Как найти наибольшее целое решение системы неравенства

Наибольшее целое решение системы неравенств




Задание, которое часто встречается в алгебре,- найти наибольшее целое решение системы неравенств.

Чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, надо решить её и выбрать из полученного множества решений наибольшее целое число (если такое есть).

Рассмотрим примеры.

Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

    [1)left{ begin{array}{l} 7x + 12 > 2x + 2\ 1 - 3x < 9 - 5x end{array} right.]

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    [left{ begin{array}{l} 7x - 2x > 2 - 12\ - 3x + 5x < 9 - 1 end{array} right.]

Упрощаем и делим каждое неравенство на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

    [left{ begin{array}{l} 5x > - 10___left| {:5 > 0} right.\ 2x < 8___left| {:2 > 0} right. end{array} right.]

    [left{ begin{array}{l} x > - 2\ x < 4 end{array} right.]

Отмечаем решение каждого из неравенств на числовой прямой. Решением системы является пересечение решений неравенств (то есть общая часть, где штриховка есть на каждой числовой прямой). Поскольку неравенства строгие, концы промежутков не включаем в решение.

naibolshee-celoe-reshenie-sistemy-neravenstv

Из целых решений системы выбираем наибольшее и записываем ответ.

Ответ: 3.

    [2)left{ begin{array}{l} 3x - 11 le 7x + 1\ 8x - 4 le 5x + 2 end{array} right.]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    [left{ begin{array}{l} 3x - 7x le 1 + 11\ 8x - 5x le 2 + 4 end{array} right.]

Делим обе части неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, при делении на положительное число — не изменяется:

    [left{ begin{array}{l} - 4x le 12___left| {:( - 4) < 0} right.\ 3x le 6___left| {:3 > 0} right. end{array} right.]

    [left{ begin{array}{l} x ge - 3\ x le 2 end{array} right.]

Решения неравенств отмечаем на числовых прямых и из полученного множества решений выбираем наибольшее.

najti-naibolshee-celoe-reshenie-sistemy-neravenstv

Поскольку неравенства нестрогие, концы промежутка входят в решение. Значит, наибольшее целое решение системы равно 2.

Ответ: 2.

    [3)left{ begin{array}{l} frac{{2x}}{3} - frac{x}{4} < 2\ frac{x}{2} + 3 > 4x end{array} right.]

Обе части каждого из неравенств умножаем на наименьший общий знаменатель. В первом неравенстве он равен 12, во втором — 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

    [left{ begin{array}{l} frac{{2{x^{backslash 4}}}}{3} - frac{{{x^{backslash 3}}}}{4} < {2^{backslash 12}}___left| { cdot 12 > 0} right.\ frac{{7{x^{backslash 1}}}}{2} + {3^{backslash 2}} > 4{x^{backslash 2}}___left| { cdot 2 > 0} right. end{array} right.]

    [left{ begin{array}{l} 8x - 3x < 24\ 7x + 6 > 8x end{array} right.]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    [left{ begin{array}{l} 8x - 3x < 24\ 7x - 8x > - 6 end{array} right.]

Обе части первого неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не изменяется. При делении обеих частей на отрицательное число знак второго неравенства изменяется на противоположный:

    [left{ begin{array}{l} 5x < 24___left| {:5 > 0} right.\ - x > - 6___left| {:( - 1) < 0} right. end{array} right.]

    [left{ begin{array}{l} x < 4,8\ x < 6 end{array} right.]

Оба неравенства с одинаковым знаком. Применяя правило «меньше меньшего», приходим к неравенству x<4,8.

najti-naibolshee-celoe-reshenie-sistemy

Наибольшее целое число, меньшее 4,8, равно 4.

Ответ:4.

Источник

Чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, надо решить ее и выбрать из полученного множества решений наибольшее целое число (если такое есть).

Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

{x – 5 < 2;

{-3x < 9.

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком. Упрощаем и делим каждое неравенство на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется, а при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

{x < 2 + 5;

{x > 9 : (-3).

{x < 7;

{x > -3.

Решением системы является пересечение решений неравенств. Поскольку неравенства строгие, концы промежутков не включаем в решение. Из целых решений системы выбираем наибольшее и записываем ответ.

Ответ: 6.

Источник

    При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы. 
    Напомним свойства числовых неравенств.
    1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
    2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а < b и b < c, то а < c.
    3. Если а > b, то а + c > b+ c (и  а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c < b – c). Т. е. к обеим частям неравенства можно прибавлять (или из них вычесть) одну и ту же величину.
    4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

Замечание.

Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
    5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а < b и c > d, то а – c < b – d, т.е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.
    6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и  , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
    Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
    7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2, т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.

    8. Если а > b, где а, b > 0, то  и если а < b , то .

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Пример 1. Решить неравенство .
    Решение:
          .
    Ответ: х < – 2.

Пример 2. Решить систему неравенств  
    Решение:
         .
    Ответ: (– 2; 0].

Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств 

    Решение:
        
    Ответ: 

2. Квадратные неравенства

Пример 4. Решить неравенство х2 > 4.
    Решение:
        х2 > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.
        Решаем методом интервалов.

        

        

Ответ:

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х2 – 2х + 1) > 0. 
    Решение:
          
    Ответ: . 

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х2 – 24х + 24 < 4у2, где   .
    Решение:
        Область определения неравенства: .
        С учётом области определения 4х2 – 24х + 24 < 4у2 будет равносильно неравенству

        

        Решаем методом интервалов.

        
        Решение неравенства: .
        Середина отрезка: .
    Ответ: .

4. Рациональные неравенства

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
    Решение:
             
        

        

        Методом интервалов:

        

        Решение неравенства: .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1. 
    Ответ:  – 6; – 5; – 4; 1.

5. Иррациональные неравенства

Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8. Решить неравенство .
    Решение:    
        Область определения: .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
    Ответ: .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства .

    Решение:

        Область определения .

        – быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе . 

        Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

    Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство .

    Решение:

        Область определения:  

        Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства —  положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное  исходному.

        

        

         т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.

    Ответ: .

Пример 11. Решить неравенство .

    Решение:

        Раскрываем знак модуля.

        
        Объединим решения систем 1) и 2): .

    Ответ: . 

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Пример 12. Решите неравенство .

    Решение:

                      .

    Ответ: .

Пример 13. Решите неравенство .

    Решение:

        .

    Ответ: .

Пример 14. Решите неравенство .

    Решение:

        

    Ответ: .

Пример 15. Решите неравенство .

    Решение:

        
    Ответ: .    

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

 Целые неравенства и системы неравенств

    1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.

    2) Решите неравенство – 5х > 0,25. 

    3) Решите неравенство .

    4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.

    5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).

    6) Решите неравенство 
 .

    7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.

     8) Решить систему неравенств  

    9) Найдите целочисленные решения системы неравенств . 

    10) Решить систему неравенств .

    11) Решить систему неравенств  

    12) Найти наименьшее целое решение неравенства  

    13) Решите неравенство .

    14) Решите неравенство .

    15) Решите неравенство .

    16) Решите неравенство .

    17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .

    18) Решить систему неравенств  

    19) Найти все целые решения системы  

Рациональные неравенства и системы неравенств

    20) Решите неравенство .

    21) Решите неравенство .

    22) Определите число целых решений неравенства .

    23) Определите число целых решений неравенства .

    24) Решите неравенство .

    25) Решите неравенство 2x<16 .

    26) Решите неравенство .

    27) Решите неравенство .

    28) Решите неравенство .

    29) Найдите сумму целых решений неравенства  на отрезке [– 7, 7].

    30) Решите неравенство .

    31) Решите неравенство .

Иррациональные неравенства

    32) Решите неравенство .

    33) Решите неравенство 

    34) Решите неравенство .

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

    35) Решите неравенство .

    36) Решите неравенство .

    37) Решите неравенство .

    38) Решите неравенство .

    39) Решите неравенство .

    40) Решите неравенство 49∙7х < 73х + 3.

    41) Найдите все целые решения неравенства .

    42) Решите неравенство .

    43) Решите неравенство .

    44) Решите неравенство 7x+1-7x<42 .

    45) Решите неравенство log3(2x2+x-1)>log32 .

    46) Решите неравенство log0,5(2x+3)>0 .

    47) Решите неравенство .

    48) Решите неравенство .

    49) Решите неравенство .

    50) Решите неравенство logx+112>logx+12 .

    51) Решите неравенство logx9<2.

    52) Решите неравенство .

Повышенный уровень

    53) Решите неравенство |x-3|>2x.

    54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.

    55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .

    56) Решить систему неравенств  

    57) Решить систему неравенств .

    58) Решите неравенство .

    59) Решите неравенство 25•2x-10x+5x>25 .

    60) Решите неравенство .

Ответы

1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) ; 8) (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5;               11); 12) 1; 13); 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17); 18) ; 19) 3, 4, 5; 

20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26); 27) (– 3; 17);                                           28)

; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31); 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35);   36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) ; 44) х < 1;                           45) ; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48); 49) ; 50) х > 0;            51) ; 52) ; 53) х < 1; 54); 55) – 1; 56) ; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60) 

.

Источник

Раздел II. № 3.34. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. Поможете найти целое решение неравенства? – Рамблер/класс

Раздел II. № 3.34. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. Поможете найти целое решение неравенства? – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

1) Найдите наибольшее целое решение неравенства
(√12-2)х > √2 + 2.

 2) Найдите наименьшее целое решение неравенства
(2 — √5)х < 2 + √5.

ответы

3.34(1) Домножим обе части неравенства на положительное
число √2 + 2. Получим: (√2 — 2)(√2 + 2)x > (√2 + 2)2;
(2-4)х>6+4√2; -2x>6+4√2; -x>3+2√2. x<-3-2√2; х-
наибольшее целое, меньшее -3 — 2√2 .
Оценим число -3-2√2:
1,41 < √2 < 1,42;       -2,84 < -2-√2 < -2,82;       -5,84 < -3 -2√2 < -5,82.
Наибольшее целое число, меньшее -3-2√2 есть -6.
Ответ: Наибольшее целое решение неравенства х = -6.

  3.34(2) (2-√5)x<2 + √5 . Домножим обе части неравенства на положительное число 2 + √5 .
Получим: (2-√)(2+√5)x<(2+√5)2.
-х < 4 + 5+4√5 : х > — 9-4√5.
Далее: 2,2 < √5 < 2,3; -9,2<-4√5<-8,8; -18,2<-9-4√5<-17,8. Поскольку надо найти наименьшее целое х>-9-4√5, то это будет число -17.
Ответ: х = -17.

 

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

ЕГЭ

10 класс

11 класс

Химия

похожие вопросы 5

Работа № 5. Вариант 1. № 10. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. Сколько лет Борису?

Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса
в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет Борису?
  (Подробнее…)

ГДЗАлгебра9 классКузнецова Л. В.

Привет! Помогите решить уравнение. Работа № 9. Вариант 1. № 9. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова.

Решите уравнение
  (Подробнее…)

ГДЗАлгебра9 классКузнецова Л. В.

Привет! Какие тут получатся множители? Раздел II. № 1.25. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова.

Разложите на множители
1) x4 — 7х2 — 18;
2) x4 — х2 — 12.

ГДЗАлгебра9 классКузнецова Л. В.

ГДЗ по информатике, 2 класс Горячев, контрольная, 1 вариант, 1 упр. Что общего?

Найди и подпиши общий признак каждой группы предметов. (Подробнее…)

ГДЗИнформатика2 классГорячев А.В.

ГДЗ по информатике, 2 класс Горячев, ч. 2, 18 упр. Распредели

Запиши номер множества около каждого предмета.
1 — одежда
2 — обувь (Подробнее…)

ГДЗИнформатика2 классГорячев А.В.

ЕНТ-2014, вариант 0018

По вашим просьбам!

5. Найдите наибольшее целое решение неравенства 0,53x+2>8.

Представим левую и правую части неравенства в виде степени с основанием 2.

2-3x-2>23. Так как показательная функция с основанием 2  является возрастающей, то опуская основания степеней, знак неравенства сохраним. Получаем:

-3х-2>3  ⇒ -3x>3+2  ⇒ -3x>5 ⇒ x<-5:3.

x=-2 есть наибольшее целое решение данного неравенства.

9. Отрезок АВ пересекает плоскость в точке М и делится ею пропорционально числам 8:5. Найдите длины АМ и МВ, если длина проекции отрезка на плоскость равна 52 см, а точка А отстоит от плоскости на расстоянии, равном 24 см.

Итак, АМ:ВМ=8:5. Это означает, что отрезок АМ содержит 8 частей, а отрезок ВМ содержит 5 таких же частей. Проекция отрезка АВ на плоскость α есть сумма проекций отрезков АМ и МВ на эту плоскость, т.е отрезок B1A1=52 см по условию. Если мы проведем ВК параллельно B1A1 до пересечения с продолжением АA1, то очевидно, что ВК=B1A1=52 см. Так как точка А отстоит от плоскости на расстоянии 24 см, то длина отрезка АA1=24 см.

Пусть A1К=х. Из подобия треугольников АВК и АМA1 следует:

АК:АA1=АВ:АМ ⇒(24+х):24=(8+5):8 ⇒ (24+х):24=13:8. По основному свойству пропорций:

(24+х)·8=24·13. Разделим обе части равенства на 8. Получим:

24+х=3·13, отсюда х=39-24=15. Так как A1К=х=15 см, то АК=24 см+15 см=39 см. Из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора  AB2 =AK2+BK2. Подставляем значения АК=39 и ВК=52. Получаем:

AB2=392+522=(13∙3)2+(13∙4)2=132∙32+132∙42=132∙(32+42)=132∙(9+16)= 132∙25=132∙52. Отсюда АВ=13·5=65 (см). Так как на весь отрезок АВ приходится 13 частей (по условию АМ:МВ=8:5), то на одну часть приходится 65 см:13=5 см.

Тогда длина отрезка АМ=8·5 см=40 см, а длина отрезка МВ=5·5 см=25 см.

11. Даны 3 последовательных натуральных числа. Произведение этих чисел в 2 раза больше третьего числа. Найдите эти числа.

Если мы обозначим через х первое из трех натуральных последовательных чисел, то каждое следующее будет на 1 больше, т.е. второе число будет равно (х+1),

а третье (х+2). Зная, что произведение всех трех чисел в 2 раза больше третьего числа, составим уравнение:

х·(х+1)·(х+2)=2(х+2). Можно разделить обе части равенства на (х+2), так как это число (третье искомое число) точно не равно нулю. Получим равенство: х·(х+1)=2. Можно, конечно, раскрыть скобки и перенести все слагаемые в левую часть, а затем решить квадратное уравнение, но подумайте: произведение каких двух натуральных последовательных чисел равно двум? Ну, разумеется: 1 и 2.

Тогда искомые числа: 1, 2 и 3.

12. Решите уравнение:

16. Производная функции:

17. Составьте уравнение касательной к графику функции у=cos2x в точке xo= π/4.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой xo имеет вид: y=f(xo)+f’(xo)∙(x-xo).  Находим f(xo)=f(π/4)=cos(π/2)=0. Находим производную данной функции: f ‘(x)= -2sin2x. Тогда f’(xo)=f’(π/4)=-2sin(π/2)=-2·1=-2. Полученные значения f(xo) и f’(xo) подставляем в уравнение касательной.

у=0-2·(х-π/4) ⇒ у=-2х+π/2.

23. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна

24. Даны векторы

В последнее равенство подставим абсциссы всех данных векторов и получим первое уравнение системы: 7=-2х-4у или 2х+4у=-7. Теперь подставим соответствующие ординаты данных векторов и получим второе уравнение системы: 2=2х+у или 2х+у=2. Из 1-го уравнения 2х+4у=-7 вычтем 2-ое уравнение 2х+у=2. Получаем уравнение: 3у=-9, отсюда у=-3. Подставим значение у=-3 в уравнение 2х+у=2. Получаем 2х=5, отсюда х=2,5.

25. Эта задача была и в прошлом году. Смотрите здесь! Это тоже 25 задание.

Запись имеет метки: векторное равенство при х и у, задача на объем призмы, найти длины частей отрезка пересекающего плоскость, найти три последовательных числа, нахождение производной сложной логарифмической функции, решение логарифмического уравнения, решение показательного неравенства, составить уравнение касательной

Навигация

Наибольшее возможное целочисленное решение | Wyzant Спросите эксперта

Алгебра 1

Саванна Дж.

спросил 21.06.19

Каково максимально возможное целочисленное решение неравенства 3,829x < 28,195

Подписаться
І
1

Подробнее

Отчет


2 ответа от опытных наставников

Лучший
Новейшие
Самый старый

Автор:
Лучшие новыеСамые старые

Мэтью С.
ответил 21.06.19

Репетитор

5
(123)

Аспирант по химии Вашингтонского университета

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

3,829x < 28,195

x < 28,195/3,829

x < 7,364

Таким образом, максимальное целочисленное значение x, которое может принимать значение:

x = 7

Голосовать за

0
голос против

Подробнее

Отчет

Натан С.
ответил 21.06.19

Репетитор

Новое в Византе

Терпеливый и знающий преподаватель, специализирующийся на математике и естественных науках

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Целое число определяется как целое число, по сути, число, не являющееся дробью. Например, целые числа включают: -5, 1, 17, 322, тогда как нецелые числа включают: -4,33, 2/3, 3,14, 55,1

Чтобы найти максимально возможное целочисленное решение 3,829x < 28,195, давайте сначала представим его так, как если бы это не было неравенством.

Давайте решим 3,829x = 28,195

x = 28,195/3,829

x = 7,3635

7,3635 не является целым числом, но давайте подставим два соседних целых числа обратно в исходную задачу и посмотрим, какое из них работает. Два ближайших целых числа к 7,3635 — это 7 (внизу) и 8 (вверху).

Попробуем x = 8

3,829(x) < 28,195?

3,829(8) < 28,195?

30,632 <28,195?

ЛОЖЬ… x не может равняться 8, так как 30,632 не меньше 28,195

Попробуем x = 7

3,829(x) < 28,195?

3,829(7) < 28,195?

26,803 <28,195?

ИСТИНА… x может равняться 7, поскольку 26,803 меньше 28,195

Следовательно, максимально возможное целочисленное решение равно x = 7

Надеюсь, это полезно!

Голосовать за

0
голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.
Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Поиск целочисленных решений | dongheenam

  1. Home
  2. Courses
  3. Jpn maths 1
  4. Numbers and expressions
  5. Inequalities
  6. Integer solutions
  • inequality
  • integer
  • algebra

Introduction

Previously we discussed how to solve inequalities without любые условия, что означает решение их для всех действительных чисел. Однако что изменилось бы, если бы домен представлял собой меньшее множество, например, множество целых или натуральных чисел? На этом уроке мы узнаем:

  • Как решать линейные неравенства в целочисленной области.
  • Методы решения задач, включающие решение целочисленных неравенств.

Поиск целочисленных решений

Чтобы решить неравенство для целых чисел, нам нужно сначала найти решение неравенства, как обычно, а затем посчитать целые числа, которые лежат внутри решения. Второй шаг довольно прост — например, можете ли вы перечислить все целые числа больше $-2$, но меньше $3$? $$ text{$x$ является целым числом и $-2 Знаки неравенства

Будьте осторожны со знаками неравенства! Диапазон $x>7$ не включает $7$, поскольку $x$ строго больше $7$: $$ x>7 iff x = 8,, 9,, 10,, cdots. $$ С другой стороны, $xge 7$ включает $7$: $$ xge 7 iff x = 7,, 8,, 9,, cdots. $$ Это звучит довольно очевидно, но становится легко запутаться, когда вы решаете более сложные вопросы.

Пример.
Найдите все натуральные числа $n$, удовлетворяющие условию $5n-7<2n+5$.

Раствор.
Сначала решим $5n-7<2n+5$:
начать{выравнивать*}
& 5n-7<2n+5 кр
& тогда и только тогда, когда 3n < 12 cr
& тогда и только тогда, когда n < 4.
end{выравнивание*}

Поскольку $n$ — натуральное число, значения $n$, удовлетворяющие условию $n<4$, равны $textbf{1, 2 и 3}$.

Попробуйте попрактиковаться в вопросах 1 и 2, прежде чем двигаться дальше.

Использование целочисленных решений

В предыдущем примере мы нашли три натуральных числа, удовлетворяющих условию $x<4$. А теперь давайте по-другому: какие неравенства имеют ровно три решения в натуральных числах?

⊕ Возможный диапазон $k$. Скажем, неравенство имеет вид $x Следовательно, мы находим диапазон $k$ должен быть $$ 3 lt k le 4. $$

Вот еще примеры!

Пример.
Если наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $x<dfrac{3a-2}{4}$, равно 5, найдите диапазон $a$.

Раствор.
⊕ Возможный диапазон для $x$ в зависимости от $a$. Поскольку 5 включено, $dfrac{3a-2}{4}$ не может быть 5, но может быть 6. Таким образом, возможный диапазон $a$ равен $$ 5lt dfrac{3a-2}{4 } le 6. $$

Решение этого неравенства дает
начать{выравнивать*}
& 5lt dfrac{3a-2}{4} le 6 cr
& iff 20 lt 3a-2 le 24 cr
& iff 22 lt 3a le 26 cr
& iff boldsymbol{ frac{22}{3} lt a le frac{26}{3} }.
end{выравнивание*}

Пример.
Предположим, что $k$ — целое число, большее 2, а целое число $x$ удовлетворяет условию $5-xle 4xlt 2x+k$.

  1. Найдите диапазон $x$ через $k$.
  2. Когда существует ровно пять возможных значений $x$, найдите диапазон $k$.

Раствор.

1.
Сначала мы можем разделить неравенство на две части:

$$begin{case}
5-xle 4x, cr
4xlt 2x+k,
end{cases}$$

и решите неравенства одно за другим. Первое неравенство дает
начать{выравнивать*}
& 5-xle 4xcr
& iff 5 le 5x cr
& iff 1 le x, tag{$ cdotstcirc{1}$}
end{выравнивание*}

и второе неравенство дает
начать{выравнивать*}
& 4xlt 2x+k cr
& iff 2x lt k cr
& iff x lt frac{k}{2}, tag{$ cdotstcirc{2}$}
end{align*}

⊕ Возможный диапазон для $x$ в зависимости от $k$. Поскольку $k>2$ из вопроса, $dfrac{k}{2}>1$. Таким образом, диапазон $x$ равен $boldsymbol{ 1 le x lt dfrac{k}{2} }$.

2.
Поскольку $xge 1$ из $tcirc{1}$, решения $x$ могут быть 1, 2, 3, 4 и 5. Таким образом, $$ 5 lt dfrac{k}{2} le 6, $$, что приводит к $boldsymbol{ 10 lt k le 12 }$.

Практические вопросы

  1. Какое наибольшее целое число удовлетворяет условию $4(x-2)+5(6-x)>7?$

Ответ

  1. 14

Решение.
Если мы решим неравенство,

begin{align*}
& 4(х-2)+5(6-х)>7 кр
& iff 4x — 8 + 30 — 5x > 7 cr
& iff -x + 22 > 7 cr
& тогда и только тогда, когда 15 > х.
end{align*}

Следовательно, наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее условию $x<15$, равно $boldsymbol{14}$.

  1. Решите следующее одновременное неравенство для целых чисел:
    $$begin{случаи}
    х — 3(х-4) le 12, cr
    4+2(3-х)gt 5х-10.
    end{case}$$

Ответ

  1. $x=0text{, 1 или 2}$

Решение.
Из первого неравенства

begin{align*}
& х — 3(х-4) le 12 cr
& тогда и только тогда, когда x — 3x + 12 le 12 cr
& iff -2x le 0 cr
& iff x ge 0, tag{$ cdotstcirc{1}$}
end{align*}

и из второго неравенства
начать{выравнивать*}
& 4 + 2(3-x) gt 5x — 10 cr
& iff 4 + 6 — 2x gt 5x — 10 cr
& iff 10 — 2x gt 5x — 10 cr
& iff -7x gt -20 cr
& iff x lt frac{20}{7}. тег{$ cdotstcirc{2}$}
end{выравнивание*}

⊕ Диаграмма, представляющая диапазоны значений $xge 1$ и $xgt 2$. На рисунке справа мы нарисовали диапазоны $tcirc{1}$ и $tcirc{2}$ на числовой прямой. Вы можете видеть, что $0$, $1$ и $2$ входят в оба диапазона, а $3$ — нет. Следовательно, ответ $boldsymbol{x=0}textbf{, 1 или 2}$.

  1. Наименьшее целое число $x$, удовлетворяющее неравенству $$ 3x+1>2a $$, равно $4$. Найдите все возможные значения $a$, если $a$ также является целым числом.

Ответ

  1. 5 и 6

раствор.
Сначала мы рассматриваем $a$ как константу (число) и решаем неравенство:
начать{выравнивать*}
& 3x+1>2a cr
& тогда и только тогда, когда 3x > 2a-1 cr
& тогда и только тогда, когда х > гидроразрыва {2a-1} {3}.
end{align*}

⊕ Диаграмма, представляющая диапазон $dfrac{2a-1}{3}$. Поскольку наименьшее целочисленное решение равно 4, диапазон $dfrac{2a-1}{3}$ должен составлять $$ 3 le dfrac{2a-1}{3} lt 4. $$ Таким образом,
начать{выравнивать*}
& 3 le dfrac{2a-1}{3} lt 4 cr
& iff 9 le 2a-1 lt 12 cr
& iff 10 le 2a lt 13 cr
& iff 5 le a lt frac{13}{2}.
end{выравнивание*}

⊕ Диаграмма, представляющая диапазон $a$. Целые числа, находящиеся в этом диапазоне, равны $textbf{5 и 6}$.

  1. Если существует ровно пять целочисленных решений одновременного неравенства (в терминах $x$) $$ begin{cases} 6x-4>3x+5, cr 2x-1le x+a, end{cases} $$ каков диапазон $a$?Refs
    Из Сецунанского университета.

Ответ

  1. $7 le a lt 8$

Решение.
Из первого неравенства
начать{выравнивать*}
& 6x-4>3x+5 кр
& тогда и только тогда, когда 3x > 9кр
& тогда и только тогда, когда x > 3, tag{$ cdotstcirc{1}$}
end{align*}

и если мы будем рассматривать $a$ как константу и решим второе неравенство,
начать{выравнивать*}
& 2x-1le x+a cr
& iff x le a+1. тег{$ cdotstcirc{2}$}
end{align*}

⊕ Диаграмма, представляющая диапазон $x$. Мы знаем, что существует ровно пять целочисленных решений для $tcirc{1}$ и $tcirc{2}$, а наименьшее целочисленное решение для $tcirc{1}$ равно 4. Следовательно, решения должны быть 4, 5, 6, 7 и 8, или, другими словами, наибольшее целочисленное решение для $tcirc{2}$ должно быть равно 8.

Источник

27. Решение систем
линейных неравенств.

Пусть заданы
несколько неравенств с одним неизвестным. Если требуется найти число, которое
является решением всех данных неравенств, то совокупность этих неравенств
называют системой неравенств.

Решением системы неравенств с одним
неизвестным называется то значение неизвестного, при котором каждое неравенство
системы обращается в верное числовое неравенство. Множество решений системы
неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

Решить систему неравенств – это значит найти
все решения этой системы или установить, что их нет.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда
системы неравенств записывают в виде двойного неравенства. Например, систему  можно записать так: 2 < 3x-1 < 8.

Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится к
следующим случаям. Будем считать, что a < b:

   ( 1 )                      ( 2
)                     ( 3 )                      ( 4 )

В случае ( 1 ) решением системы служит промежуток (b; +∞) ( рис 1, а);

 в случае ( 2 ) – промежуток ( a; b) (рис 1, б);

в случае ( 3 ) – промежуток ( -∞; a) (рис 1, в);

в случае ( 4 )  система не имеет решений (рис 1, г).

     

                a       
b            x              a         b        x            a            b     
x                 a       b        х 

                       
а)                                     б)                             
в)                                    г)

Рис.1.

Две системы неравенств называют равносильными, если они имеют общее
множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам. Равносильность систем
неравенств обозначается также, как и равносильность систем уравнений, т.е. с
помощью знака .

Пример 1. Решить систему неравенств

Решение. Имеем

На координатной прямой изобразим
множество чисел, удовлетворяющих последней системе неравенств ( рис.2). Из
рисунка видно, что эта система, а значит, и данная система не имеют решений.

                     -2,2                              3                               х    
Рис.2.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 2. Решить систему неравенств   

Решение. Заменим каждое неравенство системы
равносильным ему неравенством, получим систему

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих
последней системе неравенств ( рис. 3).

                                    2     3,6                  
8                   х           Рис. 3.

Множество решений есть промежуток [3,6; 8).

Ответ: [3,6; 8).

Пример 3. Решить систему неравенств

Решение. Решим первое неравенство: 3х – 4 < 8x + 6, -5x < 10, x > -2. Оно выполняется при  x > -2.

Решим
второе неравенство : 2x — 1> 5x —
4, -3x > -3, x < 1. Оно
выполняется при x < 1.

Решим
третье неравенство : 11x – 9 ≤ 15x +
3< -4x  ≤  12, x ≥ -3.    Оно
выполняется при х ≥ -3.

Все три данных неравенства верны при х  ( -2;
1).

                     

                       -3                     -2                      
1                            х   Рис. 4.

Ответ: (-2; 1).

Пример 4. Решить систему неравенств

Решение.

                                        

Ответ: х >3.

Пример 5. Решить систему неравенств

Решение.

                                

Ответ:

Пример 6. Решить систему неравенств

Решение.    

  

Данное неравенство верно при x < 0.

Ответ: ( — ∞; 0).

Пример 7. Решить систему
неравенств

Решение.           

Данное неравенство верно при x > -3.

Ответ: ( -3; +∞).

Пример 8. Укажите наибольшее и
наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

Решение.

          

      

Ответ: -31; 2.

Пример 9. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см.
Каким числом может быть выражена длина боковой стороны, если известно, что
периметр треугольника меньше 80 см ?

Решение. Пусть длина боковой стороны равна х
см.

Тогда      

Длина боковой стороны может быть выражена любым числом из промежутка
(6; 34).

Ответ: любым числом их числового промежутка ( 6; 34).

Пример 10. Подберите значения параметров a и b так, чтобы множество решений системы неравенств

а) было пусто;

б) состояло из одного элемента;

в) представляло собой промежуток [5; 10];

г) представляло собой промежуток [5;
+∞).

Решение.
Первое неравенство системы запишем в виде: 2х ≥ 10, х ≥5. Второе неравенство
системы запишем в виде ах ≤ b+1.

а) Множество решений системы будет
пусто, если

a>0, x1 ≤
(b+1):a                                                                                 x
1         5                     x  

      
Рис.5.

Т.е. х1 < 5. Выберем
такие а и b, чтобы .
Например, а = 2, b = 7.

б) Множество решений системы
неравенств будет состоять из одного элемента, если

a>0, x1 =
(b+1):a                                                                                     
x 1 = 5                     x

Рис.6.             

Т.е. х1 = 5. Выберем такие
а и b, чтобы . Например, а = 3, b = 14.

в) множество решений данной системы
неравенств будет представлять собой промежуток [5; 10],
если

a>0, x1 ≤
(b+1):a                                                                                          
5           10         x              

Рис.7.

Т.е. х1 = 10. Выберем
такие а и b, чтобы .
Например, а = 1, b = 9.

г) множество решений данной системы
неравенств будет представлять собой промежуток [5; +∞), если

a < 0, x1  ≥  (b+1):a                                                                                       х1=5                   x              

Рис.8.

Т.е. х1 = 5. Выберем такие
а и b, чтобы . Например, а = -2, b =  -11.

Ответ: а) например, а = 2, b = 7;   б) например, а
= 3, b = 14;   

 в) например, а = 1, b = 9;

     г) например, а = -2, b = -11.

Пример
11. Изобразить множество точек на плоскости,
определяемое системой неравенств

Решение. Так как
х + у < 1, то у < 1 – х; так как 2х – у < 2, то у > 2х – 2.
Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой
у = 1 – х и одновременно над прямой у = 2х – 2. Т.е. множество решений каждого
из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое
системой этих неравенств есть пересечение полуплоскостей.

                                                                  
у

                                                
у=1-х

                                                              
                         у=2х-2

                                                                       
1

                                                                    
0      1                                 х

                                 
                                       -2

Рис. 9.

Пример 12. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств     Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой у = 5х + 4 и одновременно над прямой у = 5х +1. Т.е. множество
решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество,
определяемое системой этих неравенств есть полоса.

                                                                           
y    F

                                                        
у = 5х + 4

                                                                                  
у = 5х + 1

                                                                                 
0                    х

       
Рис. 10.

Ответ:
полоса.

Пример 13. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств     Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой        у = -2х +4 и одновременно над прямой у = 3х +1. Т.е.
множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.
Множество, определяемое системой этих неравенств есть угол.

                                                                      
у = -2х + 4

                                                        
                      4

                                     F

                                                                             
1

                                                                              
0     2                х

                                                                        у
= 3х + 1

Рис.
11.    Ответ: угол.

Пример 14. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств     Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение.
Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой       
у = -2х +4 и одновременно под прямой у = х +2 и над прямой у = -5. Т.е.
множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.
Множество, определяемое системой этих неравенств есть треугольник.

                                              у

 

                                                    
у = х + 2

                                                            0                   
х

                                                                    
у = -2х + 4

                                                         
-5

                                              
                                у = -5

Рис.
12.

Ответ:
треугольник.

Пример 15. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек F, задаваемое системой неравенств     Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой        у = -х + 6 и одновременно под прямой у = 2х +8 и над прямой у
= -х + 2 и над прямой 2х + 2. Т.е. множество решений каждого из этих линейных
неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое системой этих неравенств
есть параллелограмм.

                                                                       
у

 

                                                                                   
      у = 2х + 2

                                                                       
6

                                                                                        
у = — х + 6

                                        
у = 2х + 8

                                                                       2

                                                                                     
у = — х + 2

                                                  
-4               –1  0          2                    х

Рис.
13.

Ответ:
параллелограмм.

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру,
показанную на рисунке 14 штриховкой.

                                              
а)                                                           б)

                                              
в)                                                           г)

Рис.
14.

Решение. а)

б) Составим
уравнение прямой, проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8):

  у = -1,6х + 8 – уравнение прямой,
проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8).

Искомая система
неравенств:

в)     

  у = -х + 3 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; 3).

     

у = 0,5х + 3 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( -6; 0) и ( 0; 3).

     

у = 2х — 6 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; -6).

Искомая система
неравенств:

г) Зная для каждой
из прямых, ограничивающих четырехугольник, координаты двух точек, записываем ее
уравнение.

Искомая система
неравенств:

Ответ:    а)           б)       в)
           г)

Пример 17. Задайте системой неравенств четырехугольник АВСD,
вершинами которого служат точки: А ( -5; 0),   В (1; 3),   С ( 3; -1);   D ( -2; -4).

Решение.

Четырехугольник АВСD ограничен прямыми АВ, ВС, CD, DA ( рис. 15). Зная координаты двух точек прямой, можно записать
уравнение этой прямой.

Для прямой АВ
имеем:

           

                         
у = 0,5х + 2,5 – уравнение прямой АВ.

Рис. 15.

Для прямой ВС
имеем:           

 у = -2х + 5 –
уравнение прямой ВС.

Для прямой СD имеем:           

 у = 0,6х – 2,8 –
уравнение прямой CD.

Для прямой DA имеем:           

 у = x     – уравнение прямой DA.

Искомая система
неравенств:

Ответ:

Пример 18. Покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
неравенству: а) у > x;   б) ;   в) ;   г) .

Решение. а) См. рис. 16, а.

б) Искомое
множество – множество точек, расположенных выше графика функции     ( рис. 16, б).

в) Рассмотрим
отдельно каждую из координатных четвертей. В I четверти
неравенство примет вид у > х. Ему соответствует множество точек первого
координатного угла, расположенного выше биссектрисы этого угла. Во II и III  четвертях, неравенству удовлетворют координаты
любой из точек. В IV четверти неравенство примет вид –у
> x, т.е. у < -х. Ему соответствует множество точек
четвертого координатного угла, расположенного ниже его биссектрисы ( рис. 16,
в).

г) Рассматриваем
отдельно каждую из координатных четвертей ( рис. 16, г).

                                  
а)                                                                 б)

                                       
в)                                                              г)

Рис.
16.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х –
8)(у – 4) ≥ 0;   б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0;   в) х2 – у2 ≥
0;   г) х2 – 4у2 ≤ 0.

Решение. а)
Неравенство верно, если  или  ( рис. 17, а).

б) Неравенство верно, если  или   (
рис. 17, б).

в) Представим неравенство в виде ( х – у)( х +
у0 ≥ 0. Неравенство верно, если   или   ( рис. 17, в).

г) Представим неравенство в виде ( х – 2у)(х +
2у) ≤ 0. Неравенство верно, если  или   ( рис. 17, г).

                                
а)                                                                      б)

                                
в)                                                              г)

Рис.
17.

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

Решите систему неравенств:

1.                                                

2.                                               

3.                                     

4.                                                  

5. Укажите
наибольшее и наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств:

6. Подберите значение параметра a так, чтобы для системы неравенств

а)наименьшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 3;

б)наибольшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 12;

в) не существовало бы ни одного целого числа, удовлетворяющего системе.

7. Решите
систему неравенств :     а)                            б)
  

                                                          
в)                            г)

8. Решите
систему неравенств:

а)                          б)

в)                                        г)

9. Решите
систему неравенств:

а)                                              б)
   

в)                                  г)

10. Решите
систему неравенств:

а)           б)
  

 в)                     

 г)

11. При
каких значениях а система неравенств имеет хотя бы одно решение:

     а)                   б)
                  в)                  г)

12. При
каких значениях а система неравенств не имеет решений:

     а)                   б)
                  в)                  г)

13. Существуют
ли такие значения а, при которых решением системы неравенств    является промежуток: а) ( 5; + ∞);   б)
( 3; +∞);   в) [3; +∞);   г) ( 2; +∞) ?

14. Существуют
ли такие значения а, при которых решением системы неравенств    является промежуток: а) ( -∞ ; 7);    
б) ( -∞; 5);   в) ( -∞; 5];   г) ( -∞; 2) ?

15. При
каких значениях а система неравенств    не
имеет решений? 

16. При
каких значениях а система неравенств    имеет хотя бы одно
решение?

17. Решите
двойное неравенство : а) –3 < 3 – 2x < 1;     б) –2
< 3x – 1 < -1;  

                                в) 0 < 4 – 3x
< 2;       г) 0 < 1 – 2x < 1.

18. Решите
систему неравенств:

а)    б)
   в)   г)

19.
Решите систему неравенств:

а)    б)    в)    г)

20. Найдите
середину промежутка, являющегося множеством решений системы неравенств:

а)                      б)

21. Найдите
наименьшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

22. Найдите
наибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

23. При
каких значениях k и b  множество
точек плоскости, задаваемое системой неравенств  а)
представляет собой полосу;   б) представляет собой угол;   в) пустое множество?

24. Запишите
систему неравенств, задающую на координатной плоскости множество точек,
показанное штриховкой на рисунке   20.

                       
а)                                                                        б)

                      
в)                                                                          г)

Рис. 20.

Ответы: 1. х  [-0,5; 0,5).   2. х  (-3; -1).   3. х  (2,4; 18).   4. х ≤ 0.      5. 0;
2.    6. а) например, а =1;   б) например, а
=0,5;     в) например, а =13,2.  

 9. а)
1<x<3;   б) 4/7 < x <
8/3;   в) 1/7 < x <16/7;   г) x
> 4.   10. а) 0,05<x<0,1.   

11. а) a<3;   б) а<5;   в) а ≤ 7;   г) а ≥
2.     12. а) а ≥ 2;   б) а ≥ 2;   в) а > 5;   г) а ≤ 2.

13. а) а = 5;   б) а ≤ 3;   в), г) не существует.     14. а) Не
существует;   б) а = 5;   в) а > 5;   г) а = 2.

15. а ≤ 2.   16. а > 21/127.      17. а) 1<x<3;   б) –1/3 <x<0.   18. а)
–0,5<x<0,6;   б) 0,25<x<1/3.

19. а) х=1,5;   в) 3,6< x <5;   г) 1 < x ≤ 2,5.   20. а) 0,925;   б) –0,5.   21. 1.    22.5.  

23. а) при k = 3, b < -1;   
б)  k ≠ 3, b – любое;   в) k = 3 , b > -1. ( см. рис. 25)

          у

0     2                      х         

Рис. 25.

24.  а)    б)    в)    г)

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Powerpoint как найти на компьютере windows 10
  • Про как бочку спирта нашли
  • Как найти мультики для детей
  • Как найти хороший товар на вайлдберриз
  • Примеры как найти человека