Как найти наибольшее произведение дробей - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Умножение смешанных дробей

Чтобы умножить смешанные дроби, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем умножить их числители, а затем их знаменатели.

Пример Умножить смешанные дроби

Сократим дробь с помощью нахождения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя и деления полученного числа на числитель и знаменатель, НОД(418,28)=2.

Пример Умножить смешанное число на дробь

В результате умножения получили смешанную дробь.

Примеры умножения нескольких дробей

Пример Умножить 3 дроби

Пример Найти произведение дробей

Первая дробь во 2 степени, вторая дробь в 3 степени, чтобы найти произведение дробей, возведем первую дробь в квадрат, потом возведем вторую дробь в куб и перемножим дроби между собой.

Сократим дробь с помощью нахождения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя и деления полученного числа на числитель и знаменатель, НОД(432,3136)=16.

Источник

Перед тем как перейти к умножению дробей, вспомним теоретические основы. Итак, дробь — это форма записи числа:

где a — числитель, b — знаменатель.

Дробь называется правильной — если числитель меньше знаменателя (к примеру, 4/5), неправильной — если числитель больше знаменателя (например, 8/7).

Как умножать обыкновенные дроби?

Умножение дробей — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число, содержащее произведение заданных чисел. Разберем на конкретных примерах: как находить произведение дробей, как натуральное число умножить на дробь, познакомимся с умножением смешанных дробей.

Многие по аналогии со сложением и вычитанием, считают, что существует какая-то разница между умножением дробей в зависимости от их знаменателей. На самом деле её нет. Сейчас на примерах мы в этом убедимся.

Как умножать дроби с одинаковым знаменателем?

Умножение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к умножению и числителей и знаменателей и в общем виде выглядит следующим образом:

Пример 1:

2 5

3 5

Решение:

2 5

3 5

2 ∙ 3 5 ∙ 5

6 25

Как умножать дроби с разными знаменателями?

Умножение дробей с разными знаменателями заключается в умножении и числителей и знаменателей. В общем виде выглядит следующим образом:

Пример 2:

5 6

4 5

Решение:

5 6

4 5

5 ∙ 4 6 ∙ 5

20 30

2 3

Как вы могли заметить, разницы между умножением дробей с разными и одинаковыми знаменателями — нет, а сам алгоритм сводится к умножению обоих компонентов.

Как умножить дробь на целое число?

Чтобы умножить дробь на число необходимо числитель умножить число, а знаменатель оставить без изменения. Т.е.:

Пример 3:

5 ×

3 4

Решение:

3 4

5 ∙ 3 4

15 4

3 4

Таким образом, умножение дроби на целое число, сводится к умножению числителей.

Как умножать смешанные дроби?

Умножение смешанных дробей сводится к переводу их к неправильному виду и дальнейшим действиям согласно вышеописанным алгоритмам. Перевод смешанного числа в неправильную дробь, в общем виде, выглядит следующим образом:

Пример 4:

3 5

6 4

Решение:

3 5

6 4

6 ∙ 5 + 3 5

6 4

33 5

6 4

33 ∙ 6 5 ∙ 4

198 20

99 10

9 10

Правила умножения дробей

Резюмируя вышесказанное, выведем общий алгоритм умножения дробей:

Если дробь смешанная — приводим её к неправильному виду;
Неважно одинаковые или разные знаменатели у дробей — перемножаем и числители и знаменатели;
При необходимости сокращаем и приводим к неправильному виду.

Смотрите также:

Смотрите также
Калькуляторы
Последние примеры

Калькулятор умножения дробей

Оцените материал:

Загрузка…

Источник

Если вы забыли, как умножать дробные числа с разными знаменателями, какие бывают дроби, то прочитайте статью. Вы вспомните правила умножения дробей и некоторые их свойства, которые учили еще в школе.

Содержание

Умножение дробей с разными знаменателями: виды дробей
Умножение дробей с разными знаменателями — 5 класс
Умножение дробей с разными знаменателями 6 класс — примеры
Видео: Умножение обычных дробей с разными знаменателями

Дробями называют части целого числа. Они состоят из долей единицы. С дробями можно выполнять разные действия: делить, умножать, прибавлять, вычитать. Дальше рассмотрим умножение дробей с разными знаменателями. Узнаем, как умножать между собой простые дроби правильные, неправильные, смешанные, как найти произведение двух, трех и более дробей.

Умножение дробей с разными знаменателями: виды дробей

Правило умножения дробей с разными знаменателями и одинаковыми — ничем не разнятся. Числители и знаменатели дробных чисел перемножаются отдельно друг от друга. Когда необходимо найти произведение смешанных дробных чисел, следует их вначале перевести в неправильные, а потом уже выполнять действия с ними. Дальше подробней о том, какие бывают дробные числа.

Существует несколько типов дробных чисел с разными знаменателями:

Правильные — это те дробные числа, у которых числитель меньше знаменателя.
Неправильные — те, у которых знаменатель меньше числителя или же равен ему.
Смешанные — те числа, у которых имеется целое число.

Примеры:

Правильные дроби: 2/3, 3/5, 9/8, 11/12, 23/30, 123/145.

Как делать умножение дробей?

Неправильные дроби: 12/5, 11/3, 5/5, 34/11, 122/7, 151/76.

Смешанные дроби: это те же неправильные дробные числа с выделенным целым числом: 5/5 = 1, 12/5 = 2 2/5; 57/9 = 6 3/9 = 6 1/3.

Умножение дробей с разными знаменателями — 5 класс

Уже с пятого класса в школе изучают умножение дробей. Важно в этом возрасте не упустить возможность разобраться с этой темой, потому что в жизни такие знания могут пригодиться в реальности. Все начинается с рассматривания долей. Предметы часто делят на равные части, именно их и называют долями. Ведь на практике не всегда допустимо выражать размеры предметов, длину или объем целым числом.

Умножение дробей

Наука о дробях впервые возникла в Арабских Эмиратах. В России начали изучать дроби в восьмом веке. Раньше математики считали, что раздел: Дроби — самая сложная тематика. После появления первых книг по арифметике в 17 веке, дробные числа называли — ломаными.

Ученикам сложно было понять раздел дробных чисел, а действия с дробями продолжительное время считали самой непростой темой арифметики. Великие ученые-математики писали статьи, чтобы, как можно проще, описать действия с дробями. Ниже читайте правило умножения дробей с разными знаменателями и смотрите примеры действий с ними:

Правило умножения дробей

Правило умножения: Для умножения дробей с разными знаменателями понадобится вначале перемножить числители дробей, а потом знаменатели. Иногда требуется сократить дробное число для того, чтобы было удобно производить дальнейшие вычисления с ним. Наглядно пример умножения выглядит следующим образом: b/с • d/m = (b•d)/(c•m).

Сокращение дробей — означает деление и числителя, и знаменателя на общее кратное число, если оно есть. Перед началом деления проверьте, можно ли так сократить дроби, чтобы облегчить умножение. Ведь намного удобней перемножать однозначные или двузначные числа, чем громоздкие трехзначные и т.п. Ниже представлены примеры сокращения дробей, которые изучают в пятом классе.

Пример сокращения дробей

Интересный факт: Дроби и сейчас остаются сложными для понимания людям с не математическим складом ума, которые склонны к гуманитарным наукам. Немцы на этот счет придумали свою поговорку: попал в дроби. Она означает, что человек попал в затруднительное положение.

Сокращение дробного числа происходит благодаря свойству этой дроби.

После того, как дробное число сократили можно выполнять умножение дробей. Интересно то, что в отличие от сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробных чисел проводится одинаково хоть с одинаковыми знаменателями, хоть с разными. Дробные выражения необязательно приводить к общему знаменателю, а достаточно просто перемножить верхние и нижние значения и все.

Умножение дробей с разными знаменателями 6 класс — примеры

Достаточно подробно изучаются новые темы по умножению дробей с разными знаменателями в шестом классе. Дети уже готовы научиться проводить такие действия с дробными числами. Тем более, что сокращать их они уже научились в пятом классе.

Пример решения задания с дробями

Пример: умножение дробей с разными знаменателями.

Следует умножить 3/27 на 5/15. Для решения понадобится вначале провести сокращение представленных дробных чисел.
На выходе получится: 3/27 = 1/9 (верхнюю и нижнюю части дроби разделили на три), вторую дробь делим на: 5, получится: 5/15 = 1/3.
Далее перемножаем дроби: 1/9 • 1/3 = 1/27.

Результат: 1/27.

ВАЖНО: В том случае, если у дробных чисел имеется минус перед скобками, то готовое произведение будет иметь такой же знак, как и при умножении обычных чисел. Точнее, если минусов нечетное количество в выражении, то и дробное произведение будет иметь знак минус.

Умножение нескольких дробей с разными знаменателями:

Перемножить три, четыре и т.д. дроби — не составит труда, если знать все правила, описанные выше. Еще для удобства счета разрешается перемещать числовые значения отдельно в числителе, и отдельно в знаменателе. Полученные числовые значения при этом в произведении не изменятся. Если вам удобно, можете ставить скобки — это может облегчить значительно счет.

Чтобы не ошибаться при расчетах, выполняйте следующие правила:

Распишите числа в числителе отдельно, а в знаменателе отдельно. Посмотрите, что получится, может дробь можно сократить.
Если числа большие можете их разбить на множители, так легче проводить сокращение дроби.
Когда проведете процесс сокращения, выполняйте умножение дробей вначале в числителе, а потом в знаменателе.
Неправильную дробь, полученную в результате, преобразите в смешанную, выделив целое число впереди дроби.

Примеры:

4/9 • 14/28 • 1/3 = (4•14•1)/(9•28•3) = (2•1•1)/(9•1•3) = 2/27;
25/3 • 21/5 • 4/3 = (25•21•4)/(3•5•3) = (5•7•4)/(1•1•3) = 140/3 = 46 2/3.

Пояснение к записям: нам дано три дроби с разными знаменателями, чтобы их перемножить, вначале распишите для удобства под общей чертой, все значения числителей в виде произведения множителей, а под чертой все числовые значения знаменателей, если есть общие множители сократите дроби. Например, в первом примере были сокращены дроби на 14 и 2. Точнее и числитель, и знаменатель дроби разделили на эти общие кратные. В результате вышло дробное произведение 2/27.

Второе выражение было сокращено на 5 и 3, в результате получилась неправильная дробь, которую записали в виде смешанной дроби: 46 2/3

Умножение смешанных дробей с разными знаменателями:

Как умножать смешанные дроби?

Как видите, вначале дробь переводят в неправильную, после сокращают ее и перемножают числители, знаменатели: 3/1 • 16/7 = 48/7. Теперь остается выделить целое число 6 6/7 — это и есть результат.

Видео: Умножение обычных дробей с разными знаменателями

Источник

ВИДЕО УРОК

Здесь многое придётся делать по–новому, потому что действие умножение дробей во многом отличается от умножения над натуральными числами.

Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь.

ПРИМЕР:

Найти значение выражения:

Получили ответ.
Сокращаем данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное
решение примет следующий вид:

Это действие можно
понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть а пиццы:

Как взять от этой половины две третьих ?

Сначала нужно поделить эту половину на три
равные части:

И взять от этих трёх
кусочков два:

У нас получится одна
треть всей пиццы. Вспомните как выглядит пицца, разделённая на три части:

Один кусок от этой пиццы
и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь
идёт об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно:

Произведением дробей называют такую дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе – знаменателем произведения.

При умножении следует делать (если возможно) сокращение.

ПРИМЕР:

Приведём пример, иллюстрирующий правило умножения обыкновенных дробей.

ПРИМЕР:

Рассмотрим квадрат со стороной 1 ед., при этом его площадь равна 1 ед².

Разделим этот квадрат на равные прямоугольники со сторонами ¹/₄ ед. и ¹/₈ ед., при этом исходный квадрат будет состоять из

4 ∙ 8 = 32

прямоугольников. Следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет ¹/₃₂ долю площади исходного квадрата, то есть она равна ¹/₃₂ ед². Теперь закрасим часть исходного квадрата.

Стороны закрашенного прямоугольника равны ⁵/₈ ед. и ³/₄ ед., значит, его площадь равна произведению дробей ⁵/₈ и ³/₄, то есть,

Но закрашенный прямоугольник состоит из 15 маленьких прямоугольников, значит его площадь равна ¹⁵/₃₂ ед². Следовательно,

Так как

5 ∙ 3 = 15

8 ∙ 4 = 32,

то последнее равенство можно переписать как

что подтверждает формулу умножения обыкновенных дробей.

С помощь этого правила умножения можно умножать и правильные и неправильные дроби, и дроби с одинаковыми знаменателями, и дроби с разными знаменателями.

ПРИМЕР:

Выполните умножение обыкновенной дроби ⁷/₁₁ на обыкновенную дробь ⁹/₈.

РЕШЕНИЕ:

Произведение числителей умножаемых дробей 7 и 9 равно 63, а произведение знаменателей 11 и 8 равно 88. Таким образом, умножение обыкновенных дробей ⁷/₁₁ и ⁹/₈ даёт дробь ⁶³/₈₈.

Краткая запись решения:

ОТВЕТ: ⁶³/₈₈

Помните про сокращение полученной дроби, если в результате умножения получается сократимая дробь, и при выделении целой части из неправильной дроби.

ПРИМЕР:

Выполните умножение обыкновенной дроби ⁴/₁₅ на обыкновенную дробь ⁵⁵/₆.

РЕШЕНИЕ:

Применим правило умножения обыкновенных дробей:

Очевидно, что полученная дробь сократима. Выполним сокращение дроби.

НОД (220; 90) = 10.

Осталось выделить целую часть из полученной неправильной дроби:

Краткая запись решения:

ОТВЕТ: 2⁴/₉

Сокращение дроби можно проводить до вычисления произведений числителей и произведений знаменателей умножаемых дробей, то есть когда дробь имеет вид

Для этого числа

a, b, c, d

заменяют их разложениями на простые множители, после чего сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.

Решим предыдущий пример другим способом.

ПРИМЕР:

Выполните умножение обыкновенной дроби ⁴/₁₅ на обыкновенную дробь ⁵⁵/₆.

РЕШЕНИЕ:

Применим правило умножения обыкновенных дробей:

Так как

4 = 2 ∙ 2,

55 = 11 ∙ 5,

15 = 5 ∙ 3,

6 = 2 ∙ 3, то

Теперь сокращаем общие простые множители:

Вычислим произведения в числителе и знаменателе дроби, после чего выделим целую часть из неправильной дроби.

Краткая запись решения:

ОТВЕТ: 2⁴/₉

Для умножения дробей характерно переместительное свойство, то есть умножаемые дроби можно менять местами:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число.

Смысл умножения обыкновенной дроби на натуральное число выясняется из следующего определения: умножить обыкновенную дробь (множимое) на натуральное число (множитель) – значит найти эту дробь множимого.

Чтобы умножить натуральное число на дробь, надо умножить натуральное число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.

С помощью букв правило умножение дроби ^a/_b на натуральное число n имеет вид:

Эта формула следует из формулы умножения двух обыкновенных дробей:

Представив натуральное число как дробь со знаменателем 1, получим:

Если учесть, что целое число представляет собой дробь со знаменателем 1, то умножение дроби на целое число и целого числа на дробь можно выполнить по этому же правилу.

ПРИМЕР:

Выполните умножение дроби ²/₂₇ на 5.

РЕШЕНИЕ:

Умножение числителя 2 на число 5 даёт 10, поэтому в силу правила умножения дроби на натуральное число, произведение ²/₂₇ на 5 равно дроби ¹⁰/₂₇.

ОТВЕТ: ¹⁰/₂₇

При умножении дроби на натуральное число полученную дробь часто приходится сокращать, а если она ещё и неправильная, то представить её в виде смешанной дроби.

ПРИМЕР:

Выполните умножение дроби ⁵/₁₂ на 8.

РЕШЕНИЕ:

По формуле умножения дроби на натуральное число имеем:

Полученная дробь сократима. Выполним сокращение дроби. Так как

НОК (40; 12) = 4, то

Осталось выделить целую часть:

Краткое решение примера:

Сокращение можно было провести, заменив числа в числителе и знаменателе их разложением на простые множители. В этом случае решение выглядело бы так:

ОТВЕТ: 3¹/₃

Умножение дроби на натуральное число обладает переместительным свойством, то есть произведение дроби на натуральное число, равно произведению этого натурального числа на дробь.

Умножение смешанных чисел.

Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножить по правилу умножения дроби на дробь.

ПРИМЕР:

Если же перемножают смешанное число на целое, то проще множить отдельно целую и дробную части.

ПРИМЕР:

Законы и правила умножения натуральных чисел справедливы и для дробей. Их использование упрощает устные и письменные вычисления.

Произведение дробных чисел подчиняется переместительному, сочетательному и распределительному закону.

Если один из сомножителей – целое число, то умножение может быть выполнено на основании распределительного закона.

ПРИМЕР:

4²/₅ ∙ 3 = (4 + ²/₅) ∙ 3

= 4 ∙ 3 + ²/₅∙ 3

= 12 + ⁶/₅ = 13¹/₅.

ПРИМЕР:

9⁷/₈ ∙ 8 = 9 ∙ 8 + ⁷/₈ ∙ 8

= 72 + 7 = 79.

Если один из двух сомножителей увеличим в несколько раз, а другой оставим без изменения, то произведение увеличится во столько же раз.

Если один из сомножителей уменьшим в несколько раз, а другой оставим без изменения, то произведение уменьшится во столько же раз.

Умножение трёх и большего количества дробей.

Свойства умножения натуральных чисел распространяются и на умножение дробей.

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют однозначно определить умножение трёх и большего количества дробей. При этом всё происходит по аналогии с умножением трёх и большего количества натуральных чисел. В частности, дроби и натуральные числа в произведении можно для удобства вычисления переставлять местами, а при отсутствии скобок, указывающих порядок выполнения действий, можно самим расставить скобки любым из доступных способов.

ПРИМЕР:

³/₄ ∙ (7⁹/₃₁ ∙ 1¹/₃) =

(³/₄ ∙ ⁴/₃) ∙ 7⁹/₃₁ =

1 ∙ 7⁹/₃₁ = 7⁹/₃₁.

ПРИМЕР:

(12²/₅ ∙ 43⁵/₁₇) ∙ ⁵/₃₁ =

(12²/₅ ∙ ⁵/₃₁) ∙ 43⁵/₁₇

= 2 ∙ 43⁵/₁₇ = 86¹⁰/₁₇.

ПРИМЕР:

Выполните умножение четырёх обыкновенных дробей:

¹/₂₀, ¹²/₅, ³/₇, ⁵/₈.

РЕШЕНИЕ:

Запишем произведение, которое нам нужно вычислить:

В силу правила умножения дробей записанное произведение равно дроби, числитель которой равен произведению числителей всех дробей, а знаменатель – произведению знаменателей.

Прежде чем вычислить произведения в числителе и знаменателе, целесообразно заменить все множители их разложениями на простые множители и провести сокращение:

ОТВЕТ: ⁹/₂₈₀

ПРИМЕР:

Выполните умножение пяти чисел:

РЕШЕНИЕ:

В этом произведении удобно сгруппировать дробь ⁷/₈ с числом 8, а число 12 с дробью ⁵/₃₆, это позволит упростить вычисления, так как при такой группировке очевидно сокращение. Имеем

ОТВЕТ: 116 ²/₃

Источник

Содержание:

Умножение дроби на число
Умножение дробей
Умножение смешанных дробей

Умножение дроби на число

Умножение дроби $frac{a}{b}$ на число
$n$ равносильно сложению одинаковых слагаемых:

Итак, можно сделать вывод, что чтобы умножить дробь на число, надо числитель этой
дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Пример

Задание. Найти произведение
$frac{1}{3} cdot 4$

Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу

$frac{1}{3} cdot 4=frac{1 cdot 4}{3}=frac{4}{3}=1 frac{1}{3}$

Ответ. $frac{1}{3} cdot 4=1 frac{1}{3}$

Аналогично выполняется умножения числа на дробь.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти произведение
3$cdot frac{1}{4}$

Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу

$3 cdot frac{1}{4}=frac{3 cdot 1}{4}=frac{3}{4}$

Ответ. $3 cdot frac{1}{4}=frac{3}{4}$

Умножение дробей

Определение

Произведением дробей называется такая дробь, числитель которой равен произведению числителей
исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей:

$frac{a}{b} cdot frac{c}{d}=frac{a cdot c}{b cdot d}$

Таким образом, чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй и результат
записать в числитель; а также перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель.

Замечание. При выполнении умножения по возможности следует сокращать. Сокращать можно только
числа стоящие в числителе с числами, стоящими в знаменателе. Числитель с числителем и знаменатель со знаменателем сокращать нельзя.

Пример

Задание. Найти произведение дробей
$frac{1}{3}$ и
$frac{4}{5}$

Решение. Выполним умножение дробей по описанному выше правилу

$frac{1}{3} cdot frac{4}{5}=frac{1 cdot 4}{3 cdot 5}=frac{4}{15}$

Ответ. $frac{1}{3} cdot frac{4}{5}=frac{4}{15}$

Пример

Задание. Умножить
$frac{13}{14}$ на
$frac{14}{39}$

Решение. Необходимо найти произведение
$frac{13}{14} cdot frac{14}{39}$ . Как видим, числа 13 и 39 можно сократить на
общее число 13. Для этого сами указанные величины зачеркиваем, а над ними пишем число, которое получается после деления.
Аналогично поступает со знаменателем первой дроби и числителем второй:

Ответ. $frac{13}{14} cdot frac{14}{39}=frac{1}{3}$

Умножение смешанных дробей

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно представить их в виде
неправильных дробей, а затем уже выполнить умножение как
обыкновенных дробей.

Пример

Задание. Найти произведение дробей
3$frac{1}{3} cdot 4 frac{2}{5}$

Решение. Выполним умножение смешанных дробей по описанному выше правилу

$3 frac{1}{3} cdot 4 frac{2}{5}=frac{3 cdot 3+1}{3} cdot frac{4 cdot 5+2}{5}=frac{10}{3} cdot frac{22}{5}=$

Ответ. $3 frac{1}{3} cdot 4 frac{2}{5}=14 frac{2}{3}$

Для умножения смешанной дроби на целое число поступают либо аналогично и далее умножают дробь на число,
либо на целое число отдельно умножают целую часть, и отдельно дробную часть смешанного числа.

Пример

Задание. Умножить смешанную дробь
3$frac{3}{4}$ на
2

Решение. Выполним умножение смешанной дроби на число по описанному выше правилу

Либо

$=(6+1)+frac{1}{2}=7+frac{1}{2}=7 frac{1}{2}$

Ответ. $3 frac{3}{4} cdot 2=7 frac{1}{2}$

Читать следующую тему: деление дробей.

Источник