Наибольшее и наименьшее значение функции
На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал ( a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; b ) , бесконечный интервал ( a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; b ) либо бесконечный промежуток — ∞ ; a , ( — ∞ ; a ] , [ a ; + ∞ ) , ( — ∞ ; + ∞ ) .
В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) y = f ( x ) .
Основные определения
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.
Наибольшее значение функции y = f ( x ) на некотором промежутке x – это значение m a x y = f ( x 0 ) x ∈ X , которое при любом значении x x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f ( x ) ≤ f ( x 0 ) .
Наименьшее значение функции y = f ( x ) на некотором промежутке x – это значение m i n x ∈ X y = f ( x 0 ) , которое при любом значении x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f(X f ( x ) ≥ f ( x 0 ) .
Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x 0 , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x 0 .
Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0 .
Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.
Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.
Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения ( m a x y и m i n y ) в стационарных точках, расположенных на отрезке [ — 6 ; 6 ] .
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [ — 3 ; 2 ] . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале
Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает m a x y (наибольшее значение) и m i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале ( — 6 ; 6 ) .
Если мы возьмем интервал [ 1 ; 6 ) , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x , равном 6 , если бы x = 6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5 .
На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала ( — 3 ; 2 ] , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.
Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности
На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь m a x y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1 . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 .
Если мы возьмем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2 , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x = 2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 . Именно этот случай изображен на рисунке 8 .
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке
В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.
- Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
- Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
- Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
- Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x = a и x = b .
- 5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.
Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.
Условие: задана функция y = x 3 + 4 x 2 . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .
Решение:
Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0 . Иными словами, D ( y ) : x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ 0 ; + ∞ . Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.
Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:
y ‘ = x 3 + 4 x 2 ‘ = x 3 + 4 ‘ · x 2 — x 3 + 4 · x 2 ‘ x 4 = = 3 x 2 · x 2 — ( x 3 — 4 ) · 2 x x 4 = x 3 — 8 x 3
Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .
Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x 3 — 8 x 3 = 0 . У него есть только один действительный корень, равный 2 . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [ 1 ; 4 ] .
Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x = 1 , x = 2 и x = 4 :
y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Мы получили, что наибольшее значение функции m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 будет достигнуто при x = 1 , а наименьшее m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 – при x = 2 .
Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:
y ( — 1 ) = ( — 1 ) 3 + 4 ( — 1 ) 2 = 3
Значит, m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 1 ) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 4 ) = — 3 3 4 .
Ответ: Для отрезка [ 1 ; 4 ] — m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 , для отрезка [ — 4 ; — 1 ] — m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 1 ) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 4 ) = — 3 3 4 .
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
- Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
- Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
- Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0 , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.
- Если интервал имеет вид [ a ; b ) , то нам надо вычислить значение функции в точке x = a и односторонний предел lim x → b — 0 f ( x ) .
- Если интервал имеет вид ( a ; b ] , то нам надо вычислить значение функции в точке x = b и односторонний предел lim x → a + 0 f ( x ) .
- Если интервал имеет вид ( a ; b ) , то нам надо вычислить односторонние пределы lim x → b — 0 f ( x ) , lim x → a + 0 f ( x ) .
- Если интервал имеет вид [ a ; + ∞ ) , то надо вычислить значение в точке x = a и предел на плюс бесконечности lim x → + ∞ f ( x ) .
- Если интервал выглядит как ( — ∞ ; b ] , вычисляем значение в точке x = b и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f ( x ) .
- Если — ∞ ; b , то считаем односторонний предел lim x → b — 0 f ( x ) и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f ( x )
- Если же — ∞ ; + ∞ , то считаем пределы на минус и плюс бесконечности lim x → + ∞ f ( x ) , lim x → — ∞ f ( x ) .
- В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4 — 8 в первой части материала.
Пример 2
Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах — ∞ ; — 4 , — ∞ ; — 3 , ( — 3 ; 1 ] , ( — 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞ ) .
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :
x 2 + x — 6 = 0 D = 1 2 — 4 · 1 · ( — 6 ) = 25 x 1 = — 1 — 5 2 = — 3 x 2 = — 1 + 5 2 = 2 ⇒ D ( y ) : x ∈ ( — ∞ ; — 3 ) ∪ ( — 3 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
y ‘ = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 ‘ = 3 · e 1 x 2 + x — 6 ‘ = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 x 2 + x — 6 ‘ = = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 ‘ · x 2 + x — 6 — 1 · x 2 + x — 6 ‘ ( x 2 + x — 6 ) 2 = — 3 · ( 2 x + 1 ) · e 1 x 2 + x — 6 x 2 + x — 6 2
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = — 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах ( — 3 ; 1 ] и ( — 3 ; 2 ) .
Вычислим значение функции при x = — 4 для промежутка ( — ∞ ; — 4 ] , а также предел на минус бесконечности:
y ( — 4 ) = 3 e 1 ( — 4 ) 2 + ( — 4 ) — 6 — 4 = 3 e 1 6 — 4 ≈ — 0 . 456 lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 = 3 e 0 — 4 = — 1
Поскольку 3 e 1 6 — 4 > — 1 , значит, m a x y x ∈ ( — ∞ ; — 4 ] = y ( — 4 ) = 3 e 1 6 — 4 . Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение — 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.
Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к — 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:
lim x → — 3 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 — 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 3 ) — 4 = 3 e 1 ( — 3 — 0 + 3 ) ( — 3 — 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( + 0 ) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1
Значит, значения функции будут расположены в интервале — 1 ; + ∞
Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = — 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к — 3 с правой стороны:
y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 y ( 1 ) = 3 e 1 1 2 + 1 — 6 — 4 ≈ — 1 . 644 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 — 3 + 0 + 3 ( — 3 + 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( — 0 ) — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4
У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ ( 3 ; 1 ] = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до — 4 .
Для интервала ( — 3 ; 2 ) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:
y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e — 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = — 4 lim x → 2 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 ( 2 — 0 + 3 ) ( 2 — 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 — 0 — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4
Значит, m a x y x ∈ ( — 3 ; 2 ) = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом — 4 .
Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2 ) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.
На промежутке ( 2 ; + ∞ ) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка — 1 ; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 ( 2 + 0 + 3 ) ( 2 + 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( + 0 ) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1
Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞ ) = y ( 4 ) = 3 e 1 14 — 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = — 1 .
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции
Общая информация
Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.
Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:
- Нахождение области определения функции (ОДФ).
- Понятие дифференциала и основные методы его нахождения.
- Умение решать уравнения.
- Знание графиков простых функций.
- Основные типы функций, полуинтервал и интервал.
Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.
Область определения
Область определения какой-либо функции вида y = f(x) — область значений аргумента, при которых она существует. У каждой функции существует два типа неизвестных: зависимые и независимые. К первым следует отнести переменную y, которая зависит от независимой переменной «х». Необходимо отметить, что бывают функции, в которых нет аргумента. Примером их считается функция вида y = const, где const — константа (любое число).
Область определения обозначается в теории литерой «D». Однако обозначение можно менять, когда исследуются несколько функций. Чтобы не путаться, специалисты рекомендуют следующую запись D(f(x)). Например, для y = x^2 — 27x и y = 12sinx ОДФ записывается таким образом: D(x^2 — 27x) и D(12sinx) соответственно.
Обозначение интервалов
Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:
- Жесткая граница обозначается квадратной скобкой «[» или «]». Она обозначает, что число входит включительно в этот интервал. Можно использовать не только одну скобку, но и две одновременно.
- Для обозначения числового значения, которое не входит в промежуток, пользуются круглыми скобками «(» и «)». Их можно применять одновременно.
- Типы границ можно комбинировать.
- Если нужно объединить интервалы, то следует использовать символ «U».
Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток. Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.
Зависимость от типа
Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:
- Алгебраические: рациональные и иррациональные.
- Тригонометрические: sin, cos, tg и ctg.
- Трансцендентные: степенные, показательные и логарифмические.
Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.
Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.
Метод нахождения
Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:
- Найти корни уравнения знаменателя, приравнивая его к 0.
- Определить интервал, значения из которого может принимать аргумент.
В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.
Для sin(x) и cos(x) областью определения является множество значений Z. Однако для tg(x) и ctg(x) следует помнить, что аргумент не должен принимать значение x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. Следует отметить, что коэффициент k принадлежит множеству чисел Z.
Для примера нужно разобрать задачу, в которой следует найти D(3x / [(x — 1) * (x + 1) * (10 — x)^(1/2)]). Решать ее необходимо по такому алгоритму:
- Знаменатель является сложным. Он состоит из двух выражений: (x — 1) * (x + 1) и (10 — x)^(1/2).
- Первое выражение (решить уравнение): (x — 1) * (x + 1) = 0. Оно имеет два корня: x1 = -1 и x2 = 1. Числовой промежуток: (-бесконечность;-1) U (1;+бесконечность).
- Второе (неравенство): (10 — x) a). Например, (a;+inf): х = lim [f(x)], где x->a и x->+inf.
Для нахождения минимального и максимального значения функции достаточно материала, изложенного выше. Специалисты рекомендуют разобраться с теорией, а затем переходить к практике.
Примеры решений
Дана квадратичная функция y = x^2 + 6x + 9. Необходимо найти наименьшее значение функции квадратного уравнения на отрезке [1;5]. Для этой цели нужно воспользоваться алгоритмом:
- D(y): все множество Z.
- Отрезок входит в D(y).
- Производная: y’ = [x^2 + 6x + 9]’ = 2x + 6 (существует во всех точках).
- Стационарные точки (y’ = 0): 2x + 6 = 0. Отсюда, x = -3.
- Подставить в исходное выражение: y(-3) = (-3)^2 + 6 * (-3) + 9 = 9 — 18 + 9 = 0, y(1) = (1)^2 + 6 * (1) + 9 = 1 + 6 + 9 = 16 и y(5) = (5)^2 + 6 * (5) + 9 = 25 + 30 + 9 = 64.
- Максимум и минимум (с учетом стационарной точки и интервала): MIN(y) = 0 и MAX(y) = 64.
Одним из простейших типов задач является следующая: найдите наибольшее значение линейной функции z = 5x + 10 на отрезке [-3;3]. Для ее решения можно также воспользоваться алгоритмом:
- D(z) — все значения от бесконечно малого до бесконечно большого чисел.
- Промежуток, на котором нужно найти максимум и минимум, полностью входит в D(f).
- Дифференциал: z’ = 5 (существует во всех точках, а стационарных точек нет вообще).
- Минимум и максимум: MIN(z(-3)) = 5 * (-3) + 10 = -5 и MAX(z(3)) = 5 * (3) + 10 = 25.
Последнюю задачу необязательно решать по алгоритму, поскольку она считается простейшей. Математики рекомендуют тренироваться в нахождении MIN и MAX функции, поскольку только практика позволяет быстро решать задачи.
Таким образом, для нахождения максимального и минимального значений заданной функции необходимо пользоваться специальным универсальным алгоритмом. Кроме того, нужно правильно находить дифференциалы, область определения, а также разбираться в интервалах.
Наибольшее и наименьшее значение функции
Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профильной)
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
- Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
- Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Разложить производную функции на множители.
- Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
- Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.
Таблица производных некоторых элементарных функций:
Функция | Производная |
$c$ | $0$ |
$x$ | $1$ |
$x^n, n∈N$ | $nx^, n∈N$ |
$<1>/$ | $-<1>/$ |
$<1>/x<^n>, n∈N$ | $-/>, n∈N$ |
$√^n, n∈N$ | $<1>/>, n∈N$ |
$sinx$ | $cosx$ |
$cosx$ | $-sinx$ |
$tgx$ | $<1>/$ |
$ctgx$ | $-<1>/$ |
$cos^2x$ | $-sin2x$ |
$sin^2x$ | $sin2x$ |
$e^x$ | $e^x$ |
$a^x$ | $a^xlna$ |
$lnx$ | $<1>/$ |
$log_x$ | $<1>/$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + <1>/$
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
http://nauka.club/matematika/algebra/kak-nayti-naibolshee-i-naimenshee-znachenie-funktsii.html
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/min_max_funkcii
Образовательные задачи урока.
- повторить необходимые и достаточные условия
существования точек экстремума, понятия:
стационарные и критические точки; - ввести алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке - сформировать умение решать задачи на
нахождение наибольшего и наименьшего значения
степенной функции на отрезке с помощью
производной. - разобрать прототипы задач № 1 В14
экзаменационной работы в формате ЕГЭ. - Продолжить формирование общеучебных умений и
навыков: навыков самоконтроля, умения писать
необходимом темпе.
Воспитательные задачи:
- cодействовать в ходе урока формированию
основных мировоззренческих идей (материальность
мира, познаваемость мира и его закономерностей,
обусловленность развития науки потребностям
производства); - cодействовать воспитанию у учащихся таких
нравственных качеств, как коллективизм; - cодействовать профилактике утомляемости
школьников, используя разнообразные виды работы
на уроке.
I. Организационный момент. Приветствие.
Проверка готовности класса к уроку. Выявление
отсутствующих.
II. Актуализация знаний учащихся.
Повторить с учащимися основные понятия прошлых
уроков: точки экстремума, каково достаточное
условие точек экстремума, стационарные точки и
критические точки (учащихся отвечают с места)
Повторить таблицу производных основных
функций и основные правила нахождения
III. Изучение нового материала.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке
(учащиеся записывают себе в тетрадь).
Пусть функция непрерывна и дифференцируема на
отрезке , то
для нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке нужно:
- найти производную функции, найти стационарные
точки (решаем уравнение, приравнивая производную
к нулю) - среди полученных стационарных точек выбрать те,
которые принадлежат отрезку - найти значение в стационарных точках и в концах
отрезка, то есть и . - среди полученных значений выбрать наибольшее
или наименьшее.
Записать схему нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке в
тетради (учитель оформляет схему на доске):
Пусть
непрерывна на
и дифференцируема. Тогда, для нахождения или :
- Находим находим
- Проверяем принадлежность отрезку
- Находим , , .
- Среди полученных значений выбираем или .
- Записываем ответ (Акцентировать внимание, что в
ответе должно быть записано либо целое число,
либо конечная десятичная дробь).
Пример № 1. Найти наименьшее значение функции
на отрезке . (Учитель
совместно с учащимися записывает решение на
доске последовательно проговаривая каждый пункт
алгоритма).
Решение:
Ответ:
Пример № 2. Найти наибольшее значение
функции на
отрезке
Решение:
Ответ: 23
Пример № 3. Найдите наименьшее значение
функции на
отрезке .
Решение:
Ответ: -3
Пример № 4. Найдите наибольшее
значение функции на отрезке .
Решение:
Упростим функцию
Ответ: 1
IV. Закрепление материала.
- Найдите наименьшее значение функции на отрезке
- Найдите наименьшее значение функции на отрезке
- Найдите наименьшее значение функции на отрезке
V. Итоги урока.
- Повторить алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке. - Выставить отметки за урок.
VI. Домашнее задание:
- Найдите наименьшее значение функции на отрезке
- Найдите наибольшее значение функции на отрезке
- Найдите наибольшее значение функции на отрезке
- Найдите наименьшее значение функции на отрезке
- Найти наибольшее значение функции на отрезке
Урок № 2. “Нахождение наибольшего и
наименьшего значения функций и на отрезке .
Тип урока: комбинированный.
Образовательные задачи:
- обеспечить повторение в ходе урока алгоритма
нахождения наибольшего и наименьшего значения
функции на отрезке; - продолжить формирования навыка применения
этого алгоритма при решении второго типа задач
экзаменационных вариантов ЕГЭ; - продолжить формирование общеучебных умений и
навыков: навыков самоконтроля, умения в
необходимом темпе читать и писать, анализировать
условия задачи.
Воспитательные задачи:
- содействовать в ходе урока формированию
основных мировоззренческих идей (материальность
мира, познаваемость мира и его закономерностей,
обусловленность развития науки потребностям
производства); - содействовать воспитанию у учащихся таких
нравственных качеств, как коллективизм. умение
слушать товарищей; - содействовать профилактике утомляемости
школьников.
I. Организационный момент. Приветствие.
Проверка готовности класса к уроку. Выявление
отсутствующих.
II. Проверка домашнего задания. Фронтальная
проверка домашнего задания. Если у большинства
учащихся возникли вопросы, разобрать на доске
решение конкретного задания, если лишь у
некоторых, объяснить в индивидуальном порядке,
предварительно схематично обговорив решение у
доски.
III. Актуализация знаний. Повторить еще раз
алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке с оформлением схемы
на доске.
Повторить следующие формулы для дальнейшего
изучения материала:
, ,
Решить на повторение примеры (1 учащийся пишет
решение на доске с комментариями по решению,
остальные записывают себе в тетради).
IV. Решение новых прототипов задач (разбирает
решение учитель)
Пример № 1. Найти наименьшее значение
функции на
отрезке
Решение
Ответ: —1
Пример № 2. Найти наименьшее значение
функции на
отрезке
Решение. Преобразуем и упростим функцию , используя
свойство логарифмов
Ответ: -6
V. Закрепление материала (самостоятельное
решение задач учащимися у доски).
Пример № 3. Найти наибольшее значение функции
на отрезке
Решение.
Ответ: 51
Пример № 4. Найти наименьшее значение функции
на отрезке
Решение.
(, так как )
Ответ: 4
Пример № 5. Найти наименьшее значение функции
на отрезке
Решение
Ответ: -1
Пример № 6. Найти наибольшее значение функции
на отрезке
Решение:
Ответ: 1
Пример № 7: Найдите наибольшее значение
функции на
отрезке
Решение
Ответ: 36
VI. Итоги урока.
- Повторить алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке. - Проговорить основные алгоритмы решения тех
примеров, которые изучены на уроке.
VII. Домашнее задание по вариантам.
Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.
Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:
Нахождение точек максимума и минимума функций
Исследование сложных функций
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
Нахождение точек максимума и минимума функций
1. Найдите точку максимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю. Получим:
Исследуем знаки производной.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Ответ: 17.
2. Найдите точку минимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю.
Определим знаки производной.
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Ответ: 1.
Исследование сложных функций
3. Найдите точку максимума функции
Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.
при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .
Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.
Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при
Ответ: — 4.
4. Найдите абсциссу точки максимума функции
Напомним, что абсцисса — это координата по
Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции
Это вершина квадратичной параболы
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.
Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.
Ответ: 12.
6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
при
Найдем знаки производной.
Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому
и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.
Ответ: -11.
7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.
Мы применили формулу для логарифма произведения. при
Если то Если , то
Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке
Ответ: 4.
8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции
Приравняем производную к нулю:
. Поскольку если
Найдем знаки производной на отрезке
При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и
Мы нашли, что
Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ: 4.
9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].
Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:
Найдем производную функции
если Тогда
При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Ответ: -7.
10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.
По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки
В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при
Ответ: 12.
11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.
Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.
Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при
Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при
Ответ: 6
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Наибольшее и наименьшее значение функции
Как найти?
Постановка задачи
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $
План решения
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = pm infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $
- Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
- Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
- Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
- Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
- Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $
Примеры решений
Пример 1 |
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 — 3x^2 — 4 $ на отрезке $ [0;2] $ |
Решение |
Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $. Находим производную: $$ y’ = (2x^3 — 3x^2 — 4)’ = 6x^2 — 6x $$ Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки: $$ 6x^2 — 6x = 0 $$ $$ 6x(x — 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$ Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $: $$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$ Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $: $$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 — 3 cdot 0^2 — 4 = -4 $$ $$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 — 3 cdot 1^2 — 4 = -5 $$ $$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 — 3 cdot 2^2 — 4 = 0 $$ Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ M = 0, m = -5 $$ |
Пример 2 |
Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $ |
Решение |
Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $. Выполняем нахождение производной: $$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$ $$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$ Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки: $$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$ Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $. Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $: $$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$ $$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$ $$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$ Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $. |
Ответ |
$$ m = 0, M = 1 $$ |
Наибольшим или наименьшим значением функции в определенной области называют наибольшее или наименьшее значение, которое достигает эта функция на указанной области.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в данной области, нужно решить задачу на экстремум, то есть найти производную заданной функции, приравнять её к нулю и найти точки, в которых производная функции обращается в нуль. Потом из этих точек нужно выбрать только те, которые входят в нашу заданную область. Затем нужно вычислить значение функций в этих точках. Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках заданной области (если это отрезок) и сравнить их со значениями в точках экстремума. Потом можно сделать вывод о наименьшем или наибольшем значении функции в данной области.
Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=x3−6×2+9y=x^3-6x^2+9 на отрезке [−1;2][-1;2].
Решение
Сначала вычисляем производную исходной функции:
y′=3×2−12xy’=3x^2-12x
Затем приравниваем ее к нулевому значению и решаем уравнение:
3×2−12x=03x^2-12x=0
x(3x−12)=0x(3x-12)=0
x1=0x_1=0
x2=4x_2=4
Затем — непосредственный поиск максимального и минимального значений функции на заданном отрезке. Важно отметить, что точка x=4x=4 не входит в заданный отрезок, поэтому значение функции в этой точке вычислять не требуется.
Находим значение функции в точке x1x_1:
f(0)=9f(0)=9
Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках нашего отрезка, то есть в точках x=−1x=-1 и x=2x=2:
f(−1)=−1−6+9=2f(-1)=-1-6+9=2
f(2)=8−24+9=−7f(2)=8-24+9=-7
Получаем, что на заданном отрезке, наименьшее значение функции, которое равно −7-7, достигается в точке x=2x=2 , а наибольшее значение, равное 99, достигается в точке x=0x=0.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции-параболы y=3x2y=3x^2 на всей области её определения.
Решение
Функция y=3x2y=3x^2 определена на всем интервале от минус бесконечности к плюс бесконечности. Найдем производную этой функции:
y′=6xy’=6x
Приравниваем производную к нулю:
6x=06x=0
x=0x=0
Точка x=0x=0 — единственный экстремум этой функции. В этой точке функция равна f(0)=0f(0)=0. Остается решить максимум это или минимум.
Так как график нашей функции это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку 3>03>0), то точка x=0x=0 — точка минимума этой функции. Следовательно, функция y=3x2y=3x^2 достигает своего минимального значения в точке x=0x=0 равного 00. Максимального значения эта функция не имеет. Оно только приближается к сколь угодно большому числу когда значение аргумента стремится к плюс или минус бесконечности.
Тест по теме “Наибольшие и наименьшие значения функции”
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат