Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.
Спрятать решение
Решение.
Если число делится на 55, то оно делится на 5 и на 11. Если число делится на 5 то оно может оканчиваться на 0 или на 5. Если в записи числа есть ноль, то произведение цифр числа равно нулю, следовательно, запись числа должна оканчиваться на 5. Пусть число имеет вид 
Число делится на 11, если сумма цифр на нечётных местах равна сумме цифр на чётных местах: 
Рассмотрим различные произведения abcde такие, что 
Последняя цифра числа равна пяти, следовательно, возможные значения произведения 
50, 55, 60, 65, 70. Разложим каждое число на простые множители:
Попытаемся удовлетворить уравнению 
Перебирая различные возможные значения, получим, что только число разложение числа 70 в виде 
удовлетворяет уравнению: 
Наименьшее число, удовлетворяющее условиям задачи — 11275.
Ответ: 11275.
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
|
Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.
Если число кратно 55, то значит оно делится на 5 и 11. Понятно, что наше число оканчивается на цифру 5 и в его записи нет нулей. Произведение цифр находится в промежутке от 50 до 74 и, поскольку, одна из цифр это цифра 5 то и произведение цифр может быть равно: 55,60,65,70 Тогда произведение четырех цифр, без пятёрки, равно:. 11,12,13,14 Но два значения, а именно 11 и 13 отпадают, так как это простые числа. Остаются произведения четырёх цифр , равные 12 и 14 12=1*1*3*4=1*1*2*6 Применяя признак делимости на 11 напишем подходящие числа: 13145,14135,—меньше нет,другие, если есть, больше. 14=1*1*2*7— Здесь тоже применяя признак делимости на 11 составим из цифр подходяшие числа : 11275,17215— Выберем наименьшее число-11275 Ответ:11275 автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
ОлегТ 2 недели назад Предложу не совсем стандартный метод решения. Вернее он стандартный, но не преветствуется. Это способ перебора, но всё же разумного перебора. Сначала поймем, что в числе среди цифр не должно быть 0 иначе произведение будет 0. Значит число оканчивается на 5, чтоб делилось на 55 Теперь возьмем минимальное пятизначное: 10000. Разделим его на 55 с остатком 10000 : 55 = 181 и остаток 45 То есть минимальное пятизначное делящееся на 55 будет 10010 Далее надо прибавлять по 55 и проверять на произведение числа Но легко понять, что на 4 месте и на 3 месте (в тысячах и сотнях будет оставаться 0) Тогда, чтоб не перебирать эти числа. Начнем сразу с 11110 разделим на 55 с остатком.(Все числа до этого будут с 0 в каком нибудь разряде). Оно оказывается делится нацело: 11110:55 = 202 Далее прибавляем по 55 и проверяем 11110 + 55 = 11165 (произведение 1•1•1•6•5 = 30) Далее будем прибавлять по 110 (2•55), так как прибавление один раз 55 будет давать 0 на конце 11165 + 110 = 11275 (произведение 1•1•2•7•5 = 70) — это удовлетворяет условию Ответ: 11275 Знаете ответ? |
Формулировка задачи: Найдите наименьшее пятизначное число, кратное N, произведение цифр которого больше A, но меньше B.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.
Пример задачи:
Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.
Решение:
Для удобства назовем наше число abcde, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – десятки тысяч, b – тысячи, c – сотни, d – десятки и e – единицы. По условию задачи
50 < a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ e < 75
Попробуем подобрать возможные наборы из 5 цифр, которые будут соответствовать данному соотношению.
По условию задачи пятизначное число должно быть кратно 55, то есть оно должно делиться нацело на 5 и 11. Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. В нашем числе не может быть множителя 0, так как произведение сразу же становится равно 0. Значит, e = 5.
Чтобы число делилось на 11, нужно чтобы сумма цифр, стоящих на четных местах, была равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличаться на 11. Поэтому после поиска возможных наборов чисел нужно будет проверить, выполняется ли это свойство.
Поскольку e = 5, произведение цифр числа будет делиться на 5, то есть оно может быть равно 55, 60, 65 или 70, чтобы находиться в заданном диапазоне. Пусть произведение цифр числа равно 55, разложим его на множители:
55 = 11 ⋅ 5
Данный вариант не подходит, так как одним из множителей является простое число 11, которое не поместится в 1 разряд.
Пусть произведение цифр равно 60. Разложим его на множители таким образом, чтобы их было ровно 5 и все они были цифрами:
60 = 6 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1
В результате разложения было получено три набора цифр. Рассмотрим пока другие произведения, и потом вернемся ко все возможным вариантам.
Пусть произведение цифр равно 65. Его не получится разложить на 5 множителей-цифр, так как множитель 13 цифрой не является:
65 = 13 ⋅ 5
Пусть произведение цифр равно 70. Разложим его на множители таким образом, чтобы их было ровно 5 и все они были цифрами:
70 = 7 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1
В результате разложения было получено четыре возможных набора цифр. Теперь нужно проверить, какие из наборов будут делиться на 11 (сумма цифр, стоящих на четных местах, должна быть равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличаться на 11). При этом нужно не забывать что цифра 5 должна стоять на последнем месте, а это место является нечетным. В пятизначном числе 3 нечетных позиции и 2 четных, значит число 5 должно быть среди 3 цифр, а в другую группу должны входить 2 цифры.
6, 5, 2, 1, 1: невозможно разбить
5, 4, 3, 1, 1: 5 + 1 + 1 = 4 + 3; это числа 14135, 13145
5, 3, 2, 2, 1: невозможно разбить
7, 5, 2, 1, 1: 5 + 2 + 1 = 7 + 1; это числа 27115, 21175, 17215, 11275
Среди приведенных вариантов минимальным числом является 11275.
Ответ: 11275
Число делится на 55 если оно делится и на 5 и на 11. По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра 0 или 5, но так как если последняя цифра будет 0, то произведение цифр пятизначных чисел будет 0, поэтому последняя цифра будет 5.
Для удобства назовем наше число abcde, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – десятки тысяч, b – тысячи, c – сотни, d – десятки и e – единицы.
Число делится на 11, если сумма цифр на нечётных местах равна сумме цифр на чётных местах:
По условию задачи: . Возможные значения произведения пятизначного числа : 55, 60, 65, 70 и разложим каждое число на простые множители
55 = 5 * 11
60 = 2 * 2 * 3 * 5
65 = 5 * 13
70 = 2 * 5 * 7
Перебираем возможные варианты составить числа и
6, 5, 2, 1, 1 разбить никак
5, 4, 3, 1, 1: 5 + 1 + 1 = 4 + 3; ⇒ 14135, 13145
5, 3, 2, 2, 1 разбить никак
7, 5, 2, 1, 1: 5 + 2 + 1 = 7 + 1; ⇒ 27115, 21175, 17215, 11275
Отсюда наименьшее 11 275;
Ответ: 11 275.
Найдите наименьшее пятизначное число краткое 55 произведение цифр которого больше 50 но меньше 75.
На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос
Найдите наименьшее пятизначное число краткое 55 произведение цифр которого больше 50 но меньше 75?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся
5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по
интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории,
чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы
расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос,
который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс
позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.