Метод основывается на формуле сокращённого умножения, которую изучают ещё в 7 классе:
Когда нам попадается такое выражение, что мы можем воспользоваться этой формулой, мы встречаем то, что называется полный квадрат. Например:
Однако так везёт не всегда. К примеру, следующее выражение, как видно после простого преобразования, состоит из полного квадрата и ещё некоторой «добавки»:
Вот такое преобразование, когда мы преобразуем выражение в полный квадрат + ещё что-то, и называется выделением полного квадрата. Сейчас разберёмся, всегда ли можно такое провернуть, и зачем это всё-таки нужно.
1. Произвольный квадратный трёхчлен
Можно заметить, что выше мы рассматривали только выражения, которые являются квадратными трёхчленами. Хочется задаться вопросом: если нам дали какой-то произвольный квадратный трёхчлен, можно ли в нём выделить полный квадрат? Ответ: да! И для этого есть общий метод, который мы сейчас разберём на примере написанного «от балды» квадратного трёхчлена.
- Берём наш трёхчлен и выносим старший коэффициент за скобку из всех выражений с x, чтобы x² оказался с коэффициентом 1:
- Выражение с x надо представить в виде 2·x·число:
- А потом нужно (фокус-покус!) добавить число², и его же вычесть — тем самым, в сумме мы ничего не изменим:
- Но зато то, что выделено жёлтым, это теперь полный квадрат! И мы можем преобразовать выражение вот так:
- Наконец, осталось только раскрыть скобки, и мы получим итоговое выражение с выделенным полным квадратом:
2. Корни квадратного трёхчлена
Что нам это дало? Мы теперь очень много можем сказать про изначальное выражение. Например, если мы хотим найти его корни, то это очень просто сделать:
Если проделать это с произвольным квадратным трёхчленом, то получится как раз всем известная формула корней через дискриминант!
3. Минимум и максимум
Преобразование
позволяет изучить квадратный трёхчлен на минимум и максимум. Слева совершенно непонятно, какое наименьшее значение он может принимать. Однако в форме как справа всё совершенно очевидно: квадрат — всегда число неотрицательное! А значит, минимальное значение, которое трёхчлен может принять, есть
Более того, понятно, при каком значении x оно достигается: надо, чтобы квадрат был нулём, то есть
4. Наконец, задачка из ЕГЭ😋
Задание 11. Найдите наименьшее значение функции
В первую очередь, заметим, что если a больше b, то и 7^a больше 7^b. Поэтому для того, чтобы найти наименьшее значение всей функции достаточно найти наименьшее значение квадратного трёхчлена, стоящего в степени, и потом возвести 7 в соответствующую степень. Попробуем:
Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно 2 и достигается при значении x равном 1. Значит, ответ: 7²=49.
|
забыли пароль? Помощь сайту |
Вопросы »Алгебра 7-9 классы + ГИА » найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена создана: 29.09.2019 в 20:35
ola-la : 1) -x²+4x+2= 2) -3x²+6x+2= 3) x² — 2x + 4 = 4) 2x² + 8x — 1 =
Хочу написать ответ |
§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Описание метода выделения полного квадрата
Выражения вида 2×2+3x+5, `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида ax2+bx+c, где a,b,ca, b, c – произвольные числа, причём a≠0.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-4x+5. Запишем его в таком виде: x2-2·2·x+5.Прибавим к этому выражению 22 и вычтем 22, получаем: x2-2·2·x+22-22+5. Заметим, что x2-2·2·x+22=(x-2)2, поэтому
x2-4x+5=(x-2)2-4+5=(x-2)2+1.
Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».
Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9×2+3x+1.
Заметим, что 9×2=(3x)2, `3x=2*1/2*3x`. Тогда
`9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`.
Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Разложите на множители квадратный трёхчлен 4×2-12x+5.
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:
2×2-2·2x·3+32-32+5=2x-32-4=(2x-3)2-22.
Теперь применяем формулу a2-b2=(a-b)(a+b), получаем:
(2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).
Разложите на множители квадратный трёхчлен -9×2+12x+5.
-9×2+12x+5=-9×2-12x+5. Теперь замечаем, что 9×2=3×2, -12x=-2·3x·2.
Прибавляем к выражению 9×2-12x слагаемое 22, получаем:
-3×2-2·3x·2+22-22+5=-3x-22-4+5=-3x-22+4+5==-3x-22+9=32-3x-22.
Применяем формулу для разности квадратов, имеем:
-9×2+12x+5=3-3x-23+(3x-2)=(5-3x)(3x+1).
Разложите на множители квадратный трёхчлен 3×2-14x-5.
Мы не можем представить выражение 3×2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-x+3. Выделяем полный квадрат:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.
Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена -16×2+8x+6.
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: -16×2+8x+6=-4×2-2·4x·1+1-1+6=-4x-12-1+6==-4x-12+7.
При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7, а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7. Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.
Заметим, что знаменатель дроби x2-6x+9=x-32. Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.
x2+2x-15=x2+2·x·1+1-1-15=x+12-16=x+12-42==(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3).
Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x-3) получаем `(x+5)/(x-3)`.
Разложите многочлен x4-13×2+36 на множители.
Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.
`x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`
`=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
`=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`
`=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.
Разложите на множители многочлен 4×2+4xy-3y2.
Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:
(2x)2+2·2x·y+y2-y2-3y2=(2x+y)2-2y2==(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).
Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`.
`8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`
`=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`
`=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`
`=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.
Преобразуем знаменатель дроби:
`2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`
`=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`
`=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.
Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.
Давай повторим определения, которые ты уже знаешь и которые мы будем использовать на нашем уроке.
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b, c – любые действительные числа, причем a ≠ 0.
Если есть квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, где a, b, c – любые действительные числа, причем a ≠ 0. То выражение b2 — 4ac, называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.
Формула корней квадратного уравнения.
Теперь выбери соответствия между картинками и определениями, которые мы только что повторили.
Прежде чем мы начнем основную часть урока, перечислю для тебя определения, с которыми мы познакомимся сегодня:
1. Квадратичная функция;
2. Наибольшее и наименьшее значения;
3. Наибольшее и наименьшее значение, принадлежащие некоторому отрезку.
ГЛАВА 9
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Наибольшие и наименьшие значения
Для того чтобы найти наименьшее значение квадратного трехчлена
у = ax2 + bx + c (1)
в случае а > 0, представляют трехчлен в виде
(2)
Так как первое слагаемое в правой части неотрицательно при любом х, а второе от х вообще не зависит, то трехчлен принимает наименьшее значение при условии, что первое слагаемое равно нулю. Таким образом, наименьшее значение трехчлена равно
(3)
Оно достигается при
x0 = — b/2a (4)
Аналогично исследуется вопрос о наибольшем значении трехчлена в случае а < 0.
*********************
930. Две прямые железные дороги АА’ и ВВ’ перпендикулярны друг к другу и пересекаются в пункте С, причем расстояния АС и ВС равны соответственно а и b. Из пунктов А к В по направлению к С одновременно выходят два поезда со скоростями соответственно v1 и v2 . Через сколько времени после отправления расстояние между поездами будет наименьшим? Чему равно это наименьшее расстояние? Решение
931. Пункты А и В расположены на прямолинейной магистрали, идущей с запада на восток. Пункт В находится восточнее A на 9 км. Из пункта А на восток выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/час. Одновременно из В в том же направлении с постоянным ускорением 32 км/час2 выходит мотоцикл. Определить наибольшее расстояние между автомашиной и мотоциклом в течении первых двух часов движения.
Указание. Полезно начертить график зависимости от времени расстояния между автомашиной и мотоциклом. Решение
932. Найти наибольшее значение выражения
log24 x + 12 log22 x • log2 8/x,
полагая, что х изменяется между 1 и 64. Решение
933. Найти наибольшее значение функции
Решение
934. Найти наименьшее значение выражения
при х > 0. Решение
935. Найти наименьшее значение функции
φ(x) = | x — а | + |x— b |+ | x— с| + | x — d |,
где a < b < с < d — фиксированные вещественные числа, а х принимает произвольные вещественные значения.
Указание. Рассуждения удобно проводить, отметив числа а, b, с и d на числовой оси.
Решение