Как найти наибольшее значение первообразной функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Источник

Наибольшим значением
функции на отрезке называется самое
большое из всех ее значений на этом
отрезке, анаименьшим –
самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим
функцию y=f(x) непрерывную
на отрезке [a, b].
Как известно, такая функция достигает
своего наибольшего и наименьшего
значений, либо на границе отрезка, либо
внутри него. Если наибольшее или
наименьшее значение функции достигается
во внутренней точке отрезка, то это
значение является максимумом или
минимумом функции, то есть достигается
в критических точках.

Таким образом, получаем
следующее правило
нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке[a,
b]:

Найти все критические
точки функции в интервале (a,
b) и вычислить значения
функции в этих точках.
Вычислить значения функции
на концах отрезка при x
= a, x = b.
Из всех полученных значений выбрать
наибольшее и наименьшее.

Примеры.

Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
на
отрезке [–2; –0,5].

Найдем критические точки
функции.

Вычислим значения функции в найденной
точке и на концах заданного отрезка.

Итак,

Найти наибольшее и наименьшее
значения функцииy=x-2·ln x на
[1; e].

36. Понятие первообразной. Неопределённый интеграл. Его свойства

Первообра́зной или примити́вной
функцией (иногда
называют также антипроизводной)
данной функции f называют
такую F, производная которой
(на всей области определения) равна f,
то есть F ′
= f.
Вычисление первообразной заключается
в нахождении неопределённого интеграла,
а сам процесс называется интегрированием.

Так,
например, функция
является
первообразной
.
Так как производная константы равна нулю,
будет
иметь бесконечное количество
первообразных;

Неопределённый интегра́л для
функции
—
это совокупность всех первообразных данной
функции.

Если функция
определена
и непрерывна на промежутке
и
—
её первообразная, то есть
при
,
то

где С — произвольная постоянная.

интегралы от основных элементарных
ф-ий.

Произв. от неопр. интеграла равна
подинтегр. ф-ии.

Диференциал неопр. интеграла равен
подинтегр. выражению

Неопред. интеграл от диференциала
некотор. ф-ии равен этой ф-ии с точностью
до постоянного слогаемого

Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла.

Интеграл от алгебраической суммы
функций равен такой же сумме интегралов
от этих ф-ий.

Табличные
интегралы

37. Метод замены переменной в
неопределенном интеграле

См.тетрадку.

38. Метод
интегрирования по частям в неопределенном
интеграле

Интегри́рование по частя́м —
один из способов нахождения интеграла.
Суть метода в следующем: если
подынтегральная функция может
быть представлена в виде произведения
двух непрерывных и гладких функций
(каждая из которых может быть
как элементарной функцией,
так и композицией),
то справедливы следующие формулы

для неопределённого
интеграла:

39.Интегрирование простейших
рациональных дробей

См.тетрадь+там примеры.

40.
Интегрирование тригонометрических
функций

1.Интегралы
вида вычисляются
преобразованием произведения
тригонометрических функций в сумму по
формулам:

Например,

2.Интегралы
вида,
где m или n–
нечетное положительное число, вычисляются
подведением под знак дифференциала.

Например,

3.Интегралы
вида ,
где m и n–четные
положительные числа, вычисляются с
помощью формул понижения степени:

Например,

4.Интегралы где вычисляются
заменой переменной:или

Например,

5.Интегралы
вида сводятся
к интегралам от рациональных дробей с
помощью универсальной тригонометрической
подстановки тогда

(т.к.=[после
деления числителя и знаменателя
на ]=;

Например,

Следует заметить,
что использование универсальной
подстановки нередко приводит к громоздким
выкладкам.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

На отрезке [1 ; 3] наибольшее значение первообразной для функции f(x) = 4x + 1 равно 22.

. Найдите наименьшее значение этой первообразной на данном отрезке.

Вы находитесь на странице вопроса На отрезке [1 ; 3] наибольшее значение первообразной для функции f(x) = 4x + 1 равно 22? из категории Алгебра.
Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице
можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить
возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи.
Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки
найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте
новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку,
нажав кнопку в верхней части страницы.

Источник

1. Вычисление производной функции

Правила дифференцирования

Дифференцирование сложной функции

Таблица производных

2. Приложение производной

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x₀;f(x₀)):

y=f(x₀)+f ‘(x₀)(x-x₀); f ‘(x₀) – угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной).

Достаточные признаки монотонности функции:

если
f ‘(x)>0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале.
если
f ‘(x)<0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) убывает на этом интервале.

Необходимое условие экстремума: если x₀ – точка экстремума функции f(x) и производная f ’ существует в этой точке, то f ‘(x₀)=0.

Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Достаточные условия экстремума:

если производная при переходе через точку
x₀ меняет свой знак с плюса на минус, то
x₀ – точка максимума.
если производная при переходе через точку x₀ меняет свой знак с минуса на плюс, то
x₀ – точка минимума.

3. Первообразная функции

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство F ‘(x)=f(x).

Если F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a, b), то любая первообразная может быть записана в виде F(x)+C, где C – некоторое действительное число.

Для вычисления первообразной рекомендуем пользоваться приведенной выше таблицей производных и приведенными ниже правилами.

Правила нахождения первообразных

Пример 1. Найти производную функции .

Решение:

Ответ: .

Пример 2. Найти , если .

Решение:

По правилу дифференцирования дроби имеем: .

Ответ:

Пример 3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х² + 2, в точке х_о = – 1.

Решение:

Тангенс угла наклона касательной к графику функции есть значение производной данной функции в точке х_о.

Ответ: – 2.

Пример 4. Найдите значение 3tg²t , если t – наименьший положительный корень уравнения .

Решение:

Очевидно, что наименьшее положительное решение полученного уравнения . Тогда .

Ответ: 1.

Пример 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции .

Решение:

Область определения функции: x>0.

На области определения найдём критические точки функции :

Критические точки: 0; 1.

На основании достаточного признака возрастания (убывания) функции имеем:

Ответ: на интервале (0; 1) функция убывает; на интервале возрастает.

Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=e^x+2-ex на промежутке [-2; 0].

Решение:

Функция y=e^x+2-ex на отрезке [-2; 0] непрерывна.

1) найдём критические точки, принадлежащие отрезку [-2; 0]:

2) найдём значения функции в критической точке и на концах данного отрезка:

3) выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:

наименьшее y|_x=-1=2e наибольшее y|_x=0=e².

Ответ:
наименьшее y|_x=-1=2e наибольшее y|_x=0=e².

Пример 7. Записать уравнение касательной к графику функции f(x)=x³, параллельной прямой y=3x+1,5.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х₀ имеет вид:

Так как касательная параллельна прямой y=3x+1,5, то f ‘(x₀)=3 .

f ‘(x)=3x², следовательно, .

Ответ: .

Пример 8. Найдите какую-либо первообразную функции .

Решение:

Представим функцию в виде . Первообразная данной функции будет . Т.к. нужно найти какую-либо первообразную, то пусть это будет . Чтобы проверить правильность найденной первообразной, нужно от взять производную: .

Ответ: .

Пример 9. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Решение:

Первообразная данной функции будет F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+C.

Так как график первообразной проходит через точку , то координаты этой точки являются корнями уравнения. Получаем: .

Ответ: F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+11.

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Производная функции

1) Найти производную функции f(x)=2e^x+3x² .

2) Вычислите производную функции f(x)x•sinx.

3) Найти производную функции у = (3х – 1)(2 – х).

4) Вычислите производную функции y=9x²-cosx.

5) Найдите производную функции y=e^x-x⁷ .

6) Вычислить производную функции .

7) Найти f ‘(1), если f(x)=3x²-2x+1.

Найдите производную функции у = х²(3х⁵ – 2) в точке х₀ = – 1.

9) Вычислите , если f(x)=(2x-1)cosx.

10) Найдите f ‘(1), если f(x)=(3-x²)(x²+6).

11) Вычислите f ‘(1), если f(x)=(x⁴-3)(x²+2).

12) Найдите значение производной функции в точке х₀ = 0,5.

13) Найдите f ‘(4), если .

14) Найдите значение производной функции f(x)=3tgx+2ctgx при .

15) Найдите значение производной функции f(x)=2sinx при .

16) Найдите значение производной функции f(x)=1-3cosx при .

17) Определите промежутки возрастания и убывания функции .

18) Найдите максимум и минимум функции y=5x⁴-10x²+9.

19) Найти экстремумы функции у = – х³ + 6х² + 15х + 1.

20) Найдите точки экстремума функции у = – х³ – 3х² + 24х – 4 на промежутке .

21) Найдите наибольшее значение выражения 3х⁵ – 5х³ + 6 на отрезке [–2;2].

22) Написать уравнение касательной к параболе у = х² – 6х + 5 в точке пересечения её с осью ординат.

23) Найдите максимум функции .

24) Найдите экстремальные значения функции .

25) Исследуйте на максимум и минимум функцию у = 3х⁴ – 3х² + 2.

26) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в его точке с абсциссой х₀ = – 2.

27) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х – 3х² в точке с абсциссой х₀ = 2.

28) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой .

Найдите первообразные функций:

29) .

30) f(x)=-7sinx.

31) .

32) f(x)=1,2cosx.

33) f(x)=-7cosx.

34) f(x)=sinx-cosx.

35) .

36) .

37) .

Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:

38) .

39) .

40) .

41) .

Повышенный уровень

Производная функции

42) Найдите значение , если .

43) Найдите значение , если f(x)=sin⁴x-cos⁴x.

44) Найдите значение , если f(x)=cos²3x .

45) Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.

46) Найдите значение , если .

47) Найдите значение , если .

48) Найдите значение , если f(x)=(1+sinx)².

49) При каком значении параметра а функция имеет минимум в точке x₀=1?

50) Решите уравнение f ‘(x)=0, если .

51) Найдите наименьшее целое значение функции у = 4^х – 5∙2^х + 3,25.

52) При каких значениях а функция убывает на всей числовой прямой?

53) На кривой у = 4х² – 6х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3.

54) Найти значение выражения tg2t, где t – наибольший отрицательный корень уравнения f ‘(x)=0, .

Первообразная

55) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

56) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

57) Найдите значение первообразной функции при , график которой проходит через данную точку .

Задача о площади криволинейной трапеции

58) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

59) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

60) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

Источник

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

Функция	Первообразная
$f(x)=k$	$F(x)=kx+C$
$f(x)=x^m, m≠-1$	$F(x)={x^{m+1}}/{m+1}+C$
$f(x)={1}/{x}$	$F(x)=ln\|x\|+C$
$f(x)=e^x$	$F(x)=e^x+C$
$f(x)=a^x$	$F(x)={a^x}/{lna}+C$
$f(x)=sinx$	$F(x)-cosx+C$
$f(x)=cosx$	$F(x)=sinx+C$
$f(x)={1}/{sin^2x}$	$F(x)=-ctgx+C$
$f(x)={1}/{cos^2x}$	$F(x)=tgx+C$
$f(x)=√x$	$F(x)={2x√x}/{3}+C$
$f(x)={1}/{√x}$	$F(x)=2√x+C$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$

Правила вычисления первообразных:

Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.

Пример:

Найти первообразную для функции $f(x)=2sin⁡x+{4}/{x}-{cos⁡x}/{3}$.

Решение:

Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого

$f(x)=2sin⁡x+{4}/{x}-{cos⁡x}/{3}=2∙sin⁡x+4∙{1}/{x}-{1/3}∙cos⁡x$

Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$

$f_1=sin⁡x$

$f_2={1}/{x}$

$f_3=cos⁡x$

Для $f_1=sin⁡x$ первообразная равна $F_1=-cos⁡x$

Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln⁡|x|$

Для $f_2=cos⁡x$ первообразная равна $F_3=sin⁡x$

По первому правилу вычисления первообразных получаем:

$F(x)=2F_1+4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cos⁡x)+4∙ln⁡|x|-{1}/{3}∙sin⁡x$

Итак, общий вид первообразной для заданной функции

$F(x)=-2cos⁡x+4ln⁡|x|-{sin x}/{3}+C$

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Пример:

На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;5)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$

Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).

Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.

У нас получилось $6$ таких точек.

Ответ: $6$

Неопределенный интеграл

Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:

$∫f(x)dx$

Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)

$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле

$S=∫_a^bf(x)dx$

Формула Ньютона — Лейбница

Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство

$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Пример:

На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$. Одна из первообразных этой функции равна $F(x)={2х^3}/{3}-2х^2-1$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $1$ и $-2$

$S=F(1)-F(-2)$

Первообразная нам известна, следовательно, осталось только подставить в нее значения и вычислить

$F(1)={2∙1}/{3}-2∙1-1={2}/{3}-2-1={2}/{3}-3$

$F(-2)={2(-2)^3}/{3}-2(-2)^2-1={2∙(-8)}/{3}-8-1=-{16}/{3}-9$

$S={2}/{3}-3-(-{16}/{3}-9)={2}/{3}-3+{16}/{3}+9={18}/{3}+6=6+6=12$

Ответ: $12$

Источник