В (1621) году голландский математик Виллеброрд Снеллиус опытным путём открыл и сформулировал закон преломления света. Он отметил, что при изменении угла падения угол преломления изменяется так, что постоянным остаётся соотношение синусов этих углов.
Закон преломления света (закон Снеллиуса)
- Падающий и преломлённый лучи и перпендикуляр, проведённый к границе раздела двух сред в точке падения луча, лежат в одной плоскости.
- Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух сред, равная относительному показателю преломления:
Явление полного внутреннего отражения
Рассмотрим луч света, который переходит из среды с большим показателем преломления в вещество с меньшим абсолютным показателем преломления (например, из воды в воздух).
Рис. 1. Схема полного внутреннего отражения
В этом случае угол преломления луча больше, чем угол падения. Если увеличивать угол падения, то при некотором предельном угле
αпр
угол преломления становится равным (90)°. При дальнейшем увеличении угла падения луч полностью отражается от границы раздела и не переходит в другую среду. Это явление называется явлением полного внутреннего отражения (рис. 1).
Запишем закон преломления света для
αпр
:
Обрати внимание!
Явление полного внутреннего отражения наблюдается только при переходе светового луча из среды с большим абсолютным показателем преломления в среду с меньшим абсолютным показателем преломления вещества, а также при угле падения большем или равным углу
αпр
.
Явление полного внутреннего отражения используется в волоконной оптике — для передачи световых сигналов на большие расстояния. Использование обычного зеркального отражения не дает желаемого результата, так как даже зеркало самого высокого качества (посеребрённое) поглощает часть световой энергии. И при многократном отражении энергия света стремится к нулю.
Рис. 2. Изображение хода луча в световоде
(1) — защитная оболочка
(2) — оболочка (с меньшим показателем преломления)
(3) — сердцевина (с большим показателем преломления)
Оптическое волокно состоит из внутренней сердцевины, окружающей ее оболочки и дополнительного защитного покрытия (защитной оболочки) (рис. 2). Сердцевина — светопередающая часть волокна из стекла или пластика. Чем больше диаметр сердцевины, тем большее количество света может быть передано по волокну. Оболочка обеспечивает переотражение света в сердцевину волокна таким образом, чтобы световые волны распространялись только по сердцевине волокна. При входе в световод падающий луч направляется под углом больше предельного, что обеспечивает отражение луча без потери энергии. Волоконные световоды с успехом применяют в медицине. Например, световод вводят в желудок или в область сердца для освещения или наблюдения тех или иных участков внутренних органов. Использование световодов позволяет исследовать внутренние органы без введения лампочки, то есть исключая возможность перегрева.
Показатель преломления — это безразмерная физическая величина, характеризующая отличие фазовых скоростей света в двух средах.
Более подробно о показателе преломления и о том, как его рассчитать, вы узнаете из данной статьи.
Простое объяснение.
Наблюдайте за ходом светового луча из одной среды, например воздуха, в другую среду, например воду. Это можно сделать, например, глядя снизу на поверхность воды над собой при нырянии в бассейне. Если вы это сделаете, то увидите изменение направления луча при переходе из одной среды в другую. Это изменение направления также называется преломлением света. Вы всегда можете наблюдать это в средах с различными показателями преломления.
Показатель преломления — это свойство оптического материала. Это отношение длины волны света в вакууме c0 к длине волны света в среде cM, то есть n = c0 / cM .
Показатель преломления является безразмерным числом и зависит от частоты света. Поскольку показатель преломления зависит от частоты волны (света), мы также говорим о дисперсии. Если две среды имеют разные показатели преломления, вы наблюдаете преломление и отражение света на их границах. Среда с более высоким показателем преломления имеет более высокую оптическую плотность.
Другими терминами для обозначения показателя преломления являются также индекс преломления или оптическая плотность.
Закон преломления Снеллиуса
Закон преломления Снеллиуса гласит, что луч света преломляется, когда попадает в среду с другой оптической плотностью. Причиной преломления является изменение зависящей от материала фазовой скорости, которая входит в закон преломления как показатель преломления. Закон преломления — это зависимость между углом падения θ1 и углом отражения θ2 преломленного света.
n1 * sin θ1 = n2 * sin θ2
В этой формуле n1 и n2 означают показатели преломления двух сред.
Вещества с показателем преломления
Оптическая плотность вакуума определяется как 1. В видимом спектре показатели преломления прозрачных или слабо поглощающих материалов больше 1. Для электропроводящих и сильно поглощающих сред преобладают другие физические свойства. Хотя их показатели преломления находятся между 0 и 1, эти значения следует интерпретировать по-разному. В этих средах в комплексном показателе преломления преобладает мнимая часть.
Кроме того, каждое вещество имеет диапазон длин волн, в котором действительная часть показателя преломления меньше 1, но все еще положительна. Здесь оптическая плотность для малых длин волн всегда меньше 1 и приближается к 1 снизу по мере уменьшения длины волны.
Показатель преломления воздуха
Значение показателя преломления воздуха можно найти в таблице 1 ниже. Он зависит от плотности и температуры, а также от состава воздуха. В частности, влажность воздуха оказывает большое влияние на его коэффициент преломления. Согласно формуле барометрической высоты, давление воздуха экспоненциально уменьшается на больших высотах. На высоте 8 километров коэффициент преломления воздуха составляет всего 1,00011.
Показатель преломления воды
Для показателя преломления воды действуют те же принципы, что и для воздуха. На больших глубинах давление и температура выше, что влияет на преломление света. Но вы также можете легко убедиться в этом, наполнив стакан холодной воды горячей. Вы увидите, что горячая вода менее прозрачна, чем холодная. Поэтому оптическая плотность выше при использовании более горячей воды.
Таблица показателей преломления
В следующей таблице представлен обзор некоторых наиболее важных показателей преломления.
| Среда | Показатель преломления |
| Воздух | 1,000292 |
| Вода (жидкость, 20°C) | 1,3330 |
| Стекло | 1.45 — 2.14 |
| Этанол | 1,3614 |
Комплексный показатель преломления
Если вы посмотрите на электромагнитную волну и рассмотрите ее поглощение в среде, то обнаружите, что можно также объединить классический показатель преломления и затухание волны в комплексный показатель преломления. Для этого существуют различные, эквивалентные представления:
- Сумма действительной части с мнимой частью комплексного числа: n = nr + i * ni , где i — мнимая единица
- Разница между действительной и мнимой частями комплексного числа: n = nr — i*k
- Произведение действительного показателя преломления на комплексное число: n = n * ( 1 — i * k).
Знак минус, используемый в некоторых представлениях, гарантирует, что мнимая часть получит положительный знак в случае поглощающих сред. Эта мнимая часть называется коэффициентом молярной экстинкции. Переменная κ называется показателем поглощения. Это мнимая часть, деленная на показатель преломления n.
Как действительная, так и мнимая части оптической плотности зависят от частоты.
Диэлектрическая проницаемость и проницаемость
Комплексный показатель преломления связан с проницаемостью εr (способность к поляризации) и проницаемостью μr (способность к намагничиванию): n = εr * μr .
Все величины являются комплекснозначными и зависят от частоты. В случае немагнитных сред, μr ≈ 1. Таким образом, вы формируете комплексный показатель преломления непосредственно из действительной и мнимой частей ( ε1, ε2 ) проницаемости.
n ≈ εr = ε1 + i * ε2
Сравнение с комплексным показателем преломления представления суммы и разности позволяет вычислить n и k, соответственно.
Атомы с показателем преломления
Показатель преломления кристаллических веществ напрямую зависит от их атомной структуры. Кристаллическая решетка твердого тела влияет на его полосовую структуру и, следовательно, на его преломляющее поведение.
Частично кристаллические материалы также демонстрируют корреляцию между плотностью и оптической плотностью. Однако эта зависимость, как правило, не является линейной.
Применение показателя преломления
Показатель преломления является наиболее важным параметром для оптических линз. Оптический расчет, используемый для проектирования оптических приборов, основан на сочетании различных преломляющих линз с подходящими стеклами.
В химии и фармации различные вещества характеризуются оптической плотностью при определенных температурах. Кроме того, определяя коэффициент преломления, вы узнаете содержание определенного вещества в растворе.
Список использованной литературы
- Тихомирова С. А., Яворский Б. М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
- Генденштейн Л. Э., Дик Ю. И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
- Савельев, И. В. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. // Курс общей физики: Учеб. пособие.. — М.: «Наука», 1988. — Т. 2. — 496 с.
Из прошлых уроков вы уже знаете, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Но в жизни много ситуаций, когда свет проходит через разные вещества до того, как достигнет наших глаз.
Например, через оконные стекла мы отлично видим все, что происходит на улице. А через стекла в межкомнатных дверях мы можем видеть только размытые силуэты того, что находится за дверью. Тот же самый пример можно привести и с прозрачной и мутной водой.
Значит, получаемое нашими глазами изображение как-то связано с тем, через какие среды проходит свет. Двигаясь прямолинейно в одной среде, он переходит в другую и снова двигается прямолинейно. Что же происходит при этом переходе из одной среды в другую?
Так, вам предстоит узнать новое понятие — преломление света. В ходе данного урока вы узнаете закономерности этого явления, рассмотрите различные опыты и научитесь применять полученные знания для решения задач.
Явление преломления света
Рассмотрим простой опыт. Для него нам понадобится прозрачный стакан с водой и обычный карандаш (рисунок 1).
Сначала опустим карандаш в воду вертикально (рисунок 1, а). Части карандаша в воздухе и в воде не изменились.
А теперь поменяем угол наклона карандаша (рисунок 2, б). Мы увидим интересную картинку. Нам кажется, что карандаш переломился на границе воды и воздуха.
Что произошло? Мы видим карандаш, потому что на него падает свет от какого-то источника. Его лучи отражаются от карандаша и попадают нам в глаза. Когда мы опустили карандаш в воду под каким-то углом, световые лучи дошли до наших глаз не только через воздух, но еще и через воду в стакане. При этом они поменяли направление своего распространения при переходе из одной среды в другую. В таком случае говорят, что свет преломился.
Преломление света — это явление изменения направления распространения света при переходе из одной среды в другую.
Но, если свет преломляется при переходе из одной среды в другую, почему на рисунке 1 (а) мы все равно видим карандаш без изменений? Чтобы разобраться с этим вопросом, нам необходимо более подробно изучить природу преломления света.
Скорость света и оптическая плотность среды
Свет распространяется в пространстве с определенной скоростью. Эта скорость настолько велика, что нам кажется, будто свет появляется мгновенно. Например, когда в темной комнате мы щелкаем переключателем, и включается свет.
Ученые не только рассчитали значение этой скорости, но и доказали, что скорость света различается в разных средах (таблица 1).
| Вещество | $c$, $frac{км}{с}$ |
| Воздух | 300 000 |
| Вода | 225 000 |
| Стекло | 198 000 |
| Сероуглерод | 184 000 |
| Алмаз | 124 000 |
Значения скорости света в вакууме и воздухе практически не отличаются, поэтому используют одно значение — $300 000 frac{км}{с}$. Эта величина обозначается буквой $c$.
В других же средах наблюдается значительная разница в значениях скорости. Например, в воде скорость света меньше, чем в воздухе. При этом говорят, что вода является оптически более плотной средой, чем воздух.
Оптическая плотность — это величина, которая характеризует различные среды в зависимости от значения скорости распространения света в них.
Если пучок света падает на поверхность, разделяющую две прозрачные среды с разной оптической плотностью, то часть света отразится от этой поверхности, а другая часть проникнет во вторую среду. При этом луч света изменит свое направление — происходит преломление света.
Схема преломления светового луча. Угол преломления
Рассмотрим преломление света более подробно (рисунок 2).
Перечислим элементы, обозначенные на рисунке 2:
- MN — граница раздела воздуха и воды
- Луч AO — падающий луч
- Луч OB — преломленный луч
- CD — перпендикуляр, опущенный к поверхности раздела двух сред и проведенный через точку падения O
- Угол AOC — угол падения ($alpha$)
- Угол DOB — угол преломления ($gamma$)
Угол преломления — это угол между перпендикуляром, опущенным к границе раздела двух сред в точке падения светового луча, и преломленным лучом.
Направления луча при переходе в воду изменилось. Луч света стал ближе к перпендикуляру CD. Т.е., $gamma < alpha$. Рассмотрим опыт, который нам наглядно демонстрирует этот факт.
Возьмем стеклянный сосуд и наполним его водой. Воду подкрасим флуоресцентной жидкостью. Она будет светится в тех местах, где на нее будет попадать яркий свет — это удобно для наших наблюдений. На дно сосуда поместим плоское зеркало (рисунок 3).
Теперь на поверхность воды с помощью маленького фонарика направим пучок света. Сделаем это таким образом, чтобы пучок света падал под каким-то углом.
Мы увидим, как луч поменяет свое направление на границе воздуха и воды. При этом угол преломления заметно меньше угла падения ($gamma_1 < alpha_1$).
Далее луч отразится от плоского зеркала и снова достигнет границы раздела двух сред. Теперь мы видим, что луч падения заметно меньше луча преломления ($gamma_2 > alpha_2$).
Вода — более плотная оптическая среда, чем воздух. Из всего этого мы можем сделать следующие выводы:
- Если свет идет из оптически менее плотной среды в более плотную, то угол преломления всегда меньше угла падения: $gamma < alpha$
- Если свет идет из оптически более плотной среды в менее плотную, то угол преломления всегда больше угла падения: $gamma > alpha$
Если в ходе опытов мы будем менять угол падения, то заметим, что угол преломления тоже будет изменяться. При этом вышеописанные нами закономерности будут исполняться.
Показатель преломления
Давайте выясним, как именно углы падения и преломления связаны друг с другом. Рассматривать будем луч света падающий из воздуха в воду.
При увеличении угла падения, будет увеличиваться угол преломления (рисунок 4). Но отношение между этими углами ($frac{alpha}{gamma}$) не будет постоянным.
Постоянным будет оставаться другое отношение этих углов — отношение их синусов:
$frac{sin 30 degree}{sin 23 degree} = frac{sin 45 degree}{sin 33 degree} = frac{sin 60 degree}{sin 42 degree} approx 1.33$.
Полученное число (1.3) называют относительным показателем преломления. Обозначают эту величину буквой $n_{21}$.
Так, для любой пары веществ с разными оптическими плотностями можно записать:
$frac{sin alpha}{sin gamma} = n_{21}$.
Чем больше относительный показатель преломления, тем сильнее преломляется световой луч при переходе из одной среды в другую.
В чем физический смысл этой величины? Ранее мы говорили, что оптическая плотность характеризует вещество по скорости распространения света в нем. Показатель преломления делает то же самое.
Относительный показатель преломления — это величина, показывающая, во сколько раз скорость света в первой по ходу луча среде отличается от скорости распространения света во второй среде:
$n_{21} = frac{upsilon_1}{upsilon_2}$.
Если луч света падает из вакуума или воздуха в какое-то вещество, то используется еще одна величина — абсолютный показатель преломления.
Абсолютный показатель преломления — это величина, показывающая во сколько раз скорость света в вакуумевоздухе больше, чем в данной среде:
$n = frac{c}{upsilon}$,
где $c = 3 cdot 10^8 frac{м}{с}$.
В таблице 2 представлены значения абсолютных показателей преломления некоторых веществ. Иногда их называют относительными показателями преломления относительно воздуха, потому что для воздуха $n = 1$.
| Вещество | $n$ |
| Воздух | 1.00 |
| Лед | 1.31 |
| Вода | 1.33 |
| Спирт | 1.36 |
| Стекло (обычное) | 1.50 |
| Стекло (оптическое) | 1.47 — 2.04 |
| Рубин | 1.76 |
| Алмаз | 2.42 |
Выразим относительный показатель преломления $n_{21}$ через абсолютные показатели преломления $n_1$ и $n_2$:
$n_{21} = frac{upsilon_1}{upsilon_2} = frac{frac{c}{n_1}}{frac{c}{n_2}} = frac{n_2}{n_1}$.
Относительный показатель преломления $n_{21}$ имеет нижний индекс $21$, который читается как: «два один». Этот индекс связан с полученной нами формулой: $n_{21} = frac{n_2}{n_1}$. То есть, относительный показатель преломления $n_{21}$ равен отношению абсолютных показателей $n_2$ к $n_1$. При этом нижние индексы обозначают последовательность сред, через которые проходит световой луч.
Здесь мы вернемся к вопросу о том, почему на рисунке 1 (а) мы не видим преломления.
Если падающий луч падает перпендикулярно на границу раздела двух сред, то он не испытывает преломления.
Доказывается это опытным путем. При любых других углах падения, отличных от $0 degree$, преломление света происходит по вышеописанным закономерностям.
Закон преломления света
Итак, преломление света происходит по определенному закону.
Закон преломления света:
падающий и преломленный лучи и перпендикуляр, проведенный к границе раздела двух сред в точке падения луча, лежат в одной плоскости. При этом отношение синуса угла падения к синусу угла преломления — постоянная величина для двух сред:
$frac{sin alpha}{sin gamma} = frac{n_2}{n_1} = n_{21}$.
Мнимое изображение, образованное преломлением света. Призмы
Преломление света, как и отражение света плоским зеркалом, создает “кажущееся” изменение положение источника света. Мы наблюдали такое изменение в самом первом опыте этого урока на рисунке 1, б.
Но, дело в том, что мнимое положение источника света в случае преломления будет различным для лучей, падающих на границу раздела двух сред под разными углами. Поэтому мнимое положение источника света при преломлении обычно подробно не рассматривают.
Тем не менее, мы часто замечаем эти изменения. Например, в прозрачной воде в закрытых водоемах или в море кажется, что предметы, лежащие на дне и находящиеся в толще воды, находятся на другом расстоянии от нас, чем они есть на самом деле.
Рассмотрим наглядный опыт с монеткой (рисунок 5).
Возьмем неглубокую широкую чашку и положим на ее дно монетку. Выберем такое положение для наблюдения, чтобы она была не видна (рисунок 5, а).
Оставаясь в этой же точке наблюдения, нальем в чашку воду. Теперь монета стала видна (рисунок 5, б). То есть, мы видим не саму монету, а ее мнимое изображение, образованное преломлением света.
В различных оптических приборах используют эти особенности преломления. Часто свет проходит сквозь тело, имеющее форму призмы (рисунок 6, а).
Световой луч, падающий на боковую грань призмы дважды преломляется (рисунок 6, б): при входе в призму и при выходе из нее. Такой луч на выходе из призмы будет отклоняться к основанию треугольника.
В оптических приборах используют не просто призмы, но и их различные сочетания. Например, на рисунке 7 изображены 3 коробки, в которых находятся треугольные призмы.
Вы можете оценить, как при разных положениях призм изменяется ход лучей на выходе из коробки. При этом падающие лучи во всех трех случаях (а, б, в) были параллельны и имели одинаковое направление.
Примеры задач
Задача №1
Луч света переходит из скипидара в воздух. Определите абсолютный показатель преломления скипидара, если при угле падения, равном $30 degree$, угол преломления равен $45 degree$ (рисунок 8). Чему равна скорость распространения света в скипидаре?
Дано:
$alpha = 30 degree$
$gamma = 45 degree$
$n_2 = 1$
$c = 3 cdot 10^8 frac{м}{с}$
$n_1 — ?$
$upsilon_1 — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Так как световой луч проходит из скипидара (первая среда) в воздух (вторая среда), мы обозначили абсолютный показатель скипидара как $n_1$, а воздуха как $n_2$.
По закону преломления света:
$frac{sin alpha}{sin gamma} = n_{21} = frac{n_2}{n_1}$.
Для воздуха $n_2 = 1$, поэтому:
$frac{sin alpha}{sin gamma} = frac{1}{n_1}$.
Выразим $n_1$:
$n_1 = frac{sin gamma}{sin alpha}$.
Рассчитаем $n_1$:
$n_1 = frac{sin 45 degree}{sin 30 degree} = frac{frac{sqrt{2}}{2}}{frac{1}{2}} = sqrt{2} approx 1.41$.
По определению абсолютного показателя преломления для скипидара мы можем записать:
$n_1 = frac{c}{upsilon_1}$.
Выразим $upsilon_1$ и рассчитаем:
$upsilon_1 = frac{c}{n_1} = frac{3 cdot 10^8 frac{м}{с}}{1.41} approx 2 cdot 10^8 frac{м}{с}$.
Ответ: $n_1 approx 1.41$, $upsilon_1 approx 2 cdot 10^8 frac{м}{с}$.
Задача №2
Световой луч падает из воздуха в стекло. Абсолютный показатель преломления стекла равен $1.73$. Чему равен угол преломления, если отраженный луч образует с перпендикуляром, опущенным в точку падения луча на границе раздела двух сред, угол, равный $60 degree$?
При решении задачи мы будем использовать рисунок 9.
$AO$ — падающий луч, а угол $alpha$ — угол падения. Луч $AO$ падает на границу раздела двух сред (воздуха и стекла). Образуются отраженный луч $OB$ и преломленный луч $OC$. Им соответствуют угол отражения $beta$ и угол преломления $gamma$.
Теперь запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$n_1 = 1$
$n_2 = 1.73$
$beta = 60 degree$
$gamma — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
По закону отражения света:
$alpha = beta = 60 degree$.
По закону преломления света:
$frac{sin alpha}{sin gamma} = frac{n_2}{n_1}$.
Для воздуха $n_1 = 1$, поэтому:
$frac{sin alpha}{sin gamma} = n_2$.
Выразим синус угла преломления и рассчитаем его:
$sin gamma = frac{sin alpha}{n_2} = frac{sin 60 degree}{1.73} = frac{frac{sqrt{3}}{2}}{1.73} = frac{sqrt{3}}{3.46} approx frac{1.73}{3.46} = 0.5 = frac{1}{2}$.
Если $sin gamma = frac{1}{2}$, то $gamma = 30 degree$.
Ответ: $gamma = 30 degree$.
Задача №3
На дне пруда глубиной $3 space м$ находится источник света. Показатель преломления воды равен $1.33$, а воздуха — $1$. На какой глубине наблюдатель увидит источник света, если он смотрит вертикально вниз с лодки.
Условие задачи дает понять, что в глаз наблюдателя попадает луч, который падает перпендикулярно границе раздела двух сред. В таком случае, преломление наблюдаться не будет. Тем не менее, как и в настоящей жизни, мы все равно увидим преломленное изображение источника света. Он будет казаться ближе. В ходе решения этой задачи вы узнаете, почему так происходит.
Для начала рассмотрим рисунок 10.
Источник света $S$ находится на глубине $H$. Мы опишем его двумя лучами: $SA$ и $SO$. Луч $SA$ перпендикулярен к границе раздела двух сред. Поэтому он не преломляется. Луч $SO$ достигает границы раздела под некоторым углом. Он образует с перпендикуляром $CD$ угол падения $alpha$. Далее этот луч преломляется под углом преломления $gamma$ и попадает в глаза наблюдателя (точка $B$).
Продолжим преломленный луч до луча $SA$. Этот луч мы будем использовать как перпендикуляр к поверхности воды, чтобы оценивать глубину. Мы получили точку $S_1$ — мнимое изображение источника света. Соответственно длина отрезка $AS$ — это реальная глубина пруда $H$, а длина отрезка $AS_1$ — мнимая глубина $h$.
Обратите внимание, что мы взяли второй луч $SO$ не просто так — он падает под крайне малым углом $alpha$. После преломления мы получаем такой малый угол $gamma$, что он попадает в глаз наблюдателя. Т.е., на рисунке 8 схематическая область увеличена для нашего удобства во много раз. Мы рассматриваем настолько малые углы, что преломленный луч $SB$ достигает глаза, и мы видим мнимое изображение, образованное преломлением света.
Теперь мы можем записать условие задачи и решить ее.
Дано:
$H = 3 space м$
$n_1 = 1.33$
$n_2 = 1$
$h — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассмотрим две прямые $AS$ и $CD$. Они параллельны, а прямая $SO$ — секущая. Тогда накрест лежащие углы равны друг другу:
$angle ASO = alpha$.
Запишем тангенс этого угла в прямоугольном треугольнике $ASO$:
$tg alpha = frac{AO}{AS} = frac{AO}{H}$.
Тогда, $AO = H cdot tg alpha$.
Теперь попробуем выразить $AO$ из другого треугольника — $AS_1O$.
Если рассмотрим $S_1O$ как прямую, пересекающую две параллельные прямые, то $angle AS_1O = gamma$.
Запишем тангенс этого угла:
$tg gamma = frac{AO}{AS_1} = frac{AO}{h}$.
Тогда, $AO = h cdot tg gamma$.
Получается, что $H cdot tg alpha = h cdot tg gamma$.
Выразим отсюда мнимую глубину $h$:
$h = H cdot frac{tg alpha}{tg gamma}$.
Так как углы $alpha$ и $gamma$ крайне малы, мы можем смело использовать следующие приближения:
$tg alpha approx sin alpha$,
$tg gamma approx sin gamma$.
Тогда, $h = H cdot frac{sin alpha}{sin gamma} = H cdot frac{n_2}{n_1}$.
Так как $n_2 = 1$, мы можем записать, что $h = frac{H}{n_1}$.
$h = frac{3 space м}{1.33} approx 2.3 space м$.
Ответ: $h = 2.3 space м$.
Используя уравнения (4) и (5), докажите, что n21 =n2/n1, где n1 — абсолютный показатель преломления первой среды, а n2 — второй.
Указание: выразите из уравнения (5) скорость v света в среде через с и л; по аналогии с полученной формулой запишите формулы для определения скоростей v1 и v2, входящих в уравнение (4); замените в уравнении (4) v1 и v2 на соответствующие им буквенные выражения и упростите полученную формулу.
Формула Максвелла в физике
Формула Максвелла
Уравнения Максвелла для световой волны
Согласно классической электромагнитной теории света, световая волна описывается системой уравнений Максвелла. Для области, которая не имеет свободных зарядов и токов уравнения для вектора напряженности электрического ($overline{E}$) и магнитного ($overline{B}$) полей в дифференциальном виде можно представить как:
[left{ begin{array}{c}
Delta overline{E}-frac{varepsilon mu }{c^2}frac{{partial }^2overline{E}}{partial t^2}=0 \
Delta overline{B}-frac{varepsilon mu }{c^2}frac{{partial }^2overline{B}}{partial t^2}=0 end{array}
right.left(1right).]
Система уравнений (1) представляет собой уравнения движения волны в веществе с фазовой скоростью ($v$), которая равна:
[v=frac{c}{sqrt{varepsilon mu }}left(2right),]
где $c$ — скорость света в вакууме; $varepsilon $ — диэлектрическая проницаемость вещества; $mu $ — магнитная проницаемость среды. Если вещество, в котором распространяется свет, является прозрачным, то чаще всего $varepsilon >1$, считают, что $mu approx 1$. В таком случае из формулы (2) следует, что $v
Показатель преломления
Часто рассматривая распространение света в веществе находят не модуль ее скорости в среде ($v$), а соотношение между величиной скорости света в веществе и скорости света в вакууме ($frac{v}{c}$). Для этого используют известный закон преломления (закон Снеллиуса):
[frac{{sin alpha }}{{sin gamma }}=frac{v_1}{{ v}_2}=frac{n_2}{{ n}_1}=n_{21}left(3right),]
где $v_1$ — скорость распространения волны в первом веществе; $v_2$ — скорость распространения волны во втором веществе; $n_2$ — показатель преломления второго вещества; $n_1$ — показатель преломления первого вещества; $n_{21}$ — относительный показатель преломления.
Абсолютный показатель преломления вещества — это показатель преломления относительно вакуума, то есть можно записать:
[n_1=frac{c}{v_1};; n_2=frac{c}{v_2}left(4right).]
Вещество, которое обладает большим показателем преломления, называют оптически более плотным. Показатель преломления зависит от вещества, в котором распространяется свет, частоты колебаний в волне (длины волны). Имеются оптически анизотропные среды, в которых показатель преломления связан с направлением поляризации электромагнитной волны.
Формула связи показателя преломления с электрическими и магнитными свойствами вещества
Учитывая выражения (2) и (4) мы получим:
[n=frac{c}{{c}/{sqrt{varepsilon mu }}}=sqrt{varepsilon mu }.]
[n=sqrt{varepsilon mu } (5).]
Уравнение (5) называют формулой Максвелла. Для немагнитных прозрачных веществ выражение (5) преобразуют к виду:
[napprox sqrt{varepsilon }left(6right).]
Как известно, показатель преломления ($n$) зависит от длины волны ($lambda $) света, однако диэлектрическую проницаемость вещества обычно считают величиной постоянной, полученное противоречие говорит об ограниченности классической электромагнитной теории поля. Считая формула Максвелла справедливой необходимо учитывать строение вещества с точки зрения атомной физики и говорить о зависимости $varepsilon (lambda )$.
Считая $varepsilon =const,$ формулу Максвелла применяют для расчетов, которые проводят для газов, имеющих простое химическое строение, в которых проявляется слабая зависимость оптических свойств от частоты, и нет большой дисперсии. Эксперименты показали, что формула Максвелла дает хорошие результаты при ее использовании для жидких углеводородов. Для твердых тел применение формулы (5) дает большие погрешности.
Проблема, связи показателя преломления с частотой света, помогает устранить, например, электронная теория Лоренца. Ученый рассматривал явление дисперсии света как взаимодействие электромагнитных волн с частицами, несущими совершающими вынужденные колебания в переменном поле световой волны. Лоренц вывел формулу, связавшую показатель преломления с длиной световой волны.
Примеры задач на формулу Максвелла
Пример 1
Задание. В своих экспериментах для демонстрации преломления электромагнитных волн Г. Герц использовал призму, выполненную из парафина. Каков показатель преломления вещества, если $varepsilon =2;; mu =1$?
Решение. Для решения задачи используем формулу Максвелла:
[n=sqrt{varepsilon mu } .]
Вычислим показатель преломления:
[n=sqrt{2cdot 1}=1,4.]
Ответ. $n=1,4$
Пример 2
Задание. При помощи локатора в глубине воды обнаружен предмет. Отраженный сигнал от предмета до локатора шел $t$ секунд. Зная диэлектрическую проницаемость воды ($varepsilon $) определите расстояние от локатора до предмета. Считайте $mu =1.$
Решение. Сделаем рисунок.
Так как сигнал, который посылает локатор, проходит расстояние $s$ дважды (до предмета обратно), считая скорость движения сигнала постоянной запишем:
[2s=vt left(2.1right).]
Фазовая скорость волны в веществе может быть найдена как:
[v=frac{c}{n}left(2.2right).]
Показатель преломления вещества определим при помощи формулы Максвелла:
[n=sqrt{varepsilon mu } (2.3).]
Учитывая выше записанные выражения получим:
[2s=frac{c}{n}t=frac{c}{sqrt{varepsilon mu }}tto s=frac{c}{2sqrt{varepsilon mu }}t.]
Ответ. $s=frac{c}{2sqrt{varepsilon mu }}t$
Читать дальше: формулы по физике 7-9 класс.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!