Как найти наименьшее общее кратное трех чисел

Для того, чтобы находить общий знаменатель
при
сложении
и
вычитании дробей с разными
знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу «a» — это число, которое
само делится на число «a» без остатка.

Числа кратные 8
(то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка):
это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей
этого же числа. Делителей —
конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое
   для обоих чисел.
2. Кратное числа «a»
   обозначаем большой буквой «К».

   К (a) = {…, …}

Пример. Найти НОК 6 и 8.

К (6) = {12, 18, 24, 30, …}

К (8) = {8, 16, 24, 32, …}

НОК (6, = 24

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

1. Разложить данные числа на простые множители.
   Подробнее правила разложения на
   простые множители вы можете прочитать в теме
   как найти наибольший общий делитель (НОД).
   
2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение
   самого большого из чисел, а под ним —
   разложение остальных чисел.

   Запомните!
   

   Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

   60 = 2 · 2 · 3 · 5

   24 = 2 · 2 · 2 · 3

3. Подчеркнуть в разложении
   меньшего числа (меньших чисел) множители,
   которые не вошли в разложение бóльшего числа
   (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
   
   НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
4. Полученное произведение записать в ответ.
   
   Ответ: НОК (24, 60) = 120

Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).

24 = 2 · 2 · 2 · 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в
разложение 24
(самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из
разложения числа 16.

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

   Например, НОК (60, 15) = 60

2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее
   кратное равно произведению этих чисел.

   Пример.

   НОК (8, 9) = 72

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

 1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2³ · 3² · 7¹,

3)  выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;       

4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2³ · 3¹ · 7¹ ,

                        180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3² · 5¹ ,

                        3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2⁴  · 3³  · 7¹ .

                        Выписываем наибольшие степени всех простых делителей

                        и перемножаем их:

НОК = 2⁴ · 3³ · 5¹ · 7¹ = 15120 .

Наименьшее общее кратное

• Общее кратное
• Наименьшее общее кратное
• Как найти НОК
  • С помощью разложения на простые множители
  • Нахождение НОК через НОД
• Калькулятор НОК

Общее кратное

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел  12  и  20  кратными будут числа:  60,  120,  180,  240  и т. д. Все они являются общими кратными для чисел  12  и  20.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел  3,  4  и  9  является число  36,  никакое другое число меньше  36  не делится одновременно на  3,  4  и  9  без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так:

НОК (a, b, …) = x.

Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

1. Находят НОК любых двух из данных чисел.
2. Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
3. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Калькулятор НОК

Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК.

Поиск наименьшего общего кратного — задача, с которой все мы сталкиваемся при необходимости найти общий знаменатель для дроби. Ниже для удобства обозначения мы будем использовать не только термин «наименьшее общее кратное», но и его сокращение — НОК.

Давайте рассмотрим подробнее, что значит НОК.

Нахождение НОК

Существует несколько различных приёмов для определения НОК:

• Через связь наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя;
• Через разложение чисел, для которых ищется НОК, на простые множители.

Как искать НОК через наибольший общий делитель

Для начала вспомним, что такое наибольший общий делитель.

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо следующее тождество:

$НОД(a, b) cdot НОК(a, b)=a cdot b$.

Способы нахождения НОД для определения НОК:

1. Бинарный метод.
2. Алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида для поиска НОК рассмотрен подробнее в другой статье на нашем сайте.

Также НОД можно вычислить через каноническое разложение чисел на простые множители. Для этого числа, для которых ищется НОД, сначала раскладывают на простые множители.

После этого отдельной строкой выписывают все простые множители, входящие в каждое разложение хотя бы один раз.

После к простым множителям подписывают их наименьшую степень и перемножают. Полученное произведение будет являться наибольшим общим делителем данных чисел.

Если же НОД уже известен, то для определения НОК через этот метод можно воспользоваться следующей формулой:

$НОК(a,b)=frac{|a cdot b|}{НОД(a, b)}$

Здесь $НОД$ — наибольший общий делитель для чисел $a$ и $b$.

Как найти НОК через разложение чисел

Из этого определения можно сделать следующий вывод: любое натуральное число кроме единицы либо является простым, либо его можно разложить до простых множителей, причём единственным способом. Числа, которые можно разложить на простые множители, называются составными.

Для осуществления разложения числа на множители используют признаки делимости чисел.

Существуют пары чисел, наибольший общий делитель которых равен единице. Такие числа называются взаимно простыми.

При поиске НОК для взаимно простых чисел их разложения не содержат одних и тех же простых множителей.

Существует ещё одна закономерность для взаимно простых чисел: если число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.

Наиболее частым является каноническое разложение, при его использовании числа раскладываются на множители в порядке возрастания.

Теперь, узнав основные используемые понятия, можно перейти к алгоритму определения НОК данным методом.

Алгоритм определения НОК

1. Разложить числа, для которых нужно найти наименьшее общее кратное на простые множители.
2. В отдельную строчку выписать все простые числа, которые входят в каждое из разложений.
3. Для каждого из простых чисел выписать максимальную степень, с которой оно встречается в разложении.
4. Записать произведение всех выписанных простых чисел в максимальных встреченных степенях.

Как найти НОК трех чисел и более

Для того чтобы найти НОК более чем для двух чисел, сначала необходимо выбрать 2 любых числа из необходимых и найти НОК для них, после этого нужно взять следующее число и найти НОК для него и уже посчитанного ранее наименьшего общего кратного.

Эту процедуру необходимо выполнять до тех пор, пока не закончатся числа, для которых необходимо найти наименьшее общее кратное.

Другим способом найти НОК сразу для нескольких чисел является выписывание в строку всех простых множителей, содержащихся в разложениях, с их наибольшей степенью и затем их последующее перемножение.