Как найти наибольший общий делитель для дроби

Самые старые упоминания о таких математических явлениях, как дробь, учёные обнаружили в древнем Египте. Особенностью их было то, что у них были обозначения только вида 12, 23,13, при этом больше двойки числа, делимого они не использовали, а использовали метод сложения, к примеру, вместо дроби 56, писали 12 +13.

Но применять такие дроби было сложно, поэтому учёные разных областей пытались вывести общую универсальную формулу для удобства. Так появилась шестидесятеричная, но проводить вычисления с ней тоже было очень трудно, однако её довольно долго применяли в Вавилоне и Греции. Существовала также система называемая Асс, её суть в делении на 12, использовали её римляне. Результат такого деления, точнее одну долю, называли унцией. Самой близкой по своей системе исчисления была дробь, которую предложили в Индии, разница от современных была в формате записи, без чёрточки, и такая дробь была перевернута, в верхней части находился делитель, а в нижней делимое. Та запись, которую и по сей день используют в математике была придумана арабами.

Что такое дробь, основные понятия и виды

По сути дробь — это деление одного числа на другое. Выделяют два вида: обыкновенные и десятичные.

Обыкновенная дробь — означает, состоящая из целых чисел. Обыкновенные, имею два типа записи к примеру:

• 15- разделена наклонной линией, читается как одна пятая;
• [frac{1}{5}] — горизонтальной линией.

Определения:

• Числитель — число, находящееся в верхней границе дроби;
• Знаменатель — число которое мы видим в нижней границе дроби.

Например: 15, где 1- числитель, 5- знаменатель. Для того чтобы проще объяснить, что такое дробь приведём простой пример. Торт разрезан на 5 кусков, если мы взяли два и них то это 25 (две пятые части торта).

Обыкновенные дроби имеют два типа правильные и неправильные.

Правильной дробью называется дробь с значениями, в которых числитель меньше знаменателя. Такое название данный тип дроби получил не зря, ведь так логичнее и правильнее, когда часть меньше целого.

Неправильная в свою очередь имеет обратные значения, когда числитель больше знаменателя.

_{Примечание. Дроби, у которых знаменатель и числитель одинаковы, тоже неправильные.}

Смешанная дробь. Существует также такое определение как смешанная дробь, такой вид, представляет собой дробь, состоящую из двух частей целой и дробной. Пример — [4 frac{3}{5}], где четыре это целая часть, а 35 дробная. Такой тип дроби можно получить, только при делении неправильного вида дробей.

Десятичные дроби. К десятичным, относят дроби которые в знаменателе имеют 10 в натуральной степени. К примеру [frac{5}{10},
frac{6}{100}] и тд. Такие, так же могут иметь вид строчной записи, 0,5 и 0,06. При этом в такой записи целая часть отделяется от дробной знаком запятой.

Существуют также понятия сократимой и несократимой дроби. Сократимая дробь, это та, в которой можно произвести деление числителя и знаменателя на одно и то же число.

Несократимая дробь, если такие действия выполнить нельзя.

Составная дробь, многоуровневая или выражение, имеющее несколько черт дроби. Пример [frac{frac{3}{7}}{-31}]

Равные и неравные дроби. Для того чтобы сказать, являются дроби равными или нет, нужно их сравнить.

Равные обыкновенные [frac{a}{d} frac{c}{b}] — можно вывести при помощи такого верного равенства а*b=d*c , если такое равенство не верно то данные дроби будут называться неравными.

Положительные и отрицательные дроби.

Положительные называют обыкновенные дроби, с положительными числами, при необходимость перед такими дробями ставится знак +, пример [+frac{6}{9}].

Отрицательными, считаются дроби со знаком минус, пример [-frac{6}{9}].

Стоит отметить что две дроби вида [-frac{6}{9} text { и }+frac{6}{9}] являются противоположными.

Алгебраическая дробь.

Отличается она тем, что на месте числителя и знаменателя находятся алгебраические значения, числа заменены буквами. Примеры —

[
frac{x+y}{x-y}, frac{x^{3}+1}{x^{2}-x+2}, frac{a^{2}-4}{a+2}, frac{a}{2}, frac{3 a+7}{5}
]

Если в такой дроби буквы заменить числами, то она сразу станет обыкновенной.

Одночлен — это выражение, содержащее числа, степени положительные и их произведение. Пример: в.

Многочлен — это сумма одночленов. Пример: 7а+6в

Дроби на координате прямых.

Если рассматривать координату прямых, то положительные дроби на ней будут расположены справа от нулевого значения, а отрицательные слева.

Действия, которые можно выполнить с дробями

В общем то, действия с дробями это все те же действия, которые можно выполнить с числами:

• Сравнение;
• Сложение;
• Вычитание;
• Умножение;
• Деление.

Свойства дроби

Чтобы сложить или вычесть дроби, дробь обязана иметь равные знаменатели, необходимо просто выполнить это действие с их числителями

Примеры:

[
frac{4}{9}+frac{5}{9}=frac{4+5}{9} ; text { и } frac{4}{9}-frac{5}{9}=frac{5-4}{9}.
]

Что же касается дробей с разной частью делителя (Знаменателя), то тут чтобы выполнить действия сложения и вычитания с ними необходимо привести знаменатели к общему числу.

Примеры: [frac{4}{9}+frac{5}{8}=frac{4+5}{9 cdot 8}], точно так же и для вычитания.

Чтобы выполнить такое действие, как умножение обыкновенных дробей, нужно произвести умножение сначала с их числителями, а после и знаменателями.

Пример: [frac{4}{9} cdot frac{5}{8}=frac{4 cdot 5}{9 cdot 8}].

При умножении дроби на число, в такой вычислении просто умножается числитель на заданное число, а знаменатель остаётся тем же.

Пример: [frac{4}{9} cdot 6=frac{4 cdot 6}{9}];

Что же касается деления, то при делении одной дроби на другую, нужно произвести умножение, при котором первая дробь остаётся в неизменном виде, а вторая переворачивается. То есть получается мы умножаем числитель первой дроби данного примера, на знаменатель второй, и полученное число находится в верхней части дроби, а в нижней умножение знаменателя первой дроби на числитель второй.

Пример: [frac{4}{9} backslash frac{5}{8}=frac{4 cdot 8}{9 cdot 5}].

Сравнение дробей

Чтобы провести сравнение с разными делителями (знаменателями), необходимо сделать так, чтобы знаменатель стал общим только тогда можно будет сравнить числители. Соответственно, где числитель больше там и дробь больше.

Основное свойство дробей

Основным свойством дроби является выражение — «числитель и знаменатель можно делить и умножать на одно и то же число при этом значение всей дроби не поменяется.»

Еще одно определение которое пригодится нам для сокращения дроби это НОД.

НОД — наибольший общий делитель.

Общий делитель — это число, которое может быть делителем каждого из указанных чисел.

Пример: если взять число 3, то оно станет общим делителем для чисел 6 и 9. так как 9=3*3 а 6=3*2.

Алгоритм Евклида для вычисления НОД (наибольшего общего делителя)

Не всегда, сходу, можно понять какое число является наибольшим общим числителем, особенно если числа крупные, поэтому существует специальный алгоритм для выведения такого числа НОД.

Суть алгоритма такова: для нахождения НОД чисел а и b (где они целые и положительные числа, к тому же a больше b), выполняется ряд делений с остатком, получается ряд равенств, где деление останавливается в том случае если r_k+1=0, при этом r_k=НОД(a, b)

Пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

Д (28) = 2 * 2 * 7

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Сокращение дроби

Выражение сократить дробь, фактически означает что необходимо провести деление её числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное единице.

Результатом таких действий станет появление новой дроби, значение которой, равно первичной.

Например: возьмём обыкновенную дробь [frac{12}{44}] и произведем сокращение. Для этого разделим и числитель и знаменатель на 2, получится такая дробь [frac{12}{44} backslash 2=frac{12 backslash 2}{44 backslash 2}=frac{6}{22}].

Несократимый вид дроби, приведение к такому виду

Обычно целью таких манипуляций с дробями является получение из исходного вида дроби несократимый. К примеру дробь, которая получилась у нас выше, [frac{6}{22}] при сокращении на два, как мы видим все ещё можно сократить.

Для того чтобы привести дробь к виду несократимой, нужно выполнить манипуляции по делению, числителя и знаменателя на наибольший НОД. В таком случае по свойству НОД в числителе и знаменателе окажутся простые числа, а дробь будет несократимой.

[
frac{a}{d}=frac{a backslash text { НОД }(a, d)}{d backslash text { НОД }(a, d)}
]

Из вышесказанного следует, что приведение дроби к несократимому виду значит, нужно произвести деление числителя и знаменателя на их НОД.

Пример: вернёмся к нашему примеру дроби [frac{12}{44}], для приведения ее к несократимому виду нужной сначала найти наибольший общий делитель чисел 12 и 44. таким числом НОД для них является цифра 4.

Получается: [frac{12}{44}=frac{12 backslash 4}{44 backslash 4}=frac{3}{11}].

Для чего нужно сокращение? Такие манипуляции с дробями необходимо применять, в случаях работы с большими числами.

Стоит вспомнить негласное правило математики, суть его в том, что если что-то можно сделать проще нужно упростить. Поэтому, говоря о сокращении дроби, имеется в виду именно приведение к несократимому виду, а не просто уменьшение числителя и знаменателя.

Правило сокращения

Для того чтобы сократить, необходимо:

• Найти делитель наибольшего значения, который будет общим для знаменателя и числителя;
• Разделить числитель и знаменатель на него.

Примеры:

Дана такая дробь: [frac{182}{195}]. сократим её.

Найдём такой делитель, при помощи применения алгоритма Евклида.

195 = 182 *1+13

182=13*14

Из чего следует, что НОД_(182,195)=13

Поэтому для сокращения дроби [frac{182}{195}], разделим числитель 182 и знаменатель 195 на 13 и получим равенство: [frac{182}{195}=frac{182 backslash 13}{195 backslash 13}=frac{14}{25}]

Таким образом мы и получили несократимую дробь равную исходной.

Второй способ.

Второй способ основан на разложении числителя и знаменателя исходной дроби на простые множители, из которых позже все общие множители убираются.

Пример сокращения: [frac{123}{154}] для сокращения представим числитель и знаменатель дроби в виде простых множителей

[
frac{182}{195}=frac{2 cdot 7 cdot 13}{3 cdot 5 cdot 13}
]

Затем уберём все общие множители, как в числителе так и в знаменателе, [frac{182}{195}=frac{2 cdot 7 cdot 13}{3 cdot 5 cdot 13}=frac{2 cdot 7}{3 cdot 5}=frac{14}{15}]

Третий способ сокращения дроби.

Третий способ — способ последовательного сокращения. Применяя такой способ, сокращение происходит поэтапно, сокращая каждый раз на какой-либо очевидный общий множитель.

Пример: [frac{18000}{22000}]

При сокращении такой дроби сразу можно увидеть, что и числитель и знаменатель деяться на 1000 в результате такого деления получается:

[
frac{18000}{22000}=frac{18000 backslash 1000}{22000 backslash 1000}=frac{18}{22}
]

Следующим этапом мы видим, что оба значения и числителя, и знаменателя делятся на 2, получим несократимую дробь.

[
frac{18}{22}=frac{18000 backslash 2}{22000 backslash 2}=frac{9}{11}
]

Как мы видим сокращение дроби не такой сложный процесс, главное подобрать удобный способ.

Сокращение алгебраической дроби

Так же, как и в примерах выше, сокращение алгебраической дроби, это деление числителя и знаменателя на общий делитель. Отличие в том, что в алгебраической, таким общим множителем является многочлен и одночлен.

Для того чтобы сократить такие дроби нужно пройти три этапа:

• Определение множителя, который будет общим для числителя и знаменателя;
• Сокращение коэффициента;
• Деление числителя и знаменателя на множитель.

Сокращая дробь со степенями, применяется правило деления степеней с равными основаниями.

Формула:

[
a^{n} div a^{m}=a^{n-m}
]

Рассмотрим пример сокращения со степенями:

[
frac{x^{3}}{x^{2}}=frac{x^{3} / x^{2}}{x^{2} / x^{2}}=frac{x^{3-2}}{x^{2-2}}=frac{x^{1}}{x^{0}}=frac{x}{1}=x
]

Исходя из вышеописанной схемы:

• Сокращаем x³ и x^2;
• Производим деление выбирая меньшее значение степени;
• Вычитаем.

В результате получаем сокращенную дробь.

Не забываем, что сократить можно только одинаковые буквенные множители.

Сокращение дробей с одночленами.

Пример: [frac{40 x}{5 x^{2}}=frac{8}{x^{2-1}}=frac{8}{x}]

Решение:

• 8 — тот самый множитель, который является общим

• Х и x2 делим на x и получаем ответ.

Дроби с многочленами: сокращение.

Для сокращения таких видов, существует два правила:

• Сократить многочлен в взятый в скобки, можно только с точно таким же многочленом в скобках;
• Сократится должен весь многочлен, взятый в скобки, нельзя сократить только часть.

Пример: [frac{x-c}{x(x-c)}=frac{1}{x}]

Вынесение общего множителя при сокращении.

Бывают случаи, когда при сокращении алгебраической дроби с многочленами, их нет одинаковых, в таком случае нужно убрать общий множитель за скобки.

Для такого вынесения тоже существуют правила их 4:

1. необходимо найти число, на которое можно разделить числа каждого одночлена;
2. необходимо также найти буквенный множитель, который повторяется, в каждом одночлене, их может быть несколько;
3. выносим буквенный множитель, который был найден, за скобки;
4. производим работу с оставшимися многочленами в скобках.

Для того чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо по очереди умножить каждый член многочлена на одночлен.

Приведём пример:

[frac{6 x+42 a}{7 a+x}=frac{6(x+7 a)}{7 a+x}=frac{6}{7}]

Калькулятор сокращения дробей

Подведём итоги. Для того чтобы не возникло трудностей с сокращением, стоит запомнить:

• Сокращая дробь вам необходимо найти общий множитель для числителя и знаменателя, если речь идет об алгебраических дробях, но и НОД обыкновенных;
• Разделить числитель и знаменатель на общий множительделитель;
• Если дробь алгебраическая, при делении многочлена на множитель необходимо вынести общий множитель за скобки;
• Стоит хорошо выучить все формулы и определения, связанные с дробями.
• Всегда проверять результат сокращения.

Наибольший общий делитель (сокращённо НОД) необходим для того, чтобы работать с обыкновенными дробями. Также он тесно связан с другим математическим понятием — наименьшим общим кратным. На этом уроке мы разберём способы нахождения НОД и рассмотрим признаки деления на разные числа.

Знакомство с наибольшим общим делителем

Наибольший общий делитель заданных чисел (НОД) – это наибольшее число, на которое все заданные числа делятся без остатка

При вычислениях нам помогут признаки деления на число. Они есть у многих чисел. Нам понадобятся вот эти четыре, если их запомнить, они станут нашими помощниками.

Признаки деления по последнему числу:

Число делится на $2$, если оно чётное, т.е. заканчивается на чётную цифру: $0, 2, 4, 6, 8$

Число делится на $5$, если его последняя цифра равна $0$ или $5$

Кроме того, существуют признаки деления и для других чисел, некоторые из них очень интересны:

Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.
Например, $21 (2+1=3)$ и $69 (6+9=15)$

Число делится на $ 7 $, если утроенное число десятков плюс число единиц делится на $7$.
Например, число $154 (15cdot 3 + 4 = 49) $

Также нам нужно, чтобы число делилось без остатка. Если в итоге деления получается остаток, то такое число не является множителем данного числа.

Первый способ нахождения НОД

Существует три способа нахождения НОД. Эти способы имеют очень много общего между собой, но мы разберём их все.

Первый способ заключается в нахождении всех возможных делителей для числа.

Проще рассматривать сразу на примерах. Например, нам нужно сократить дробь $frac{12}{40}$.

Делители числа $12$: $2, 3, 4, 6, 12$

Мы не берём $1$, так как единица для нас бесполезна в качестве делителя, потому что даёт в результате то же число. Также мы отбросили $5, 7, 8, 9, 10, 11$ ( потому что число $12$ нельзя поделить на эти числа без остатка).

Делители числа $40$: $2, 4, 5, 8, 10, 20$

Теперь запишем все наши делители. Вот что получилось:

Теперь нам сразу видно, какие числа общие. Это $2$ и $4$. Так как $4$ больше, оно и является наибольшим общим делителем.

Второй способ нахождения НОД

Второй и третий способы базируются на том, что мы раскладываем числа не на делители, а на простые множители.

Для нахождения НОД нескольких чисел данные числа нужно разложить на множители и определить общие для обоих чисел. Если такой множитель один, он и будет являться наибольшим общим делителем. Если общих множителей несколько, то наибольшим общим делителем будет являться произведение этих множителей

Простой множитель — это простое число.

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на два натуральных числа — единицу и само себя.

И так как для нахождения НОД нам нужны только простые множители, нашими делителями чаще всего будут только $ 2, 3, 5, 7 $.

Мы не будем делить на $4$ , потому что $4$ – это $2 cdot 2$, на $6$, потому что это $3cdot 2$. $8$ и $9$ также можно разложить на множители. Значит, выбор вариантов, на которые можно разделить число, невелик.

Сначала пробуем поделить число на $2$, затем на $3$, на $5$ и так далее.

При нахождении НОД этим способом мы будем записывать делители и промежуточные результаты деления в столбик. Так они остаются у нас на виду, и мы не запутаемся. Сначала пишем наше число, потом ставим вертикальную черту и напротив числа пишем первый делитель – то есть число, на которое собираемся разделить наше число.

Итак. Справа у нас $12$, слева – простой делитель, например, $2$.

$$12:2=6$$

Записываем частное под цифрой «12». Почему там? Потому что теперь мы будем делить уже «6», и так, пока будет возможно делить без остатка.

Получается вот такая запись:

Частные, которые получились слева, нам уже не нужны. Нам нужны числа справа, так как именно там у нас записаны делители. Но постойте, нам же были нужны множители?

Это и есть множители. Мы разобрали число на них, как конструктор разбирают на детальки, и из них же можем сложить. Давайте проверим:

$$2 cdot 3 cdot 2=12$$

Теперь таким же образом «разберём» число $40$.

$40$ делится без остатка также на $4, 8, 10$. Почему мы не можем использовать эти множители?

Показать ответ

Скрыть

Теперь самое интересное. Находим среди множителей обоих чисел одинаковые числа и перемножаем их между собой. То, что получится, и будет НОД – наибольший общий делитель для обоих чисел.

Второй способ наиболее распространён, потому что позволяет удобно записывать промежуточные результаты деления и делители. При записи первым способом мы записываем только делители и легко «потерять» какие-то из них, особенно если их много и они повторяются.

Третий способ нахождения НОД

Третий способ похож на второй. Мы также пишем числа в столбик, но затем не выделяем общие, а берём множители одного числа и вычёркиваем из них те, которые не встречаются во втором числе.

Этот способ не сильно отличается от второго (да и от первого тоже): мы точно таким же образом ищем общие множители, только не выделяем общие, а вычёркиваем те, которые общими не являются.

Записывают наибольший общий делитель так:

НОД ($12$ и $40$) $= 4$

Теперь, когда мы знаем НОД, мы можем легко сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД. У нас получится так:

$$frac{12}{40} = frac{12:4}{40:4}=frac{3}{10}$$

Также мы можем использовать НОД для нахождения НОК (наименьшего общего кратного).

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Обыкновенные дроби
5. Наибольший общий делитель

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 141,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 146,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 147,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 154,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 247,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 150,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 240,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 255,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 351,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;

2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби     и   . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к    пиццы прибавить   пиццы, то получится   пиццы:

Пример 2. Сложить дроби   и   .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь  .  Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к   пиццы прибавить еще   пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3. Сложить дроби     и    .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к   пиццы прибавить ещё   пиццы, то получится   пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения  

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к   пиццы прибавить   пиццы и ещё прибавить   пиццы, то получится 1 целая и ещё   пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби    и    сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби     и     сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Сложим дроби   и 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям   и  . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается.  К   прибавить   получается  .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к   пиццы прибавить   пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби   и   к общему знаменателю, мы получили дроби   и  . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь   (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь   (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем   (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили   (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.

Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;

2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;

3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;

4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;

5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения   .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ 

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, найдём значение выражения    . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от   пиццы отрезать    пиццы, то получится   пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения  .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от   пиццы отрезать    пиццы, то получится   пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения 

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;

2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в  ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби   можно вычесть дробь  , поскольку у этих дробей  одинаковые знаменатели. А вот от дроби   нельзя вычесть дробь  , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения: 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям   и 

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ 

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от   пиццы отрезать   пиццы, то получится   пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей   и   к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби   и  . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь   (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь   (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь   и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли  к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь  , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби   на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ 

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Умножить дробь   на число 1.

Умножим числитель дроби   на число 1

Запись   можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если   пиццы взять 1 раз, то получится   пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение  , записать как  , то произведение по прежнему будет равно  . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется   пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения 

Умножим числитель дроби   на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение   можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если   пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение  . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение   можно вычислить двумя способами.

Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби  , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

А вот к примеру выражение   можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби  , а знаменатель оставить без изменений:

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби   не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением  деление выполнено только в числителе, поскольку записать   это всё равно, что записать  . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения  .

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

Получили ответ  . Желательно сократить данную дробь. Дробь   можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение   можно понимать, как взятие   пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится   пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения   равно 

Пример 2. Найти значение выражения 

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения 

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как   . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение     означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь   на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число  , поскольку при умножении 5 на   получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

• обратным числа 2 является дробь 

• обратным  числа 3 является дробь 

• обратным числа 4 является дробь 

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:

• для дроби   обратной дробью является дробь  

• для для дроби   обратной дробью является дробь 

• для дроби   обратной дробью является дробь 

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет   пиццы. Значит каждому достанется по   пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь   на число 2. Здесь делимым является дробь  , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь   на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь  . Значит нужно умножить   на 

Получили ответ  . Значит при делении половины на две части получается четверть.

Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:

Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:

Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:

Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь 

В обоих случаях получился один и тот же результат.

Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить   на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь 

Пример 2. Найти значение выражения 

Умножим первую дробь на число, обратное делителю:

Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:

Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:

Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5

10 : 2 = 5

Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь 

Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.

Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.

Пример 3. Найти значение выражения 

Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь 

Допустим, имелось   пиццы:

Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков

Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет  . Поэтому при делении   на 6 получается 

Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на  .

Чтобы разделить число 1 на  , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби  . А обратная дроби   это дробь 

Выражение   можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза

Пример 2. Найти значение выражения 

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь 

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Например, разделим   на 

Чтобы разделить   на  , нужно   умножить на дробь, обратную дроби  . А обратная дроби   это дробь 

Допустим, имеется половина пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:

Пример 1. Найти значение выражения  

Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:

Пример 2. Найти значение выражения 

Умножаем первую дробь на дробь обратную второй: