Как найти наибольшее делимое от числа

Понятие НОД

Определение, что такое НОД в математике, звучит следующим образом: наибольший делитель, общий для чисел a и b, есть такое наибольшее число, на которое описанные значения смогут разделиться без остатка.

Для наилучшего понимания того, как найти НОД двух чисел, вместо указанных переменных достаточно подставлять простые числа, например, 12 и 9. То есть самым наименьшим делимым числом для 12 и 9 является то, которое позволяет найти решение без остатка.

Задача по нахождению НОД может решаться тремя способами. Каждый из них применяется в зависимости от того, насколько быстро требуется найти необходимый показатель:

1. Первый метод схож с алгоритмом Евклида для нахождения НОД. Он достаточно трудоемкий и канонический. Необходимо искать все возможные делители, а через них — наибольший делитель, являющийся общим для значений. Если выписывать все показатели, на которые поделятся 12 и 9, наибольшим окажется 3.
2. Второй способ предполагает разложение пары чисел на простые множители и перемножение наибольших из них между собой.
3. Суть следующего способа: компоненты, которые подлежат поиску наибольшего общего делителя, начинают раскладывать на простые множители. Это значит, что из разложения первого нужно вычеркнуть множители, какие не попадают во второе значение. Остальные показатели в первом разложении перемножаются и оказываются НОД.

Лучше всего рассматривать применение указанных методов через определенный класс задач, которые помогают при дальнейшем изучении теорем, касающихся дробей. Формулы для указанной темы очень доступны для понимания ученикам и учителям.

Метод разложения

Суть второй методики заключается в разложении на простые множители и перемножении общих из них. В качестве примера можно рассмотреть представление НОД для показателей 18 и 24:

1. Оба параметра раскладываются на множители — 24 на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а 18 на 1, 2, 3, 6, 9, 18. Происходит поиск общих значений.
2. Необходимо перемножать между собой общие множители. Если есть риск запутаться, то стоит подчеркивать общие значения.
3. В результате поиска соотношений выделяют в качестве общих значений 2 и 3. После перемножения они дают число 6. Именно это линейное число и считается наибольшим объединенным делителем.

Способ является достаточно простым. Однако из-за некоторого объема операций можно оказаться в сложной ситуации с поиском общих делителей, поэтому следует рассмотреть еще один способ.

Вычеркивание показателей

Для третьей методики характерно вычеркивание из разложения тех показателей, которые не проходят во второе число. Есть такие виды НОД, которые могут сильно отличаться, но все равно позволяют найти нужный показатель. Например, нужно найти наибольший делитель для значений 28 и 16:

1. Сначала раскладывают оба параметра на простые множители. Для 28 таковыми считаются 1, 2, 4, 7, 14, 28, для 16 это 1, 2, 4, 8,16.
2. Из разложения первого объекта по формуле следует вычеркнуть показатель 7, так как он не входит в группу делителей второго.
3. После перемножения наибольшим делителем оказывается 4. Проверка в виде деления на него 28 и 16 показывает, что именно он и является нужным НОДом.

Аналогично можно отыскать для других значений, например, 100 и 40. После разложения из первого перечеркивается лишняя пятерка. Перемножение дает 20, который после поверки оказывается наибольшим делителем.

Несколько значений

Несмотря на кажущуюся сложность, доказать, что возможно найти НОД для нескольких чисел без помощи онлайн-калькуляторов, вполне реально. Значения, подлежащие поиску, необходимо разложить на множители. После чего ищется произведение общих простейших множителей.

Есть такие числа как 18, 24 и 36. Разложение 18 дает такие коэффициенты как 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Затем 24 и 36 необходимо править по аналогичному методу. Если составить таблицу, то можно найти следующие общие показатели в виде 2 и 3. Они считаются общими для всех трех чисел.

Перемножив между собой, получается делимое число 6. Оно также подходит под разложение 18, 24 и 36, а также считается наибольшим общим делителем для всех трех параметров. Аналогичный принцип срабатывает и для четырех и более чисел, когда потребуется найти делитель на любом уровне сложности вплоть до максимального.

Наименьшее общее кратное

Помимо НОД, существует еще и наименьшее общее кратное, или НОК. Если сказать по-другому, то таковым свойством можно считать число, которое без остатка будет разделяться на число a и число b.

Как и для НОД, поиск НОК может осуществляться тремя похожими с предшествующими способами. Каждым из них можно воспользоваться в зависимости от ситуации и удобства решения задания:

• Первый метод достаточно простой и распространенный. Необходимо записать кратные первых чисел, после чего подобрать такое число, чтобы оно являлось общим для всех и наименьшим.
• Также возможно раскладывать кратные на простые натуральные множители. В этом случае переписываются множители из первого разложения и прибавляются недостающие во второе. Получаемые значения перемножают между собой и получают НОК.
• Особняком стоит третий метод, который работает при соблюдении определенных условий. Одним из них является то, что НОК ищут для двух чисел, и на предыдущих этапах был найден наибольший общий делитель.

На последнем методе стоит остановиться несколько подробнее. Он является не только сравнительно менее громоздким, но и обладает определенным преимуществом в виде уже найденного НОД и более простого алгоритма решения.

Совмещение делителей

Такая методика характерна для тех примеров, в которых требуется единовременное нахождение НОД и НОК двух чисел. Например, необходимо отыскать для чисел 24 и 12 НОК и НОК. Действовать нужно в следующем порядке:

• Первым делом нужно найти НОД. Для этого надлежит раскладывать оба числа, отыскать общий показатель 12.
• После этого 24 и 12 перемножаются между собой. Результатом становится 288.
• Полученное число требуется разделять на НОД от 24 и 12. Полученный ответ 24 говорит о том, что именно оно является наименьшим общим кратным для 24 и 12.

Сходный механизм действует и при поиске НОК и НОД исходя из другой пары чисел. В каждом примере необходимо сначала отыскать наибольший делитель, перемножить два числа и получить наименьшее кратное.

Что касается решения с помощью интернет-ресурсов, то на сегодняшний день имеется много онлайн-калькуляторов и программ, которые дают возможность сравнительно быстро найти НОД и НОК и подсказать грамотные пути решения.

Нахождение наибольшего делителя и НОК является не только распространенной, но и сравнительно трудной задачей для учеников средней школы. Ведь если не рассмотреть подробно такую тему, то дальнейшее изучение дробей, которые включают в себя числитель и знаменатель, окажется практически невозможным.

Важно грамотно использовать ресурсы на специальных математических сайтах, где могут подробно и понятно объяснить разложение дробей и нахождение общих делителей. Бояться ошибиться в такой теме не стоит, поскольку при правильном подходе она пройдет достаточно быстро, а вычисление различных по уровню сложности примеров не составит особых сложностей.

Одной из задач, вызывающих проблему у современных школьников, привыкших к месту и не к месту использовать калькуляторы, встроенные в гаджеты, является нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и более чисел.

Невозможно решить никакую математическую задачу, если неизвестно, о чём собственно спрашивают. Для этого нужно знать, что означает то или иное выражение, используемое в математике.

Общие понятия и определения

Необходимо знать:

1. Если некое число можно использовать для подсчёта различных предметов, например, девять столбов, шестнадцать домов, то оно является натуральным. Самым маленьким из них будет единица.
2. Когда натуральное число делится на другое натуральное число, то говорят, что меньшее число — это делитель большего.
3. Если два и более различных числа делятся на некое число без остатка, то говорят, что последнее будет их общим делителем (ОД).
4. Самый большой из ОД именуется наибольшим общим делителем (НОД).
5. В таком случае, когда у числа есть только два натуральных делителя (оно само и единичка), оно называется простым. Самое маленькое среди них — двойка, к тому же она и единственное чётное в их ряду.
6. В случае если у двух чисел максимальным общим делителем является единица, то они будут взаимно простыми.
7. Число, у которого больше чем два делителя, именуется составным.
8. Процесс когда находятся все простые множители, которые при умножении между собой дадут в произведении начальное значение в математике называют разложением на простые множители. Причём одинаковые множители в разложении могут встречаться неоднократно.

В математике приняты следующие записи:

1. Делители Д (45) = (1;3;5;9;45).
2. ОД (8;18) = (1;2).
3. НОД (8;18) = 2.

Различные способы найти НОД

Проще всего ответить на вопрос как найти НОД в том случае, когда меньшее число является делителем большего. Оно и будет в подобном случае наибольшим общим делителем.

Например, НОД (15;45) = 15, НОД (48;24) = 24.

Но такие случаи в математике являются весьма редкими, поэтому для того, чтобы находить НОД используются более сложные приёмы, хотя проверять этот вариант перед началом работы все же весьма рекомендуется.

Способ разложения на простые сомножители

Если необходимо найти НОД двух или более различных чисел, достаточно разложить каждое из них на простые сомножители, а затем произвести процесс умножения тех из них, которые имеются в каждом из чисел.

Пример 1

Рассмотрим, как находить НОД 36 и 90:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

НОД (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Теперь посмотрим как находить то же самое в случае трёх чисел, возьмём для примера 54; 162; 42.

Как разложить 36 мы уже знаем, разберёмся с остальными:

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

Таким образом, НОД (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Следует заметить, что единицу в разложении писать совершенно необязательно.

Рассмотрим способ, как просто раскладывать на простые множители, для этого слева запишем необходимую нам цифру, а справа станем писать простые делители.

Разделять колонки можно, как знаком деления, так и простой вертикальной чертой.

1. 36 / 2 продолжим наш процесс деления;
2. 18 / 2 далее;
3. 9 / 3 и ещё раз;
4. 3 / 3 сейчас совсем элементарно;
5. 1 — результат готов.

Искомое 36 = 2*2*3*3.

Евклидов способ

Этот вариант известен человечеству ещё со времён древнегреческой цивилизации, он во многом проще, и приписывается великому математику Евклиду, хотя весьма похожие алгоритмы применялись и ранее. Этот способ заключается в использовании следующего алгоритма, мы делим большее число с остатком на меньшее. Затем наш делитель делим на остаток и продолжаем так действовать по кругу пока не произойдёт деление нацело. Последнее значение и окажется искомым наибольшим общим делителем.

Приведём пример использования данного алгоритма:

попробуем выяснить какой НОД у 816 и 252:

1. 816 / 252 = 3 и остаток 60. Сейчас 252 разделим на 60;
2. 252 / 60 = 4 в остатке на этот раз окажется 12. Продолжим наш круговой процесс, разделим шестьдесят на двенадцать;
3. 60 / 12 = 5. Поскольку на сей раз никакого остатка мы не получили, то у нас готов результат, двенадцать будет искомым для нас значением.

Итак, по завершении нашего процесса мы получили НОД (816;252) = 12.

Действия при необходимости определения НОД если задано более двух значений

Мы уже разобрались, что делать в случае, когда имеется два различных числа, теперь научимся действовать, если их имеется 3 и более.

При всей кажущейся сложности, данная задача проблем у нас уже не вызовет. Сейчас мы выбираем два любые числа и определяем искомое для них значение. Следующим шагом отыскиваем НОД у полученного результата и третьего из заданных значений. Затем снова действуем по уже известному нам принципу для четвёртого пятого и так далее.

Заключение

Итак, при кажущейся большой сложности поставленной перед нами изначально задачи, на самом деле все просто, главное уметь выполнять безошибочно процесс делений и придерживаться любого из двух описанных выше алгоритмов.

Хотя оба способа и являются вполне приемлемыми, в общеобразовательной школе гораздо чаще применяется первый способ. Это связано с тем, что разложение на простые множители понадобится при изучении следующей учебной темы — определение наибольшего общего кратного (НОК). Но все же стоит ещё раз заметить — применение алгоритма Евклида ни в коей мере не может считаться ошибочным.

Видео

С помощью видео вы сможете узнать, как найти наибольший общий делитель.

Эта статья посвящена такому вопросу, как нахождение наибольшего общего делителя. Сначала мы объясним, что это такое, и приведем несколько примеров, введем определения наибольшего общего делителя 2, 3 и более чисел, после чего остановимся на общих свойствах данного понятия и докажем их.

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел -12 и 9, поскольку верны равенства 9=3·3 и −12=3·(−4). У чисел 3 и -12 есть и другие общие делители, такие, как 1, −1 и −3. Возьмем другой пример. У четырех целых чисел 3, −11, −8 и 19 будет два общих делителя: 1 и -1.

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель b, то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на -b.  В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше 0. Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Согласно свойствам делимости, если b является делителем целого числа a, которое не равно 0, то модуль числа b не может быть больше, чем модуль a, следовательно, любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей. Значит, число общих делителей нескольких целых чисел, хотя бы одно из которых отличается от нуля, также будет конечным, и из всего их множества мы всегда можем выделить самое большое число (ранее мы уже говорили о понятии наибольшего и наименьшего целого числа, советуем вам повторить данный материал).

В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что хотя бы одно из множества чисел, для которых нужно найти наибольший общий делитель, будет отлично от 0. Если они все равны 0, то их делителем может быть любое целое число, а поскольку их бесконечно много, выбрать наибольшее мы не сможем. Иначе говоря, найти наибольший общий делитель для множества чисел, равных 0, нельзя.

Переходим к формулировке основного определения.

Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.

На письме наибольший общий делитель чаще всего обозначается аббревиатурой НОД. Для двух чисел его можно записать как НОД (a, b).

Какой можно привести пример НОД для двух целых чисел? Например, для 6 и -15 это будет 3. Обоснуем это. Сначала запишем все делители шести: ±6, ±3, ±1, а потом все делители пятнадцати: ±15, ±5, ±3 и ±1. После этого мы выбираем общие: это −3, −1, 1 и 3. Из них надо выбрать самое большое число. Это и будет 3.

Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Для чисел a1, a2, …, an делитель удобно обозначать как НОД (a1, a2, …, an). Само значение делителя записывается как НОД (a1, a2, …, an) =b.

Приведем примеры наибольшего общего делителя нескольких целых чисел: 12, -8, 52, 16. Он будет равен четырем, значит, мы можем записать, что НОД (12, -8, 52, 16) =4.

Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.

На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).

Так, наибольший общий делитель чисел 60, 15 и -45 равен 15, поскольку пятнадцать делится не только на 60 и -45, но и на само себя, и большего делителя для всех этих чисел не существует.

Особый случай составляют взаимно простые числа. Они представляют собой целые числа с наибольшим общим делителем, равным 1.

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.

Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.

Числа a и b имеют наибольший общий делитель, равный НОД для b и a, то есть НОД (a, b)=НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.

Если число a можно разделить на число b, то множество общих делителей этих двух чисел будет аналогично множеству делителей числа b, то есть НОД (a, b)=b.

Докажем это утверждение.

Если у чисел a и b есть общие делители, то на них можно разделить любое из них. В то же время если a будет кратным b, то любой делитель b будет делителем и для a, поскольку у делимости есть такое свойство, как транзитивность. Значит, любой делитель b будет общим для чисел a и b. Это доказывает, что если мы можем разделить a на b, то множество всех делителей обоих чисел совпадет с множеством делителей одного числа b. А поскольку наибольший делитель любого числа есть само это число, то наибольший общий делитель чисел a и b будет также равен b, т.е. НОД (a, b)=b. Если a=b, то НОД (a, b)=НОД (a, a)=НОД (b, b) =a=b, например, НОД (132, 132) =132.

Используя это свойство, мы можем найти наибольший общий делитель двух чисел, если одно из них можно разделить на другое. Такой делитель равен одному из этих двух чисел, на которое можно разделить второе число. К примеру, НОД (8, 24) =8, так как 24 есть число, кратное восьми.

Если верно равенство a=b·q+c (здесь все переменные являются целыми числами), то все общие делители двух чисел a и b будут такими же, как и у чисел b и c, то есть НОД (a, b)=НОД (b, c).

Попробуем доказать данное свойство. У нас изначально есть равенство a=b·q+c, и любой общий делитель a и b будет делить и c, что объясняется соответствующим свойством делимости. Поэтому любой общий делитель b и c будет делить a. Значит, множество общих делителей a и b совпадет с множеством делителей b и c, в том числе и наибольшие из них, значит, равенство НОД (a, b)=НОД (b, c) справедливо.

Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.

Перед тем, как сформулировать свойство, советуем вам повторить теорему, которую мы доказывали в статье о делении с остатком. Согласно ей, делимое число a можно представить в виде b·q+r, причем b здесь является делителем, q – некоторым целым числом (его также называют неполным частным), а r – остатком, который удовлетворяет условию 0≤r≤b.

Допустим, у нас есть два целых числа больше 0, для которых будут справедливы следующие равенства:

a=b·q1+r1, 0<r1<bb=r1·q2+r2, 0<r2<r1r1=r2·q3+r3, 0<r3<r2r2=r3·q4+r4, 0<r4<r3⋮rk-2=rk-1·qk+rk, 0<rk<rk-1rk-1=rk·qk+1

Эти равенства заканчиваются тогда, когда rk+1 становится равен 0. Это случится обязательно, поскольку последовательность b> r1> r2> r3, … представляет собой ряд убывающих целых чисел, который может включать в себя только конечное их количество. Значит, rk является наибольшим общим делителем a и b, то есть, rk=НОД (a, b).

В первую очередь нам надо доказать, что rk – это общий делитель чисел a и b, а после этого – то, что rk является не просто делителем, а именно наибольшим общим делителем двух данных чисел.

Просмотрим список равенств, приведенный выше, снизу вверх. Согласно последнему равенству,
rk−1 можно разделить на rk. Исходя из этого факта, а также предыдущего доказанного свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что rk−2 можно разделить на rk, так как
rk−1 делится на rk и rk делится на rk.

Третье снизу равенство позволяет нам сделать вывод, что rk−3 можно разделить на rk, и т.д. Второе снизу – что b делится на rk, а первое – что a делится на rk. Из всего этого заключаем, что rk – общий делитель a и b.

Теперь докажем, что rk=НОД (a, b). Что для этого нужно сделать? Показать, что любой общий делитель a и b будет делить rk. Обозначим его r0_.

Просмотрим тот же список равенств, но уже сверху вниз. Исходя из предыдущего свойства, можно заключить, что r1 делится на r0, значит, согласно второму равенству r2 делится на r0. Идем по всем равенствам вниз и из последнего делаем вывод, что rk делится на r0. Следовательно, rk=НОД (a, b).

Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.

Перейдем к другим свойствам.

Если a и b являются целыми числами, не равными 0, то должны существовать два других целых числа u0 и v0, при которых будет справедливым равенство НОД (a, b) =a·u0+b·v0.

Равенство, приведенное в формулировке свойства, является линейным представлением наибольшего общего делителя a и b. Оно носит название соотношения Безу, а числа u0 и v0 называются коэффициентами Безу.

НОД (m·a, m·b) =m·НОД(a, b) при любом натуральном значении m.

Обосновать это свойство можно так. Умножим на число m обе стороны каждого равенства в алгоритме Евклида и получим, что НОД (m·a, m·b) =m·rk, а rk – это НОД (a, b). Значит, НОД (m·a, m·b) =m·НОД(a, b). Именно это свойство наибольшего общего делителя используется при нахождении НОД методом разложения на простые множители.

Если у чисел a и b есть общий делитель p, то НОД (a:p, b:p)=НОД(a, b):p. В случае, когда p=НОД (a, b) получим НОД (a:НОД(a, b), b:НОД (a, b)=1, следовательно, числа a:НОД(a, b) и b:НОД (a, b) являются взаимно простыми.

Поскольку a=p·(a:p) и b=p·(b:p), то, основываясь на предыдущем свойстве, можно создать равенства вида НОД(a, b)=НОД(p·(a:p), p·(b:p))=p·НОД(a:p, b:p), среди которых и будет доказательство данного свойства. Это утверждение мы используем, когда приводим обыкновенные дроби к несократимому виду.

Наибольшим общим делителем a1, a2, …, ak будет число dk, которое можно найти, последовательно вычисляя НОД (a1, a2)=d2, НОД (d2, a3) =d3, НОД (d3, a4) =d4, …, НОД (dk-1, ak) =dk.

Это свойство полезно при нахождении наибольшего общего делителя трех и более чисел. С помощью него можно свести это действие к операциям с двумя числами. Его основой является следствие из алгоритма Евклида: если множество общих делителей a1, a2 и a3 совпадает с множеством d2 и a3, то оно совпадет и с делителями d3. Делители чисел a1, a2, a3 и a4 совпадут с делителями d3, значит, они совпадут и с делителями d4, и т.д. В конце мы получим, что общие делители чисел a1, a2, …, ak совпадут с делителями dk, а поскольку наибольшим делителем числа dk будет само это число, то НОД (a1, a2, …, ak) =dk.

Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.