Внутренний крутящий момент в сечении вала Мк (может быть обозначен буквой Т, Мz) вычисляется с помощью метода сечений, при этом моменты учитываются по одну сторону от сечения.
где Мi – внешний активный или реактивный крутящий момент; правило знаков для внутренних крутящих моментов устанавливается произвольно.
Для вала с круглым (в т.ч. в виде кольца) поперечным сечением касательные напряжения определяются по формуле:
где 
— это полярные моменты инерции для сплошного и кольцевого сечений соответственно, ρ – координата произвольной точки сечения, D, d – наружний и внутренний диаметры сечения.
Максимальные касательные напряжения действуют в точках поверхностного слоя при ρ=ρmax
Условие прочности по допускаемым напряжениям
где — 
это допускаемое касательное напряжение.
Угол закручивания (рад) на силовом участке вала при постоянных значениях крутящего момента и поперечного момента инерции для данного участка вычисляется следующим образом
где G – модуль сдвига
Относительный угол закручивания (рад/м) для силового участка
Условие жесткости при кручении вала с круглым поперечным сечением записывается в виде
где 
допускаемый относительный угол закручивания.
Для вала с прямоугольным поперечным сечением эпюры касательных напряжений имеют вид.
В характерных точках сечения
угол закручивания на силовом участке вала
где α, η, β – коэффициенты, зависящие от отношения a/b (или h/b — отношение большей стороны прямоугольника к меньшей)
Если вал с эллиптической формой поперечного сечения и полуосями a и b, то его характерные эпюры касательных напряжений будут выглядеть следующим образом.
Касательные напряжения в характерных точках сечения
Угол закручивания на силовом участке вала
Кручение бруса тонкостенного замкнутого круглого сечения
Тонкостенное круглое сечение характеризуется средним радиусом Rср и толщиной стенки трубы δ:
Считается, что касательные напряжения по толщине стенки распределяются равномерно и равны:
Угол закручивания
Кручение пустотелых валов круглого сечения
Трубчатое сечение бруса в условиях кручения оказывается наиболее рациональным, так как материал из центральной зоны сечения, слабо напряженной, удален в область наибольших касательных напряжений. Вследствие этого прочностные свойства материала используются значительно полнее, чем в брусьях сплошного круглого сечения, и при всех прочих равных условиях применение трубчатого сечения вместо сплошного позволяет экономить материал.
Теория расчета бруса сплошного круглого сечения полностью применима и к пустотелым валам. Изменяются лишь геометрические характеристики сечения:
Кручение бруса прямоугольного сечения
Опыт показывает, что при кручении брусьев некруглого поперечного сечения сами сечения не остаются плоскими, то есть происходит депланация поперечных сечений. Исследовать напряженное и деформированное состояние таких брусьев при кручении методами сопротивления материалов не представляется возможным, так как в основе их лежит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).
Задача о кручении бруса некруглого, в частности, прямоугольного сечения решена с помощью метода теории упругости, и на основе этого решения предложены простые расчетные формулы, имеющие ту же структуру, что и формулы для бруса круглого сечения, а именно:
Здесь: Wк=α∙h∙b2– момент сопротивления при кручении,
Iк=β∙h∙b3 – момент инерции при кручении.
В этих формулах: b – меньшая из сторон прямоугольника,
h – большая сторона,
α, β – коэффициенты, значения которых приводятся в таблице в зависимости от отношения сторон h/b (эта таблица содержится в рубрике «Кручение» или в любом учебнике сопротивления материалов).
Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению тоже отличается от распределения в круглом сечении:
Значения коэффициента γ<1 берутся из той же таблицы, что и значения α и β.
Условие прочности при кручении вала
Условие
прочности при кручении с учетом принятых
обозначений формулируется следующим
образом: максимальные
касательные напряжения, возникающие в
опасном сечении вала, не должны превышать
допускаемых напряжений и
записывается в виде
.
Из
условия прочности можно определить
диаметр вала:
—
сплошного сечения
,
—
кольцевого сечения
.
Как
следует из закона парности касательных
напряжений, одновременно с касательными
напряжениями, действующими в плоскости
поперечного сечения вала, имеют место
касательные напряжения в продольных
плоскостях. Они равны по величине парным
напряжениям, но имеют противоположный
знак. Таким образом, все элементы бруса
при кручении находятся в состоянии
чистого сдвига. Так как чистый сдвиг
является частным случаем плоского
напряженного состояния, при котором
,
,
,
то при повороте граней элемента на 450
в новых площадках обнаруживаются только
нормальные напряжения, равные по величине
(рис.5.7).
Рассмотрим
возможные виды разрушения валов,
изготовленных из различных материалов
при кручении. Валы из пластичных
материалов чаще всего разрушаются по
сечению, перпендикулярному к оси вала,
под действием касательных напряжений,
действующих в этом сечении (рис.5.8а).
Валы из хрупких материалов, разрушаются
по винтовой поверхности наклоненной к
оси вала под углом 450,
т.е. по направлению действия максимальных
растягивающих напряжений (рис.5.8б). У
деревянных валов первые трещины возникают
по образующим цилиндра, так как древесина
плохо сопротивляется действию касательных
напряжений, направленных вдоль волокон
(рис.5.8в).
|
|
Таким
образом, характер разрушения зависит
от способности материала вала
сопротивляться воздействию нормальных
и касательных напряжений. В соответствии
с этим, допускаемые касательные напряжения
принимаются равным
—
для хрупких материалов и
—
для пластичных материалов.
Рациональная
форма сечения вала
Анализируя
эпюру касательных напряжений (рис.5.6)
можно отметить, что наибольшие напряжения
возникают на поверхности вала, в
центральной части они значительно
меньше и на продольной оси равны нулю.
Следовательно, в сплошном валу материал,
находящийся в центральной части в
значительной степени недогружен, его
вклад в прочность вала мал. Поэтому
рациональным
для валов считается кольцевое
сечение.
Деформации
при кручении и условие жесткости
Из
выражения (5.3) следует, что
,
интегрируя
которое по длине вала, получим:
.
Если
крутящий момент и величина
Если
Мк
= const
и
=
const
по всей длине вала, то
,
где
—
жесткость
вала при кручении.
Угол
закручивания, приходящийся на единицу
длины, называют относительным
углом закручивания
.
Для
обеспечения требуемой жесткости вала
необходимо, чтобы наибольший относительный
угол закручивания не превосходил
допускаемого:
.
Эта
формула выражает условие жесткости
вала при кручении. Обычно принимается
на
1 м длины вала.
Пример
3.
К стальному валу приложены скручивающие
моменты: М1,
M2,
M3,
M4.
Требуется:
1)
построить эпюру крутящих моментов;
2)
при заданном значении [τ] определить
диаметр вала из расчета на прочность и
округлить его величину до ближайшей
большей, соответственно равной: 30, 35,
40, 45, 5O,
60, 70, 80, 90, 100 мм;
3
)
построить эпюру углов закручивания;
4)
найти наибольший относительный угол
закручивания.
М1
= М3
= 2 кНм,
М2
= М4
= 1,6 кНм,
а
= b
= с = 1,2 м,
[τ]
= 80 МПа.
Решение.
1.
Построить эпюру крутящих моментов.
При
построений эпюр Мкр
примем следующее правило знаков: крутящий
момент считается положительным, если
при взгляде в торец отсеченной части
бруса действующий на него момент
представляется направленным по движению
часовой стрелки.
Крутящие
моменты, возникающие в поперечных
сечениях брусьев, определяются по
внешним окручивающим моментам с помощью
метода сечений. На основании метода
сечения крутящий момент в произвольном
поперечном сечении бруса численно равен
алгебраической сумме внешних скручивающих
моментов, приложенных к брусу по одну
сторону от рассматриваемого сечения.
Для
брусьев, имеющих один неподвижно
закрепленный (заделанный) и один свободный
конец, крутящие моменты всех поперечных
сечений удобно выражать через внешние
моменты, приложенные с той стороны от
рассматриваемого сечения, с которой
расположен свободный конец. Это позволяет
определять крутящие моменты, не вычисляя
реактивного момента, возникающего в
заделке.
Для
построения эпюры крутящих моментов
необходимо найти величины крутящих
моментов на каждом участке вала.
I
участок (КД):
кНм,
II
участок (СД):
кНм,
III
участок (СВ):
кНм,
IV
участок (ВА):
кНм.
П
о
значению этих моментов строим эпюру
Мкр
в выбранном масштабе. Положительные
значения Мкр
откладываем вверх, отрицательные — вниз
от нулевой линии эпюры (рис.).
2.
При заданном значении [τ]
определим диаметр вала из расчета на
прочность.
Условие
прочности при кручении имеет вид
.
—
максимальный крутящий момент, взятый
по абсолютной величине. Определяется
из эпюры Мкр
(рис.).
кНм;
—
полярный момент сопротивления для
сплошного круглого вала.
Диаметр
вала определяется по формуле
Принимаем
d
= 50 мм = 0,05 м.
3.
Построим эпюру углов закручивания.
Угол
закручивания участка вала длиной l
постоянного поперечного сечения
определяется по формуле
.
где
G
· J
— жесткость сечения вала при кручении.
;
JP
—
полярный момент инерции круглого вала
.
Вычислим
углы закручивания сечений В, С, D
и К относительно закрепленного конца
вала (сечения А)
рад,
рад,
рад,
рад.
Строим
эпюру углов закручивания (рис.).
4,
Найдем наибольший относительный угол
закручивания
рад/м.
Пример
4.
Определить напряжения и погонный угол
закручивания стальной разрезной трубы
(рис.5.8), имеющей диаметр средней линии
d=97,5
мм и толщину δ=2.5
мм. Крутящий момент – 40 Нм. Модуль сдвига
материала трубы G=8·104
МПа. Сравнить полученные напряжения и
угол закручивания с напряжением и углом
закручивания для сплошной трубы.
Рис.
5.8.
Касательные
напряжения в разрезной трубе, представляющей
собой тонкостенный стержень, определим
по формуле
где
h=πd
— развернутая длина осевой линии трубы.
Напряжение
в сплошной трубе определяется по формуле
Угол
закручивания на метр длины для разрезной
трубы определяется по формуле
Погонный
угол закручивания для сплошной трубы
определяется по формуле
Таким
образом, в сплошной трубе по сравнению
с разрезанной вдоль образующей при
кручении напряжения меньше в 58.3 раза,
а угол закручивания – в 1136 раз.
Пример
5.
Подобрать диаметр сплошного вала,
передающего мощность N=450
л.с. при частоте вращения n=300
об/мин. Угол закручивания не должен
превышать одного градуса на 2
метра длины вала; [τ]=40
МПа, G=8·104
МПа.
Крутящий
момент определяем из уравнения
Диаметр
вала по условию прочности определяется
из уравнения
Диаметр
вала по условию жесткости определяется
из уравнения
Выбираем
больший размер 0,112 м.
Пример
6.
Имеются два равнопрочных вала из одного
материала, одинаковой длины, передающих
одинаковый крутящий момент; один из них
сплошной, а другой полый с коэффициентом
полости α=0.8.
Во сколько раз сплошной вал тяжелее
полого?
Равнопрочными
валами из одинакового материала считаются
такие валы, у которых при одинаковых
крутящих моментах, возникают одинаковые
максимальные касательные напряжения,
то есть
.
Условие
равной прочности переходит в условие
равенства моментов сопротивления:
.
Откуда
получаем:
.
Отношение
весов двух валов равно отношению площадей
их поперечных сечений:
.
Подставляя
в это уравнение отношение диаметров из
условия равной прочности, получим
.
Как
показывает этот результат, полый вал,
будучи одинаковым по прочности, вдвое
легче сплошного. Это объясняется тем,
что в силу линейного закона распределения
касательных напряжений по радиусу вала,
внутренние слои относительно мало
нагружены.
Пример
7.
Имеются два равнопрочных вала из одного
материала, одинаковой длины, передающие
одинаковый крутящий момент; один из них
круглого поперечного сечения, а другой
— квадратного. Во сколько раз квадратный
вал тяжелее круглого?
Условие
равной прочности имеет следующий вид:
,
где
Wк=αhb2;
значение коэффициента α
определяется по таблице (см. Справочные
данные)
и составляет для квадратного сечения
(b=h)
α=0.208.
Из
условия равной прочности получаем:
.
Отношение
весов двух валов равно отношению площадей
их поперечных сечений:
.
Подставляя
в это уравнение отношение b/D
из условия равной прочности, получим
.
Потенциальная
энергия деформации при кручении.
Элементарная
работа статически приложенного внешнего
момента Т
на перемещении
равна:
.
При
чистом кручении Мк
= Т
и
.
Потенциальная
энергия деформации
;
интегрируя
выражение для элементарной работы по
всей длине l
стержня, получим
.
При
Мк
= const
и
=
const,
получим
.
Практические
примеры расчета на сдвиг. Заклепочные
соединения.
Понятие
о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание.
Мы
изучали, что при простом растяжении или
простом сжатии две части стержня,
разделенные наклонным сечением, стремятся
не только оторваться
друг от друга, но и сдвинуться
одна относительно другой. Растяжению
сопротивляются нормальные,
а сдвигу — касательные
напряжения.
На
практике целый ряд деталей и элементов
конструкций работает в таких условиях,
что внешние силы стремятся их разрушить
именно путем сдвига.
В
соответствии с этим при проверке
прочности таких элементов на первый
план выступают касательные напряжения.
Простейшими примерами подобных деталей
являются болтовые и заклепочные
соединения. Заклепки во многих случаях
уже вытеснены сваркой; однако они имеют
еще очень большое применение для
соединения частей всякого рода
металлических конструкций: стропил,
ферм мостов, кранов, для соединения
листов в котлах, судах, резервуарах и
т. п. Для образования заклепочного
соединения в обоих листах просверливают
или продавливают отверстия. В них
закладывается нагретый до красного
каления стержень’ заклепки с одной
головкой; другой конец заклепки
расклепывается ударами специального
молотка или давлением гидравлического
пресса (клепальной машины) для образования
второй головки. Мелкие заклепки (малого
диаметра — меньше 8 мм)
ставятся в холодном состоянии (авиационные
конструкции).
Для
изучения работы заклепок рассмотрим
простейший пример заклепочного соединения
(Рис.5.9). Шесть заклепок, расположенных
в два ряда, соединяют два листа внахлестку.
Под действием сил Р
эти листы стремятся сдвинуться один по
другому, чему препятствуют заклепки,
на которые и будет передаваться действие
сил P).
Рис.5.9.
Расчетная схема заклепочного соединения
Для
проверки прочности заклепок применим
общий порядок решения задач сопротивления
материалов.
На
каждую заклепку передаются по две равные
и прямо противоположные силы: одна—от
первого листа, другая — от второго.
Опытные исследования показывают, что
одни из заклепок ряда нагружаются
больше, другие — меньше. Однако к моменту
разрушения усилия, передающиеся на
различные заклепки, более или менее
выравниваются за счет пластических
деформаций. Поэтому принято считать,
что все заклепки работают одинаково.
Таким образом, при
заклепках
в соединении, изображенном на рис.5.9, на
каждую из них действуют по две равные
и противоположные силы
(Рис.5.10);
эти силы передаются на заклепку путем
нажима соответствующего листа на боковую
полуцилиндрическую поверхность стержня.
Силы
стремятся
перерезать
заклепку по плоскости mk
раздела обоих листов.
Рис.5.10.
Силы, действующие на заклепочное
соединение.
Для
вычисления напряжений, действующих по
этой плоскости, разделим мысленно
заклепочный стержень сечением mk
и отбросим нижнюю часть (Рис.5.10). Внутренние
усилия, передающиеся по этому сечению
от нижней части на верхнюю, будут
уравновешивать силу
т.
е. будут действовать параллельно ей в
плоскости
сечения, и в сумме дадут равнодействующую,
равную
.
Следовательно, напряжения, возникающие
в этом сечении и действующие касательно
к плоскости сечения, это — касательные
напряжения
.
Обычно принимают равномерное распределение
этих напряжений по сечению. Тогда при
диаметре заклепки d
на единицу площади сечения будет
приходиться напряжение:
Величина
допускаемого касательного напряжения
,
или, как говорят, допускаемого напряжения
на срез, принято определять в виде:
Зная
,
мы напишем условие прочности заклепки
на перерезывание в таком виде:
т.
е. действительное касательное напряжение
в
материале заклепки должно быть равно
допускаемому
или
меньше его.
Из
этого условия можно определить необходимый
диаметр заклепок, если задаться их
числом, и наоборот. Обычно задаются
диаметром заклепочных стержней d
в соответствии с толщиной t
склепываемых частей (обычно
)
и определяют необходимое число заклепок
:
Знаменатель
этой формулы представляет собой ту
силу, которую безопасно может взять на
себя каждая заклепка.
Пусть
;
тогда
Рис.5.11.
Расчетная модель действия нормальных
напряжений
При
выводе формулы расчета заклепки на
перерезывание, помимо оговоренных,
допущена еще одна неточность. Дело в
том, что силы
действующие
на заклепку, не направлены по одной
прямой, а образуют пару. Эта пара
уравновешивается другой парой,
образующейся из реакций соединенных
листов на головку заклепки (Рис.5.11) и
ведет к появлению нормальных напряжений,
действующих по сечению mk
Кроме
этих нормальных напряжений, по сечению
mk
действуют еще нормальные напряжения,
вызванные тем, что при охлаждении
заклепочный стержень стремится сократить
свою длину, чему мешает упор головок
заклепки в листы. Это обстоятельство,
с одной стороны, обеспечивает стягивание
заклепками листов и возникновение между
ними сил трения, с другой — вызывает
значительные нормальные
напряжения по сечениям стержня заклепки.
Особых неприятностей эти напряжения
принести не могут. На заклепки идет
сталь, обладающая значительной
пластичностью; поэтому даже если бы
нормальные
напряжения достигли предела текучести,
можно ожидать некоторого пластического
удлинения стержня заклепки, что вызовет
лишь уменьшение сил трения между листами
и осуществление в действительности той
схемы работы заклепки на перерезывание,
на которую она и рассчитывается. Поэтому
эти нормальные напряжения расчетом не
учитываются.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
В этой статье начнем говорить о кручении. Это одна из базисных тем в сопромате, как и растяжение-сжатие. Знания этой темы помогут тебе при изучении более сложных тем курса «сопротивление материалов».
Кручение – это такой вид деформации, при котором в сечениях стержня возникают крутящие моменты (T).
На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Детали, которые широко используются в машиностроении.
Что такое крутящий момент?
Крутящий момент – это внутренний силовой фактор, возникающий в сечениях стержней испытывающих деформацию кручения.
На практике же стержни не работают исключительно на кручение, они могут и растягиваться, и изгибаться. Но это уже более продвинутые темы – сложное сопротивление. В этом же разделе будем рассматривать чистое кручение.
В чем измеряется крутящий момент и как обозначается?
Крутящие моменты обозначаются буквой – T (сокращённое с английского: Torque – крутящий момент), однако, часто в другой литературе ты можешь встретить обозначение — Мкр. Ты можешь использовать любое обозначение, какое больше нравиться, либо которое использует твой преподаватель.
В задачах тебе будут даны крутящие моменты, скорее всего, в Н·м либо кН·м.
Построение эпюры крутящих моментов
В этой статье расскажу, как строить эпюры при кручении: крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания (углов поворотов).
На самом деле, многие рассматриваемые здесь принципы сильно похожи на те, что мы изучали ранее в уроке про построение эпюр при растяжении (сжатии). Здесь фактически будем делать всё то же самое, только оперировать другими обозначениями и названиями. После изучения того урока, с кручением у тебя точно не возникнет никаких трудностей.
В качестве примера, возьмём следующую расчётную схему:
Будем считать, что стержень изготовлен из стали (G = 8 · 1010 Па), а диаметры ступеней равны: d1=150 мм, d2=200 мм, d3=300 мм.
Под действием внешних моментов (M), их еще часто называют вращающими или скручивающими моментами, в поперечных сечениях стержня возникают внутренние моменты – крутящие (T).
Правило знаков для крутящих моментов
Чтобы построить эпюру крутящих моментов, необходимо задаться каким-то правилом знаков для крутящих моментов. В этой статье я буду использовать следующее правило:
- Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то крутящий момент (T) – положительный.
- Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то крутящий момент (T) – отрицательный.
Можно учитывать знак крутящего момента ровно наоборот. Главное, придерживаться этого правила при расчёте всех участков и ориентироваться по полученным эпюрам: в какую сторону у тебя будут направлены внешние моменты, внутренние – крутящие моменты, куда будут поворачиваться сечения. Как видишь, знаки здесь нам нужны, чтобы задать определённые правила игры, а правило знаков – условное и не имеет физического смысла.
Расчёт крутящих моментов
Что же, давай, наконец, приступим к расчёту крутящих моментов. Пронумеруем расчётные участки:
Используя правило знаков, описанное выше, рассчитаем крутящие моменты на каждом участке:
По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:
Построение эпюры касательных напряжений при кручении
Касательные напряжения по высоте круглого сечения, будут распределены следующим образом:
Как видишь, касательные напряжения будут максимальны на поверхности стержня, они нас и будут интересовать больше всего, т. к. по ним выполняются прочностные расчёты, для них и будем строить эпюру – максимальных касательных напряжений.
Расчёт максимальных касательных напряжений
Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении, можно определить по формуле:
где Wp — полярный момент сопротивлния, T — крутящий момент.
Полярный момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле:
Поэтому формулу для нахождения максимальных касательных напряжений для круглого поперечного сечения, можно записать в следующем виде:
По условию задачи диаметры участков известны. Осталось вычислить максимальные касательные напряжения на каждом участке:
По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:
Построение эпюры углов закручивания (поворотов)
Под действием внешних – скручивающих моментов, поперечные сечения стержня будут поворачиваться на определенный угол (φ). В этом разделе будем учиться определять эти углы закручивания (поворотов) поперечных сечений и строить эпюру.
Обозначим точки в характерных сечениях стержня:
Расчёт начинаем от жёсткой заделки и сразу можем записать, что в точке A, угол поворота равен нулю, т. к. здесь заделка ограничивает любые повороты сечения:
Чтобы рассчитать поворот сечения B, нужно учесть поворот предыдущего сечения:
А также, угол закручивания участка между расчётными сечениями:
Угол закручивания участка можно посчитать по формуле:
где l – длина участка; Ip – полярный момент инерции; G – модуль сдвига.
G – модуль сдвига (модуль упругости 2 рода) – определяется при испытании образцов на кручение, тем самым зависит от материала образца.
Модуль сдвига (G) известен, по условию задачи.
Формула для определения полярного момента инерции для круглого сечения следующая:
Зная диаметры, сразу вычислим полярные моменты инерции для каждого участка:
Определим угол закручивания сечения B, с учётом вышеуказанных формул:
Также можно перевести это значение в привычные градусы:
Для двух других сечений расчёт производится аналогичным образом.
Угол поворота сечения С
Угол поворота сечения D
По рассчитанным значениям, построим эпюру углов закручивания поперечных сечений:
Таким образом, свободный торец стержня, повернётся на 0.58 градуса, относительно неподвижного сечения A.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчёты на прочность в целом похожи на расчёты при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений расчёт ведётся по касательным напряжениям.
На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Их назначение – передача крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет либо круглое сечение, либо кольцевое.
Условие прочности
За допустимое касательное напряжение [τ], часто в задачах по сопромату, принимают напряжение в два раза меньше, чем допустимое нормальное напряжение [σ]:
Максимальные касательные напряжения (τmax) в сечениях можно найти по формуле:
где T – крутящий момент в сечении;
Wp – полярный момент сопротивления сечения.
Полярные моменты сопротивления можно посчитать этим формулам.