Как найти на отрезке десятичные числа

Дата: 13/02/2017
___________

Класс: 5

Предмет: математика

Урок №: 129

Тема урока: «Изображение
десятичных дробей на координатном луче.».

Цели
и задачи урока:

Образовательные:

— сформировать умение изображать десятичные дроби точками на
координатном луче, находить координаты точек, изображенных на координатном
луче;

Развивающие:

– продолжить работу
по развитию: 1) умений наблюдать, анализировать, сопоставлять, доказывать,
делать выводы; 2) математического и общего кругозора; 3) оценивать свою работу;

Воспитательные:

–
формировать умения высказывать свои мысли, слушать других, вести диалоги,
отстаивать свою точку зрения; формировать навыки самооценки.

Ход урока

I.
Организационный момент, приветствие, пожелания плодотворной
работы.

— Проверьте, всё
ли вы приготовили для урока.

II. Постановка целей урока.

Ребята
посмотрите внимательно на тему сегодняшнего урока. Как вы думаете, чем мы с
вами сегодня будем заниматься на уроке? Давайте вместе с вами попытаемся
сформулировать цели урока.

III.
Актуализация знаний. Все ученики пишут в тетрадях, один ученик
за закрытой доской. Учитель проверяет работу на доске, после чего все учащиеся
сравнивают и исправляют ошибки.

1) Математический диктант.

1.
Три целых одна десятая.

2.
Пять целых восемь десятых.

3.
Одна целая пять десятых.

4.
Ноль целых семьдесят сотых.

5.
Семь целых двадцать пять сотых.

6.
Ноль целых шестнадцать сотых.

7.
Три целых сто двадцать пять тысячных.

8.
Пять целых двенадцать сотых.

9.
Десять целых двадцать четыре сотых.

10.
Одна целая три десятых.

Ответы:

1. 3,1

2. 5,8

3. 1,5

4. 0,75

5. 7,25

6. 0,16

7. 3,125

8. 5,12

9. 10,24

10. 1,3

2) Устная работа

(1) Прочитайте десятичные дроби:

0,2
1,009    3,26     8,1    607,8    0,2345     0,001   3,07    27,27    0,24
100,001 3,08   3,89    71,007 5,0023

3)
Давайте
вспомним!

Чтобы
отметить точку на координатном луче, необходимо…

Какой
буквой отмечается точка на координатном луче?

Как
записывается координата точка?

3. Изучение нового материала.

Десятичные
дроби на координатном луче изображаются так же, как обыкновенные дроби.

(2)
1) Изобразим на координатном луче десятичную дробь 3,2.

Число
3,2 содержит 3 целых единицы и 2 десятых доли единицы. Сначала отметим на
координатном луче точку, соответствующую числу 3. Затем следующий единичный
отрезок разделим на десять равных частей и отсчитаем две такие части вправо от
числа 3. Так мы получим на координатном луче точку А, которая изображает
десятичную дробь 3,2. Расстояние от начала отсчета до точки А равно 3,2
единичного отрезка.(А=3,2).

Изобразим
на координатном луче десятичную дробь 3,2.

2) Изобразим на координатном луче десятичную дробь
0,56.

4. Закрепление изученного материала.

(3)
1. Дорога от Каратау до Коктала равна 10 км. Петя прошел 3 км. Какую часть
дороги он прошел?

1. На сколько равных
частей разделен весь путь? ( на 10 частей)

2. Чему будет равна одна
часть пути? (1/10 или 0,1)?

3. Чему будут равны три
части такого пути? (0,3)?

1. Какие числа
отмечены точками на координатной прямой.

(4) 2.

A(0,3); B(0,9); C(1,1); D(1,7).

A(6,4); B(6,7); C(7,2); D(7,5); E(8,1).

A(0,02); B(0,05); C(0,14); D(0,17).

(5) 3.

На
координатной прямой некоторые точки обозначены буквами. Какая из точек
соответствует числу 34,8; 34,2; 34,6; 35,4; 35,8; 35,6?

(6) 4. Начертите
координатный луч. За единичный отрезок возьмите 5 клеток тетради. Найдите на
координатном луче точки А (0,9), В (1,2), С(3,0)

(7)
Работа с учебником: откройте в учебнике на стр.89, выполняем номер: № 1254
(задача на смекалку).

(8)
5. Физкультминутка, упражнение на внимание.

Посчитайте
фигуры так: «Первый треугольник, первый угол, первый круг, второй угол и т.д.»

Дифференцированная работа с учащимися (работа с
одаренными и слабоуспевающими учащимися).

6. Подведение итогов урока.

Ребята
что нового вы узнали сегодня на уроке?

Как
вы думаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

Рефлексия.

Как вы думаете
ребята, достиг ли мы поставленной цели?

-Что вы узнали на
уроке? — Чему вы научились на уроке?

Что понравилось
на уроке? Какие трудности возникли?

(9)7.
Домашнее задание:

2.
Придумайте сказку, которая должна начинаться так: В некотором царстве, в
некотором государстве, которое звалось «Государство чисел» жили-были
дроби: обыкновенные и десятичные

Опорный лист к уроку «Изображение десятичных
дробей на координатном луче».

1. Прочитайте десятичные дроби:

0,2
1,009    3,26     8,1    607,8    0,2345     0,001   3,07    27,27    0,24
100,001 3,08   3,89    71,007 5,0023

2. Изобразим на координатном луче десятичную
дробь 3,2.

а) Число 3,2 содержит 3 целых единицы и 2 десятых доли единицы.

б) Изобразим на координатном луче десятичную дробь 0,56.

3. Дорога от Каратау до Коктала равна 10
км. Петя прошел 3 км. Какую часть дороги он прошел?

1.
На сколько равных частей разделен весь путь?

2.
Чему будет равна одна часть пути?

3.
Чему будут равны три части такого пути?

4. Какие
числа отмечены точками на координатной прямой.

5. На координатной прямой некоторые точки обозначены
буквами. Какая из точек соответствует числу 34,8; 34,2; 34,6; 35,4; 35,8;
35,6?

6.
Начертите координатный луч. За единичный отрезок возьмите 5 клеток тетради.
Найдите на координатном луче точки А (0,9), В (1,2), С(3,0)

7. Работа с учебником: откройте
в учебнике на стр.89, выполняем номер: № 1254 (задача на смекалку).

8. Посчитайте фигуры так: «Первый
треугольник, первый угол, первый круг, второй угол и т.д.»

9. Домашнее задание:

1.
№ задания на доске

Источник

§ 1.1. Бесконечные десятичные дроби

Рациональные (в частности, целые) числа и их свойства считаются известными из школы. Рациональные числа можно сравнивать (т. е. для них введены понятия “равно”, “больше” и “меньше”), определены арифметические действия над рациональными числами – сложение, вычитание, умножение и деление.

Но рациональных чисел недостаточно даже для задач элемен-

тарной математики. Так, длина диагонали квадрата со стороной 1 p

равна 2, а это число иррациональное, т. е. не рациональное. Не является рациональным и число , выражающее длину окружности диаметра 1.

Напомним, что такое числовая прямая. На горизонтально расположенной прямой выбирают начальную точку O и единичный отрезок OE, отложенный вправо от точки O. Точке O ставится в соответствие число 0, точке E – число 1. Откладывая вправо от точки E шаг за шагом единичный отрезок, получают точки, соответствующие натуральным числам 2; 3; : : : , а откладывая единичный отрезок влево от точки O, – точки, соответствующие целым отрицательным числам 1; 2; : : : .

Затем строятся точки, соответствующие рациональным числам. При n = 2; 3; : : : отрезок OE делят на n равных частей и чтобы получить точку, соответствующую положительному рациональному числу m=n, вправо от точки O откладывают m раз отрезок длины 1=n. Точно также для отрицательных рациональных чисел находят соответствующие им точки слева от точки O.

Таким образом, каждому рациональному числу поставлена в соответствие точка на числовой прямой. Но при этом не каждой точке числовой прямой соответствует рациональное число. На-

пример, нет рационального числа, соответствующего точке, рас- p

положенной справа от O на расстоянии 2.

В этой главе рациональные числа будут пополнены до множества действительных чисел, в результате каждой точке числовой

8			Гл. 1. Действительные числа

прямой будет соответствовать число, а каждому числу – точка на прямой.

Такое пополнение рациональных чисел можно осуществить разными способами. Мы сделаем это, используя бесконечные десятичные дроби. Такой способ был намечен в школе, но сейчас все рассуждения будут проведены заново.

Отметим, что определение действительных чисел как бесконечных десятичных дробей восходит к К. Вейерштрассу.

Построим десятичную дробь, соответствующую произвольной точке A числовой прямой.

Пусть точка A расположена справа от точки O и не отвечает натуральному числу. Найдём целые числа a0 и a0+1, между которыми лежит точка A. В качестве целой части десятичной дроби, соответствующей точке A, берём a0.

Далее отрезок между точками a0 и a0 + 1 делим на 10 равных частей и приписываем этим частям слева направо цифры от 0 до 9. Среди полученных промежутков длины 1/10 находим тот, внутри которого находится точка A (случай, когда A оказывается одной из точек деления, обсудим позднее) и в качестве первого десятичного знака искомой дроби берём цифру, приписанную этому промежутку. Продолжая этот процесс, получим (при условии, что A не оказывается точкой деления) бесконечную десятичную дробь, соответствующую точке A.

Рассмотрим теперь случай, когда точка A оказалась одной из точек деления. Пусть, например, A расположена как на рисунке:

	0	1	2	9

a			A		a +1
	0			0

Точкам на промежутке, примыкающем к A справа, в качестве первого десятичного знака мы приписали цифру 2, а на промежутке, примыкающем слева, – цифру 1. По поводу самих точек деления нужно решить, к какому промежутку их относить: лежащему справа или лежащему слева. Если точки деления относить к

§ 1.1. Бесконечные десятичные дроби

правым промежуткам, то для точки A на рисунке получим a0; 2, а все остальные десятичные знаки – ноли, т. е. получим a0; 2000 : : : . Если точки деления относить к левым промежуткам, то для точки A получим a0; 1, а все остальные десятичные знаки – девятки,

т.е. получим a0; 1999 : : : = a0; 1(9).

Взависимости от договоренности, относить точки деления к правым или к левым промежуткам, для точек, соответствующих натуральным числам, также получим две бесконечные десятичные дроби. У одной из них все десятичные знаки ноли, а у другой целая часть на единицу меньше, а все десятичные знаки – девятки.

Для точек числовой прямой слева от точки O пишем перед дробью знак минус, а затем подобным образом находим числа a0; a1; a2; : : : , определяющие соответствующую бесконечную десятичную дробь a0; a1a2 : : : .

Таким образом, для всех точек числовой прямой (кроме начальной точки O), которые оказываются точками деления, возможны две записи – с нолем в периоде (т. е. в виде целого числа или конечной десятичной дроби) или с девяткой в периоде. Для остальных точек бесконечная десятичная дробь определяется однозначно.

Чтобы каждой точке числовой прямой соответствовала единственная бесконечная десятичная дробь, уславливаются не различать получающиеся при указанном построении дроби с 0 и с 9 в периоде. Обычно в каждом рассуждении используют дроби только с нолем или только с девяткой в периоде.

Поставим обратную задачу – для заданной бесконечной десятичной дроби a0; a1a2 : : : найти соответствующую ей точку числовой прямой.

По знаку дроби и числу a0 находим два идущих подряд целых числа, между которыми должна располагаться искомая точка. Затем, разбив промежуток между этими точками на 10 равных частей, по числу a1 находим тот из полученных промежутков длины 1=10, которому должна принадлежать наша точка.

Продолжая шаг за шагом это построение, получим последовательность промежутков, каждый из которых содержится в предыдущем, а длина его в 10 раз меньше. Искомая точка должна принадлежать всем этим промежуткам.

10	Гл. 1. Действительные числа

Но обязательно ли существует такая точка, мы сейчас не знаем. В дальнейшем на этот вопрос будет получен положительный ответ.

Всё сказанное о бесконечных десятичных дробях следует рассматривать как наводящие соображения к тому, чтобы назвать числами бесконечные десятичные дроби.

Определение. Действительными (вещественными) числами называют бесконечные десятичные дроби a0; a1a2 : : : , где выбран определённый знак: “+” или “ ”, a0 – натуральное число или нуль, а все десятичные знаки a1; a2; : : : – цифры от 0 до 9. При этом дробь a0; a1 : : : am(9), где am 6= 9, определяет то же число, что и дробь a0; a1 : : : am 1d000 : : : , у которой m-й десятичный знак d равен am + 1.

Действительные числа будем обозначать буквами и писать a = a0; a1a2 : : : , опуская обычно при этом знак +. Число 0 записывают как бесконечную дробь 0; 000 : : : , которую можно снабдить и знаком + и знаком , но как правило этой дроби знак не приписывают.

При записи чисел a; b; c; : : : в виде бесконечных десятичных дробей для обозначения десятичных знаков будем использовать эти же буквы с индексами:

a = a0; a1a2 : : : ; b = b0; b1b2 : : : ; c = c0; c1c2 : : : :

Для каждого числа a = a0; a1a2 : : : вводится число a, которое отличается от a только знаком, т. е. a := a0; a1a2 : : : . На числовой прямой точки, соответствующие числам a и a, расположены симметрично относительно начальной точки O.

Выясним, как соотносятся рациональные и действительные числа.

Рациональные числа представимы в виде дроби mn , где m – целое число, а n – натуральное.

Будем для определённости считать, что m > 0. Разделив m на n “уголком”, получим либо конечную десятичную дробь, которую можно записать в виде бесконечной дроби с 0 в периоде, либо бесконечную десятичную дробь, которая обязательно будет периодической.

В самом деле, остатками при делении на n могут быть только числа 1; 2; : : : ; n 1. Рассмотрим остатки, которые получаются при делении m на n после того, как все значащие цифры числа m

Соседние файлы в папке Лекции, матан

Источник

Дроби на координатном луче | Математика — как дроби отметить на координатном луче

10.06.2020

Дроби на координатном луче
Как отметить на координатном луче десятичные дроби?
5.4.4. Изображение чисел на координатном луче
Координатный луч. Представление дробей на координатном луче.
Как отметить на координатном луче десятичные дроби?

Для удобного изображения дроби на координатном луче важно правильно выбрать длину единичного отрезка.

Дроби на координатном луче

Для удобного изображения дроби на координатном луче важно правильно выбрать длину единичного отрезка.

Самый удобный вариант отметить на координатном луче дроби — взять единичный отрезок из стольких клеточек, каков знаменатель дробей. Например, если требуется изобразить на координатном луче дроби со знаменателем 5, единичный отрезок лучше взять длиной в 5 клеточек:

В этом случае изображение дробей на координатном луче не вызовет затруднений: 1/5 — одна клеточка, 2/5 — две, 3/5 — три, 4/5 — четыре.

Если требуется отметить на координатном луче дроби с разными знаменателями, желательно, чтобы число клеточек в единичном отрезке делилось на все знаменатели. Например, для изображения на координатном луче дробей со знаменателями 8, 4 и 2 удобно взять единичный отрезок длиной в восемь клеточек. Чтобы отметить на координатном луче нужную дробь, единичный отрезок разбиваем на столько частей, каков знаменатель, и берем таких частей столько, каков числитель. Чтобы изобразить дробь 1/8, единичный отрезок разбиваем на 8 частей и берем 7 из них. Чтобы изобразить смешанное число 2 3/4, отсчитываем от начала отсчета два целых единичных отрезка, а третий разбиваем на 4 части и берем три из них:

Еще один пример: координатный луч с дробями, знаменатели которых равны 6, 2 и 3. В этом случае в качестве единичного удобно взять отрезок длиной шесть клеточек:

Следующий шаг — изображение дробей на координатной прямой.

Источник: http://www.for6cl.uznateshe.ru/drobi-na-koordinatnom-luche/

Как отметить на координатном луче десятичные дроби?

как дроби отметить на координатном луче

возьми за единичный отрезок 10 клеток.
пример в файле:

Другие вопросы из категории

а) 125 б) 163 в) 156 г) 297

литровые бидоны так и в 12 литровые бидоны если всего произведено меньше 100 литров. Б) Каково наибольшее количество торговых точек в которые можно поровну распределить 60 л под солнечного и 48 л кукурузного масла каждого вида при этом получит одна торговая точка?

5.4.4. Изображение чисел на координатном луче

Примеры.

1) Отметить на координатном луче точки А(4), В(8), С(12).

Выбираем единичный отрезок — одну клетку.

Тогда 1 клетка будет соответствовать числу 1;
4 клетки от начала отсчета будут соответствовать числу 4;
8 клеток — числу 8, а 12 клеток — числу 12.

Читают: точка А с координатой 4. Точка В с координатой 8. Точка С с координатой 12.

2) Изобразить на координатном луче все правильные дроби со знаменателем, равным 12.

Выбираем единичный отрезок — 12 клеток. Тогда одна клетка будет равна одной двенадцатой доли единичного отрезка, равного 12 клеткам.

Любому числу координатного луча соответствует единственная точка. И если под и над точкой стоят два числа, то это означает, что эти два числа равны между собой (смотрите тему: «Сокращение обыкновенных дробей»).

3) Начертить координатный луч, выбрать единичный отрезок, равный 6 клеткам и отметить точки: А( 1/6), В(2/3), С(1½), D (2 1 /₃).

За единичный отрезок мы взяли 6 клеток.

1 клетка — это одна шестая часть единичного отрезка, т. е дробь 1/6.
2 клетки — две шестые части единичного отрезка или дробь 1/3 (2/6=1/3).
3 клетки — три шестые части единичного отрезка или дробь ½ (3/6=½).
4 клетки — четыре шестые части единичного отрезка или дробь 2/3 (4/6=2/3).
5 клеток — пять шестых частей единичного отрезка или несократимая дробь 5/6.
6 клеток — шесть шестых или один единичный отрезок (6/6=1).

Число 1½ означает, что ½ единичного отрезка (3 клетки) следует откладывать не от нуля, а от 1 целой.

Число 2 1 /₃ изображаем так: отсчитываем 2 целые единицы (2·6=12 клеток) и еще 2 клетки.

4) На координатном луче отметить точки: А(5/8), В(1¾), С(2½).

Источник: http://www.mathematics-repetition.com/5-klass-mathematics/5-4-4-izobrazhenie-tchisel-na-koordinatnom-lutche.html

Координатный луч. Представление дробей на координатном луче.

Урок изучения нового материала по теме: «Координатный луч. Представление дробей на координатном луче.»

Содержимое разработки

Технологическая карта урока

Предмет: математика Класс:5

Тема урока: Координатный луч. Представление дробей на координатном луче.

Цель урока: создать условия для формирования новой учебной информации.

1. Познакомить с понятиями: единичный отрезок, координата, координатный луч;

2. Закрепить умения строить координатный луч с выбранным единичным отрезком, записывать координаты точек, по заданным координатам находить положение точки на координатном луче.

3. Уметь применять знания о координатном луче при решении практических задач.

1.Развивать навыки эстетического восприятия;

2.Развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать;

3.Развивать внимание, память, воображение и мышление;

4. Развивать математическую культуру речи и письма

5.Развивать творческую инициативу и самостоятельность обучающихся.

1. Воспитывать доброжелательные отношения среди обучающихся в работе парами, группами, чувство уверенности в себе, умение работать в коллективе.

Тип урока урок первичного открытия (усвоение) новых знаний

Необходимое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация.

Планируемые образовательные результаты

-самоопределение, и смыслообразование;

-умение приводить примеры;

-находчивость и активность при решении задач;

-умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации и других дисциплинах, в окружающей жизни;

-находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математической проблемы;

— умение строить координатный луч с выбранным единичным отрезком, записывать координаты точек, по заданным координатам находить положение точки на координатном луче;

-умение работать с математическим текстом;

-грамотно использовать математическую терминологию и символику.

Структура и ход урока

Этапы урока;

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Формируемые УУД

1. Орг. момент

Фрагмент из мультфильма «38 попугаев» ( песенка «Ужасно интересно…») СЮЖЕТ 1

Учитель: Фрагмент из мультфильма «38 попугаев» будет эпиграфом к нашему сегодняшнему уроку математики.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Регулятивные: формирование способности к преодолению препятствий

Личностные: формирование стартовой мотивации к изучению нового

2. Актуализация знаний обучающихся

Какие геометрические фигуры вы видите на слайде?

Можем ли мы у луча измерить длину? А у отрезка?

Каковы единицы измерения длины?

Если отрезок KL вы измерите своей ученической линейкой, а я демонстрационной, то длина отрезка будет одинаковая или разная? Почему?

А, сейчас, давайте посмотрим, как решают эту проблему герои мультфильма «38 попугаев». СЮЖЕТ 2

Подводящий диалог:

— Как друзья решили измерить удава?

— Кто сначала стал меркой, а потом?

(мультфильм детям знаком, поэтому ответы выкрикивают)

— Какова длина удава в мартышках, слонах и попугаях?

— Почему же разная получилась длина удава?

(тут дети выдают разные утверждения: 2 слоненка получилось, потому что он объемный; 5 мартышек – потому что мартышка-акробатка совершала колесо, а могла бы длина удава быть больше)

Участвуют в работе по повторению: в беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы (луч, отрезок)

Делают вывод: так получилось, потому что мерки были разные, а удав один и тот же.

Познавательные: структурирование собственных знаний, общеучебные (умение видеть проблему)

Коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Личностные: формирование устойчивой мотивации к изучению нового.

3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Мотивирует учащихся, вместе с ними определяет цель урока; акцентирует внимание учащихся на значимость темы.

— Затем выясняют, что такая мерка называется единичным отрезком.

— А с какой точки начиналось измерение удава?

— Как мы можем назвать эту точку?

— Движение попугая, мартышки, слонёнка имело направление?

— итак, у нас есть направление, начало отсчёта и единичный отрезок.

— Как можно назвать полученную геометрическую модель

— Какова же тема нашего урока

— итак, запишем тему урока

— сформулировать определение координатного луча

— В тетради, построили луч, расположенный горизонтально, отметили начало луча точкой О, внизу подписали число 0, – эту точку О назовём точкой отсчёта, отсюда мы начнём движение …(вправо), пройдя какое – то расстояние мы попали в точку А, внизу видим подписанное число 1. Какое же расстояние мы можем пройти до данного числа?

Какие числа вы уже научились отмечать на координатном луче?

— Затем выясняют, что такая мерка называется единичным отрезком.

Отвечают (с головы)

Отвечают (начало отсчёта) Отвечают (да)

Отвечают (координатный луч)

Тема урока «Координатный луч»

Записывают в тетради

Координатный луч – это луч, на котором задано начало отсчета, направление и единичный отрезок.

Поэтапно выполняют построение координатного луча

Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме, поиск и выделение необходимой информации

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: обнаруживать и формировать учебную проблему, формировать целевые установки учебной деятельности

Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.

4. Усвоение новых знаний и способов действий и

применения знаний и умений в новой ситуации

— Как вы думаете, как правильно определить единичный отрезок при работе с дробями?

Самый удобный вариант отметить на координатном луче дроби -взять единичный отрезок из стольких клеток, каков знаменатель дробей.

— Если требуется отметить на координатном луче дроби с разными знаменателями, желательно, чтобы число клеток в единичном отрезке делилось на все знаменатели.

Определите координаты точки А, В, С

Вопрос: зависит ли координата точки от длины единичного отрезка?

Вот потому и длина удава в попугаях, мартышках и слонёнках была разная

Познавательные: формирование интереса к данной теме.

Личностные: формирование готовности к самообразованию.

Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.

Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата.

5. Контроль и самоконтроль знаний и способов действий

Организация и контроль за процессом решения задач

Источник: http://videouroki.net/razrabotki/koordinatnyi-luch-priedstavlieniie-drobiei-na-koordinatnom-luchie.html

Как отметить на координатном луче десятичные дроби?

как дроби отметить на координатном луче

возьми за единичный отрезок 10 клеток.
пример в файле:

Другие вопросы из категории

а) 125 б) 163 в) 156 г) 297

Периодические десятичные дроби

10 февраля 2012

Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби»)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.

Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.

Периодическая десятичная дробь — это любая десятичная дробь, у которой:

Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;

Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе — периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:

Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом — в настоящем решении так делать не обязательно.

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа. Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей».

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным — см. урок «Десятичные дроби». Такие нас не интересуют;
В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

При этом будет происходить следующее:

Сначала разделится целая часть, если она есть;
Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
Через некоторое время цифры начнут повторяться.

Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 … = 1,7(3).

В итоге получается дробь: 0,5833 … = 0,58(3).

Записываем в нормальном виде: 4,0909 … = 4,(09).

Получаем дробь: 0,4141 … = 0,(41).

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc(a₁b₁c₁). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k;
Найдите значение выражения X · 10^k. Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»;
Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь;
В полученном уравнении найти X. Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

9,(6);

32,(39);

0,30(5);

0,(2475).

Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 …

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10^k = 10¹ = 10. Имеем:

10X = 10 · 9,6666 … = 96,666 …

Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

10X − X = 96,666 … − 9,666 … = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 …

Период k = 2, поэтому умножаем все на 10^k = 10² = 100:

100X = 100 · 32,393939 … = 3239,3939 …

Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

100X − X = 3239,3939 … − 32,3939 … = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 … Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10^k = 10¹ = 10;

10X = 10 · 0,30555 … = 3,05555 …
10X − X = 3,0555 … − 0,305555 … = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 … Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

k = 4 ⇒ 10^k = 10⁴ = 10 000;
10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 …
10 000X − X = 2475,2475 … − 0,2475 2475 … = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.

Смотрите также:

Сравнение дробей
Тест к уроку «Десятичные дроби» (2 вариант)
Четырехугольная пирамида в задаче C2
Как сдать ЕГЭ по математике
Задача B5: площадь сектора
Задача B4: тарифы на сотовую связь

Источник

§ 1.1. Бесконечные десятичные дроби

Дроби на координатном луче | Математика — как дроби отметить на координатном луче

Дроби на координатном луче

Как отметить на координатном луче десятичные дроби?

Другие вопросы из категории

Читайте также

5.4.4. Изображение чисел на координатном луче

Координатный луч. Представление дробей на координатном луче.

Содержимое разработки

Как отметить на координатном луче десятичные дроби?

Другие вопросы из категории

Читайте также

Verified answer

Периодические десятичные дроби

Переход к периодической десятичной дроби

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной