Как найти наименьшее общее кратное схема - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В этом уроке мы поговорим о том как вычислять НОД и НОК. Дело в том, что элементарные арифметические вычисления должен уметь делать любой программист, так как алгоритм вычисления можно встретить во многих программах. Тем более вы их уже должны знать, если вы учились в школе 5 классе.

Наибольший общий делитель. НОД.

Для нахождения общего делителя вам нужно знать следующее:

Запомните: наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел – это наибольшее целое число, на которое делятся оба исходных числа без остатка. Однако одно из исходных чисел должно быть большее нуля.
Запомните: если у вас одно из двух чисел ноль, то НОД будет, то число что больше ноля.
Запомните: существует понятие взаимно-простых чисел, у которого нет общих делителей, кроме единицы. К примеру число 5 и 4, НОД этих чисел будет равен 1, так как если 5 разделить на 4 вы не получите целое число без остатка, следовательно НОД=1

Все остальные числа, у которых НОД больше 1, вычисляются по принципу бинарного алгоритма или с помощью алгоритма Евклида. В этой статье мы подробно разберем алгоритм Евклида, который еще называют взаимным вычитанием, поскольку НОД получается при последовательном вычитании меньшего из большего. Используем алгоритм Евклида в нашем примере НОД(12, 30). По алгоритму Евклида нам надо вычесть из большее меньшее, то есть из 30-12-12=6 В числе 30 у нас может поместиться число 12 только два раза, число 12 называют кратным, и остатком останется число 6. Теперь нам надо из числа 30 отнять кратное числа 6, которое у нас получилось, 30-6-6-6-6-6=5 НОД числа 12 и 30 будет равен 6. Так как нам надо найти именно наибольший делитель в нашем случаи 6 больше 5, следовательно НОД(12,30)=6. Как видите ничего сложного, теперь давайте составим блок схему.

Блок-схема «Алгоритм Евклида»

рис.1

Если число a и b равно, НОД этих чисел будет любое из них, так как они могут делиться друг на друга. Если a и b не равны, мы их сравниваем a<b, если a меньше чем b то их надо поменять местами в a присвоить значение b, в b присвоить значение а и перейти к следующему вычислению описанного ниже. Если a больше чем b то, надо из а вычесть b, результат сохранить в a, и так до тех пор, пока а не станет равно b. Рассмотрим на примере.

Пример НОД(12,30).

12=30 | a==b; //в нашем случаи 12 не равно 30
12<30 | a<b;//производим сравнение на < >
30 12 | a==b; b==a; //меняем местами
30-12=18 | a=a-b;//производим вычитание
18=12| a==b;//равно ли а и b
18<12| a<b; //в нашем случае а >b
18-12=6|a=a-b; //производим вычитание
6=12|a==b; //в нашем случаи 6 не равно 12
6<12|a<b; //производим сравнение на < >
6 12| a==b; b==a; //меняем местами
12-6=6|a=a-b;//производим вычитание
6=6| a==b; //в нашем случаи 6 равно 6
НОД(12,30)=6;

Наименьшее общее кратное(НОК).

НОК-это число которое из двух и более натуральных чисел является наименьшим натуральным числом, которое само делится нацело, и каждое из исходных чисел.

Самый простой и быстрый способ в плане реализации программного кода, это первоначально вычислить НОД двух чисел, затем произведение исходных двух целых чисел a и b разделить на НОД. Посмотрим на примере как это выглядет. Возьмем за пример все те же цифры 12 и 30 как мы помним наибольшее общее кратное равнялось 6. НОД=6 Следовательно по формуле НОК=a*b/НОД. НОК=12*30/6=60 Есть и другие варианты вычисления НОК к примеру каноническое разложение чисел. Рассмотрим пример, первоначально нам надо выяснить какое из чисел больше, потом мы раскладываем числа на кратные 12=2*2*3 , и число 30=2*3*5 Вычисляем произведение кратных чисел из числа 30, так как оно является наибольшим. В следующей операции, одинаковые цифры вычеркиваются, как это сделал я из большего меньшее, а оставшиеся кратные числа из 12 умножаются друг на друга, у нас осталось только число 2, которое умножается на произведение кратных чисел из 30, в результате вычисления вы и получите НОК. Выглядет это следующим образом НОК=2*3*5*2=60 Хорошо это можно представить в виде столбиков, как это можно видеть из рис. 2.

рис. 2

В целом ничего сложного, главное не запутаться, сейчас мы нарисуем блок схему наименьшего общего кратного (НОК).

Блок схема Наименьшего общего кратного (НОК)

рис 3.

Алгоритм работы программы описан вначале, статьи о НОК.

Но как же быть если нам надо к примеру найти НОД трех и более натуральных чисел, или найти НОК трех или более натуральных чисел. Тут ничего сложного инструкцию по нахождению НОД из 3 чисел и НОК смотрим ниже.

НОД трех чисел:

Сравниваем все числа К примеру a<b<c
Начинаем вычисления с больших чисел к меньшим
Вычисляем НОД по аналогии с двумя числами a и b
Вычисляем по аналогии чисел НОД(a,b) и с Пример: НОД(a,b,c)=НОД((НОД(a,b)),с);
НОД(12,30,60)
12<30<60
НОД(60,30)=30
НОД(30,12)=6

Точно так же производиться вычисления НОД из четырех чисел из пяти итд. По аналогии с НОД вычисляется и НОК с тремя и более числами. Приведу в пример НОД трех чисел блок схему алгоритма смотрите рис. 4.

Блок схема НОД алгоритма трех чисел, четырех чисел итд.

рис. 4

Разберем по подробнее работу программы блок схемы из рис. 4.

У нас подается 3 числа, но их может быть сколько угодно.
Их мы записываем в массив array.
Выполняем метод sort(); Это мой метод он принимает массив чисел, делает сортировку по убыванию, пузырьковым методом, о нем вы можете прочитать из уроков о массивах.
Выполняем метод nod(), который принимает первые два числа. Я создал метод по аналогии как написано выше в этой статье.
В следующем блоке я помещаю в тело цикла метод nod(), который присваиваю возвращаемое число из метода nod() переменной a.
Выводим результат.
Завершаем работу программы.

Скачать калькулятор НОК и НОД .

Пока писал статью, написал программу НОК и НОД вычисления, которую можете скачать с сайта. Работа программы очень простая, достаточно в текстовое поле вписать цифры через пробел или запятую, нажать на кнопку вычислить или Enter и программа выведет результат. Программа написана на языке java. Может запускаться со всех систем.

рис 5.

Скачать калькулятор НОК и НОД .

jar

Источник

Содержание

Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Наименьшее общее кратное (НОК)
Определение наименьшего общего кратного
Как найти наименьшее общее кратное
Общая схема нахождения наименьшего общего кратного
Наименьшее общее кратное
Общее кратное
Наименьшее общее кратное
Как найти НОК
С помощью разложения на простые множители
Нахождение НОК через НОД
Калькулятор НОК

Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК), и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел.

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Пусть даны целые положительные числа a₁, a₂, …, a_k , наименьшее общее кратное m_k этих чисел находится при последовательном вычислении m₂=НОК(a₁, a₂) , m₃=НОК(m₂, a₃) , …, m_k=НОК(m_k−1, a_k) .

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Сначала находим m₂=НОК(a₁, a₂)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m₂=1 260 .

Теперь находим m₃=НОК(m₂, a₃)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m₃=3 780 .

Осталось найти m₄=НОК(m₃, a₄)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m₄=94 500 .

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее.

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 ( 7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888) .

Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a ( a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a , тогда b делится на a , и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q , что b=a·q . Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q) , которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a , то есть, b есть кратное числа −a . Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a , то b является кратным и числа a .

Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45 .

Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45 . Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 .

Источник

Наименьшее общее кратное (НОК)

Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.

Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.

Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.

Общими кратными чисел будут числа, 300, 600, и т.д.

Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.

Определение наименьшего общего кратного

Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел.

Можно воспользоваться следующим методом.

Как найти наименьшее общее кратное

Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.

Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).

Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300.

Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

1. Разложить числа на простые множители.
2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.

Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.

Источник

Наименьшее общее кратное

Общее кратное

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.

Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.

Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.

Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.

Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так:

Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:

Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:

НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

Находят НОК любых двух из данных чисел.
Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:

Вычисляем их НОК по формуле:

НОК (12, = 12 · 8 : НОД (12, = 96 : 4 = 24.

Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.

Калькулятор НОК

Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК .

Источник

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Наименьшее общее кратное (НОК)

Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.

Общими кратными чисел будут числа, 300, 600, и т.д.

Определение наименьшего общего кратного

Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.

Можно воспользоваться следующим методом.

Как найти наименьшее общее кратное

Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

1. Разложить числа на простые множители.
2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Наибольший общий делитель (НОД): определение, как найти, схема
Следующая тема: Числовые выражения: примеры, значение, числовое равенство, правила

Нравится

Источник

Наименьшее общее кратное: как найти

Содержание:

Наименьшее общее кратное — что это такое
Вычисление НОК, правила в математике
Как найти НОК через НОД
Как найти НОК через разложение чисел
Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное — что это такое

Определение

Число, которое можно без остатка разделить на выбранные числа, является их общим кратным. Наименьшее из таких чисел — наименьшее общее кратное или сокращенно «нок».

Действия с дробями, имеющими различный знаменатель, можно значительно облегчить, если найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, например, кратное числу а, которое можно разделить на это а целиком, без остатка.

Пример

К числам, кратным 8, относятся 16, 24, 32, 40 и т.п. Кратными 9-ти являются 9, 18, 27, 36 и т.п.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Существует бесчисленное множество чисел, делящихся на а без остатка, т.е. кратных ему. В то же время, этого нельзя сказать о числе делителей. Так, делителями для 9-ти являются 9, 3, 1.

Если для двух или более натуральных чисел существует число, делящееся на оба без остатка, то оно является наименьшим общим кратным. А то из, них, которое самое маленькое, является нок.

Вычисление НОК, правила в математике

Для нахождения нок в математике существует несколько правил или алгоритмов. Самый простой вариант — вычисление НОК для двух чисел-участников. Способ легкий, но приемлем для маленьких натуральных чисел.

Нужно составить ряды чисел, кратных каждому из выбранных значений.

Пример

К (4) — 4, 8, 12, 16, 20, 24;

К (6) — 6, 12, 18, 24, 30.

Из рядов видно, что в обоих рядах встречаются числа 12 и 24. Это общие кратные. Однако 12 из них — меньшее число.

Поэтому НОК (4, 6) — 12.

Как найти НОК через НОД

Определение НОК можно провести с использованием НОД (наибольшего общего делителя).

В этом блоке изложения материала следует уточнить некоторые понятия.

Определение

Простым называется такое натуральное число, которое целиком можно разделить только само на себя либо на единицу.

Наименьшим простым числом является двойка. Она же — единственное четное натуральное простое число. Все остальные — нечетные.

Множество чисел делятся не только на 1 и на себя, но и на другие целые натуральные числа:

8 делится на 1, 2, 4, 8;

36 — на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и т.д.

Эти числа — делители восьми и тридцати шести (делимых). Именно они могут разделить 8 и 36 без остатка. В обоих приведенных примерах делимые (8, 36) являются составными числами, поскольку имеют более двух делителей.

В приведенных рядах существуют одинаковые делители. Это 1, 2, 4, 8.

Самое большое число — 8. Оно и является наибольшим общим делителем.

Определение

Наибольший общий делитель (НОД) — число, на которое без остатка делится выбранная пара (либо больше) чисел.

Пример

НОД (9, 45)=9

НОД (12, 48)=12

Бывают пары чисел, которые из общих делителей имеют только единицу. Тогда они называются взаимно простыми: НОД (9, 8)=1, НОД (12, 10)=1.

На следующем примере показаны пары чисел со значениями их НОД и НОК.

Нок

Решение задачи по нахождению НОК через НОД сводится к следующей формуле:

НОК чисел a,b равняется частному произведения a и b на наибольший общий делитель чисел a и b (по-другому НОД (a, b).

Исходя из этого заключения получается, что НОК и НОД взаимосвязаны друг с другом. Наименьшее общее кратное можно легко найти через наибольший общий делитель для двух или более натуральных чисел.

Как найти НОК через разложение чисел

Кроме составления рядов значений, кратных каждому из двух выбранных натуральных чисел, для правильного определения НОК пользуются методом разложения на множители.

Найденные простые множители первого разложения сравниваются с аналогичными из второго разложения, после чего они перемножаются.

Пример

После разложения числа 9 на простые множители получается ряд:

1, 3, 9.

После разложения 12-ти получается ряд:

1, 2, 3, 4, 6, 12.

После разложения на множители числа 9 получаем: 3*3. После разложения на множители 12-ти получаем: 2*2*3. Объединяя множители обеих вариантов, получаем произведение: 3*3*2*2=36.

Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 — 36.

В качестве проверки произведем действия:

36/12=3
9/3=3

На практике записывают: НОК (9, 12)=36.

Такими действиями можно найти НОК более сложных чисел.

Пример

Найти НОК чисел 50 и 180.

Число 50 делится на 1, 2, 5, 10, 25, 50.

Число 180 на: 1, 5, 15, 30, 45, 90, 180.

Разложив на множители 50, получаем: 2, 5, 5.

Разложив 180, получаем: 2, 2, 3, 3, 5.

Из первого разложения выписываем: 2*5*5. Сравнивая со вторым разложением, описываем одну двойку и две тройки. После перемножения полученного ряда получается произведение: 2*5*5*2*3*3=900. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 50 и 180.

Следовательно, НОК (50, 180)=900.

Существует еще один быстрый способ находить НОК. Он приемлем для вариантов, когда одно число нацело делится на другое. Например: НОК (15, 30)=30, НОК (20, 80)=80, НОК (16, 48)=48.

Для случаев, когда у двух чисел не имеется общих делителей, их можно просто перемножить и получить НОК. Например, НОК (7, 8)=56, НОК (4, 9)=36, НОК (7, 9)=63.

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Если предстоит найти НОК для большего, чем 2, количества чисел, их нужно разложить на простые множители. Например,

32=2*2*2*2*2;

40=2*2*2*5;

80=2*2*2*2*5

Сравнивая множители в каждом случае разложения натуральных чисел и выстраивая их в один ряд для умножения, получаем, что НОК (32, 40, 80) = 2*2*2*2*2*5 = 160.

В математике принято для нахождения НОК трех и более чисел применять следующую теорему:

Если имеется ряд чисел (а₁, а₂, а₃…а_k), можно найти НОК m_k этих чисел производя последовательные вычисления: m₂=НОК (а₁, а₂), m₃=НОК (а₂, а₃)… m_k=НОК (m_k-1, а_k)

Пример

Дано задание вычислить НОК для чисел 140 (a₁), 9 (a₂), 54 (а₃), 250 (а₄).

Тогда m₂=НОК (a₁, a₂)=НОК (140, 9).

Для нахождения НОК (140, 9) производим действия. 140=15*9+5; 9=5*1+4.

Последующее разложение: 5=4*1+1, 4=4*1.

Следовательно, НОД (140, 9)=1. НОК (140, 9)=140*9/НОД (140, 9)=140*9/1=1260.

Ответ: m₂=1260

По аналогии вычисляем m₃ (=3780) и m₄ (=94500). Это и есть ответ решения задачи по нахождению НОК чисел 140, 9, 54, 250.

Источник

Алгоритмы вычисления наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) описаны в одной теме, т.к. для эффективного вычисления НОК нужно вычислить НОД.

1 Алгоритм расчета наибольшего общего делителя

Даны два целых числа A и B, их наибольший общий делитель — такое число C, что на него делится без остатка и A, и B

В школе нас учили искать НОД разложением на простые множители, однако такая задача крайне тяжело решается на компьютере, зато мы можем заставить его перебрать все числа от min(a, b) до единицы и проверить условие делимости, однако и это не самый эффективный способ.

Люди, интересующиеся алгоритмами, сразу вспомнять алгоритм Евклида, однако, на мой взгляд, нет смысла зубрить алгоритмы — наиболее ценно их понимание и способность разработать нечто аналогичное. Для этого я предлагаю пытаться визуализировать задачу.

Целое число — это количество чего-либо неделимого. На следующей картинке два числа показаны в виде прямоугольников, под значением числа можно понимать количество «блоков в прямоугольнике». Показано схематично (я не пытался рисовать точно).

В физической интерпретации — замените блоки на кирпичи. НОД — размер кузова грузовика, такой что им можно перевезти все кирпичи, наполняя каждый раз кузов доверху.

Эффективный алгоритм расчета НОД строится на следующих наблюдениях (постарайтесь их «почувствовать»):

если A делится на B без остатка — то НОД(A, B) = B;
любое число, которое делит оба числа A и B, делит также и A-B, поэтому
НОД(A, B) <= НОД (A — B, B);. То есть уменьшение числа A на значение B не повлияет на результат вычисления НОД;
мы можем воспользоваться предыдущим пунктом несколько (t) раз — если A = B*t + r для целых чисел t и r — то НОД(A, B) = НОД(r, B).

Из второго пункта следует идея следующего алгоритма поиска НОД: Отнимать от большего меньшее, пока числа не станут равны. Полученное число и является наибольшим общим делителем. Такой алгоритм будет работать значительно быстрее чем полный перебор, но и его можно улучшить — посмотрим визуализацию (исходное состояние показано выше):

В какой-то момент числа окажутся равны и мы получим результат. Этот момент обязательно настанет — в крайнем случае когда оба числа станут равны единице (потому что это ей кратны любые целые числа).

Из последней иллюстрации видно, что многократное вычитание можно заменить на получение остатка от деления (об этом же говорит третье «наблюдение»). Тогда алгоритм можно записать на псевдокоде следующим образом:

наибольший_общий_делитель(a, b) {
  если a делится на b без остатка то - верни b;
  если b делится на a без остатка то - верни a;
  
  если a > b - то верни наибольший_общий_делитель(a mod b, b);
  иначе верни наибольший_общий_делитель(a, b mod a);
}

Тут mod — операция получения остатка от деления.

2 Алгоритм расчета наименьшего общего кратного

Наименьшее общее кратное двух целых чисел A и B есть наименьшее натуральное число, которое делится на A и B без остатка.

Чтобы лучше понять о чем речь — предлагаю такую геометрическую интерпретацию: значения A и B задают длины отрезков. НОК — это длина другого отрезка, который можно составить как из целого количества отрезков A, так и отрезков B:

Для любых чисел мы можем найти общее кратное C = A*B, однако, оно не всегда будет наименьшим. Примитивный алгоритм вычисления НОК мог бы заключаться в переборе всех чисел от max(A, B) до A*B. Однако, это не самое эффективное решение. На самом деле, если длина отрезка A = 4, а B = 3, то перебирать надо все отрезки, кратные 4, т.е. max(A, B).

Обратите снимание, что если A и B взаимнопростые (иными словами НОД(A, B) = 1) — то НОК(A, B) = A*B. Если же у этих чисел есть делители d0, d1, ..., dn, то их общими кратными будут числа: (A*B)/d0, (A*B)/d1, … (A*B)/dn. Значит, чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти наибольший из делителей:

наименьшее_общее_кратное(a, b) {
  верни (A*B)/наибольший_общий_делитель(a, b);
}

Источник