорания 45 МДж/кг. Чему равен КПД двигателя? Есть ли в условии лишние данные?
Подсказка. КПД теплового двигателя равен отношению совершенной двигателем работы к количеству теплоты, которое выделилось при сгорании топлива.