Как найти на калькуляторе значение синуса

Разлагаем синус в ряд около нуля, берём первые несколько членов этого ряда и подставляем один градус. В данном случае угол маленький, поэтому можно ограничиться многочленом третьей степени:

sin(x) ≅ x — x³/6

Перед подстановкой градус придётся перевести в радианы умножением на π и делением на 180°.

Отдельный приз полагается заметившим странные цифры 355 и 113. Их нашёл в наш китайский товарищ Цзу Чунчжи (祖沖之) ещё во времена династии Ци (479—502). Отношение 355/113 — это единственное приближение числа π рациональной дробью, которое короче десятичного представления аналогичной точности.

Разберём магию аль-Каши по шагам.

  sin30 = .5
  cos30 = sqrt(3)/2

  sin45 = sqrt(2)/2
  cos45 = sin45

Синус и косинус 30° и 45° были известны ещё древним грекам.

  sin75 = sin30*cos45+cos30*sin45

Налицо синус суммы углов 30° и 45°. Ещё до аль-Каши эту формулу вывел другой персидский астроном, Абуль-Вафа Мухаммад ибн Мухаммад ибн Яхья ибн Исмаил ибн Аббас аль-Бузджани.

  cos75 = sqrt(1-sin75^2)

Пифагоровы штаны во все стороны равны.

  cos36 = (1+sqrt(5))/4
  sin36 = sqrt(1-cos36^2)

Это из правильного пятиугольника, известного ещё древним грекам.

  sin72 = 2*sin36*cos36
  cos72 = sqrt(1-sin72^2)

Опять синус суммы и теорема Пифагора.

  (sin3 = sin75*cos72-cos75*sin72)
  .0523359562429430

Считаем синус разности 75° и 72° и получаем синус 3°.

Теперь можно разложить 3° на сумму трёх углов по 1°, но возникает заминка — получаем кубическое уравнение:

sin 3° = 3 x — 4 x³

где x = sin 1°. Решать кубические уравнения аналитически тогда ещё никто не умел.

Мудрый аль-Каши заметил, что можно выразить это уравнение в следующей форме:

f(x) = (sin 3° + 4 x³) / 3

и потом применить к f(x) метод простой итерации. Напоминаю, что в то время ни Ньютон, ни Рафсон ещё не родились.

  (x = sin3/3)

Первое приближение.

  .0174453187476476
  (x = (sin3+4*x^3)/3)
  .0174523978055315
  (x = (sin3+4*x^3)/3)
  .0174524064267667
  (x = (sin3+4*x^3)/3)
  .0174524064372703
  (x = (sin3+4*x^3)/3)
  .0174524064372831
  (x = (sin3+4*x^3)/3)
  .0174524064372831

Получаем 16 знаков после пяти итераций.

Придумал этот алгоритм Джек Волдер, который тогда работал в компании Конвэйр над навигационным вычислителем вышеупомянутого бомбардировщика.

Главное преимущество метода «цифра за цифрой» в том, что он использует только операции сложения и деления на два (которое легко реализовать сдвигом вправо).

Кроме того, алгоритм можно заставить работать прямо в двоично-десятичном коде, который используется в большинстве калькуляторов, но в приведённом ниже примере мы в эти дебри не полезем.

Алгоритм итеративный и использует таблицу арктангенсов, по одному на итерацию. Таблицу нужно посчитать заранее:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char **argv)
{
  int bits = 32;
  int cordic_one = 1 << (bits - 2);
  printf("// Число с фиксированной точкой, соответствующее единице с плавающей точкойn");
  printf("static const int cordic_one = 0x%08x;n", cordic_one);
  printf("static const int cordic_table[] = {n");
  double k = 1;
  for (int i = 0; i < bits; i++) {
    printf("0x%08x, // 0x%08x * atan(1/%.0f) n", (int)(atan(pow(2, -i)) * cordic_one), cordic_one, pow(2, i));
    k /= sqrt(1 + pow(2, -2 * i));
  }
  printf("};n");
  printf("static const int cordic_k = 0x%08x; // %.16f * 0x%08xn", (int)(k * cordic_one), k, cordic_one);
}

Заодно считается масштабирующий коэффициент cordic_k.

После этого посчитать пресловутый sin 1° можно так:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// Число с фиксированной точкой, соответствующее единице с плавающей точкой
static const int cordic_one = 0x40000000;
static const int cordic_table[] = {
0x3243f6a8, // 0x40000000 * atan(1/1) 
0x1dac6705, // 0x40000000 * atan(1/2) 
0x0fadbafc, // 0x40000000 * atan(1/4) 
0x07f56ea6, // 0x40000000 * atan(1/8) 
0x03feab76, // 0x40000000 * atan(1/16) 
0x01ffd55b, // 0x40000000 * atan(1/32) 
0x00fffaaa, // 0x40000000 * atan(1/64) 
0x007fff55, // 0x40000000 * atan(1/128) 
0x003fffea, // 0x40000000 * atan(1/256) 
0x001ffffd, // 0x40000000 * atan(1/512) 
0x000fffff, // 0x40000000 * atan(1/1024) 
0x0007ffff, // 0x40000000 * atan(1/2048) 
0x0003ffff, // 0x40000000 * atan(1/4096) 
0x0001ffff, // 0x40000000 * atan(1/8192) 
0x0000ffff, // 0x40000000 * atan(1/16384) 
0x00007fff, // 0x40000000 * atan(1/32768) 
0x00003fff, // 0x40000000 * atan(1/65536) 
0x00001fff, // 0x40000000 * atan(1/131072) 
0x00000fff, // 0x40000000 * atan(1/262144) 
0x000007ff, // 0x40000000 * atan(1/524288) 
0x000003ff, // 0x40000000 * atan(1/1048576) 
0x000001ff, // 0x40000000 * atan(1/2097152) 
0x000000ff, // 0x40000000 * atan(1/4194304) 
0x0000007f, // 0x40000000 * atan(1/8388608) 
0x0000003f, // 0x40000000 * atan(1/16777216) 
0x0000001f, // 0x40000000 * atan(1/33554432) 
0x0000000f, // 0x40000000 * atan(1/67108864) 
0x00000008, // 0x40000000 * atan(1/134217728) 
0x00000004, // 0x40000000 * atan(1/268435456) 
0x00000002, // 0x40000000 * atan(1/536870912) 
0x00000001, // 0x40000000 * atan(1/1073741824) 
0x00000000, // 0x40000000 * atan(1/2147483648) 
};
static const int cordic_k = 0x26dd3b6a; // 0.6072529350088813 * 0x40000000

void cordic(int theta, int& s, int& c)
{
  c = cordic_k;
  s = 0;
  for (int k = 0; k < 32; ++k) {
    int d = (theta >= 0) ? 0 : -1;
    int tx = c - (((s >> k) ^ d) - d);
    int ty = s + (((c >> k) ^ d) - d);
    c = tx; s = ty;
    theta -= ((cordic_table[k] ^ d) - d);
  }
}

int main(void)
{
  double alpha = M_PI / 180;
  int sine, cosine;
  cordic(alpha * cordic_one, sine, cosine);
  printf("CORDIC:   %.8fnExpected: %.8fn", (double)sine / cordic_one, sin(alpha));
}

Результат:

CORDIC:   0.01745240
Expected: 0.01745241

Тут 32 итерации, поэтому осталась небольшая ошибка. Калькуляторы обычно используют 40 итераций.

1. 1

   Найдите основные функции. На калькуляторе есть несколько функций, которые понадобятся для решения алгебраических, тригонометрических, геометрических и других задач. Найдите на калькуляторе следующие функции:

   Основные операции^[1]
   

   Операция	Описание операции
   +	Сложение
   —	Вычитание (а не знак «минус»)
   x	Умножение (для переменных есть отдельная кнопка x)
   ÷	Деление
   ^	Возведение в степень
   yx	«y» в степени «x»
   √ или Sqrt	Квадратный корень
   ex	Экспонента
   sin	Синус
   sin-1	Арксинус
   cos	Косинус
   cos-1	Арккосинус
   tan	Тангенс
   tan-1	Арктангенс
   ln	Натуральный логарифм (с основанием e)
   log	Десятичный логарифм (с основанием 10)
   (-) или neg	Знак «минус»
   ()	Скобки (указывают порядок операций)
   π	Значение числа Пи
   Mode	Переключение между градусами и радианами

2. 2

   Ознакомьтесь с дополнительными функциями. Наиболее важные функции указаны на самих кнопках (например, SIN для синуса), а дополнительные функции — над кнопками (например, SIN-1 для арксинуса или √ для квадратного корня).

   • На некоторых калькуляторах есть кнопка «Shift» вместо кнопки «2ND».
   • Во многих случаях цвет кнопки «Shift» или «2ND» соответствует цвету текста функции.

3. 3

   Всегда закрывайте круглые скобки. Если вы ввели левую скобку, обязательно введите правую (закрывающую) скобку. Если, например, вы ввели пять левых скобок, введите пять правых скобок.

   • Это важно при длинных вычислениях с множеством операций — если вы забудете ввести закрывающую скобку, полученный результат будет неверным.

4. 4

   Переключайтесь между градусами и радианами. Можно работать со значениями в градусах (от 0 до 360) или радианах (вычисляются с помощью числа Пи). Нажмите «MODE» (Режим), кнопками со стрелками выберите опцию «RADIANS» (Радианы) или «DEGREES» (Градусы), а затем нажмите «ENTER».

   • Это важно при выполнении расчетов в тригонометрии. Если полученное значение представляет собой десятичную дробь, а не градусы (или наоборот), переключитесь с радианов на градусы (или обратно).

5. 5

   Научитесь сохранять и восстанавливать результаты. Это понадобится при длинных вычислениях. Существует несколько способов использования сохраненной информации:

   • Используйте функцию «Ответ», чтобы вызвать результат, который был показан последним. Например, если вы только что ввели 2^4, введите -10 и нажмите «ENTER», чтобы вычесть 10 из последнего результата.
   • Когда получите нужный результат, нажмите «STO» (Сохранить) > «ALPHA», выберите букву, а затем нажмите «ENTER». Так вы сохраните этот результат в памяти под выбранной буквой.^[2]
     

6. 6

   Очистите экран. Чтобы выйти из меню или удалить несколько строк выражения с экрана калькулятора, нажмите «CLEAR» (Очистить) в верхней части клавиатуры.

   • Также можно нажать «2ND» или «Shift», а затем нажать любую кнопку с надписью «QUIT» (Выйти). В большинстве случаев такой кнопкой является «MODE» (Режим).

   Реклама

1. 1

   Извлеките квадратный корень. Например, извлеките квадратный корень из 9. Вам, конечно, известно, что ответом будет число 3, поэтому это хороший способ потренироваться нажимать кнопки в правильном порядке:

   • найдите символ квадратного корня (√);
   • нажмите кнопку с символом квадратного корня или сначала нажмите кнопку «SHIFT» или «2ND», а затем нажмите кнопку с символом квадратного корня;
   • нажмите «9»;
   • нажмите «ENTER», чтобы получить ответ.

2. 2

   Возведите число в степень. В большинстве случаев это делается так: введите первое число (основание степени), нажмите кнопку с символом «^», а затем введите второе число (показатель степени).

   • Например, чтобы вычислить 2², введите 2^2 и нажмите «ENTER».
   • Чтобы убедиться, что вы не нарушили порядок ввода обоих чисел, вычислите 2³. Если в качестве ответа вы получите 8, порядок ввода чисел не нарушен. Если на экране отобразилось число 9, вы вычислили 3².

3. 3

   Используйте функции тригонометрии. Когда вы работаете с синусами, косинусами и тангенсами, помните о двух вещах: порядке нажатия на кнопки и радианах/градусах.

   • Например, вычислите синус 30°. Он равен 0,5.
   • Выясните, нужно ли сначала ввести 30 или сначала нажать кнопку «SIN». Если сначала нужно нажать «SIN», а затем ввести 30, ответом будет 0,5; в этом случае калькулятор работает с градусами. Если ответ равен -0,988, калькулятор работает с радианами.

4. 4

   Введите длинное выражение. Здесь задача немного усложнится, потому что нужно учесть порядок операций и число введенных скобок (). Например, введите в калькулятор следующее выражение: 3^4/(3+(25/3+4*(-(1^2))))

   • Обратите внимание, сколько скобок необходимо, чтобы правильно вычислить это выражение. Помните, что число открывающих «(» скобок должно равняться числу закрывающих «)» скобок.

5. 5

   Изучите сложные функции в меню «MATH» (Математика). Тригонометрические функции, корни, возведение в степень и число Пи указываются на кнопках или над ними, а вот более сложные функции (например, факториалы) можно найти в меню «MATH». Чтобы использовать это меню, выполните следующие действия:

   • нажмите кнопку «MATH»;
   • кнопками со стрелками прокрутите (вверх/вниз) категории уравнений;
   • кнопками со стрелками прокрутите (вправо/влево) уравнения определенной категории;
   • нажмите «ENTER», чтобы выбрать уравнение, а затем введите числа или формулу, к которой нужно применить это уравнение;
   • нажмите «ENTER», чтобы вычислить уравнение.

   Реклама

1. 1

   Учтите, что не все научные калькуляторы позволяют строить графики. Если на калькуляторе нет кнопки «Y», вы, скорее всего, не сможете построить на нем график линейного уравнения «y = mx + b» (или аналогичного).^[3]
   

   • Чтобы вяснить, умеет ли калькулятор строить графики, почитайте инструкцию или поищите кнопку «Y=» в верхней части клавиатуры калькулятора.

2. 2

   Нажмите кнопку «Y =». Как правило, она находится в верхней части клавиатуры калькулятора. Отобразится список значений Y (например, «Y1», «Y2» и так далее), каждое из которых соответствует определенному графику.

3. 3

   Введите уравнение. Введите уравнение (например, 3x+4), а затем нажмите «ENTER». Уравнение отобразится справа от значения «Y1».

   • Чтобы ввести часть уравнения, в которой находится переменная, нажмите кнопку «X», «T», «Θ», «n» или аналогичную.

4. 4

   Нажмите GRAPH (График). Как правило, эта кнопка находится в верхней части клавиатуры калькулятора.

5. 5

   Просмотрите результаты. Через некоторое время на экране отобразится график — прямая/кривая линия и оси координат.

   • Чтобы просмотреть координаты отдельных точек графика, нажмите кнопку «TABLE» (Таблица) (или нажмите «Shift»/»2ND», а затем нажмите кнопку «GRAPH») и прокрутите таблицу с координатами точек.

   Реклама

Советы

• Расположение функций по кнопкам зависит от модели научного калькулятора. Поэтому найдите время, чтобы ознакомиться с калькулятором. Почитайте инструкцию, если не можете найти определенную функцию.

Реклама

Предупреждения

• Возможно, на старых научных калькуляторах (например, те, которые не умеют строить графики), нет некоторых дополнительных функций, таких как меню «MATH» (Математика).

Реклама