Как найти начальное давление в изотермическом процессе

Задача 1.
В закрытом сосуде емкостью V
= 0,6 м³
содержится азот при давлении р₁
= 0,5 МПа и температуре t₁
= 20 C.
В результате охлаждения сосуда азот,
содержащийся в нем, теряет 105 кДж теплоты.
Принимая теплоемкость азота постоянной,
определить, какие давление и температура
(C)
устанавливаются в сосуде после охлаждения.

Решение.

Количество отводимой
теплоты равно:

– Q
= mc_(t₂
– t₁).

Откуда следует,
что температура азота после охлаждения
будет равна:

.

Массу азота
определим из уравнения Клапейрона:



кг.

Массовая теплоемкость
азота при постоянном объеме определяется
как для двухатомного газа. По Приложению
1 ПЗ 4 с_^М
= 20,93 кДж/(кмольК):

кДж/(кгК).

Тогда

C.

Так как азот
охлаждался в емкости с постоянным
объемом, то давление азота после
охлаждения определим из уравнения для
изохорного процесса:



МПа.

Ответ: t₂
= – 20,7 C,
р₂
= 0,43 МПа.

Задача 2.
В установке воздушного отопления внешний
воздух при t₁
= – 15 C
нагревается в калорифере при р
= const
до 60 C.
Какое количество теплоты надо затратить
для нагревания 1010 м³
наружного воздуха? Давление воздуха
считать равным 755 мм рт.ст.

Решение.

Количество теплоты,
подводимое к воздуху, будет равно:

Q
= mc_р(t₂
– t₁).

Массу воздуха
определим из уравнения Клапейрона:



кг.

Массовая теплоемкость
воздуха при постоянном давлении
определяется как для двухатомного газа.
По Приложению 1 ПЗ 4 с_р^М
= 29,31 кДж/(кмольК):

кДж/(кгК).

Тогда Q
= mc_р(t₂
– t₁)
= 1372 
1,012 
(60 – (–15) = 104,2 МДж.

Ответ: Q
= 104,2 МДж.

Задача 3.
25 кг воздуха при t
= 27 C
изотермически сжимаются до тех пор,
пока давление не становится равным 4,15
МПа. На сжатие затрачивается работа L
= – 8,0 МДж. Найдите начальное давление
и объем, конечный объем и теплоту,
отведенную от воздуха.

Решение.

Так как при
изотермическом процессе U
= 0, то Q
= L
= – 8,0 МДж.

Начальное давление
определим из выражения по определению
количества теплоты для изотермического
процесса:



.

Подставив в
полученную формулу

,
окончательно получим:

МПа.

Начальный объем
определим из уравнения Клапейрона:



м³.

Конечный объем
определим из уравнения изотермического
процесса:



м³.

Ответ: р₁
= 0,101 МПа, V₁
= 21,3 м³,
V₂
= 0,518 м³,
Q
= – 8,0 МДж.

Задача 4.
В двигателе Дизеля топливо, впрыскиваемое
в цилиндр, самовоспламеняется при
соприкосновении со сжатым воздухом,
имеющим температуру большую, чем
температура воспламенения топлива.

Определите
минимальную необходимую степень сжатия

= ₁/₂
и давление в конце сжатия р₂,
если температура воспламенения топлива
равна 630 C.
Перед началом сжатия воздух в цилиндре
имеет параметры р₁
= 0,097 МПа, t₁
= 60 C.
Сжатие считать адиабатным. Задачу
решить, не учитывая зависимости
теплоемкости от температуры и принимая
k
= 1,40.

Решение.

Давление
в конце сжатия определим из уравнения
адиабатного процесса:



МПа.

Отношение ₁/₂,
то есть степень сжатия 
определим из другого уравнения адиабатного
процесса:



.

Ответ: р₂
= 3,19 МПа, 
= 12,1.

Задача 5.
Азот массой 1 кг в начальном состоянии
имеет параметры р₁
= 2,5 МПа и
t₁
= 700 C.
После политропного расширения (показатель
политропы n
= 1,18) его давление р₂
= 0,1 МПа.
Определите изменение внутренней энергии
u_1-2,
количество теплоты q_1-2,
сообщенное азоту в процессе 1-2, и работу
расширения l_1-2.

Решение.

Сначала определим
температуру газа в конце процесса
расширения:



К.

Изменение удельной
внутренней энергии при совершении
политропного процесса определяется по
формуле:

u_1-2
= c_(T₂
– T₁)
=

кДж/кг.

Удельное количество
теплоты, сообщенное азоту в процессе
1-2, при совершении политропного процесса
определяется по формуле:

q_1-2
= c_n(T₂
– T₁)
=

,

где

– показатель адиабаты для двухатомных
газов.

Тогда q_1-2
=

кДж/кг.

Удельная работа
расширения при совершении политропного
процесса определяется по формуле:

l_1-2
=

кДж/кг.

Проверку сделаем
по уравнению первого закона термодинамики:

u_1-2
= q_1-2
– l_1-2
= 345 – 624 = –279 
–283 кДж/кг, т.е. задача решена верно.

Ответ: u_1-2
= –283
кДж/кг, q_1-2
= 345 кДж/кг, l_1-2
= 624 кДж/кг.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Для изотермического процесса характерен определенный процесс, который происходит с газовым веществом, который в свою очередь имеет неизменную массу и постоянную неизменяемую температуру вещества.

Изотермический процесс для температуры газа, основные формулы и величины

Изотермический процесс для системы координат

Характерные изотермические процессы   зачастую отражают на термодинамических графиках и диаграммах.

Если рассмотреть подробно график можно увидеть линию, именно ее и принято называть изотермой. Она непосредственно является основной характеристикой процесса.

Изотермический процесс — закон Бойля-Мариотта

Разделим уравнение для второго состояния газа на выражение первого состояния и получим основное уравнение изотермического процесса.

[frac{p_{2} V_{2}}{p_{1} V_{1}}=1] или [p V=mathrm{const}] (постоянное значение)

Полученное уравнение и будет называться законом Бойля-Мариотта.

Данный процесс осуществляется с использованием тепловой энергии.

В случае, когда объем увеличивается, или отводится, для его уменьшения.

Составим первое значение термодинамики.

Затем постепенно получим уравнение для определения работы.

А также вычисления внутренней энергии и количества теплоты тела при изотермическом процессе.

[delta Q=d cup+d A=frac{i}{2} v R d T+p d V]

Температура является неизменной, поэтому, изменение значения внутренней энергии будет равняться нулевому значению. [(d cup=0)].

Из этого следует, что для изотермического процесса все подводимое тепло направлено  на работу, которую совершает газ:

[ Delta Q=int_{V_{1}}^{V_{2}} d A ]

где:

• [delta Q] — тепло элементарного характера, которое подводится ко всей системе;
• dA  — работа элементарного типа, совершаемая газом  в изотермическом процессе; 
• i —  количество  свободных степеней  газовых молекул; 
• R —   газовое значение постоянной; 
• d —   значение молей для газа;
• V₁— первоначальное значение объема газа;
• V₂— окончательное значение объема газа.

[A=int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V]

Давление газа, которое зависит от уравнения газа в идеальном состоянии.

[p V=v R T rightarrow p=frac{v R T}{V}]

Подставим вышеуказанное выражение в подынтегральное выражение:

[A=int_{V_{1}}^{V_{2}} frac{v R T}{V}=v R T int_{V_{1}}^{V_{2}} frac{d V}{V}=mathrm{u} R T ln left(frac{V_{2}}{V_{1}}right)]

Составленное уравнение необходимо  определения значения работы, которую совершает газ  в изотермическом процессе.

[ A=v R T ln left(frac{p_{1}}{p_{2}}right) ]

[ Delta Q=A ]

Как найти изотермический процесс — примеры решения задач

Пример №1

Основное содержание задания: газ идеального состояния, имеет способность расширяется, имея постоянную температуру, от объема.

[V_{1}=0.2 mathrm{~m}^{3}]

[V_{2}=0.6 mathrm{~m}^{3}]

Известно  сила давления во втором состоянии и  оно равняется [p_{2}=1 cdot 10^{5} mathrm{Pi a}].

Определить:

• Величину изменения внутренней энергии газа;
• Значение работы, которую совершает газовое вещество в данном процессе;
• Какое необходимое количество теплоты получает газ в процессе работы.

Методика решения:

Внутренняя энергия газа неизменна, так как процесс который рассматривается в задаче, является изотермическим:

[Delta mathrm{U}=0]

Из основного закона термодинамики можно определить:

[Delta cup=A]

[A=v R T ln left(frac{V_{2}}{V_{1}}right)]

Составим и запишем уравнение, которое отражает окончательное (конечное) состояние газа:

[p_{2} V_{2}=v R T rightarrow T=frac{p_{2} V_{2}}{v R}]

Подставим в уравнение для температуры вышеизложенные формулы и получим решение:

[A=v R frac{p_{2} V_{2}}{v R} ln left(frac{V_{2}}{V_{1}}right)=p_{2} V_{2} ln left(frac{V_{2}}{V_{1}}right) .]

Следовательно, все величины расположены в международной системе единиц (СИ), можно провести вычисления и определить неизвестные значения:

[A=0.6 cdot 10^{5} ln left(frac{0.6}{0.2}right)=0.6 cdot 10^{5} cdot 1.1=6.6 cdot 10^{4} text { (Дж) }]

Ответ задачи:

• значение изменения внутренней энергии газа в рассматриваемой процессе равно нулевому значению.
• работа, которая совершается в процессе газовым веществом равняется  [6,6 cdot 10^{4} text { Дж }].
• Необходимое количество тепловой энергии равно: [6,6 cdot 10^{4} text { Дж }].

---

Пример №2

Задание: изображен график, где изменяется идеальное состояние массы газа равное m в координатных осях p (V).

Нужно перенесите данный процесс на координатные оси в p(T).

На данном графике изображен круговой процесс.

Где:

1. Прямая 1-2  является изотермическим процессом с константой [(T=text { cons } t)].  Следовательно  значение объема будет уменьшается [(mathrm{V} downarrow)],  а давления соответственно расти [(p uparrow)].
2. Прямая 2-3  отражает изобарический процесс [(p=text { const })]

const). Для данного процесса характерно увеличение объема  [mathrm{V} uparrow] и  применяя закон Гей-Люссака,  увеличение [Т uparrow]

• Прямая (отрезок) 3-1  является изохорным процессом объем будет постоянной величиной  [(mathrm{V}=text { const })], а  [p downarrow],а исходя из  закона Шарля [T downarrow].

Все перечисленные процессы изобразим на координатных осях  p(T).

Печатать книгу

Содержание:

Изотермический, изобарный и изохорный процессы:

Свойство газов существенно изменять предоставленный им объём широко используют в тепловых двигателях. Анализируя процессы, происходящие с газом в этих устройствах, важно знать, каким законам подчиняются газы и каковы условия применимости этих законов.

Процессы в газах часто происходят так, что изменяются только два параметра из пяти

Изотермический процесс

Процесс изменения состояния физической системы при постоянной температуре называют изотермическим.

Если при переходе из начального состояния в конечное масса и молярная масса идеального газа не изменяются, то из уравнения Клапейрона—Менделеева следует:

 

Давление данной массы газа при постоянных молярной массе и температуре обратно пропорционально его объёму.

Это утверждение называют законом Бойля—Мариотта.

Справедливость закона Бойля—Мариотта можно продемонстрировать экспериментально, используя установку, представленную на рисунке 18 в § 5.

Если медленно изменять объём газа, находящегося в сосуде, то вследствие теплообмена с окружающей средой можно поддерживать температуру газа в сосуде практически постоянной. При этом уменьшение объёма газа при вращении винта 3 повлечёт за собой увеличение его давления и некоторое незначительное увеличение температуры. И наоборот, увеличение объёма приведёт к уменьшению давления и некоторому незначительному уменьшению температуры газа*.

* Незначительное изменение температуры газа принципиально необходимо для теплообмена с термостатом — передача тепла возможна только при разных температурах тел.

График изотермического процесса, совершаемого идеальным газом, в координатах представляет собой гиперболу (рис. 22). В физике такую кривую называют изотермой. Разным значениям температуры газа соответствуют разные изотермы. Согласно соотношениям (6.1) для одинаковых объёмов газов с одинаковыми количествами вещества и разными температурами чем больше давление, тем выше температура (рис. 22).

Многочисленные опыты показали, что исследованные газы подчиняются закону Бойля —Мариотта тем точнее, чем меньше их плотность. При значительном увеличении давления газа этот закон перестаёт выполняться.

Интересно знать:

Лёгкие расположены в грудной клетке, объём которой при дыхании периодически изменяется благодаря работе межрёберных мышц и диафрагмы. Когда грудная клетка расширяется, давление воздуха в лёгких становится меньше атмосферного, и воздух через воздухоносные пути устремляется в лёгкие — происходит вдох. При выдохе объём грудной клетки уменьшается, что вызывает уменьшение объёма лёгких. Давление воздуха в них становится выше атмосферного, и воздух из лёгких устремляется в окружающую среду.

Изобарный процесс

Процесс изменения состояния газа при постоянном давлении (р = const) называют изобарным.

В 1802 г. французский учёный Жозеф Гей-Люссак (1778-1850) рассмотрел этот процесс для воздуха, водорода, кислорода и азота.

Если при переходе из начального состояния в конечное масса и молярная масса газа не изменяются, то объём газа, как следует из уравнения Клапейрона—Менделеева:

Объём данной массы газа при постоянных молярной массе и давлении прямо пропорционален абсолютной температуре.

Это утверждение называют законом Гей-Люссака.

Справедливость закона Гей-Люссака можно продемонстрировать экспериментально, используя установку, представленную на рисунке 23. Жидкость в сосуде находится в тепловом равновесии с тонкой трубкой, заполненной воздухом, запертым капелькой масла. При увеличении температуры жидкости объём воздуха, находящегося в трубке под капелькой масла, возрастает и капелька движется вверх. При уменьшении температуры объём воздуха уменьшается — и капелька движется вниз.

Поскольку то в координатах график изобарного процесса, совершаемого идеальным газом, представляет собой прямую линию, продолжение которой проходит через начало координат (рис. 24). Эту линию называют изобарой.

Изобара реальных газов не может быть продлена до нулевого значения температуры (на графике пунктирная линия), потому что при низких температурах все газы существенно отличаются от модели «идеальный газ» и при дальнейшем уменьшении температуры превращаются в жидкости.

В одних и тех же координатах можно построить несколько изобар, которые соответствуют разным давлениям данной массы идеального газа при неизменной молярной массе. Анализ соотношений (6.2) позволяет сделать вывод, что большему давлению соответствует меньший наклон изобары к оси температур (см. рис. 24).

Изохорный процесс

Процесс изменения состояния газа при постоянном объёме (V = const) называют изохорным.

Впервые этот процесс рассмотрел в 1787 г. французский учёный Жак Шарль (1746-1823)*.

* Несмотря на то что Шарль не опубликовал результаты своих исследований, история физики отдаёт приоритет открытия ему.

Если при переходе из начального состояния в конечное масса и молярная масса идеального газа не изменяются, то давление газа, как следует из уравнения Клапейрона—Менделеева:

Давление данной массы газа при постоянных молярной массе и объёме прямо пропорционально абсолютной температуре.

Это утверждение называют законом Шарля.

Справедливость закона Шарля можно продемонстрировать экспериментально, используя установку, представленную на рисунке 25. Колба, наполненная воздухом и соединённая с манометром, находится в тепловом равновесии с жидкостью в сосуде. При увеличении температуры жидкости давление воздуха в колбе возрастает, а при уменьшении температуры — давление воздуха уменьшается.

В координатах график изохорного процесса, совершаемого идеальным газом, представляет собой прямую линию, продолжение которой проходит через начало координат (рис. 26). Эту линию называют изохорой.

Как и в случае изобарного процесса, изохора реальных газов не может быть продлена до нулевого значения температуры.

В одних и тех же координатах можно построить несколько изохор, соответствующих разным объёмам данной массы газа при неизменной моляр- О ной массе. Анализ соотношений (6.3) показывает, что большему объёму соответствует меньший наклон изохоры к оси температур (см. рис. 26).

Пример №1

На рисунке 28 представлен график трёх процессов изменения состояния некоторой массы идеального газа. Как изменялись параметры газа на участках Изобразите эти процессы в координатах

Решение. На участке объём газа прямо пропорционален абсолютной температуре, следовательно, процесс перехода газа из состояния 1 в состояние 2 является изобарным. Из графика следует, что в состоянии 2 температура и объём газа больше в 4 раза, чем в состоянии 1. Следовательно, в процессе изобарного расширения некоторой массы газа из состояния 1 в состояние 2 температура и объём газа увеличились. Это можно записать таким образом:

переход  
происходит изобарное нагревание газа.

В процессе перехода газа из состояния 2 в состояние 3 остаётся постоянным объём (процесс изохорный), а температура газа уменьшается в 4 раза. Из соотношения (6.3) следует, что при изохорном охлаждении давление газа уменьшается пропорционально его абсолютной температуре. Поэтому можно записать:
переход
происходит изохорное охлаждение газа.

Процесс перехода газа из состояния 3 в состояние 1 — изотермический. При этом объём газа уменьшается в 4 раза, что влечёт за собой, согласно закону Бойля—Мариотта, увеличение давления газа в 4 раза:

• переход  происходит изотермическое сжатие газа.

Опираясь на сделанные выводы, представим все три процесса в координатах (рис. 29, а, б).

Пример №2

При изотермическом расширении идеального газа определённой массы его объём увеличился от а давление уменьшилось на Определите первоначальное давление газа.

Решение. Так как температура и масса газа не изменяются, то его начальное и конечное состояния связаны законом Бойля—Мариотта, т. е.  С учётом того, что получим:

Откуда

Ответ: 

Обобщение и систематизация определений: