Как найти наибольший радиус кривизны траектории

Радиус кривизны траектории

В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из  задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.

Задача 1.

Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.
Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:

Откуда :

То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.

Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому

Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: и . Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:

Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды.
Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной . По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:



Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси :

Определим полную скорость тела в момент времени :

Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:

А можно было сразу и косинус найти:

Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:

Ответ: м, м, м.

Задача 2.

Под каким углом к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли?
Запишем условие задачи так: а) , б).
а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения:
Определим теперь радиус кривизны в вершине:

По условию :





б) Мы уже определили , осталась максимальная высота подъема.

Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:



Приравниваем и :

Откуда .



Ответ: а) , б) .

1) найти радиус кривизны траектории в наивысшей точке полета.

.

2)найти радийс кривизны траектории в начальной точке полета.

.

3) найти радиус траектории.

Центр масс твёрдого тела движется так же как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе тела, под действием внешних сил, приложенных к данному телу.

Тело состоит из нескольких элементов. Уравнение i-го элемента массой m записывается так:

Где F_i внешняя сила, а ∑F_ik это сумма внутренних сил, действующих на i-ый элемент со стороны всех других элементов.

Сложим все аналогичные уравнения для всех элементов. Т.к. F_ik = -F_ki третьему закону Ньютона, то их сумма равна нулю.

После сложения получим:

Устойчивое равновесие — это равновесие, при котором, тело, выведенное из положения равновесия, вернётся в то же положение.

Неустойчивое равновесие — если тело, после смещения, не вернётся в это положение.

Скорость точки, движущейся по окружности ,часто называют Линейной скоростью ,чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью точки, обращающейся по окружности, и ее угловой скоростью существует связь. При равномерном движении точки по любой траектории модуль скорости равен s/∆t

Точка A, движущаяся по окружности радиуса R,за время ∆t проходит путь равный дуге A1A2

S=A1A2=∆ϕR .Модуль линейной скорости движения v= s/∆t ==∆ϕR/∆t=ωR

Итак , модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности :

Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности.

Модуль ускорения точки, движущейся по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как a=v²/R и v= ωR

Центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение (нормальное ускорение) — ускорение, направленное перпендикулярно мгновенной скорости и изменяющее ее по направление.

За время t точка А совершиит перемещение АА₁ = r . Рассмотрю треугольники ОАА₁ и А₁СВ (см. рисунок 1.82, а).Углы при вершинах этих равнобедренных треугольников равны( так как соответствующие стороны перпендикулярны ). => треугольники подобны. =>

Разделим обе части равенства на t, перейдем к пределу при стремлении интервала времени t 0:

Предел в левой части равенства есть модуль мгновенного ускорения, а предел в правой части равенства представляет собой модуль мгновенной скорости точки. Поэтому равенство примет вид:

Отсюда:

Очевидно, что модуль ускорения при равномерном движении точки по окружности есть постоянная величина, так как U и r не изменяются при движении

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9614 — | 7509 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

1.59. Радиус кривизны траектории в точке бросания: =

1.60. Радиус кривизны траектории в точке максимальной высоты А :

=

Замечание1: радиус кривизны …- сравнить …

Как будут двигаться от­но­­ситель­но друг друга два тела брошенные однов­ре­мен­­но под разными углами к горизонту?

1.61.

… —второе тело относительно первого тела будет двигаться равномерно и прямолинейно, и вектор перемещения, соединяющий тела, в любой момент времени будет параллелен вектору относительной скорости:

= =

Относительность ме­ха­­ни­ческого движения ­

§ 1.6.

1.63. Относительность ско­рос­ти.

= —скрость пловца относительно воды(отно­си­тель­ная скорость);

= —скорость течения отностительно берега (пере­носная скорость).

= —скорость пловца отно­сительно берега (абсолют­ная скорость)

= + (1)

…- формула сложения скоростей

= + (2)

…- формула сложения перемещений.

Замечание: формулы (1) и (2) формулы преобразования Гали­лея.

Пойдем в обратном порядке.

gh=3/4*(2/3*(g*t)^2);
t=(3*h/*g)^0,5, где g – ускорение свободно падения;
t

0,3 c
А Митин Андрей, по-моему, проврался: в выражении t=2/(h*(8*g*h/5)^0.5) проблемы с размерностью.

2) Аппроксимируем движение точки равномерным движением по окружности.
v=w*R; a=w^2*R; m=p/v=p/(w*R);
F=m*a=(p*w^2*R)/(w*R)=p*w;
F=0,1*0,5*pi Н=0,05*pi Н, где pi – число пи.

1) Тут пока выкладки получаются громоздкие – утомительно писать в подобном окне. Может, потом чего-нибудь попроще придумаю. Но ответ такой: максимальны радиус в крайних точках траектории (начальной и конечной моменты движения), а минимальный – в точке, что делит траекторию пополам и в которой движение горизонтально.
Конечные соотношения:
R(t)=v(t)^3/(g*v(0)*cos(A)), где g – ускорение свободного падения.

Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории в теоретической механике

Радиус кривизны траектории точки окружности

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

7.1. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.2. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.3. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки:

,

,

.

,

,

Модуль полного ускорения:

.

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.4. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.5. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки по осям :

,

,

Ускорения точки по осям:

,

,

.

Модуль касательного ускорения точки:

, а модуль нормального ускорения .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением .

7.6. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки по осям :

,

,

Ускорения точки по осям:

,

,

.

Модуль касательного ускорения точки:

,

а модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением .

7.7. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.8. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

.

,

,

Модуль полного ускорения:

.

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.9. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

.

,

,

Модуль полного ускорения:

.

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.10. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.11. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.12. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.13. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.14. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Найти: , , .

Решение: Скорости точки по осям :

,

,

,

Ускорения точки по осям:

,

,

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.15. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.16. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.17. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.18. Дан закон движения точки по окружности радиусом r . Определить:

1) скорость и ускорение точки при и ;

2) моменты остановки точки;

3) путь, пройденный точкой за 10секунд.

Дано: , , , .

Найти: , , , , , , П.

Решение: 1. На траектории отметим точку О – начало отсчета координаты s и укажем положительное направление отсчета этой координаты. Отметим положение точки в заданные моменты времени: При :

;

При :

.

Проведем из этих точек естественные оси координат.

Определим проекцию скорости на касательную:

.

При : ;

При : .

Векторы и совпадают со своими проекциями. Определим проекции ускорения на естественнее оси координат :

; , Полное ускорение точки .

При :

,

и

.

При :

,

и

.

2. Чтобы найти время остановки надо найти время, когда скорость точки равна нулю:

, получим и .

3. Поскольку за 10 секунд точка сделала две остановки, пройденный ею путь за 10с можно найти как сумму пути, пройденного от начала до первой остановки, от первой до второй остановки и от второй до момента времени :

,

; ; ; .

Путь пройденный точкой за 10 секунд:

.

7.19. Определить скорость, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , (1)

( x и y – в см , t и t ₁ – в с).

Найти: 1) вид траектории;

2) для t = t ₁ положение точки на траектории;

3) .

Решение: 1) Уравнение движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключаем время t из уравнений (1).

Возводя обе части равенств в квадрат, а затем складывая равенства, получаем , т.е. траекторией точки М является окружность радиуса 2, показанная на рис.1.

2) Определяем положение точки М в заданный момент времени t =1 с :

Вектор скорости точки

. (2)

(3)

Здесь – орты осей и ; – проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

, (4)

,

,

и модуль ускорения точки:

, (5)

Модуль касательного ускорения точки

, (6)

; (7)

выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направление и совпадают; знак «–» – что движение замедленное.

Вычисляем модуль касательного ускорения для заданного момента времени

Модуль нормального ускорения точки

. (8)

Если радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке неизвестен, то нормальное ускорение можно определить по формуле

. (9)

При движении точки в плоскости формула (9) принимает вид

.

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

. (10)

Воспользуемся в нашем случае формулой (10)

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим из выражения:

. (11)

Тогда

На рис. 1 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим и , причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор строим по составляющим и и затем раскладываем на составляющие и . Совпадение величин и , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

7.20. Определить скорость, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

( x и y – в см , t и t ₁ – в с).

Найти: 1) вид траектории;

2) .

Указания. Задача — относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения. В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t ₁ = 1 с .

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t :

Отсюда окончательно находим уравнение траектории точки (параболы, см. рисунок):

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

V = и при t ₁ = 1 с,

3. Аналогично найдем ускорение точки:

а =

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:

. (3)

ч исловые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (3), определены и даются равенствами (1) и (2).

Подставив в (3) эти числа, найдем сразу, что при t ₁ = 1 с

=7,49 см/с 2 .

5. Нормальное ускорение точки:

a _n = .

Подставляя сюда найденные числовые значения a ₁ и a _{1 τ} , получим, что при t ₁= 1 с

6. Радиус кривизны траектории ρ = V 2 / a _n .

Подставляя сюда числовые значения V ₁ и a _{1 n} , найдем, что при t ₁ = 1 с

Ответ: V ₁= 8 ,54 см/с, а ₁ =8 см/с 2 , =7,49 см/с 2 , a _{1 n} =2,81 см/с 2 , ρ₁ =25,95 см.

7.21. Точка движется по дуге окружности радиуса R =1 м по закону ( s – в метрах, t – в секундах), где s = AM (см. рисунок).

Найти: скорость и ускорение точки в момент времени t ₁ =1 с .

Определяем скорость точки:

V = ds / dt = .

При t ₁ =1 с получим = -1,26 м/ с .

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

,

п ри t ₁ = 1 с получим , учтя, что R = 1 м

,

тогда ускорение точки при t ₁ =1 с будет:

=1,59 м/с 2 .

Изобразим на рисунке векторы , , учитывая знак V ₁ и считая положительным направление от А к М.

7.22. По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t = t ₁(с) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

Дано: , , t ₁=1 сек ( x и y – в см , t и t ₁ – в с).

Найти: 1) вид траектории;

2) .

1) Найдём траекторию движения:

Для этого исключим параметр t .

Возведём во вторую степень, получившиеся уравнения, а затем сложим, таким образом, исключится t . Получим:

Это окружность с центром в точке с координатами (-1;0) и радиусом

2) Найдём положение точки на траектории в момент времени t = t _1:

3) Определим скорость токи:

Для нахождения вектора полной скорости необходимо сложить 2 вектора:

Найдём модуль полной скорости:

для момента времени t ₁:

4) Определим ускорение точки:

для момента времени t ₁:

для момента времени t ₁:

Найдём полное ускорение:

Найдём модуль полного ускорения:

для момента времени t ₁:

Определим касательное ускорение :

или,

для момента времени t :

Определим нормальное ускорение a_n :

для момента времени t ₁:

5) Из полученных результатов можно найти радиус кривизны траектории , в момент времени t ₁:

Действительно, этот радиус совпадает с радиусом окружности (траектории).

7.23. Точка М движется согласно уравнений ; ; ( x , y — в метрах, t — в секундах). Определить уравнение траектории точки, для момента времени t =1с, найти положение точки, а также скорость, полное, касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории.

1) Найдем уравнение траектории точки. Для определения уравнения траектории исключим из уравнений движения время . Из первого уравнения движения точки найдем

Из второго уравнения движения найдем

Возведя полученные значения ( правую и левую стороны уравнения ) в квадрат и складывая их находим:

.

Следовательно, траекторией точки является эллипс с центром в точке с координатами (3;1).

Вид траектории показан на рисунке.

2) Найдем положение точки в момент времени t =1с

; .

Положение точки М ₁ показано на рисунке.

3) Найдем скорость точки М

,

Где , или в момент времени t₁=1c

, или в момент времени t₁=1c

4) Найдём ускорение точки.

,

где , или ,

, или

5) Найдем касательное ускорение точки M,

6) Найдём нормальное ускорение точки M ,

7) Найдем радиус кривизны траектории точки М,

,

Направление векторов показано на рисунке.

Ответ: =7.85м/ c ; = 4.93 м/ c 2 ; =0; = 4.93 м/ c 2 ; м

7.24. Пусть точка М движется в плоскости xOy в соответствии с уравнениями . Для момента времени = 0,5 с найти положение точки М на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение: Заданный закон движения точки в координатной форме можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Исключим время t из уравнений движения и получим уравнение траектории точки в виде:

.

Таким образом, траекторией точки М является эллипс со смещенным центром, изображенный на рис. Отметим на траектории положение точки М ₁ ( x ₁, y ₁) в момент времени t ₁ = 0,5 c

;

.

Вектор скорости точки представим в виде:

,

где – орты координатных осей О x и О y ; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от соответствующих координат по времени

В момент времени t ₁ = 0,5 c

Вектор скорости точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Модуль скорости точки определим по уже найденным проекциям

Вектор ускорения точки представим в виде:

,

где – орты координатных осей О x и О y ; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от проекций вектора скорости или 2-м производным от соответствующих координат по времени:

В момент времени t ₁ = 0,5 c

Вектор ускорения точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор ускорения точки в общем случае должен отклоняться от вектора скорости в сторону вогнутости траектории, а при движении по эллипсовидной траектории – проходить через центр эллипса. Модуль ускорения точки определим по уже найденным проекциям

Вектор полного ускорения точки можно также представить в виде геометрической суммы его проекций на оси естественной системы отсчета

,

где и – единичные орты касательной и главной нормали; и – соответственно проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль. Касательную М ₁ t направляем по касательной к траектории в сторону движения точки движения, а главную нормаль М₁ n – перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. При вычислении касательного ускорения удобно воспользоваться формулой, устанавливающей связь между координатным и естественным способами задания движения точки

.

В момент времени t ₁ = 0,5 c

.

Значение касательного ускорения имеет отрицательный знак, следовательно, в данный момент времени движение точки замедленное и вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону направлению вектора скорости точки .

Нормальное ускорение вычислим по формуле , если известен радиус кривизны траектории. Например, если точка движется по окружности радиусом R, то в любой точке траектории . Если же траекторией движения точки является прямая, то , следовательно, . В данном случае радиус кривизны траектории заранее не известен, поэтому нормальное ускорение определяем по формуле:

.

В момент времени t ₁ = 0,5 c

.

Построим векторы и в соответствии с уже выбранным масштабом, а затем сложим их геометрически. В результате получим тот же вектор полного ускорения точки , который ранее уже был получен геометрической суммой составляющих и . Этот факт служит контролем правильности решения.

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим по формуле

.

В момент времени t ₁ = 0,5 c

.

Ответ: =8,82 см; =2,59 см; =4,44 см/ c ; =2,22 см/ c ; =4,96 см/с; =6,97 см/с 2 ; =3,49 см/с 2 ; =7,79 см/с 2 ; =4,67 см/с 2 ; =6,23 см/с 2 ; =3,95 см (радиус кривизны траектории в точке ).

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Радиус кривизны плоской кривой

Любая линия является кривой, даже прямая. Поэтому к любой линии применимы такие характеристики как кривизна или радиус кривизны. Как правило кривизна обозначается латинской литерой k, а радиус кривизны греческой литерой ρ.

Между собой эти характеристики кривой связаны следующим образом:

k = 1/ρ (542.1)

Т.е. чем больше радиус кривой, тем меньше ее кривизна.

А теперь рассмотрим несколько частных случаев кривых.

Радиус кривизны окружности

Окружность — это плоская кривая с постоянным радиусом кривизны. Т.е. радиус окружности это и есть радиус кривизны окружности:

Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.

Кривизна дуги

Любая дуга — это часть окружности. Соответственно радиус дуги равен радиусу окружности:

Рисунок 542.1. Дуга — часть окружности

На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ, показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R. Кроме того, мы видим, что угол α, образованный радиусами в точках А и В, равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.

Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу.

Понятие кривизны дуги формулируется так:

Кривизна дуги — это отношение угла между касательными, проведенными в начале и конце дуги, к длине дуги

Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:

А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:

то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:

Примечание: При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:

но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью

Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П/2, развернутый 180° = П и т.д.

И еще одно интересное свойство дуги: Если соединить точки А и В прямой линией, то угол между этой линией и касательными будет равен α/2, а сама прямая линия — это и есть расстояние между точками А и В. Если дуга расположена в плоскости соответствующим образом, например так, как показано на рисунке 542.2:

Рисунок 542.2. Дуга из точки начала координат.

то расстояние между точками — это проекция l дуги на ось х. А максимальное расстояние между дугой и осью х — это стрела дуги h.

Радиус кривизны прямой линии

Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.

Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:

k_п.л = 1/∞ = 0 (542.6)

Про до сих пор неразрешенный парадокс, возникающий при подобных подходах к прямой линии и к окружности, я уже упоминал в статье «Основы геометрии. Определения основных элементов, пятый элемент». Здесь лишь добавлю, что через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей и в любой из этих плоскостей радиус кривизны прямой линии будет равен бесконечности. При этом через окружность можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости, в одной из которых окружность будет окружностью, а в другой — прямой линией конечной длины. Поэтому

все линии, которые в одной из плоскостей имеют бесконечно большой радиус кривизны, считаются плоскими

Ну и на закуску еще несколько парадоксов, на этот раз связанных с определениями кривизны и радиуса:

1. Из уравнения (542.1) можно сделать вывод, что:

kp = 1 (542.7)

Соответственно для прямой линии:

0·∞ = 1 (542.7.2)

Т.е. если бесконечно много раз взять ноль, то на единичку мы наскребем. Впрочем дальше будет еще веселее.

2. Если прямая — это дуга с бесконечно большим радиусом, соответственно касательные, проведенные в концах такой дуги, совпадают с прямой, а угол, образованный касательными, равен нулю.

Это означает, что радиусы проведенные в концах дуги — прямой линии, являются параллельными прямыми и не могут пересекаться. А между тем по определению это радиусы, которые обязательно должны сходиться в некоторой точке — центре окружности.

Получается, что параллельные прямые пересекаться не должны, но где-то в бесконечности все-таки пересекаются.

Разрешить этот парадокс пытались многие математики, однако в пределах евклидовой геометрии при принятом толковании определений данный парадокс не разрешим.

Радиус кривизны точки

Точка — это самый простой и самый сложный элемент геометрии. Одни считают, что точка не имеет размеров, а значит и определить кривизну или радиус кривизны точки не возможно. Другие, в частности Евклид, считают, что точка не имеет частей, а каковы при этом размеры точки — не совсем понятно. Я же считаю, что точка — это начальный, далее не делимый элемент геометрии, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с остальными рассматриваемыми элементами. В этом случае для точки будут справедливыми следующие уравнения кривизны и радиуса кривизны:

k_т. = 1/0 = ∞ (542.9)

И хотя нас с первых лет обучения в школе учат, что делить на 0 нельзя и даже встроенный в операционную систему калькулятор пишет, что «деление на ноль невозможно», тем не менее делить на ноль можно, а результатом деления всегда будет бесконечность.

Как и в случае с прямой мы имеем парадоксальный результат, выражаемый формулой (542.5.2). Тем не менее точку также можно отнести к плоской кривой, имеющей постоянный радиус кривизны.

Примечание: На мой взгляд большинство из описанных выше парадоксов возникают из-за неправильного толкования понятия «бесконечность». Бесконечность как некая абсолютная величина не имеет пределов, а значит и никакому измерению не поддается. Кроме того бесконечность — это даже не постоянная, а переменная величина. Например луч — это прямая линия с началом в некоторой точке. Длина луча может быть бесконечно большой. При этом прямая линия тоже может быть бесконечно длинной при этом не иметь ни начала ни конца. Получается, что с одной стороны бесконечно длинный луч вроде бы в 2 раза короче, чем бесконечно длинная прямая. А с другой стороны длины их бесконечны и поэтому равны.

Возможным выходом из этой ситуации является принятие понятия «бесконечность», как относительного. Например, кривизна прямой линии является пренебрежимо малой величиной по отношению к радиусу кривизны. Или радиус кривизны прямой линии несопоставимо больше кривизны. Подобные толкования допускают и наличие кривизны прямой и некое конечное значение радиуса кривизны прямой и многое другое. Я бы назвал такой относительный подход к рассмотрению проблемы реалистичным, а подходы, использующие абсолютные понятия — идеализированными. Впрочем прямого отношения к теме данной статьи это не имеет. Продолжим рассмотрение плоских кривых.

И окружность и прямая линия являются плоскими кривыми с постоянным радиусом кривизны. При этом радиус кривизны прямой линии всегда известен, так как равен бесконечности, а для окружности всегда можно определить радиус, воспользовавшись теоремой Пифагора. Так в частном случае, если центр окружности совпадает с началом координат рассматриваемой плоскости (u = 0; v = 0 — координаты центра окружности), то:

Рисунок 541.4. Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.

R 2 = x 2 + y 2 (541.1.2)

А в общем случае, когда координаты центра окружности не совпадают с началом координат:

Рисунок 542.3. Окружность, центр которой не совпадает с началом координат.

R 2 = (x — u) 2 + (y — v) 2 (542.10)

Но в жизни достаточно часто приходится сталкиваться с кривыми, радиус кривизны которых — не постоянная величина. Более того, этот радиус может изменяться в двух плоскостях измерения. Тем не менее так далеко углубляться в геометрию и алгебру мы не будем и далее рассмотрим, как можно определить радиус плоской кривой в некоторой точке.

Плоские кривые с изменяющимся радиусом кривизны

Примеров плоских кривых с изменяющимся радиусом кривизны очень много, это и гиперболы, и параболы, и синусоиды и т.п. Определение радиуса кривизны таких кривых основано на следующих теоретических предпосылках:

1. Любую окружность можно рассматривать как некоторое множество дуг.

2. Если количество дуг, составляющих окружность, стремится к бесконечности, то соответственно длина таких дуг стремится к нулю (m → 0).

3. Если мы обозначим длину такой очень короткой дуги как приращение функции длины окружности (m = Δl), то уравнение кривизны (542.3) примет следующий вид:

(542.3.1)

4. Тогда любую плоскую кривую с изменяющимся радиусом можно рассматривать как стремящееся к бесконечности множество дуг с постоянным радиусом. Другими словами в пределах любой кривой, описываемой параметрическими уравнениями, всегда можно выделить дугу, пусть даже и очень малой длины, стремящейся к точке и определить для нее кривизну и радиус кривизны в рассматриваемой точке.

Это означает, что самый точный способ определения радиуса кривизны в таком случае — это использование дифференциальных исчислений. В общем случае для этого нужно два раза продифференцировать уравнение радиуса окружности (542.10) по аргументу функции х, а затем извлечь квадратный корень из полученного результата. В итоге (полный вывод уравнения здесь не привожу из-за повышенной сложности записи, а для особо заинтересованных есть справочники и другие сайты) мы получим следующую формулу для определения радиуса кривизны:

(542.11)

Соответственно кривизна плоской кривой в рассматриваемой точке будет равна:

(542.12)

В частном случае, когда тангенс угла между касательными — первая производная от функции — является относительно малой величиной, например, tg2° = 0.035 соответственно (tg2°) 2 = 0.0012, то влиянием куба суммы первой производной и единицы на кривизну можно пренебречь (значение знаменателя дроби сводится к единице) и тогда:

k = y» = d 2 y/dx 2 (542.12.2)

Т.е. формально в таких случаях кривизной считается не отношение угла наклона между касательными к длине дуги, а некоторая величина, примерно соответствующая высоте h на рисунке 542.2.

Эта особенность второй производной очень активно используется в частности для упрощения определения прогиба элементов строительных конструкций.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:

• Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии

Оценка пользователей:
10.0 (голосов: 1)

Переходов на сайт:
6701

Комментарии:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Кинематика материальной точки

Основные формулы кинематики материальной точки

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz :
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Скорость точки:
;
;
;
Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:
.
Вектор можно выбрать двумя способами во взаимно противоположных направлениях. Обычно его выбирают в направлении увеличения дуговой координаты. Тогда, наряду с модулем скорости , вводят алгебраическую величину скорости . При , вектор скорости сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Скорость и ускорение точки M

Тангенциальное (касательное) ускорение:
;
;
.
Здесь, как и для скорости, – это алгебраическое касательное ускорение, . Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.

Радиус кривизны траектории:
.

Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.

Радиус-вектор и траектория точки

Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами ( x, y, z ) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

Радиус-вектор точки M – это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M .
,
где – единичные векторы в направлении осей x, y, z .

При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений
(1)
можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениями

В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время . Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
,
где – некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

Скорость материальной точки

Согласно определению скорости и определению производной:

Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
,
где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:

,
где
,
,

– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
.

Таким образом
.
Модуль скорости:
.

Касательная к траектории

С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
.
Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории.

Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени – в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная – это такая прямая , к которой стремится прямая при .
Введем обозначения:
;
;
.
Тогда вектор направлен вдоль прямой .

При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор – к скорости точки в момент времени :
.
Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .
То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

Введем направляющий вектор касательной единичной длины:
.
Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
, то:
.

Здесь мы направили вектор по направлению к вектору скорости, поскольку это более удобно. Но могут возникнуть случаи, когда точка останавливается и движется по той же траектории в обратном направлении. Чтобы не вводить для одной и той же точки траектории два единичных касательных вектора, нужно охватить случай, когда направлен противоположно скорости. Для этого вводят алгебраическую величину скорости:
.
Если направления векторов и совпадают, то . Если они противоположны, то .
– это проекция скорости на направление единичного вектора . Она равна скалярному произведению этих векторов:
.

Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки:
;
Алгебраическая величина скорости:
.

Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде:
.

Ускорение материальной точки

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
.
Модуль ускорения:
.

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
.
Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
.

Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
.
Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
;
;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

Скорость, касательное и нормальное ускорение точки M

Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
.
Вторую компоненту называют нормальным ускорением:
.
Тогда полное ускорение:
(2) .
Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты – касательную к траектории и перпендикулярную к ней.

Тангенциальное (касательное) ускорение

Также как и для скорости, введем алгебраическую величину вектора касательного ускорения :
.
Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . Если , то эти векторы противоположны. Абсолютную величину касательного ускорения будем обозначать прямыми скобками: . Тогда
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Здесь мы положили: .
Отсюда видно, что алгебраическая величина тангенциального ускорения равна проекции полного ускорения на направление касательной к траектории. Она также равна производной по времени алгебраической величины скорости точки: .

Подставив , имеем:
.
Здесь мы учли, что .

Найдем производную по времени модуля скорости . Применяем правила дифференцирования:

;
.

Итак,
.
Отсюда следует, что если между векторами ускорения и скорости острый угол: , то движение ускоренное. Абсолютное значение скорости возрастает. Если между ними тупой угол: , то движение замедленное. Абсолютное значение скорости убывает.

Выразим ускорение через тангенциальное и нормальное: , и учтем, что . Получим:
.
Тогда предыдущую формулировку можно выразить посредством тангенциального ускорения. Если векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону, то движение ускоренное. Если их направления противоположны, то движение замедленное.

Радиус кривизны траектории

Теперь исследуем вектор .

Рассмотрим вектор в два момента времени – в момент времени t и в момент t ₁ . Введем обозначения: . По определению производной:
.
Пусть в момент времени t , точка находится в положении M , а в момент t ₁ – в положении M ₁ (см. рисунок).

Рассмотрим случай, когда алгебраическая скорость положительна: . То есть направления векторов и совпадают. Тогда точка M ₁ находится справа от M . Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пересечение этих плоскостей образует прямую. Она проходит через точку C перпендикулярно плоскости рисунка. MC – это перпендикуляр, опущенный из точки M на эту прямую.

При , точка стремится к точке , а длина отрезка CM стремится к радиусу кривизны траектории ρ . Поскольку и , то угол между отрезками и равен углу между векторами и . Отложим их для наглядности из одного центра.

Абсолютное значение производной:
.
Здесь мы учли, что .

Вектор , как указывалось выше, перпендикулярен . В данном случае он направлен вдоль единичного вектора главной нормали , направленной к центру кривизны C траектории. Поэтому при имеем:
.

Теперь рассмотрим случай, когда алгебраическое значение скорости отрицательно: . В этом случае, вектор скорости противоположен . Получается тот же рисунок, только точка располагается слева от M . В результате абсолютное значение производной остается прежней:
.
Но ее направление меняется на противоположное:
.
Поскольку , то формула сохраняет прежний вид и в этом случае:
.

Нормальное ускорение

Теперь находим нормальное ускорение:
.
Перепишем результат в следующем виде:
,
где ; – единичный вектор в направлении главной нормали траектории – то есть вектор, направленный к мгновенному центру кривизны перпендикулярно касательной к траектории. Поскольку , то также является модулем нормального ускорения. Для него не нужно вводить алгебраическое значение, как мы это делали для скорости и касательного ускорения.
Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.

Из формулы (2) имеем:
(4) .
Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
(2) .
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

Выпишем еще раз следующую формулу:
.
Отсюда видно, что нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
.
Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
,
в которую подставили
.

Итак, мы получили:
;
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
.
Тогда
.
Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-02-2016 Изменено: 27-01-2020