Как найти наименьшее целое решение системы неравенств

    8. Если а > b, где а, b > 0, то  и если а < b , то .

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Пример 1. Решить неравенство .
    Решение:
          .
    Ответ: х < – 2.

Пример 2. Решить систему неравенств  
    Решение:
         .
    Ответ: (– 2; 0].

    Решение:
        
    Ответ: 

2. Квадратные неравенства

Пример 4. Решить неравенство х² > 4.
    Решение:
        х² > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.
        Решаем методом интервалов.

        

        

Ответ:

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х² – 2х + 1) > 0. 
    Решение:
          
    Ответ: . 

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х² – 24х + 24 < 4у², где   .
    Решение:
        Область определения неравенства: .
        С учётом области определения 4х² – 24х + 24 < 4у² будет равносильно неравенству

        

        Решаем методом интервалов.

        
        Решение неравенства: .
        Середина отрезка: .
    Ответ: .

4. Рациональные неравенства

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
    Решение:
             
        

        

        Методом интервалов:

        

        Решение неравенства: .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1. 
    Ответ:  – 6; – 5; – 4; 1.

5. Иррациональные неравенства

Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8. Решить неравенство .
    Решение:    
        Область определения: .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
    Ответ: .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства .

    Решение:

        Область определения .

        – быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе . 

        Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

    Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство .

    Решение:

        Область определения:  

        Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства —  положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное  исходному.

        

        

         т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.

    Ответ: .

Пример 11. Решить неравенство .

    Решение:

        Раскрываем знак модуля.

        
        Объединим решения систем 1) и 2): .

    Ответ: . 

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

27. Решение систем
линейных неравенств.

Пусть заданы
несколько неравенств с одним неизвестным. Если требуется найти число, которое
является решением всех данных неравенств, то совокупность этих неравенств
называют системой неравенств.

Решением системы неравенств с одним
неизвестным называется то значение неизвестного, при котором каждое неравенство
системы обращается в верное числовое неравенство. Множество решений системы
неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

Решить систему неравенств – это значит найти
все решения этой системы или установить, что их нет.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда
системы неравенств записывают в виде двойного неравенства. Например, систему  можно записать так: 2 < 3x-1 < 8.

Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится к
следующим случаям. Будем считать, что a < b:

   ( 1 )                      ( 2
)                     ( 3 )                      ( 4 )

В случае ( 1 ) решением системы служит промежуток (b; +∞) ( рис 1, а);

 в случае ( 2 ) – промежуток ( a; b) (рис 1, б);

в случае ( 3 ) – промежуток ( -∞; a) (рис 1, в);

в случае ( 4 )  система не имеет решений (рис 1, г).

     

                a       
b            x              a         b        x            a            b     
x                 a       b        х 

                       
а)                                     б)                             
в)                                    г)

Рис.1.

Две системы неравенств называют равносильными, если они имеют общее
множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам. Равносильность систем
неравенств обозначается также, как и равносильность систем уравнений, т.е. с
помощью знака .

Пример 1. Решить систему неравенств

Решение. Имеем

На координатной прямой изобразим
множество чисел, удовлетворяющих последней системе неравенств ( рис.2). Из
рисунка видно, что эта система, а значит, и данная система не имеют решений.

                     -2,2                              3                               х    
Рис.2.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 2. Решить систему неравенств   

Решение. Заменим каждое неравенство системы
равносильным ему неравенством, получим систему

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих
последней системе неравенств ( рис. 3).

                                    2     3,6                  
8                   х           Рис. 3.

Множество решений есть промежуток [3,6; 8).

Ответ: [3,6; 8).

Пример 3. Решить систему неравенств

Решение. Решим первое неравенство: 3х – 4 < 8x + 6, -5x < 10, x > -2. Оно выполняется при  x > -2.

Решим
второе неравенство : 2x — 1> 5x —
4, -3x > -3, x < 1. Оно
выполняется при x < 1.

Решим
третье неравенство : 11x – 9 ≤ 15x +
3< -4x  ≤  12, x ≥ -3.    Оно
выполняется при х ≥ -3.

Все три данных неравенства верны при х  ( -2;
1).

                     

                       -3                     -2                      
1                            х   Рис. 4.

Ответ: (-2; 1).

Пример 4. Решить систему неравенств

Решение.

                                        

Ответ: х >3.

Пример 5. Решить систему неравенств

Решение.

                                

Ответ:

Пример 6. Решить систему неравенств

Решение.    

  

Данное неравенство верно при x < 0.

Ответ: ( — ∞; 0).

Пример 7. Решить систему
неравенств

Решение.           

Данное неравенство верно при x > -3.

Ответ: ( -3; +∞).

Пример 8. Укажите наибольшее и
наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

Решение.

          

      

Ответ: -31; 2.

Пример 9. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см.
Каким числом может быть выражена длина боковой стороны, если известно, что
периметр треугольника меньше 80 см ?

Решение. Пусть длина боковой стороны равна х
см.

Тогда      

Длина боковой стороны может быть выражена любым числом из промежутка
(6; 34).

Ответ: любым числом их числового промежутка ( 6; 34).

Пример 10. Подберите значения параметров a и b так, чтобы множество решений системы неравенств

а) было пусто;

б) состояло из одного элемента;

в) представляло собой промежуток [5; 10];

г) представляло собой промежуток [5;
+∞).

Решение.
Первое неравенство системы запишем в виде: 2х ≥ 10, х ≥5. Второе неравенство
системы запишем в виде ах ≤ b+1.

а) Множество решений системы будет
пусто, если

a>0, x₁ ≤
(b+1):a                                                                                 x
₁         5                     x  

      
Рис.5.

Т.е. х₁ < 5. Выберем
такие а и b, чтобы .
Например, а = 2, b = 7.

б) Множество решений системы
неравенств будет состоять из одного элемента, если

a>0, x₁ =
(b+1):a                                                                                     
x ₁ = 5                     x

Рис.6.             

Т.е. х₁ = 5. Выберем такие
а и b, чтобы . Например, а = 3, b = 14.

в) множество решений данной системы
неравенств будет представлять собой промежуток [5; 10],
если

a>0, x₁ ≤
(b+1):a                                                                                          
5           10         x              

Рис.7.

Т.е. х₁ = 10. Выберем
такие а и b, чтобы .
Например, а = 1, b = 9.

г) множество решений данной системы
неравенств будет представлять собой промежуток [5; +∞), если

a < 0, x₁  ≥  (b+1):a                                                                                       х₁=5                   x              

Рис.8.

Т.е. х₁ = 5. Выберем такие
а и b, чтобы . Например, а = -2, b =  -11.

Ответ: а) например, а = 2, b = 7;   б) например, а
= 3, b = 14;   

 в) например, а = 1, b = 9;

     г) например, а = -2, b = -11.

Пример
11. Изобразить множество точек на плоскости,
определяемое системой неравенств

Решение. Так как
х + у < 1, то у < 1 – х; так как 2х – у < 2, то у > 2х – 2.
Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой
у = 1 – х и одновременно над прямой у = 2х – 2. Т.е. множество решений каждого
из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое
системой этих неравенств есть пересечение полуплоскостей.

                                                                  
у

                                                
у=1-х

                                                              
                         у=2х-2

                                                                       
1

                                                                    
0      1                                 х

                                 
                                       -2

Рис. 9.

Пример 12. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств     Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой у = 5х + 4 и одновременно над прямой у = 5х +1. Т.е. множество
решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество,
определяемое системой этих неравенств есть полоса.

                                                                           
y    F

                                                        
у = 5х + 4

                                                                                  
у = 5х + 1

                                                                                 
0                    х

       
Рис. 10.

Ответ:
полоса.

Пример 13. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств     Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой        у = -2х +4 и одновременно над прямой у = 3х +1. Т.е.
множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.
Множество, определяемое системой этих неравенств есть угол.

                                                                      
у = -2х + 4

                                                        
                      4

                                     F

                                                                             
1

                                                                              
0     2                х

                                                                        у
= 3х + 1

Рис.
11.    Ответ: угол.

Пример 14. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств     Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение.
Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой       
у = -2х +4 и одновременно под прямой у = х +2 и над прямой у = -5. Т.е.
множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.
Множество, определяемое системой этих неравенств есть треугольник.

                                              у

 

                                                    
у = х + 2

                                                            0                   
х

                                                                    
у = -2х + 4

                                                         
-5

                                              
                                у = -5

Рис.
12.

Ответ:
треугольник.

Пример 15. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек F, задаваемое системой неравенств     Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой        у = -х + 6 и одновременно под прямой у = 2х +8 и над прямой у
= -х + 2 и над прямой 2х + 2. Т.е. множество решений каждого из этих линейных
неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое системой этих неравенств
есть параллелограмм.

                                                                       
у

 

                                                                                   
      у = 2х + 2

                                                                       
6

                                                                                        
у = — х + 6

                                        
у = 2х + 8

                                                                       2

                                                                                     
у = — х + 2

                                                  
-4               –1  0          2                    х

Рис.
13.

Ответ:
параллелограмм.

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру,
показанную на рисунке 14 штриховкой.

                                              
а)                                                           б)

                                              
в)                                                           г)

Рис.
14.

Решение. а)

б) Составим
уравнение прямой, проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8):

  у = -1,6х + 8 – уравнение прямой,
проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8).

Искомая система
неравенств:

в)     

  у = -х + 3 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; 3).

     

у = 0,5х + 3 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( -6; 0) и ( 0; 3).

     

у = 2х — 6 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; -6).

Искомая система
неравенств:

г) Зная для каждой
из прямых, ограничивающих четырехугольник, координаты двух точек, записываем ее
уравнение.

Искомая система
неравенств:

Ответ:    а)           б)       в)
           г)

Пример 17. Задайте системой неравенств четырехугольник АВСD,
вершинами которого служат точки: А ( -5; 0),   В (1; 3),   С ( 3; -1);   D ( -2; -4).

Решение.

Четырехугольник АВСD ограничен прямыми АВ, ВС, CD, DA ( рис. 15). Зная координаты двух точек прямой, можно записать
уравнение этой прямой.

Для прямой АВ
имеем:

           

                         
у = 0,5х + 2,5 – уравнение прямой АВ.

Рис. 15.

Для прямой ВС
имеем:           

 у = -2х + 5 –
уравнение прямой ВС.

Для прямой СD имеем:           

 у = 0,6х – 2,8 –
уравнение прямой CD.

Для прямой DA имеем:           

 у = x     – уравнение прямой DA.

Искомая система
неравенств:

Ответ:

Пример 18. Покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
неравенству: а) у > x;   б) ;   в) ;   г) .

Решение. а) См. рис. 16, а.

б) Искомое
множество – множество точек, расположенных выше графика функции     ( рис. 16, б).

в) Рассмотрим
отдельно каждую из координатных четвертей. В I четверти
неравенство примет вид у > х. Ему соответствует множество точек первого
координатного угла, расположенного выше биссектрисы этого угла. Во II и III  четвертях, неравенству удовлетворют координаты
любой из точек. В IV четверти неравенство примет вид –у
> x, т.е. у < -х. Ему соответствует множество точек
четвертого координатного угла, расположенного ниже его биссектрисы ( рис. 16,
в).

г) Рассматриваем
отдельно каждую из координатных четвертей ( рис. 16, г).

                                  
а)                                                                 б)

                                       
в)                                                              г)

Рис.
16.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х –
8)(у – 4) ≥ 0;   б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0;   в) х² – у² ≥
0;   г) х² – 4у² ≤ 0.

Решение. а)
Неравенство верно, если  или  ( рис. 17, а).

б) Неравенство верно, если  или   (
рис. 17, б).

в) Представим неравенство в виде ( х – у)( х +
у0 ≥ 0. Неравенство верно, если   или   ( рис. 17, в).

г) Представим неравенство в виде ( х – 2у)(х +
2у) ≤ 0. Неравенство верно, если  или   ( рис. 17, г).

                                
а)                                                                      б)

                                
в)                                                              г)

Рис.
17.

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

Решите систему неравенств:

1.                                                

2.                                               

3.                                     

4.                                                  

5. Укажите
наибольшее и наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств:

6. Подберите значение параметра a так, чтобы для системы неравенств

а)наименьшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 3;

б)наибольшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 12;

в) не существовало бы ни одного целого числа, удовлетворяющего системе.

7. Решите
систему неравенств :     а)                            б)
  

                                                          
в)                            г)

8. Решите
систему неравенств:

а)                          б)

в)                                        г)

9. Решите
систему неравенств:

а)                                              б)
   

в)                                  г)

10. Решите
систему неравенств:

а)           б)
  

 в)                     

 г)

11. При
каких значениях а система неравенств имеет хотя бы одно решение:

     а)                   б)
                  в)                  г)

12. При
каких значениях а система неравенств не имеет решений:

     а)                   б)
                  в)                  г)

13. Существуют
ли такие значения а, при которых решением системы неравенств    является промежуток: а) ( 5; + ∞);   б)
( 3; +∞);   в) [3; +∞);   г) ( 2; +∞) ?

14. Существуют
ли такие значения а, при которых решением системы неравенств    является промежуток: а) ( -∞ ; 7);    
б) ( -∞; 5);   в) ( -∞; 5];   г) ( -∞; 2) ?

15. При
каких значениях а система неравенств    не
имеет решений? 

16. При
каких значениях а система неравенств    имеет хотя бы одно
решение?

17. Решите
двойное неравенство : а) –3 < 3 – 2x < 1;     б) –2
< 3x – 1 < -1;  

                                в) 0 < 4 – 3x
< 2;       г) 0 < 1 – 2x < 1.

18. Решите
систему неравенств:

а)    б)
   в)   г)

19.
Решите систему неравенств:

а)    б)    в)    г)

20. Найдите
середину промежутка, являющегося множеством решений системы неравенств:

а)                      б)

21. Найдите
наименьшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

22. Найдите
наибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

23. При
каких значениях k и b  множество
точек плоскости, задаваемое системой неравенств  а)
представляет собой полосу;   б) представляет собой угол;   в) пустое множество?

24. Запишите
систему неравенств, задающую на координатной плоскости множество точек,
показанное штриховкой на рисунке   20.

                       
а)                                                                        б)

                      
в)                                                                          г)

Рис. 20.

Ответы: 1. х  [-0,5; 0,5).   2. х  (-3; -1).   3. х  (2,4; 18).   4. х ≤ 0.      5. 0;
2.    6. а) например, а =1;   б) например, а
=0,5;     в) например, а =13,2.  

 9. а)
1<x<3;   б) 4/7 < x <
8/3;   в) 1/7 < x <16/7;   г) x
> 4.   10. а) 0,05<x<0,1.   

11. а) a<3;   б) а<5;   в) а ≤ 7;   г) а ≥
2.     12. а) а ≥ 2;   б) а ≥ 2;   в) а > 5;   г) а ≤ 2.

13. а) а = 5;   б) а ≤ 3;   в), г) не существует.     14. а) Не
существует;   б) а = 5;   в) а > 5;   г) а = 2.

15. а ≤ 2.   16. а > 21/127.      17. а) 1<x<3;   б) –1/3 <x<0.   18. а)
–0,5<x<0,6;   б) 0,25<x<1/3.

19. а) х=1,5;   в) 3,6< x <5;   г) 1 < x ≤ 2,5.   20. а) 0,925;   б) –0,5.   21. 1.    22.5.  

23. а) при k = 3, b < -1;   
б)  k ≠ 3, b – любое;   в) k = 3 , b > -1. ( см. рис. 25)

          у

0     2                      х         

Рис. 25.

24.  а)    б)    в)    г)

Системы линейных неравенств с одной переменной сводятся к одному из видов

Пользуясь этим  коротким правилом, решение систем линейных неравенств можно упростить. Правило очень легко запомнить:

Больше большего

Меньше меньшего

Если система состоит из неравенств одного знака, то не нужно рисовать координатные прямые и искать решение как пересечение решений   неравенств, а можно сразу записать ответ.

Например,

   

Оба знака — «больше», поэтому применяем правило»больше большего». Большее из 5 и 18 — 18, поэтому и пришли к выводу x>18.

   

Здесь оба знака — «меньше», по правилу «меньше меньшего» решением выбираем меньшее их данных чисел, и получаем x<-7.

Особенно облегчает это правило решение системы линейных неравенств, состоящей из большого количества неравенств. Например,

   

Пользуясь этим правилом, систему линейных неравенств, состоящую из нескольких неравенств с разными знаками, можно свести к системе всего из двух неравенств: