Назовите наименьшее и наибольшее целое число, принадлежащее указанному промежутку (если такое существует):
а) интервалу −15 < x < 3;
б) отрезку −2,5 ≤ x ≤ 8;
в) лучу x < 5;
г) лучу x ≥ 0.
reshalka.com
ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 5.1 Множество точек на координатной прямой. Номер №446
Решение а
−15 < x < 3
наибольшее целое число из интервала: 2;
наименьшее целое число из интервала: −14.
Решение б
−2,5 ≤ x ≤ 8
наибольшее целое число из интервала: 8;
наименьшее целое число из интервала: −2.
Решение в
x < 5
наибольшее целое число из интервала: 4;
наименьшее целое число из интервала: не существует.
Решение г
x ≥ 0
наибольшее целое число из интервала: не существует;
наименьшее целое число из интервала: 0.
Светило науки — 1670 ответов — 16730 раз оказано помощи
Ответ:
Для обозначения границ промежутка применяются:
- фигурные скобки ( или ), что означает, соответственно, левое или правое граничное значение не принадлежит промежутке;
- квадратные скобки [ или ], что означает, соответственно, левое или правое граничное значение принадлежит промежутке.
1) [-12; -6] : граничное значение -12 целое число и принадлежит промежутке, граничное значение -6 целое число и принадлежит промежутке, то наименьшее целое — это -12, а наибольшее — это -6;
2) (5; 11] : 5 не является граничным значением промежутка, тогда 6 целое число и принадлежит промежутке (так как 5 < 6 < 11), граничное значение 11 целое число и принадлежит промежутке, то наименьшее целое — это 6, а наибольшее — это 11;
3) (-10,8; 1,6] : -10,8 не является граничным значением промежутка, тогда -10 целое число и принадлежит промежутке (так как -10,8 < -10 < 1,6), граничное значение 1,6 не целое число, тогда 1 целое число и принадлежит промежутке (так как -10,8 < 1 < 1,6), то наименьшее целое — это -10, а наибольшее — это 1;
4) [-7,8;-2,9] : граничное значение -7,8 не целое число, тогда -7 целое число и принадлежит промежутке (так как -7,8 < -7 < -2,9),
граничное значение -2,9 не целое число, тогда -3 целое число и принадлежит промежутке (так как -7,8 < -3 < -2,9), то наименьшее целое — это -7, а наибольшее — это -3.
Для того, чтобы выполнить данное задание, в первую очередь выпишем все целые числа, которые расположены в промежутке между числами (- 4,8) и 2:
— 4, — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2.
Двойка попадает в перечень целых чисел данного интервала потому, что интервал указан в квадратных скобках. Это говорит o том, что его крайние точки — числа (- 4,8) и 2 — также включены в интервал.
Таким образом, как видно, в нашем перечне целых чисел наименьшим является число (- 4).
Ответ: наименьшее целое число — это (- 4).
Решить неравенство – это значит найти все его решения.
Решением неравенства с одной переменной называют множество таких значений переменной, при которых данное неравенство верно.
Алгоритм решения.
Раскрыть скобки, если они имеются. Слагаемые с переменной записать в левой части неравенства, а свободные члены – в правой. При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую меняем его знак на противоположный. Привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Изобразить полученные решения неравенства на координатной прямой. Записать решения в виде числового промежутка.
При задании найти наименьшее целое решение неравенства выписываем крайнее левое целое число из полученного промежутка.
При задании найти наибольшее целое решение неравенства выписываем крайнее правое целое число из полученного промежутка.
Пример 1.
а) Решить неравенство 3x-15<0.
б) Указать наибольшее целое решение.
Решение. а) Перенесём слагаемое, не содержащее переменную в правую часть неравенства, поменяв его знак на противоположный. Получим 3x<15
Разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной. 3x<15 |:3.
Получим x<5. Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Так как неравенство строгое, то точка, соответствующая числу 5 будет выколотой на чертеже.
Записываем решение в виде числового промежутка. (-∞; 5).
б) Неравенство строгое, поэтому число 5 не является его решением, следовательно, наибольшим целым решением будет число 4.
Ответ: а) (-∞; 5); б) 4.
Пример 2.
а) Решить неравенство 6 + 2x ≥ 7х.
б) Указать наибольшее целое решение.
Решение. а) Соберём слагаемые, содержащие х в левой части неравенства, а число 6 перенесём в правую часть. При переносе слагаемого не забываем менять его знак на противоположный.
Получаем 2х -7х ≥ -6.
Приводим подобные слагаемые в левой части неравенства.
-5х ≥ -6. Делим обе части неравенства на (-5). При этом меняются не только знаки левой и правой частей неравенства, но и знак самого неравенства.
-5х ≥ -6 |:(-5) → x ≤ 1,2. Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, то значение 1,2 является его решением (точка на чертеже закрашенная).
Записываем решение в виде числового промежутка. (-∞; 1,2].
б) Наибольшее целое решение — это число 1.
Ответ: а) (-∞; 1,2]; б) 1.
Пример 3.
а) Решить неравенство 2(x -7,5)+3 ≤ 5 -4(11+2х).
б) Указать наибольшее целое решение.
Решение. а) Раскрываем скобки.
2х-15+3 ≤ 5 -44 -8х; собираем слагаемые с переменной в левой части неравенства, а свободные числа – в правой.
2х+8х ≤ 5 -44+15 -3. Приведём подобные слагаемые в обеих частях неравенства.
10х ≤ -27. Делим обе части неравенства на 10.
10х ≤ -27 |:10 → x ≤ -2,7. Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Точка, соответствующая числу (-2,7), на чертеже закрашена, так неравенство нестрогое.
Записываем решение в виде числового промежутка. (-∞; -2,7].
б) Наибольшее целое решение — это число -3.
Ответ: а) (-∞; -2,7]; б) -3.
Пример 4.
б) Указать наименьшее целое решение.
Решение.
Умножим обе части данного неравенства на 6 (наименьший общий знаменатель дробей) и получим:
3(3х-1)+2(5-х) < 12x. Раскроем скобки.
9х-3+10-2х< 12x. Соберём слагаемые, содержащие переменную в левой части неравенства, а свободные члены – в правой.
9х-2х-12х < 3-10. Приведём подобные слагаемые.
-5х < -7. Делим обе части неравенства на (-5) – отрицательное число, поэтому меняем и знак самого неравенства на противоположный.
Получаем х > 1,4. Изобразим на числовой прямой все значения переменной х, которые удовлетворяют последнему неравенству.
Записываем решение в виде числового промежутка. (1,4; +∞).
б) Наименьшее целое решение — это число 2.
Ответ: а) (1,4; +∞); б) 2.
Пример 5.
б) Указать наименьшее целое решение.
Решение.
Умножим обе части данного неравенства на 20 (наименьший общий знаменатель дробей) и получим:
5(6х-5) ≥ 4(3х+2,75). Раскроем скобки.
30х-25 ≥ 12х+11. Соберём слагаемые, содержащие переменную в левой части неравенства, а свободные члены – в правой.
30х-12х ≥ 11+25. Приведём подобные слагаемые.
18х ≥ 36. Делим обе части неравенства на 18.
Получаем х ≥ 2. Изобразим на числовой прямой значения переменной х, удовлетворяющие последнему неравенству.
Записываем решение в виде числового промежутка. [2; +∞).
б) Наименьшее целое решение — это число 2.
Ответ: а) [2; +∞); б) 2.
Выполните интерактивное задание.
При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
Напомним свойства числовых неравенств.
1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а < b и b < c, то а < c.
3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c < b – c). Т. е. к обеим частям неравенства можно прибавлять (или из них вычесть) одну и ту же величину.
4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.
Замечание.
Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а < b и c > d, то а – c < b – d, т.е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.
6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и 
, т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и 
, т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2, т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.
8. Если а > b, где а, b > 0, то 
и если а < b , то 
.
Виды неравенств и способы их решения
1. Линейные неравенства и системы неравенств
Пример 1. Решить неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: х < – 2.
Пример 2. Решить систему неравенств 
Решение:
.
Ответ: (– 2; 0].
Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств
Решение:
Ответ: 
2. Квадратные неравенства
Пример 4. Решить неравенство х2 > 4.
Решение:
х2 > 4 (х – 2)∙(х + 2) > 0.
Решаем методом интервалов.
Ответ:
3. Неравенства высших степеней
Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х2 – 2х + 1) > 0.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х2 – 24х + 24 < 4у2, где 
.
Решение:
Область определения неравенства: 
.
С учётом области определения 4х2 – 24х + 24 < 4у2 будет равносильно неравенству
Решаем методом интервалов.
Решение неравенства: 
.
Середина отрезка: 
.
Ответ: 
.
4. Рациональные неравенства
Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству 
.
Решение:
Методом интервалов:
Решение неравенства: 
.
Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.
Ответ: – 6; – 5; – 4; 1.
5. Иррациональные неравенства
Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.
Пример 8. Решить неравенство 
.
Решение:
Область определения: 
.
Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то 
.
Ответ: 
.
Пример 9. Найти все целые решения неравенства 
.
Решение:
Область определения 
.
– быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства 
, при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе 
.
Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.
Ответ: 2; 3; 4.
Пример 10. Решить неравенство 
.
Решение:
Область определения: 
Преобразуем неравенство: 
. С учётом области определения видим, что обе части неравенства — положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное исходному.
т.е. 
, и этот числовой отрезок включён в область определения.
Ответ: .
Пример 11. Решить неравенство 
.
Решение:
Раскрываем знак модуля.
Объединим решения систем 1) и 2): 
.
Ответ: .
6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств
Пример 12. Решите неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Пример 13. Решите неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Пример 14. Решите неравенство 
.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 15. Решите неравенство 
.
Решение:
Ответ: 
.
Задания для самостоятельного решения
Базовый уровень
Целые неравенства и системы неравенств
1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.
2) Решите неравенство – 5х > 0,25.
3) Решите неравенство 
.
4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.
5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).
6) Решите неравенство 
.
7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.
Решить систему неравенств 
9) Найдите целочисленные решения системы неравенств 
.
10) Решить систему неравенств 
.
11) Решить систему неравенств 
12) Найти наименьшее целое решение неравенства 
13) Решите неравенство 
.
14) Решите неравенство 
.
15) Решите неравенство 
.
16) Решите неравенство 
.
17) Найдите решение неравенства 
, принадлежащие промежутку 
.
18) Решить систему неравенств 
19) Найти все целые решения системы 
Рациональные неравенства и системы неравенств
20) Решите неравенство 
.
21) Решите неравенство 
.
22) Определите число целых решений неравенства 
.
23) Определите число целых решений неравенства 
.
24) Решите неравенство 
.
25) Решите неравенство 2x<16 .
26) Решите неравенство 
.
27) Решите неравенство 
.
28) Решите неравенство 
.
29) Найдите сумму целых решений неравенства 
на отрезке [– 7, 7].
30) Решите неравенство 
.
31) Решите неравенство 
.
Иррациональные неравенства
32) Решите неравенство 
.
33) Решите неравенство 
34) Решите неравенство 
.
Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств
35) Решите неравенство 
.
36) Решите неравенство 
.
37) Решите неравенство 
.
38) Решите неравенство 
.
39) Решите неравенство 
.
40) Решите неравенство 49∙7х < 73х + 3.
41) Найдите все целые решения неравенства 
.
42) Решите неравенство 
.
43) Решите неравенство 
.
44) Решите неравенство 7x+1-7x<42 .
45) Решите неравенство log3(2x2+x-1)>log32 .
46) Решите неравенство log0,5(2x+3)>0 .
47) Решите неравенство 
.
48) Решите неравенство 
.
49) Решите неравенство 
.
50) Решите неравенство logx+112>logx+12 .
51) Решите неравенство logx9<2.
52) Решите неравенство 
.
Повышенный уровень
53) Решите неравенство |x-3|>2x.
54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.
55) Найдите наибольшее целое решение неравенства 
.
56) Решить систему неравенств 
57) Решить систему неравенств 
.
58) Решите неравенство 
.
59) Решите неравенство 25•2x-10x+5x>25 .
60) Решите неравенство 
.
Ответы
1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) 
; (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5; 11)
; 12) 1; 13)
; 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17)
; 18) 
; 19) 3, 4, 5;
20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26)
; 27) (– 3; 17); 28)
; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31)
; 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35)
; 36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) 
; 44) х < 1; 45) 
; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48)
; 49) 
; 50) х > 0; 51) 
; 52) 
; 53) х < 1; 54)
; 55) – 1; 56) 
; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60)
.