Как найти наибольшую медиану прямоугольного треугольника

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
• AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Как по сторонам треугольника найти медиану

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

По сторонам треугольника найти его медиану

Рассмотрим задачу, в которой требуется по сторонам треугольника найти его медиану.

Даны стороны треугольника. Найти длину медианы, проведенной к наибольшей стороне.

Дано: ∆ ABC,

сторона AC — наибольшая,

1) На луче BO отложим отрезок OD, OD=BO.

2) Проведем отрезки AD и CD.

3) Рассмотрим четырехугольник ABCD.

AO=CO (так как BO — медиана треугольника ABC по условию);

BO=DO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

так как BO=1/2 BD (по построению),

Если ввести обозначение

формула для нахождения медианы треугольника по его сторонам примет вид:

Запоминать эту формулу не обязательно. При решении конкретной задачи следует привести все рассуждения.

Если медиана проведена не к наибольшей, а к наименьшей либо средней по величине стороне, решение задачи аналогично.

Соответственно, формулы для нахождения длины медианы в этих случаях:

Приём, который применили для решения задачи — метод удвоения медианы.

Медиана и высота треугольника – это одна из самых увлекательных и интересных тем геометрии. Термин «Медиана» означает прямую или отрезок, который соединяет вершину треугольника с его противоположной стороной. Другими словами, медиана – это линия, которая проходит из середины одной стороны треугольника в противоположную вершину этого же треугольника. Поскольку у треугольника только три вершины и три стороны, значит и медианы может быть только три.

Свойства медианы треугольника

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и разделяются этой точкой в соотношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, если нарисовать в треугольнике все три медианы, то точка их пересечения будет делить их на две части. Часть, которая располагается ближе в вершине, будет составлять 2/3 всей линии, а часть, которая располагается ближе к стороне треугольника – 1/3 линии. Пересекаются медианы в одной точке.
2. Три медианы, проведенные в одном треугольнике, делят этот треугольник на 6 маленьких треугольников, чья площадь будет равна.
3. Чем больше сторона треугольника, от которой исходит медиана, тем меньше эта медиана. И наоборот, самая короткая сторона имеет самую длинную медиану.
4. Медиана в прямоугольном треугольнике имеет ряд собственных характеристик. Например, если вокруг такого треугольника описать окружность, которая будет проходить через все вершины, то медиана прямого угла, проведенная к гипотенузе, станет радиусом описанной окружности (то есть ее длина будет составлять расстояние от любой точки окружности до ее центра).

Уравнение длины медианы треугольника

Формула медианы исходит из теоремы Стюарта и гласит, что медиана – это квадратный корень из отношения квадратов суммы сторон треугольника, которые образуют вершину, за вычетом квадрата стороны, к которой проведена медиана к четырем. Другими словами, чтобы узнать длину медианы нужно возвести в квадрат показатели длины каждой стороны треугольника, а затем записать это в виде дроби, в числителе которой будет сумма квадратов сторон, которые образуют угол, откуда исходит медиана, минус квадрат третьей стороны. В качестве знаменателя здесь выступает цифра 4. Затем из данной дроби нужно извлечь корень квадратный, и тогда мы получим длину медианы.

Точка пересечения медиан треугольника

Как мы писали выше, всем медианы одного треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром треугольника. Он делит каждую медиану на две части, длина которым соотносится как 2:1. При этом центр треугольника является и центром описанной вокруг него окружности. А другие геометрические фигуры имеют собственные центры.

Координаты точки пересечения медиан треугольника

Чтобы найти координаты пересечения медиан одного треугольника, воспользуемся свойством центроида, согласно которому он делит каждую медиану на отрезки 2:1. Обозначаем вершины как как A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

и вычисляем координаты центра треугольника по формуле: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3)/3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Площадь треугольника через медиану

Все медианы одного треугольника делят этот треугольник на 6 равных треугольников, а центр треугольника делит каждую медиану в соотношении 2:1. Поэтому если известны параметры каждой медианы, можно вычислить и площадь треугольника через площадь одного из маленьких треугольников, а затем увеличить этот показатель в 6 раз.

Инструкция

Чтобы вывести формулу
для медианы
в произвольном , необходимо обратиться к следствию из теоремы косинусов для параллелограмма, получающегося путем достраивания треугольника
. Формулу можно доказать на этом , она очень удобна при решении , если известны все длины сторон или их легко можно найти из других начальных данных задачи.

Фактически теорема косинусов представляет собой обобщение теоремы Пифагора. Она звучит так: для двумерного треугольника
с длинами сторон a, b и c и углом α, противолежащим a, справедливо следующее равенство:a² = b² + c² – 2 b c cos α.

Обобщающее следствие из теоремы косинусов определяет одно из важнейших свойств четырехугольника: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Достройте треугольник до параллелограмма ABCD добавлением линий, параллельных a и c. таким образом, со сторонами a и c и диагональю b. Удобнее всего строить так: отложите на прямой, которой принадлежит медиана, отрезок MD той же длины, соедините его вершину с вершинами оставшихся A и C.

По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения на равные части. Примените следствие из теоремы косинусов, согласно которому сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме удвоенных квадратов его сторон:BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Поскольку BK = 2 BM, а BM – это медиана m, то:(2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², откуда:m = 1/2 √(2 c² + 2 a² — b²).

Вы вывели формулу
одной из треугольника
для стороны b: mb = m. Аналогично находятся медианы
двух других его сторон:ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² — a²);mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² — c²).

Источники:

• формула медианы
• Формулы для медианы треугольника [видео]

Медианой треугольника
называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника
с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника
. Эта точка делит каждую медиану
в отношении 2:1.

Инструкция

Задача по нахождению медианы может быть решена дополнительные построения треугольника
до параллелограмма и через теорему о диагоналях параллелограмма.Продлим стороны треугольника
и медиану
, достроив их до параллелограмма. Таким образом, медиана треугольника
будет половине диагонали получившегося параллелограмма, две стороны треугольника
— его боковым (a, b), а третья сторона треугольника
, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма. Согласно теореме, сумма квадратов параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
где
d1, d2 — диагонали получившегося параллелограмма;
отсюда:
d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) — d2^2)

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника
и середину противолежащей стороны. Зная длины всех трех сторон треугольника
, можно найти его медианы. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника
, очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника
.

Вам понадобится

• Линейка

Инструкция

Рассмотрим общий случай треугольника
ABC с не равными друг сторонами
. Длину медианы AE этого треугольника
можно вычислить по формуле: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Остальные медианы абсолютно аналогично. Эта выводится через теорему Стюарта, либо через достроение треугольника
до параллелограмма.

Если ABC — равнобедренный и AB = AC, то медиана AE будет являться одновременно и этого треугольника
. Следовательно, треугольник BEA будет прямоугольным. По теореме Пифагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Из общей длины медианы треугольника
, для медиан BO и СP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Источники:

• Медианы и бессектрисы треугольника
  

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Зная длины всех трех сторон треугольника, можно найти его медианы
. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника, очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника. Медиану также можно найти и по другим данным.

Вам понадобится

• Длины сторон треугольника, углы между сторонами треугольника

Инструкция

Рассмотрим самый общий случай треугольника ABC с тремя не равными друг сторонами. Длину
медианы
AE этого треугольника можно вычислить по формуле: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Остальные медианы
находятся абсолютно аналогично. Эта выводится через теорему Стюарта, либо через достроение треугольника до параллелограмма.

Если ABC — равнобедренный и AB = AC, то AE будет являться одновременно и этого треугольника. Следовательно, треугольник BEA будет прямоугольным. По теореме Пифагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Из общей длины медианы
треугольника, для BO и СP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Медиану треугольника можно найти и по другим данным. Например, если заданы длины двух сторон, к одной из проведена медиана, например, длины сторон AB и BC, а также угол x между ними. Тогда длину медианы
можно найти через теорему косинусов: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Источники:

• Медианы и биссектрисы треугольника
  
• как находить длину медианы

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Возьми треугольник:

Отметь на какой-нибудь его стороне середину.

И соедини с противоположной вершиной!

Получившаяся линия и есть медиана
.

2. Свойства медианы.

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1)
Вот представим, что треугольник — прямоугольный.
Бывают же такие, верно?

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на… прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле — ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Проведём диагональ:

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны
и делятся
точкой пересечения пополам
? (Если не помнишь, загляни в тему )

Значит, половина второй диагонали — наша медиана
. Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача
:
В стороны; . Из вершины проведена медиана
. Найти, если.

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана
равна половине стороны

Применяем теорему Пифагора:

2)
А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы
! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы, и пересекаются в одной точке.

И….(доказываем это в , а пока запомни
!):

• — вдвое больше, чем;
• — вдвое больше, чем;
• — вдвое больше, чем.

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача
: В треугольнике проведены медианы и, которые пересекаются в точке. Найти, если

Найдём по теореме Пифагора:

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим. Отрезок, а. Если не все понятно — посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что.

Значит, ; .

В задаче нас спрашивают об отрезке.

В наших обозначениях.

Ответ
: .

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

МЕДИАНА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1. Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

2. Теорема: медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана разделила на два треугольника: и. Но! Высота-то у них одна и та же — ! Только в эта высота опускается на сторону
, а в — на продолжение стороны
. Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота — одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение:
медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение:
точкой пересечения медианы делятся в отношении, считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Соединим точки и. Что получилось?

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину — поставим точку, отметим середину — поставим точку.

Теперь — средняя линия. То есть

1. параллельна;

Заметил совпадения? И, и — параллельны. И, и.

Что из этого следует?

1. параллельна;

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, — параллелограмм
. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

То есть — медиана разделена точками и на три равные части. И точно так же.

Значит, точкой обе медианы разделились именно в отношении, то есть и.

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану и проведем медианы и.

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан и. Что тогда?

Получится, что медиана разделит медиану абсолютно точно так же: в отношении, считая от точки.

Но сколько же может быть точек на отрезке, которые делят его в отношении, считая от точки?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели — это точка.

Что же получилось в итоге?

Медиана точно прошла через! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении, считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

4. Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство — смотри следующий уровень).

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник — ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему )
Но одна из диагоналей — — наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей — середина гипотенузы. Она называлась у нас.

Значит, половина второй диагонали — наша медиана. Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой — нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В стороны; . Из вершины проведена медиана. Найти, если.

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике
, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

МЕДИАНА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Медиана делит сторону пополам.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

4. Формула длины медианы

Обратная теорема:
если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но, думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время
.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором
и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — 299 руб.
   
   
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — 499 руб.
   
   

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

• Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c — стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

• Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

• Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
• Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
• Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
• Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
• Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
• Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

• Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

• Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
• Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

Ответ: ( AB=13)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

Запомни:

• ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
• ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
• ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

• ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
• ( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

• ( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
• ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

• ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
• ( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение медианы прямоугольного треугольника

Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми (<90°).

Свойства медианы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.

• BC = 2AD
• AD = BD = DC

Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.

Свойство 2

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Для нашего треугольника (см. рисунок выше):

Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.

Свойство 3

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.

Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.

Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.

Пример задачи

Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.

Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b² = с² – a² = 20² – 12² = 256.
Следовательно, b = 16 см.

Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P_△ = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.

Для закрепления теоретического материала преподаватель просит студентов решить ряд задач. Преподаватель предоставляет студентам серию задач для закрепления теоретического материала. Такие задачи предназначены для учащихся средней школы.

Виды треугольников по углам

Треугольники расположены в соответствии с их углами: кислородный — тупоугольный — прямоугольный.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники расположены в соответствии с их сторонами: односторонний — равнобедренный — равнобедренный треугольник.

Часть треугольника, соединяющая вершину и центр противоположной стороны, называется центром треугольника.

Поскольку сторон три, для любого треугольника можно построить три медианы. На этой диаграмме показаны медианы (AF, EC и BD) треугольника ABC.

Это также показывает, что медианы пересекаются в точке O. Это справедливо для всех треугольников.

Прямоугольные треугольники — это треугольники с углом 90°, если кто-то забыл об этом. И в такой форме медиана обладает уникальными свойствами.

В этой статье рассматривается определение треугольника и перечисляются его свойства. В нем также рассматриваются примеры задач для закрепления теоретического материала.

Медиана — это часть треугольника, соединяющая вершину с центром стороны, противоположной этой вершине.

Основанием медианы является точка пересечения медианы и одной из сторон треугольника, центр этой стороны (точка F).

Свойство 1 (основное)

Поскольку треугольник имеет три вершины и три стороны, в нем есть три медианы. Все они пересекаются в одной точке (O). Это называется центром тяжести или центром масс треугольника.

При пересечении перпендикулярных линий каждая из них отсчитывается сверху и делится на 2:1. То есть:.

Свойство 2

Медиана делит треугольник на два равных (одинаковой площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на шесть равных треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует наибольшей стороне треугольника и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
• AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Предположим, что все стороны треугольника известны (a, b, c).

Длина медианы m_a заданный уравнением, можно найти из следующего уравнения.

Примеры задач

Площадь одной из фигур, образованных пересечениями трех перпендикулярных линий треугольника из задачи 1, равна 5 см2. Найдите площадь треугольника.

Решение В соответствии со свойством 3 выше, в результате пересечения трех перпендикулярных линий получается шесть треугольников равной площади. Поэтому: s_△ = 5 см2 и 6 = 30 см2.

Задача 2: Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите середину стороны длиной 6 см.

Однако урок по этой теме показывает, что это действительно так. Это правда, что сложные проблемы редко решаются одной теоремой — почти всегда они разбиваются на несколько более мелких проблем.

Медиана и высота треугольника выступают в качестве графических параметров, определяющих величину всего треугольника, его сторон и углов. Три значения — медиана, высота и биссектриса — подобны штрих-коду продукта. Наша задача — уметь их измерять.

Определение

Медиана — это соединение между высотой и серединой на другой стороне. Поскольку треугольник имеет три вершины, медиана равна трем. Медиана не обязательно совпадает с высотой или биссектрисой. В большинстве случаев это отдельные разделы.

• Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
• Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольников.

• Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
• Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти качества легко запомнить и практиковать. Чтобы лучше понять проблему, давайте разберемся в некоторых вопросах.

• В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Чтобы найти цену через, нужно найти подчиненные, потому что нижняя медиана равна половине. Найдите подчиненные по теореме Пифагора: $ a^2+b^2 = c^2 $

Найдите значение $ m =.=<5over2>= $ 2,5 — полученное число является стоимостью сурина.

Цены на треугольные интерстиции не равны. Поэтому очень важно понять, какие ценности необходимо найти.

• В треугольнике известны значения сторон : a=8; b=7; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рисунок 3.Изображение проблемы.

Чтобы решить эту задачу, нужно найти стороны треугольника, используя один из трех типов.

Как видите, главное здесь — запомнить факторы брекзита и знаки боковых цен. Знаки легче всего запомнить — всегда убирайте ту сторону, где падает медианная цена. В данном случае она одна, но могут быть и другие стороны.

Замените значения пресса и найдите значение $ m = sqrt<<1over2>*(b^2+c^2-a^2)> $

$ m = sqrt<<1over2>*(49+81-64)> = sqrt $ — корень из результата.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание – 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Посредник делит треугольник на шесть равносторонних треугольников. Поэтому площади меньших треугольников равны между собой. Достаточно найти наибольшую площадь и разделить ее на 6.

Учитывая медиану, проведенную к основанию, равнобедренные треугольники являются биссектрисой и высотой. Таким образом, основание и высота треугольника известны. Поиск района.

Площадь каждого из меньших треугольников: $<24over6>= 4 $

Однако на практике исходные данные, используемые для нахождения через, могут представлять собой радикальные, динамические и дробные выражения и поэтому требуют выполнения длительных и сложных вычислений. Существует риск совершения ошибок, которые могут привести к неправильным ответам.

Термин «медиана» переводится как «на равной стороне». Для построения медианы центр одной стороны треугольника должен быть соединен с противоположной стороной треугольника. Полученное сечение представляет собой медиану треугольника.

Медиана треугольника. — Это отрезок, вписанный в вершину треугольника и соединяющий эту вершину с медианой центра противоположной стороны треугольника.

Интерстициальный CK показан красным цветом. Сторона AB центрального треугольника делится AK = KB.

Свойства медианы треугольника

Все они пересекаются друг с другом в общей точке на уровне треугольника.Центр тяжести. .

Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, а точкой пересечения будет третья медиана треугольника.

Используя пересечение промежуточных треугольников, каждая медиана измеряется от вершины треугольника и делится на 2:1. То есть длина средней части от вершины треугольника до пересечения с межвершинным расстоянием равна 2/3 его длины, а длина от пересечения межвершинного расстояния до стороны треугольника равна 1/3 его длины.

Медиана делит треугольник на два равных (по площади) треугольника.

Треугольник разделен на шесть равных треугольников с тремя медианными дисками.

Из отрезков, образующих медиану, можно построить треугольник, площадь которого равна 3/4 площади всего треугольника. Длина медианы удовлетворяет неравенству треугольника.

В прямоугольном треугольнике медиана, полученная из вершин прямых углов, равна половине предметов.

Большая сторона треугольника соответствует наименьшей медиане.

В равнобедренных треугольниках биссектрисы и высоты медиан, проведенных к основанию треугольника, совпадают.

В правильном женском треугольнике три «примечательные» линии (высота, дихотомос и медиана) совпадают, а три «примечательные» точки (ортографическая точка, центр тяжести и эндоциклический центр и периферия) находятся в «примечательных» местах.

Средняя линия треугольника

Сечение, проходящее через два основания среднего треугольника, является центральным классом треугольника.

Средняя линия треугольника всегда параллельна сторонам треугольника, где нет общей точки. Средняя линия треугольника равна половине длины стороны треугольника, к которой она параллельна.

Медиана — это соединение между высотой и серединой на другой стороне. Поскольку треугольник имеет три вершины, медиана равна трем. Медиана не обязательно совпадает с высотой или биссектрисой. В большинстве случаев это отдельные разделы.

Три точки пересечения треугольника пересекаются в некоторой точке, от этой точки они делятся на ዄ (ዄ displaystyle 2:1 ) и измеряются сверху.

Что это значит? Рисунок. На самом деле, в этой теореме есть два утверждения. Вы заметили это?

1. медианы треугольников пересекаются в одной точке.

2. точка пересечения делит интерстиций на ( displaystyle 2:1 ) и измеряется сверху.

Поясним секрет этой теоремы, т.е. докажем ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала спроектируйте только две медианы, а не все три. Они определенно пересекаются, не так ли? Показать их пересечение с (⌘ displaystyle e ).

Соединим точки ⌘ (⌘ displaystyle n ) и ߡ (ߡ displaystyle k ). Что у нас есть.

Конечно, ⌘ (⌘ displaystyle nk ) — это средняя линия ߡ (ߡ displaystyle треугольника abc ). Помните, что это значит?

Далее построим еще одну среднюю линию: отметим талию {{displaystyle ae ) — поставьте точку Ǿ (⌘ displaystyle f ) и отметим середину Ǿ (⌘ displaystyle ec ) — поставьте точку Ǿ (⌘ displaystyle g ). .

Теперь (⌘ displaystyle fg ) — средняя линия (⌘ displaystyle треугольник aec ). Среднее:.

Вы смотрели матч? И NK, и FG параллельны AC. и ዄ (ዄ displaystyle nk = ዄ frac ) и ዄ (ዄ displaystyle fg = ዄ frac ).

Далее рассмотрим четырехугольник ɑ (ɑ displaystyle nkgf ). Существуют ли параллельные и равные противоположности (⌘ (⌘ displaystyle nk) и 섹 (⌘ displaystyle fg ))?

Конечно, только в прямоугольниках!

Поэтому ɛ (ɛ displaystyle nkgf ) — это прямоугольник. Так что

Теперь давайте вспомним свойства прямоугольника. Например, что вы знаете о диагоналях прямоугольника? Он разделен с правым, центральным перекрестком.

Открыть ответы…

Мы постоянно совершенствуем этот семинар, и вы можете помочь в этом. Доступ и использование руководства «Юклава» без ограничений (все темы по использованию и применению, 2000+ решенных задач, 20+ онлайн-семинаров, 100+ статей по образовательным программам).

Мы постоянно совершенствуем этот семинар, и вы можете помочь в этом. Доступ и использование руководства «Юклава» без ограничений (все темы по использованию и применению, 2000+ решенных задач, 20+ онлайн-семинаров, 100+ статей по образовательным программам).

Треугольник

Рисунок 1. Треугольник (общий случай).

Так, треугольник, в котором длины всех сторон различны и ни один из углов не равен, называется произвольным (рис. 1).

• В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным .
• В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним .
• В случае, если у треугольника один и углов прямой (), он называется прямоугольным .
• Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

Для разных типов треугольников поиск параметров треугольника может осуществляться по-разному. Для естественных проблем использование того или иного типа определяется конкретными данными проблемы.

Рисунок 2.Треугольники (рассекающие полосы)

Биссектриса угла — это геометрическое положение знака, равного стороне этого угла. Другими словами, биссектриса — это линия, делящая угол центрального треугольника (рис. 2). Известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника делят противоположную сторону на отрезки в соответствии с прилежащей стороной.

Для нахождения частей углов через различные данные можно использовать следующие соотношения

Медиана треугольника — это часть, соединяющая вершину треугольника с центром противоположной стороны. Все промежутки в треугольнике пересекаются в одной точке. Эта точка делит медиану в соотношении 2:1, измеряя от вершины (рис. 3).

Рис. 3. треугольник (медиана)

Для нахождения медианы треугольника по различным данным можно использовать следующие пропорции

Высота треугольника вертикальна, падает из вершины противоположного треугольника или его продолжения (рис. 4).

Вы можете найти высоту треугольника по различным данным, используя следующие пропорции

Важно: Тип, выбранный для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти из данного