Как найти наборы для кривой безразличия

Понятие, сущность и значение кривых безразличия

Понятие кривых безразличия было введено в научных оборот двумя учеными – Вильфредо Парето и Френсисом Эджвортом. Сегодня оно довольно часто используется в различных отраслях экономической науки.

По большому счету кривые безразличия служат отражением наборов безразличия, под которыми обычно понимаются наборы вариантов потребительского выбора, имеющие одинаковую полезность, а потому – не имеющие предпочтения перед другими наборами. Товары «Х» и «У» формируют набор безразличия в том случае, если все соотношения этих благ будут равноценны для потребителя, которому будет все равно, какой из их наборов выбрать. Таким образом, кривые безразличия отражают собой совокупность наборов благ, приносящих потребителю одинаковую полезность, то есть обеспечивающих равный объем удовлетворения его потребностей.

Кривые безразличия отражают предпочтения потребителей и позволяют найти ответ на вопрос о том, как можно обеспечить максимально полное удовлетворение от покупки в условиях ограниченности бюджета. Иначе говоря, с их помощью можно узнать, какой из наборов продуктов окажется наиболее предпочтителен для потребителя.

Основополагающими свойствами кривых безразличия считаются:

• отрицательный наклон кривых безразличия;
• выпуклость кривых безразличия по отношению к началу координат;
• непересекаемость кривых безразличия;
• равенство абсолютной величины наклона кривой безразличия и предельной нормы замещения;
• возможность построения кривой безразличия, проходящей через любой набор благ.

Кривые безразличия двух товаров, расположенные на одной плоскости и построенные для одного потребителя, формируют карту безразличия. Таким образом, под картами безразличия следует понимать совокупность кривых безразличия, которые соответствуют различным уровням полезности для одной пары благ и для одного потребителя. Предпочтения и вкусы потребителей представляются картой кривых безразличия. При этом каждая следующая кривая безразличия, которая проходит дальше т начала координат, будет нести в себе большую величину полезности для потребителя.

«Кривые безразличия: суть, построение, точки на кривых» 👇

Основы построения кривых безразличия

Для того, чтобы разобраться в основах построения кривых безразличия, для начала подытожим их суть, а затем – рассмотрим конкретный пример их построения.

Итак, кривые безразличия представляют собой одинаковую для потребителя совокупную полезность различных благ. Для их построения рекомендуется придерживаться следующего плана:

• выбрать (составить) массив исходных данных;
• построить ось координат;
• на сторонах оси координат (X и Y соответственно) отметить различное количество товара X (Qx)и Y (Qy);
• соединить точки кривой, отражающей возможные комбинации благ, дающих одинаковое удовлетворение;
• проанализировать полученные результаты.

Таким образом, в основе построения карты кривых безразличия лежит необходимость группировки благ и выделения целевой группы, определение выборов каждого потребителя, агрегирование и исключение возможных ошибок, проведение статистического анализа данных, а также интер и экстраполяция. Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Предположим, что Иван получает полезность и удовлетворение от яблок и апельсинов и, соответственно, приобретает наборы, состоящие из этих благ. Для Ивана одинаковую полезность несут в себе следующие наборы благ: 10 яблок и 25 апельсинов, 14 яблок и 20 апельсинов, 20 яблок и 15 апельсинов, 28 яблок и 10 апельсинов, 38 яблок и 5 апельсинов.

Для построения кривой безразличия используем двухмерное пространство. В рамках системы координат Х Y на осях отложим единицы обоих товаров, входящих в наборы. Полученный результат представим на рисунке 1.

Таким образом, наборы яблок и апельсинов, представленные точками А, В, С, D, E имеют одинаковую полезность для потребителя – ему все равно, какой из них выбрать.

Точки на кривых безразличия

Каждая точка, расположенная на кривой безразличия, является комбинацией двух товаров, имеющих одинаковую для потребления общую полезность. Соответственно, потребителям безразлично, какой из наборов выбрать. В общем виде пример кривых безразличия представлен на рисунке 2. Рассмотрим кривую безразличия и точки на ней представленные более подробно.

Предположим, что существует два товара — «Х» и «Y». Допустим, что набор, состоящий из двух товаров «Х» и трех товаров «Y», имеет такую же общую полезность, как набор, состоящий из трех товаров «Х» и двух товаров «Y». В этом случае отказ от одного из товаров будет компенсирован получением другого.

К представленным комбинациям товаров «Х» и «Y» потребитель в равной степени безразличен. Это означает, что вне зависимости от того, какой из наборов будет им приобретен, он получит равное (одинаковое) удовлетворение своих потребностей, то есть любые комбинации, отмеченные на кривой безразличия, одинаково хороши для потребителя, поскольку способны принести ему одинаковую полезность.

В том случае, если наборы благ равноценны с точки зрения потребителя, то точки А и В будут лежать на одой кривой безразличия. Так кривая безразличия, что расположена правее и выше другой кривой, а также точки на не расположенные, отражает более предпочтительные для данного потребителя наборы благ. Так, например, набор С содержит в себе то же самое количество товара «Y», что и набор «А», однако в него входит большее количество товара «Х».

В целом справедливо говорить о том, что те кривые безразличия, которые сильнее удалены от начала координат, соответствуют более высокому уровню удовлетворения потребностей. В виду того, что кривая U2 находится справа от кривой U1, всякий набор благ, находящийся на кривой безразличия U2 будет более предпочтителен для потребителя, нежели набор, находящийся на кривой U1.

Выбор потребителя зависит от его вкусов, предпочтений. При всей их
индивидуальности можно, тем не менее, наблюдая за поведением разных
потребителей обнаружить в нём ряд общих черт.

1.     
Потребитель  способен ранжировать все наборы товаров
и услуг с точки зрения их значимости, предпочтительности для него. Это
положение иногда называют аксиомой полной
упорядоченности.

Сравнивая два набора товаров, потребители могут определить какой из них они предпочитают,
или, не будут проводить различий между ними, если наборы представляются им
равноценными, доставляющими одинаковое удовлетворение. В последнем случае потребителям
безразлично, какой из наборов
потребить. Подчеркнём, что предпочтения отражают разную желательность блага, но
не учитывают его цену. Не будет противоречием, если, например, автолюбитель
предпочитает  600-й Мерседес, а покупает Оку.

2.     
Потребитель последователен в своих предпочтениях. Если
он предпочитает товарный набор А товару В, а набор В набору С, то он предпочтёт
набор А набору С. Это  предположение
называют аксиомой транзитивностью предпочтений.

3.     
Потребитель предпочитает
большее количество блага меньшему количеству, если это не требует отказа от
других благ. Например, потребительский набор, включающий 1 единицу блага А и 2
единицы блага В для него предпочтительнее, чем набор 1А + 1В. Подчеркнём, что
речь идет о благах (goods), а не о так называемых «антиблагах» (bads), когда меньшее количество предпочитается
большему. Примером антиблаг могут служить мусор, табачный дым, праздник 8
марта, фильм «Властелин колец». Является ли предмет благом или антиблагом для
вас, зависит от ваших предпочтений. Многим нравятся фантастические фильмы. Мне
нет.

Хотя существует огромное множество благ, известных потребителю,
рассмотрим вначале выбор только между двумя из них. Основанием для подобного
упрощения может служить предположение о том, что потребитель уже решил какие
количества всех остальных благ ему потреблять.

Потребительские предпочтения можно выразить
графически в виде кривых безразличия. Кривая безразличия соединяет точки,
показывающие все потребительские наборы, которые, доставляют потребителю, с его
точки зрения, одинаковое удовлетворение

Например, при выборе между ананасами и бисквитами (рис. 2-1) субъекту
безразлично, какой набор  — С (включает 6
ананасов и 1 бисквит), или D (3 ананаса + 3 бисквита), или любой другой набор,
находящийся на линии U₁ потреблять. Все эти наборы имеют одинаковую
полезность (Utility)
для данного потребителя. Полезность –
это абстрактная мера того, как вы цените потребительский набор. Высказывание
«Наборы С и D имеют одинаковую полезность» равнозначно высказыванию – «Если бы пришлось
выбирать, вам всё равно какой набор выбрать: С или D».

Свойства типичной кривой безразличия, которая изображена на рис.2-1,
легко выводятся из тех трёх предположений о поведении потребителя, которые мы
сделали выше.

Во-первых,
кривая безразличия должна иметь отрицательный наклон, если для данного
потребителя оба потребляемых товара являются благами.

Если перейти из точки С в точку Е, то положение потребителя улучшится — о
н получит более ценный набор: большее количество бисквитов (3 против 1) при том
же количестве ананасов (6). Значит потребитель уже не будет находиться на
кривой безразличия U_1. Поэтому для нахождения равноценного набора мы
должны найти набор включающий в себя большее количество бисквитов, но меньшее
количество ананасов. То есть линия безразличия должна быть нисходящей, с
отрицательным наклоном.

 Вопрос к аудитории: Если для вас один из товаров, например,
ананасы является антиблагом (предположим, у вас на них аллергия), а другой
(бисквиты) — благом, то что вы можете сказать о наклоне кривой безразличия?
Почему?

 Ответ (нажмите, чтобы увидеть):

Наклон будет положительным. Чтобы остаться
на данной кривой безразличия, дополнительное количество ананасов должно быть
для вас скомпенсировано дополнительным количеством бисквитов.

Во-вторых, потребитель предпочитает набор, лежащий выше (правее) данной кривой
безразличия, а наборы лежащие ниже (левее) для него менее желанны. Так, набор в
точке F содержит
большие количества обоих благ, чем набор С и значит он предпочтительнее любого
другого набора, находящегося на U₁(транзитивность предпочтений). Полная картина
предпочтений данного потребителя относительно может быть показана с помощью
совокупности кривых безразличия – на
карте кривых безразличия (см. рис. 2-2).

Так как большее количество блага предпочитается меньшему, то потребитель
предпочтёт находиться на более высокой (более удалённой от начала координатных
осей) кривой безразличия. Каждой кривой безразличия можно присвоить порядковый
номер (U_0, U₁, U₂, U₃…U_n), или число.
Чем больше этот номер или число, тем больше полезность наборов, которые
представляет данная кривая безразличия. Например, U₀ представляет
полезность, выраженную числом 10, U₁ = 15, U₂ = 17 и т.п.
Но насколько, на какую величину полезнее для потребителя наборы, допустим,
находящиеся на U₂, чем на U₁, сказать мы не можем.

Полезность используется здесь лишь как порядковая
мера, то есть как понятие ординалистской теории (от англ. ordinal number – порядковое числительное). Значение имеет только
порядок (набор F имеет большую полезность, чем набор С, поэтому
потребитель отдаст предпочтение F), но
величина не имеет. В рамках исторически более ранней кардиналистской теории (от
англ. cardinal  number –  количественное числительное)
имеют значение и порядок (набор F имеет
большую полезность, чем набор С ) и величина (набор F,
расположенный на U₂, на 2 единицы полезнее набора С).

В-третьих,
кривые безразличия не могут пересекаться.

Предположим, что кривые U₁ и U₂ пересекаются
(рис. 2-3). Тогда потребительский набор в точке пересечения С был бы
одновременно равноценен наборам А и В. 
Но это невозможно, так как набор В содержит больше обоих благ, чем А.
Получается, что набор В для потребителя предпочтительнее набора А, а набор А
равнозначен набору С. Следовательно, согласно положению о транзитивности
предпочтений, набор В предпочтительнее набора С.  Но этого не может быть  поскольку наборы В и С принадлежат одной кривой безразличия U₂

В-четвёртых,
кривые безразличия являются выпуклыми по отношению к началу координатных осей,
потому что наклон кривой безразличия при движении по ней вниз уменьшается (см. рис.
2-4).

Каков экономический смысл наклона кривой
безразличия? Он показывает какое максимальное количество одного товара — Q_a (в нашем
примере ананасов) может отдать потребитель 
за дополнительную единицу другого товара – Q_b (бисквит) без ущерба для себя. Ведь полезность нового набора
равна полезности прежнего: потребитель остаётся на той же кривой безразличия.
Так, если потребитель располагает определённым набором в точке А, то он может
заменить в нём  4 ананаса одним
бисквитом. Наклон кривой безразличия на участке АВ равен: — 4/1. Но он не
отдаст больше 4 ананасов за 1 бисквит. Если он сделает это, например отдаст 5
ананасов, то его положение ухудшится, поскольку новый набор G будет
менее ценным, чем В и, следовательно, чем А. 
Набор G будет иметь на 1 ананас меньше и
через него будет проходить более низкая кривая безразличия (на графике не
показана).

Таким образом наклон кривой безразличия показывает предельную норму замещения (marginal rate of substitution)
–количество одного товара, которое необходимо потребителю, чтобы компенсировать
отказ от некоторого количества другого товара:

В рассмотренном  примере
потребитель готов заменить 4 ананаса одним бисквитом. Это можно записать так:
MRS _b/a = — 4, или:  |MRS _b/a|
= 4.

Предельную норму замещения можно трактовать  как норму обмена дополнительного количества
одного блага на другое, при которой потребитель колеблется, производить обмен
или нет (в принципе ему всё равно: он остаётся на той же кривой безразличия),
или как предельную готовность потребителя
платить за дополнительную единицу блага. Но в таком случае MRS отражает ценность дополнительной единицы блага (1 бисквита) для потребителя,
выраженную в определённом количестве другого блага (четырёх ананасах), или предельную ценность (marginal value – MV).
Вообще ценность блага для нас – это то, от чего мы готовы (в крайнем случае)
отказаться ради этого блага. Две вещи имеют одинаковую ценность, если
приобретение одной  и утрата другой не
делают нам ни лучше, ни хуже.

Предельную норму замещения можно также трактовать в терминах полезности.
Если наборы А и В (см. рис.2-4) имеют одинаковую полезность U, то предельная полезность 4 ананасов
равна предельной полезности бисквита: MU_1b = MU_4a. Сознавая, что предельная
полезность не может быть измерена в каких-то единицах (ютилях, например, как
считали в ХIX веке основоположники кардиналистской теории полезности
И.Бентам, У.Джевонс), мы, тем не менее, можем приравнять обе части уравнения к х ютилей: MU_1b = х и MU_4a = х. Из этого логически следует, что MU_1а
= 1/4 х = 0,25 х, и,  следовательно, MU_1b/
MU_4a = х/0,25х = 4/1. Итак, абсолютная величина
наклона кривой безразличия равна также соотношению предельных полезностей двух
благ. Запишем полученные выводы:

Почему же при движении вдоль кривой
безразличия её наклон (и величина MRS _b/a) уменьшается с –4 до –2,
–1,5 и –0,8. Это не случайно и определяется количеством обоих благ в наборе,
которым располагает потребитель. По мере перехода от набора А к В, к С и к D
количество бисквитов у потребителя 
увеличивается, а количество ананасов уменьшается. Соответственно,
готовность потребителя «платить» ананасами за ещё один, дополнительный бисквит,
то есть ценность для него одного бисквита, выраженная в определённом количестве
ананасов, уменьшается. Мы наблюдаем действие закона убывающей предельной
выгоды, или, применительно к потребителю, убывающей предельной полезности. 

Кривые функций
полезности, описывающих типичные предпочтения, как правило, выпуклые, как и
приведенная на рис.2-4  кривая
безразличия. Однако встречаются предпочтения, которые описываются кривыми
безразличия, имеющими другую форму.

 Вопрос к аудитории: Попробуйте определить по
графикам кривых безразличия, в каком случае на них отображены потребительские
предпочтения при выборе: 1) совершенных субститутов; 2) совершенных
комплементов; 3) между обычным благом и безразличным благом; 4) между благом и
антиблагом. Что вы можете сказать о предельной норме замещения — MRS в каждом
из случаев (её абсолютной величине, знаке).

 Ответ (нажмите, чтобы увидеть):

Наклон кривой безразличия между двумя точками ( и
MRS) является средней величиной для данного интервала. MRS в точке выпуклой
кривой безразличия можно определить через наклон касательной проведенной к этой
точке. На рис. 2-6 наклон касательной равен a/b.

Приложение к теме 2.  Для тех, кто не боится математики

Мы рассматривали наклон кривой безразличия между двумя её точками, то
есть измеряли средний наклон. На выпуклой кривой, каковой является кривая
безразличия, большая точность в определении MRS достигается измерением наклона
касательной к точке и использованием понятия производной.

Докажем, используя методы математического анализа, что наклон кривой
безразличия равен соотношению предельных полезностей. Этот материал будет
полезен для решения задачи нахождения потребительского оптимума при заданной
функции полезности.

Общая полезность наборов на данной кривой безразличия является постоянной
величиной, Ū. Это также функция потребляемых количеств товара a и товара b:                             U = U(Q_a,Q_b).

Общий дифференциал этой функции:

Так как
общая полезность является постоянной величиной, то dU = 0.

Тогда,

и

Это
значит, что отрицательный наклон кривой безразличия (или — dQ_a/dQ_b), который является предельной нормой замещения
товаром b товара a, равен отношению предельной полезности товара b к товару a.

Предпочтения потребителей в отношении оцениваемого товара (в том числе по сравнению с товарами-аналогами) можно проиллюстрировать с помощью, так называемой, карты предпочтений потребителей с определенным уровнем бюджета (рис. 1).

На графике представлены разные уровни полезности (в данном случае пять уровней) при покупке определенного количества данного товара и при фиксированном значении бюджета покупателя. Уровень полезности описывается с помощью, так называемой, кривой безразличия.

В общем случае, кривые безразличия показывают равновыгодность различных наборов товаров при постоянной функции полезности. Другими словами, каждая точка на этой кривой показывает, какое сочетание количества покупки данного товара по конкретной цене и остатка бюджета, используемого на все прочие, необходимые для покупателя товары, для него равновыгодно.

При этом все точки на кривой безразличия соответствуют тем вариантам распределения, имеющегося в распоряжении покупателя бюджета, которые обеспечивают ему неизменный уровень полезности.

Рис. 1. Карта предпочтений потребителей с определенным бюджетом

Таким образом, кривые безразличия позволяют понять, каким уменьшением средств, остающихся на все прочие товары и услуги, готов пожертвовать потребитель с конкретным бюджетом ради покупки дополнительного количества данного товара при неизменной его цене.

Для анализа кривых безразличия необходимо знать основные их свойства:

• фиксированному уровню функции полезности соответствует только одна кривая безразличия, разным функциям полезности – разные кривые безразличия;
• более удаленная от начала координат кривая безразличия соответствует более высокому уровню функции полезности;
• кривые безразличия не могут пересекаться, то есть через одну точку пространства товаров (фиксированный набор товаров) можно провести только одну кривую безразличия (в противном случае один и тот же набор материальных благ одновременно соответствовал нескольким бы уровням функции полезности);
• кривые безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат, то есть при движении по кривой безразличия в любом направлении один аргумент будет возрастать, а другой уменьшаться;
• в зависимости от характера замещения товаров можно выделить два вида кривых безразличия:
• кривые, соединяющие точки, расположенные на разных осях координат пространства товаров – натянутые на осях координат (рис. 2), что означает полное замещение одного товара другим при фиксированном уровне функции полезности (например, современные калькуляторы полностью вытеснили логарифмические линейки);
• кривые, которые уходят в бесконечность (рис. 3) характерны для большинства товаров, то есть когда наибольший эффект для потребителя достигается при сочетании какого либо набора товаров (например, человеку нужны не только материальные блага, но и духовные);

Рис. 2. Кривая безразличия натянутая на осях координат

Рис. 3. Кривая безразличия уходящая в бесконечность

• для двух товаров, равноценно заменяющих друг друга, кривая безразличия является прямой, соединяющей обе оси координат и имеющей отрицательный угол наклона к каждой из них (рис. 4);

Рис. 4. Безразличная прямая

• если в результате замещения одного товара другим достигается некоторый дополнительный эффект от совместного их использования, то кривая безразличия увеличивает выпуклость к началу координат (например, двухтактный двигатель лучше работает при определённой пропорции бензина и масла).

Предельная норма замещения товара Х на товар Y показывает, от какого количества товара Х потребитель может отказаться, чтобы получить ещё одну единицу товара Y.

Другими словами, предельная норма замещения характеризует эквивалентную замену одного товара другим, при известном уровне цен на эти товары.

Кривые безразличия и их свойства

Предположим,
что потребитель имеет набор благ,
состоящий из X и Y. Все соотношения
количеств этих благ для него равноценны,
потребителю безразлично, какой набор
выбрать. Следовательно, эти товары
принадлежат к набору безразличия. Набор
безразличия— набор вариантов
потребительского выбора, каждый из
которых обладает одинаковой полезностью
и поэтому не имеет предпочтения перед
другими.

Кривая
безразличия является графическим
отображением набора безразличия. Кривая
безразличия— совокупность наборов
благ, обеспечивающих потребителю равный
объем удовлетворения потребностей, т.
е. приносящих ему одинаковую полезность.
Взяв другие возможные сочетания благ,
соответствующие различным величинам
совокупной полезности, можно составить
карту безразличия.Карта безразличия— совокупность кривых безразличия,
соответствующих различным уровням
полезности для одного потребителя и
одной пары благ. Вкусы и предпочтения
потребителя представляются картой
кривых безразличия. Каждая следующая
кривая безразличия, проходящая дальше
от начала координат, предполагает
относительно большую величину полезности.

Любая
кривая безразличия представляет
одинаковую совокупную полезность
различных благ для потребителя. Кривая
безразличия (U) состоит из точек,
символизирующих наборы то­варов Х и
Y. Совокупные полезности всех наборов,
представленные точками на этой кривой
одинаковы, т. е. потребителю безразлично,
какую именно комбинацию товаров Х и Y
он приобретет. Переходя от точки А к
точке В, потребитель сокращает потребление
блага Y на ΔY
и наращивает потребление товара X наΔХ,
но общий уровень удовлетворения
потребителя (совокупная полезность)
остается неизменным (рисунок ниже).

Зона
замещения (субституции)— участок
кривой безразличия, на котором возможна
эффективная замена одного блага другим.

Взаимная
замена благ X и Y возможна только в
пределах отрезка АВ (зоне замены).
Количество блага Х₁представляет
минимально необходимое количество
потребления блага X, от которого
потребитель не может отказаться, как
бы много товара Y ни предлагалось взамен.
Аналогично Y₁— минимально
необходимое количество потребления
блага Y. Предельная норма замещения —
норма, в соответствии с которой одно
благо может быть заменено другим благом
без выигрыша или потери полезности для
потребителя. Предельная норма замещения
— количество одного блага, от которого
потребитель готов отказаться, чтобы
получить дополнительную единицу другого
блага. Предельная норма замещения
рассчитывается следующим образом:

где
MRS — предельная норма замещения; Q_x— количество това­ра X; Q_Y—
количество товара Y.

Предельная
норма замещения всегда отрицательная
величина, так как прирост потребления
одного блага происходит за счет сокращения
потребления другого. Предельная норма
замещения уменьшается при движении
вдоль кривой безразличия — получая в
свое распоряжение все большее количество
данного блага и наращивая его потребление,
покупатель в обмен готов отказаться от
все меньшего количества другого блага,
которое становится все более дефицитным.
У потребителя, желающего остаться на
той же кривой безразличия, прирост
полезности от наращивания потребления
блага X должен быть равен потере полезности
от сокращения потребления товара Y.
Таким образом, предельная норма замещения
блага X благом Y может рассматриваться
как отношение предельной полезности
блага X к предельной полезности блага
Y:

Рассмотрим
некоторые свойства кривых безразличия:

• кривые
безразличия имеют отрицательный наклон.
Между количествами благ X и Y существует
обратная связь. При уменьшении потребления
одного блага, для компенсации потерь и
сохранения прежнего уровня полезности,
потребитель должен увеличить потребление
другого блага. Любая кривая, выражающая
обратную связь переменных, имеет
отрицательный наклон;

• кривые
безразличия выпуклы по отношению к
началу координат. Выше отмечалось,
что при увеличении потребления одного
блага потребитель должен уменьшить
потребление другого блага. Выпуклость
кривой безразличия по отношению к началу
координат является следствием падения
предельной нормы замещения. Пологий
спуск кривой безразличия вниз или подъем
наверх свидетельствует об убывании
темпов замещения одного блага другим
по мере уменьшения доли данного блага
в потребительской корзине;

• абсолютная
величина наклона кривой безразличия
равна предельной норме замещения.
Угол наклона кривой безразличия в данной
точке показывает норму, в соответствии
с которой одно благо может быть заменено
другим благом без выигрыша или потери
полезности для потребителя. Данное
соотношение характеризуется предельной
нормой замещения;

• кривые
безразличия не пересекаются. Один и
тот же потребитель не может характеризовать
один и тот же набор благ различными
уровнями полезности. Следовательно,
две кривые безразличия, представляющие
различные уровни полезности, не могут
пересечься;

• возможно
построить кривую безразличия, проходящую
через любой набор благ. Кривую
безразличия можно построить для любой
пары благ, приносящих определенный
уровень полезности. Именно по этому
принципу строится карта безразличия,
дающая полную информацию о системе
предпочтений потребителя.

8

БЮДЖЕТНАЯ
ЛИНИЯ.
ОПТИМУМ ПОТРЕБИТЕЛЯ

Карта
безразличия представляет собой
графическое отображение системы
предпочтений потребителя. Естественно,
потребитель стремится приобрести
товарный набор, принадлежащий наиболее
удаленной от начала координат кривой
безразличия. Но он ограничен в своих
средствах. Далеко не всякий товарный
набор ему доступен. Для изображения
множества доступных потребителю товарных
наборов используется бюджетная
линия.

Обозначим
месячный доход потребителя через I.
Для упрощения предположим, что потребитель
не делает никаких сбережений и весь
свой доход расходует на приобретение
только двух товаров X
и Y.
Бюджетное ограничение потребителя
можно записать в форме следующего
равенства:

I
= P_XX
+ P_YY         (3.10)

Бюджетное
ограничение имеет очевидный смысл:
доход потребителя равен сумме его
расходов на покупку товаров X и У.
Преобразуем равенство (3.10) к следующему
виду:

Y=
I/Р_XХ
+I/ P_YY        (3.11).

Мы
получили уравнение
бюджетной линии,
или, как ее еще называют, линии цен. На
рис. 3.8 эта линия первоначально занимает
положение KL.

Точки
пересечения бюджетной линии с осями
координат можно получить следующим
образом. Если потребитель весь свой
доход / израсходует только на покупку
товара X,
то он сможет приобрести I/P_X
единиц этого товара. Поэтому длина
отрезка OL
равна I/P_X.
Аналогично можно показать, что длина
отрезка ОК
равна 1/Р_Y.
Наклон бюджетной линии равен ≈Р_X/Р_Y
≈ коэффициенту при X
в уравнении (3.11).

Все
товарные наборы, соответствующие точкам
на бюджетной линии, стоят ровно / руб. и
являются потому доступными для нашего
потребителя. Все товарные наборы,
расположенные выше и правее бюджетной
линии, стоят более I
руб. и недоступны для потребителя. Таким
образом, бюджетная линия ограничивает
сверху
множество доступных для потребителя
товарных наборов.

Как
изменится положение бюджетной линии
при изменении дохода потребителя и цен
на товары? Допустим сначала, что доход
потребителя уменьшается до I▓
< I,
цены на товары при этом остаются
неизменными. Наклон бюджетной линии не
изменится, поскольку он определяется
только соотношением цен. Следовательно,
произойдет параллельный сдвиг бюджетной
линии вниз. Она займет положение К’L’.
При увеличении дохода и неизменных
ценах будет наблюдаться параллельный
сдвиг бюджетной линии вверх. Предположим
теперь, что доход и цена товара X
неизменны, цена же товара Y
понизилась до Р▓_Y
< Р_Y.
Очевидно, что в этом случае точка L
не изменит своего положения, поскольку
оно определяется неизменными I
и Р_X.
Левый же конец бюджетной линии сдвинется
вверх и займет положение К».
Читатель может без труда определить,
что случится с бюджетной линией при
повышении Р_Y,
повышении или понижении Р_X.

Совместим
теперь на рис. 3.9 карту безразличия
нашего потребителя с его бюджетной
линией KL.

Какой
товарный набор выберет потребитель? Из
всех доступных для него наборов
потребитель выберет тот, который
принадлежит наиболее удаленной от
начала координат кривой безразличия.
Именно этот набор обеспечит ему максимум
удовлетворения. Потребитель не выберет
точку А,
в которой бюджетная линия пересекает
некоторую кривую безразличия, ведь при
движении вдоль бюджетной линии вправо
вниз потребитель может перейти к товарным
наборам, лежащим на более удаленных от
начала координат кривых безразличия.
По аналогичным причинам потребитель
не выберет точку В.
Он выберет точку Е,
в которой бюджетная линия лишь касается
некоторой кривой безразличия U₂.
Оптимальный
для потребителя товарный набор Е
содержит X_E
единиц товара X
и Y_E
единиц товара Y.

В
точке Е
наклоны
бюджетной линии и кривой безразличия
совпадают.
Напомним, что наклон бюджетной линии
равен ≈Р_X/Р_Y,
наклон кривой безразличия равен ≈MRS_XY.
Поэтому в точке оптимума выполняется
равенство

Р_X/Р_Y
= MRS_XY         (3.12)

Условие
оптимума потребителя (3.12) можно
интерпретировать следующим образом.
Соотношение, в котором потребитель при
данных ценах способен замещать один
товар другим, равно соотношению, в
котором потребитель согласен замещать
один товар другим без изменения уровня
своего удовлетворения.

Равенство
(3.12) в порядковой теории полезности
имеет такой же смысл, что и равенство
(3.4) в количественной теории. Действительно,
согласно (3.8),

MRS_XY
= MU_X/MU_Y        

Подставив
(3.8) в (3.12), получаем условие оптимума
потребителя в следующем виде:

Р_X/Р_Y
= MU_X/MU_Y
или MU_X/Р_X
= MU_Y/Р_Y        (3.13)

Последнее
равенство совпадает с равенством (3.4).

Оптимальное
решение, представленное на рис. 3.9,
называют часто внутренним,
поскольку точка Е лежит «внутри»
двумерного пространства товаров, точнее
≈ его I квадранта. Однако в некоторых
ситуациях бюджетная прямая и кривая
безразличия имеют разный наклон на всем
их протяжении и, значит, точки касания
их вообще не существует. В этом случае
оптимальное решение определяется
положением, наиболее близким к касанию,
и называется угловым.
Оно определяется пересечением бюджетной
прямой, одной из осей координат и кривой
безразличия.

На
рис. 3.10 бюджетная прямая KL
ограничена точками К,
где X
= 0, и L,
где Y
= 0. Оптимум потребителя достигается
либо в точке К
(рис. 3.10,о), если

MRS_XY
≤ Р_X/Р_Y

либо
в точке L (рис. 3.10,б), если

MRS_XY
≥ Р_X/Р_Y

В
первом случае наклон кривой безразличия
в точке К
меньше или равен наклону бюджетной
прямой, во втором наклон кривой безразличия
в точке L
больше или равен наклону бюджетной
прямой.

Из
всех доступных потребителю наборов
набор К
(рис. 3.10,а) и набор L
(рис. 3.10,6) лежат на наиболее удаленных
от начала координат кривых безразличия.
Набор К
не содержит товара X,
набор L
≈ товара Y.
Естественно, для точек К
и L
условие (3.12) может и не выполняться.
Угловое
решение в порядковой теории полезности
соответствует условию (3.5) в количественной
теории.

9,
11 косты и
кванты

Изокванта

Для
простоты анализа, как и прежде, будем
полагать, что:

• исследуемая
  функция производства зависит от двух
  факторов: труда
  и капитала
  и является частным случаем функции
  Кобба-Дугласа
  и имеет вид
  

• факторы
  производства
  в определенных пределах будут
  взаимозаменяемыми

• технология
  производства в течение всего
  рассматриваемого периода не меняется

Представим
в виде таблицы данную функцию для
значений
иот
1 до 4.

→ ↓	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	6	8
3	3	6	9	12
4	4	8	12	16

Как
видно из таблицы, существует несколько
комбинаций труда
и капитала,
обеспечивающих в определенных пределах
заданный объем выпуска. Например
можно
получить, используя комбинацию (1,4),
(4,1) и (2,2).

Если
отложить по горизонтальной оси количество
единиц труда, а по вертикальной —
количество единиц капитала, затем
обозначить точки, в которых фирма
выпускает один и тот же объем, то получится
кривая, представленная на рисунке 14.1 и
называемая изоквантой.

Каждая
точка изокванты соответствует комбинации
ресурсов,
при которой фирма выпускает заданный
объем продукции.

Набор
изоквант, характеризующий данную
производственную
функцию,
называется картой
изоквант.

Свойства
изоквант

Свойства
стандартных изоквант аналогичны
характеристикам кривых безразличия:

1. Изокванта,
   так же как и кривая безразличия, является
   непрерывной функцией, а не набором
   дискретных точек.

2. Для
   любого заданного объема выпуска может
   быть проведена своя изокванта, отражающая
   различные комбинации экономических
   ресурсов, обеспечивающих производителю
   одинаковый объем производства (изокванты,
   описывающие данную производственную
   функцию, никогда не пересекаются).

3. Изокванты
   не имеют участков возрастания (Если бы
   участок возрастания существовал, то
   при движении вдоль него увеличивалось
   бы количество как первого, так и второго
   ресурса).

Предельная
норма технологического замещения

Предельная
норма технологического замещения
одного ресурса на другой (например,
труда на капитал) показывает степень
замещения труда
капиталом,
при котором объем выпуска остается
неизменным.

Алгебраическое
выражение, показывающее степень, в
которой производитель готов сократить
количество капитала в обмен на увеличение
труда, достаточную для сохранения
прежнего объема выпуска имеет вид:
.

Как
видно на рисунке выше, при переходе из
точки
в
точкуобъем
производства остается неизменным. Это
означает что сокращение выпуска в
результате уменьшения затрат капиталакомпенсируется
увеличением выпуска за счет использования
дополнительного количества труда.

Сокращение
выпуска в результате уменьшения затрат
капитала равно произведению
на
предельный продукт капитала, или.
Увеличение выпуска за счет использования
дополнительного количества труда в
свою очередь равно произведениюна
предельный продукт труда, или.

Таким
образом, можно записать, что
.
Запишем данное выражение по-иному:или.

Производственная
функция, связывающая между собой
количество капитала, труда и объем
выпуска, позволяет также рассчитать
предельную норму технологического
замещения через производную данной
функции:
.

Это
значит, что графически в любой точке
изокванты предельная степень
технологического замещения равна
тангенсу угла наклона касательной к
изокванте в этой точке.

Пример
14.2 Нахождение MRTS для заданной функции

Условие:
Пусть производственная функция имеет
вид
.

Определить:
придля.

Решение:

,

Очевидно,
что степень замещения труда капиталом
не остается постоянной при движении
вдоль изокванты. При перемещении вниз
по кривой абсолютное значение MRTS труда
капиталом убывает, так как все большее
количество труда приходится использовать,
чтобы компенсировать снижение затрат
капитала (Так, в приведенном выше примере
при L=1 MRTS=-10, а при L=10 MRTS=-0.1.)

В
дальнейшем MRTS достигает своего предела
(MRTS=0), а изокванта приобретает горизонтальный
вид. Очевидно, что дальнейшее снижение
затрат капитала приведет лишь к сокращению
объемов выпуска. Количество капитала
в точке Е — минимально допустимое для
данного объема производства (аналогичным
образом минимально допустимое для
производства данного объема количество
труда имеет место в точке А).

Убывание
предельной нормы технологического
замещения

Убывание
MRTS одного ресурса другим характерно
для большинства производственных
процессов и характерно для всех изоквант
стандартного вида.

Особые
случаи производственной функции
(изокванты нестандартного вида)

Совершенная
взаимозаменяемость ресурсов

Если
ресурсы, используемые в процессе
производства, являются абсолютно
заменяемыми, то
постоянна
во всех точках изокванты, а карта изоквант
имеет вид как на рисунке 14.2. (Примером
такого производства может служить
производство, допускающее как полную
автоматизацию, так и ручное изготовление
какого-либо продукта).

Фиксированная
структура использования ресурсов

Если
технологический процесс исключает
замещение одного фактора на другой и
требует использование обоих ресурсов
в строго фиксированных пропорциях,
производственная функция имеет вид
латинской буквы
,
как на рисунке 14.3.

Примером
подобного рода может служить работа
землекопа (одна лопата и один человек).
Увеличение одного из факторов без
соответствуюещго изменения количества
другого фактора нерационально, поэтому
технически эффективными будут лишь
угловые комбинации ресурсов (угловая
точка — точка, где пересекаются
соответствующие горизонтальная и
вертикальная линии).

Изокоста

Как
мы уже выяснили раньше, набор изоквант
отдельной фирмы (карта изоквант)
показывают технически возможные
комбинации ресурсов,
обеспечивающие фирме соответствующие
объемы выпуска. Однако при выборе
оптимальной комбинации ресурсов
производитель должен учитывать не
только доступную ему технологию, но и
свои финансовые ресурсы, а также цены
на соответствующие факторы
производства.

Совокупность
двух последних факторов определяет
область
доступных производителю экономических
ресурсов.

Бюджетное
ограничение производителя может быть
записано в виде неравенства:

где:

• цена
  капитала и труда

• —количество
  капитала и труда

• —совокупные
  расходы (издержки)
  фирмы на приобретение ресурсов

Если
производитель полностью расходует свои
средства на приобретение данных ресурсов,
то мы получаем равенство:

или

Полученное
уравнение называют уравнением
изокосты.

Линия
изокосты
представленная на рисунке 14.4 показывает
набор комбинаций экономических ресурсов
(в данном случае труда и капитала),
которые фирма может приобрести с учетом
рыночных цен на ресурсы и при полном
использовании своего бюджета.

Наклон
линии изокосты определяется отношением
рыночных цен на труд и на капитал ( —
РL/РK), что вытекает из уравнения изокосты.

Линия
изокосты производителя

Оптимальная
комбинация ресурсов

Стремление
фирмы к эффективному производству
побуждает ее к достижению максимально
возможной выработки при заданных
затратах на ресурсы, или, что же самое,
к минимизации издержек при производстве
заданного объема выпуска.

Комбинация
ресурсов, обеспечивающая минимальный
уровень совокупных издержек фирмы,
называется оптимальной и лежит в точке
касания линий изокосты и изокванты.

Соединив
изокваты и изокосты, можно определить
оптимальную позицию фирмы. Точка, в
которой изокванта касается изокосты,
означает наиболее дешевую по стоимости
комбинацию факторов, необходимых для
выпуска определенного объема продукции.

Американские
экономисты Дуглас и Солоу выявили, что
увеличение затрат труда
на 1% обеспечивает 3/4 прироста выпущенной
продукции, а увеличение затрат капитала
на 1% дает возможность увеличить на 1/4
количество выпущенной продукции.

Эти
индексы (3/4 и 1/4) были названы агрегатными,
а зависимость между выпуском продукции
и факторами производства вошла в жизнь
под названием агрегатной функции
производства. которая позволяет
утверждать, что вложения в человеческий
капитал,
дают больший эффект в увеличении
производства, чем рост средств
производства.

Траектория
развития

Совокупность
точек оптимума производителя, построенных
для изменяющегося объема производства,
и, следовательно, меняющихся затрат ()
фирмы при неизменности цен на ресурсы,
отражает траекторию развития фирмы.
Рисунок 14.6.

Форма
траектории развития рассматривается
обычно в долгосрочном периоде и позволяет
выделить капиталоемкие (рисунок 14.7а),
трудоемкие (рисунок 14.7б) способы
производства, а также технологии,
предполагающие равномерное увеличение
использования как труда, так и капитала
(рисунок 14.7в).

10

Общая полезность

Общая полезность — удовлетворение, которое получают от потребления определенного набора товара или услуги.

Предельная полезность — это прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на единицу.

Mu = (Tu₁ — Tu₀)/(Q₁ — Q₀)

Производная по количеству Q

Mu = dTu/dQ
Как найти производную.

Например, TU = x*y. Mu_x = d(x*y)/dx = y; Mu_y = d(x*y)/dy = x

Например, TU = 10x² + 2x + 2. Mu_x = d(10x² + 2x + 2)/dx = 20x + 2

Функция полезности — функция, показывающая убывание полезности блага с ростом его количества:

Tu = f(Q_i)

Условия равновесия потребителя

Условия равновесия потребителя можно выразить формулой:Mu_x / Mu_y = P_x / P_yгде P_x и P_y — цены на товары X и Y.

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает равновесие потребителя.

Пример задачи на нахождение оптимального набора покупок

Пример задачи на нахождение оптимального набора товаров при заданной функции полезности

Кривая безразличия

Кривая безразличия — это множество точек на кривой, которые показывают различные комбинации двух экономических благ, имеющих одинаковую полезность для потребителя.

Предельная норма замещения (marginal rate of substitution — MRS) — количество, на которое потребление одного из двух благ должно быть увеличено (или уменьшено), чтобы полностью компенсировать потребителю уменьшение (или увеличение) потребления другого блага на одну дополнительную единицу:

MRS_xy = ΔY / ΔXΔY = Y₁ — Y₀ΔX = X₁ — X₀илиMRS_xy = Mu_x / Mu_y

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.

Бюджетная линия

Бюджетная линия представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном, графически отображающую множество наборов из двух товаров, требующих одинаковых затрат на их потребление. Она показывает, какие потребительские наборы можно приобрести за данную сумму денег.I = P_xX + P_yYгде I — доход потребителя;
P_x — цена блага Х;
P_y — цена блага Y;
X,Y — составляют соответственно купленные количества благ.

Пример. Функция полезности U(xy)=xy. Доход потребителя равен 80 ден. ед. Цены товаров x и y соответственно равны P_x=2 руб. и P_y=4 руб. Найдите равновесный набор.

Решение: Из условия равновесия потребителя: Mu_x / Mu_y = P_x / P_y получаем: Mu_x = d(x*y)/dx = y; Mu_y = d(x*y)/dy = x

Тогда: y / x = 2 / 4 = ¹/₂ или y = ¹/₂x

Для наших данных уравнение бюджетной линии запишем как: 80 = 2x + 4y = 2x + 4*1/2x = 4x

Откуда: x = 20 ед., y = ¹/₂*20 = 10 ед.

Ответ: потребитель приобретет 20 ед. товара x и 10 ед. товара y.

Пример решения определения оптимума потребителя

Потребитель тратит 600 рублей в месяц на приобретение двух товаров. Цена товара Х — 20 рублей, а товара Y — 10 рублей. Задана функция полезности потребителя U = ХY. Составить уравнение бюджетной линии. Найти предельную норму замещения. Определить оптимум потребителя. Представить графически. Если цена товара Х уменьшится на 5 руб., на сколько единиц изменится объем спроса данного товара всего?|Уравнение бюджетной линии:I = P_xX + P_yY 600 = 20X + 10Y

Предельная полезность товаров:

Mu_x = dU/dx = d(xy)/dx = yMu_y = dU/dy = d(xy)/dy = x

Оптимум потребителя достигается при равенстве:

Mu_x / Mu_y = P_x / P_yMu_x / Mu_y = 20 / 10 = 2

Предельная норма замещения

MRS_xy = Mu_x / Mu_y = 2

Выразим y через x.

Mu_x / Mu_y = y / x = 2y = 2x

Подставим в уравнение бюджетной линии:

600 = 20x + 10*2x = 20x + 20xоткуда X = 15; Y = 2x = 30

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.

Проверка: 20 х 15 + 10 х 30 = 300 + 300 = 600.

При уменьшении цены товара X на 5 руб.
P_x = 20 — 5 = 15
Найдем новый оптимум потребителя.

600 = 15X + 10Y = 15X + 20X = 35Xоткуда x = 17.14; y = 2x = 34.29
Спрос на товар Х увеличился на 2.14 (17.14 — 15)

Проверка: 15 х 17.14 + 10 х 34.29 = 257.1 + 342.9 = 600.

Пример нахождения цен товаров при оптимальном выборе покупателя

Утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу

Определить утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу, если функции полезности агентов равны u₁ = х₁ + 3, u₂= 3х₂ — 2 при х₁ + x₂ = 3 . Проверить независимость от масштаба для указанных ПКБ, если функция полезности первого агента была уменьшена в три раза.

Решение. Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u₁ = u₂ или x₁ + 3 = 3x₂ — 2. Учитывая, что x₂ = 3- x₁, получаем x₂ = 2, тогда x₁ = 1. Вектор полезностей (4,4).

Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: x₁ + 3 + 3x₂ — 2 → max, подставив x₁ вместо x₂, получаем 4x₂ + 1 → max. Рассматриваемая функция возрастает от x₁ и достигает своего максимума при x₁ = 3, тогда x₂ = 0. Здесь вектор полезностей (1,1).

Независимость от масштаба

Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u₁ = u₂ или x₁/3 + 1 = 3x₂ — 2. Учитывая, что x₂ = 3- x₁, получаем 10/3 x₁ — 6 = 0, тогда x₁ = 9/5, то x₂ = 6/5. Вектор полезностей (8/5,8/5).

Множество допустимых распределений пары продуктов на неотрицательные количества определяется так:x₁,x₂ 0, x₁ + x₁ = a, x₂ = b.

Максимизируя ФКП Нэша, мы выбираем эффективное распределение. Оптимальное распределение определяется как решение задачи:

Минимум достигается x₁ = 2,17; x₂ = 0,83.

Видим, что соблюдается условия:
а) ,
б)