Как найти наименьшее расстояние между двумя точками

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения. Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе.

Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна  11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

• 0, если точка совпадает с началом координат;

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB). Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

• если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;
• если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.
• если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA
• если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник АВС  является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay,  Az, Bx, By, Bz

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее: AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA

Преобразуем выражение: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом: AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

• точки совпадают;
• лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/rasstojanie-mezhdu-tochkami/

Расстояние между точками на координатной плоскости — формулы и расчеты

Аналитическая геометрия — важная ветвь математики, которая позволяет рассчитать любые характеристики расположения объектов в пространстве, например, углы и дистанции.

Формула расстояния между точками на координатной плоскости является основным инструментом, применяемым при решении ряда задач в двумерном пространстве.

Система координат

Прежде чем говорить о расстоянии между точками по координатам, следует ввести систему отчета, в которой каждый геометрический объект можно будет однозначно определять.

Для этой цели часто используют декартову систему координат. Она представляет собой взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых отмечены единичные отрезки.

Именно в них определяется положение тел в пространстве, на плоскости или на прямой линии. Для названных трех случаев декартова система координат отличается количеством осей:

• 3 для определения положения пространственных объектов;
• 2 для фигур на плоскости;
• 1 для вычисления координат точек.

Единичные отрезки на координатных осях в общем случае могут иметь разную длину. Однако ввиду симметричности пространства и для удобства выполнения практических расчетов применяют, как правило, единичные отрезки равной длины. Каждому из них соответствует единичный вектор.

Понятие о векторе

Чтобы уметь вычислять расстояние от точки до точки по координатам, удобно пользоваться понятием вектора. Из школьного курса геометрии известно, что под ним принято понимать отрезок, имеющий некоторое определенное направление. Обозначают его в виде прямой линии конечной длины, на конце которой изображена стрелка.

Пользу использования указанного геометрического объекта трудно переоценить. Например, в физике все величины делятся на 2 большие группы:

• Скаляры.
• Вектора.

К первым относятся масса, электрический заряд, энергия и другие. Вторая группа более обширная. Здесь следует назвать скорость, ускорение, силу тока, напряженности магнитного и электрического полей, силу любой природы и многие другие.

Характеристики объекта

Как любой геометрический объект, вектор обладает набором математических свойств, которые используются при решении задач. Основные из них:

• a- и b- можно складывать и вычитать, при этом получаются новые вектора;
• вектора a- и b- можно умножать друг на друга, существует возможность выполнить скалярное или векторное умножение, каждый вид операции имеет свой геометрический смысл;
• объект однозначно определяется всего двумя точками независимо от мерности пространства;
• он имеет модуль, который геометрически представляет длину его отрезка.

Для всех свойств существуют определяющие их правила. Например, при осуществлении вычитания вектора a- из b- необходимо соединить концы этих объектов отрезком и направить его к концу a-, тогда получается результирующий вектор разницы.

Умножение a- и b- векторным способом является полезной операцией при определении площадей и объемов фигур. Для ее выполнения следует уметь работать с матрицами второго и третьего порядка, в частности, знать, как рассчитывается детерминант (определитель).

Универсальный способ

Речь идет о координатном представлении нульмерных, одномерных, двумерных и трехмерных геометрических фигур. Параметры точек, треугольников, квадратов, прямых, плоскостей и других более сложных объектов могут быть однозначно выражены в виде наборов чисел, привязанных к соответствующей координатной системе.

Поскольку существует задача определения расстояния от точки до точки по координатам, имеет смысл рассмотреть только указанный одномерный объект и вектор.

Точка на плоскости

Этот объект является нульмерным. Для его однозначного определения достаточно знать всего один числовой набор, привязанный к координатной системе. На плоскости имеется всего 2 перпендикулярные оси x и y, поэтому всякая точка будет иметь 2 координаты. Например, A (3; 2), B (-1; 4), C (0; -2), D (0; 0).

Первое число здесь означает количество единичных отрезков, которые необходимо отсечь на оси x, второе значение — на оси y. Точка D лежит в начале координат, то есть на пересечении x и y. В общем случае удобно обозначить произвольную точку Q (x0; y0).

Направленный отрезок в двумерном пространстве

На плоскости координаты направленного отрезка так же, как и точки, представляют собой набор двух чисел. Оба обозначают число отрезков единичной длины, которые следует отложить на каждой оси, чтобы получить проекции вектора на x и y.

Например, данные a-(1;-2) означают, что для получения a- следует отложить отрезок 1*i- на оси x и -2*j- на y (два единичных j- в отрицательном направлении оси y). На пересечении этих проекций будет находиться конец a-. Начало его лежит в точке (0; 0).

На плоскости и в трехмерном пространстве всего 2 точки однозначно определяют направленный отрезок. Если его начало переместить в пересечение осей x и y, его конец легко можно найти, вычитая соответствующие координаты точек друг из друга. Следующий простой пример демонстрирует сказанное.

Даны точки A (x1; y1), B (x2; y2), тогда AB- будет иметь координаты: AB- = B — A = (x2-x1; y2-y1).

Вторая точка показывает место расположения конца AB-.

Формула дистанции

Имея полученные представления и знания о свойствах точек и векторов, можно перейти к вопросу нахождения формулы расстояния. Согласно геометрическому определению, под дистанцией между двумя точками понимают длину отрезка, который их соединяет. Эта величина также равна модулю вектора, построенного на нульмерных объектах.

Длину направленного отрезка на плоскости определить просто: необходимо возвести в квадрат каждую его координату, сложить полученные значения, и взять квадратный корень из результирующей суммы. Для вектора a- (x; y) длина будет равна следующей величине: |a-| = (x 2 + y 2 )^0,5.

Возведение суммы в степень 0,5 эквивалентно взятию из нее квадратного корня. Поскольку определение координат вектора по соответствующим значениям точек известно, можно получить следующую простую формулу для A (x1; y1) и B (x2; y2): |AB-| = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)^0,5.

В трехмерном пространстве соответствующее выражение будет иметь подобную форму, только добавится третья координата z.

Расстояние между Q и прямой

Полученные знания можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Часто приходится находить дистанцию между точкой и прямой. Определить эту величину можно, если знать направляющий вектор прямой. Предположим, что он имеет следующие координаты: a- (x1; y1). Прямая проходит через A (x2; y2). Точка задается так: Q (x0; y0).

В параметрическом виде прямая записывается следующим образом: (x;y) = (x2;y2) + t*(x1;y1).

Здесь t — параметр, который может принимать любое действительное число. Это выражение позволяет записать равенство (1): (x-x2)/x1 = (y-y2)/y1 (1).

Пусть точка P (x;y) является проекцией Q (x0;y0) на прямую, тогда расстояние PQ является искомой дистанцией, которую следует найти по условию задачи. Поскольку вектора PQ- и a- перпендикулярны друг другу, их скалярное произведение будет равно нулю (угол между векторами равен 90 градусов, его косинус равен нулю). Исходя из этих рассуждений, можно записать выражение (2): (x-x0)*x1 + (y-y0)*y1 = 0 (2).

Поскольку имеющиеся равенства (1) и (2) содержат 2 неизвестные переменные, объединение их в систему и решение ее позволит определить точку P (x;y). Зная ее координаты и используя формулу дистанции между двумя точками на плоскости, можно получить искомое расстояние PQ.

Пример задачи

Применить полученные знания поможет простая геометрическая проблема. Имеется прямая, которая задана на плоскости в виде следующего общего выражения: y = -3*x + 1.

Необходимо найти расстояние от нее до точки Q (2; -2). Пусть проекцией точки Q на прямую будет нульмерный объект P (x;y). Координаты P должны удовлетворять записанному уравнению.

Чтобы определить направляющий вектор, достаточно взять 2 любые точки на прямой. Подставляя в выражение произвольные значения x, можно определить эти точки A, B и вместе с ними направляющий вектор AB-:

• x=0; y=1 ==> A (0;1);
• x=1; y=-2 ==> B (1;-2);
• AB- = (1;-3).

Вектор QP-, который пересекает прямую под прямым углом, должен подчиняться следующему уравнению (свойство скалярного произведения):

(QP-*AB-) = (x-2)*1 + (y+2)*(-3) = 0.

В это выражение нужно подставить значение y из уравнения прямой.

Получается:

1. x-2−3*(-3*x + 1)-6=0 ==>
2. 10*x-11=0 ==>
3. x = 1,1;
4. y = -3*1,1 + 1 = -2,3.

Таким образом, значение координат проекции Q на прямую равны: P (1,1; -2,3). Остается применить формулу для дистанции между P и Q, чтобы получить ответ на поставленную задачу:

|PQ-| = ((1,1−2)^2+(-2,3+2)^2)^0,5 = 0,95.

Рассчитанное значение округлено до сотых долей и выражается в единицах единичных векторов координатной системы.

При решении подобных задач для сокращения последующих вычислений рекомендуется проверять принадлежность точки прямой, для чего следует подставить координаты в уравнение. Если этот факт подтверждается, искомое расстояние равно нулю.

Углы треугольника

Польза от использования формулы дистанции между точками на плоскости наглядно показывается на примере решения задач на нахождение углов фигур. Пусть нужно определить все углы треугольника, который построен на вершинах A (x1;y1), B (x2;y2), C (x3;y3).

На первый взгляд сложная задача решается легко, если вспомнить о понятии векторного произведения. Например, для векторов AB- и AC- записывается оно так:

|[AB-*AC-]| = |AB-|*|AC-|*sin (A).

Произведение [AB-*AC-] является вектором, который находится как детерминант матрицы третьего порядка. Его модуль, а также длины |AB-| и |AC-| вычисляются по формуле расстояния между двумя точками.

Чтобы определить угол при вершине A треугольника, остается взять функцию арксинуса от отношения векторного произведения к произведению длин сторон AB и AC.

Источник: https://Sprint-Olympic.ru/uroki/geometrija/116498-rasstoianie-mejdy-tochkami-na-koordinatnoi-ploskosti-formyly-i-raschety.html

Нет, прямая линия не всегда является самым коротким расстоянием между двумя точками. Наименьшее расстояние между двумя точками зависит от геометрии объекта/поверхности. Для плоских поверхностей линия действительно является кратчайшим расстоянием, но для сферических поверхностей, таких как Земля, расстояния по большому кругу на самом деле представляют собой самое короткое расстояние.

В раннем возрасте всех нас учили, что «линия — это наикратчайшее расстояние между двумя точками». Однако, что если бы кто-то сказал вам, что эта почтенная во времени поговорка не совсем верна.

Как оказалось, это утверждение лишь отчасти правдиво. Самое короткое расстояние между двумя точками на самом деле зависит от геометрии рассматриваемого объекта.

Если бы мы жили на плоской земле (чего у нас нет), то да, прямая линия была бы наименьшим расстоянием между точками A и B. Однако, Земля — это приблизительная сфера, а наименьшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы — это дуга, известная как «расстояние по большой окружности».

Большое расстояние круга

Большое расстояние круга не новая концепция; на самом деле, многие из вас уже видели это в действии.

Люди, которые путешествовали по воздуху или только проверяли маршруты полета, вероятно, заметили, что рейсы не следуют прямым путем, а вместо этого берут изогнутый маршрут к месту назначения. Изогнутые маршруты не используются для того, чтобы выкопать более глубокую яму в карманах пассажиров, а используются потому, что на самом деле они являются самым коротким расстоянием между любыми двумя заданными точками на нашей планете.

Эти изогнутые маршруты часто сбивают с толку, так как маршруты очерчены на плоской двухмерной карте, где прямая линия может показаться наименьшим расстоянием. Однако ни одна двумерная карта Земли не является точной.

Чтобы дать вам понять суть, наша любимая Земля является трехмерным пространством и лучше всего представлена с помощью модели глобуса. Однако, когда пытаешься сравнять сферу с прямоугольной формой, как это делают большинство карт, на первый план выходит вековая дилемма искажений. Большинство прямоугольных карт торгуют формами страны, размерами, промежуточными расстояниями и даже легитимной информацией для удобства понимания.

Представьте, что вы хотите улететь из кишащих крысами глубин Нью-Йорка в город любви, Париж. На глобусе кратчайшее расстояние между двумя городами было бы дугой примерно 3630 миль, но та же самая дуга, когда она проецируется на 2D-карту, превращается в прямую линию, измеряющую приблизительно 3750 миль.

Чтобы убедиться в этом самим, откройте Google Maps на соседней вкладке и найдите Нью-Йорк. Найдя его, щелкните правой кнопкой мыши на именном теге и выберите «измерить расстояние». Затем уменьшите масштаб или прокрутите немного вправо, чтобы найти Париж, и нажмите на него. Следующее расстояние будет представлять собой кривую, представляющую собой кратчайшее расстояние между двумя городами. Нажмите в любом месте на этой кривой, чтобы сделать ключевую фигуру, и перетащите её немного на юг, чтобы преобразовать кривую в прямую линию. Вы можете использовать несколько ключевых кадров, чтобы составить прямую линию между двумя точками. После этого сравните размеры кривой и прямой линии (и приготовьтесь к тому, что ваша реальность будет разрушена!).

Разница между двумя числами (3,750 – 3,630 = 120 миль) может показаться несущественной, но, учитывая тот факт, что Boeing 747 потребляет в среднем 5 галлонов топлива на милю полета, самолет потребует дополнительных (5 галлонов/км × 120 миль =) 600 галлонов (2250 литров), чтобы пройти дополнительное расстояние, что является большим делом и добавит к стоимости билетов на самолет.

Расстояние большого круга в математических терминах

Говоря чисто математическим языком, большой круг (также известный как геодезические сферы) — это любой круг, нарисованный на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, и таким образом делит сферу на две равные половины. Проще говоря, большой круг — это самый большой круг, который можно вырезать из сферы. Малый круг, с другой стороны, это когда центр круга и сферы не совпадают.

Представьте себе (или просто посмотрите на рисунок ниже), разрезая землю вдоль экватора или полюсов. Результирующие полушария в обоих случаях будут равны, и грани этих полушарий будут иметь тот же диаметр и центр, что и сама сфера (Земля).

Для любых двух не диаметральных точек (положений) на сфере (Земле) существует только один уникальный большой круг, тогда как для диаметральных точек на сфере можно нарисовать бесконечное число больших кругов. Эти точки делят окружность на две дуги; меньшая дуга представляет собой истинное кратчайшее расстояние между двумя точками и называется расстоянием большого круга.

На приведенном ниже изображении точки P и Q являются двумя не диаметральными точками, а дуга PQ представляет собой кратчайшее расстояние между ними (расстояние большого круга). Точки u и v, с другой стороны, известны как противоположные или диаметрально противоположные точки и разделяют большой круг на две идентичные дуги.

Вычисление расстояния большого круга между любыми двумя точками на поверхности сферы требует использования сферической тригонометрии, и хотя мы, возможно, не были знакомы с существованием больших расстояний круга еще в наши школьные годы, всеобщая ненависть к синусам и косинусам хорошо известна.

Здесь d-расстояние большого круга, r-радиус сферы (Земли) и термин cos -1 (cos σ ₁ .cos σ ₂ .cos (λ₁ – λ₂) + sin σ ₁ .sin σ ₂) — центральный угол, под которым расположены две точки с координатами σ ₁, λ ₁ и σ ₂, λ ₂ соответственно.

Как уже говорилось ранее, большие круги находят свое основное применение в дальних путешествиях, в частности в воздушной и морской навигации. Искривленный характер больших окружных расстояний, дополненный вращением нашей планеты, заставляет пилотов и моряков постоянно корректировать свой курс. Поэтому большое расстояние по окружности разбивается на «линии Румба», которые представляют собой постоянное направление.

Сказав все это, даже большие расстояния по кругу не представляют собой истинное кратчайшее расстояние между двумя заданными местоположениями. Расстояния большого круга рассчитываются исходя из предположения, что Земля является идеальной сферой, но планета представляет собой более плоскую сферу с различными значениями радиуса в направлении экватора и полюсов. Значения большого круга, таким образом, имеют допуск около ± 5%.

Тем не менее большие расстояния по окружности сыграли огромную роль в дальних поездках за последние несколько лет и будут продолжать делать это, экономя топливо авиакомпаний и экономя деньги путешественников!

Координаты точек находятся в массиве, причем x на нечётных позициях, а y на четных?. Например, в массиве [1, 6, 9, -5, 4, 3] три точки с координатами: (6, 1); (-5, 9); (3,4). Как найти между ними расстояние в цикле?

• 
  Вопрос задан

  более трёх лет назад
  

• 1717 просмотров

Расстояние между двумя точками онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между точками по известным координатам этих точек. Дается решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между точками задайте размерность (2-если задача рассматривается в двухмерном пространстве, 3- если задача рассматривается в трехмерном пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между двумя точками на прямой

Пусть заданы на оси OX точки A с координатой x_a и B с координатой x_b (Рис.1). Найдем расстояние между точками A и B.

Расстояние между точками A и В равно:

( small AB=OB-OA. )

(1)

Поскольку расстояние от O до В равна x_b, а расстояние от O до A равна x_a, получим:

( small AB=x_b-x_a . )

(2)

На рисунке 2 точки A и В находятся по разные стороны начала координат O. B этом случае рассояние между точками A и B равно:

( small AB=OB+OA. )

(3)

Поскольку координата точки A отрицательна а координата точки B положительна, то (2) можно записать так:

( small AB=x_b+|x_a|=x_b-x_a . )

(4)

На рисунке 3 точки A и В находятся c левой стороны начала координат O.

B этом случае рассояние между точками A и B равно:

( small AB=OA-OB. )

(5)

Координаты точек A и B отрицательны. Тогда , то (5) можно записать так:

( small AB=|x_a|-|x_b|=x_b-x_a . )

(6)

Из формул (2),(4),(6) следует, что независимо от расположения точек отностительно начала координат рассояние этих точек равна разности координат этих точек, причем от большего значения вычитается меньшее (так как расстояние не может быть отрицательным числом).

Формулы (2),(4),(6) можно записать и так:

( small AB=|x_b-x_a|= |x_a-x_b| . )

(7)

Пример 1. на оси Ox заданы точки ( small A(x_a)=A(-4) ) и ( small B(x_b)=B(7) ) . Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (7):

( small AB=|x_b-x_a|= |7-(-4)|=11 . )

(7)

Расстояние между двумя точками на плоскости

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат XOY и пусть на плоскости заданы точки A и B, где A имеет координаты (x_a,y_a), а B имеет координаты (x_b,y_b) (Рис.4).

Учитывая результаты предыдующего параграфа, можем найти расстояние между точками A и M, а также расстояние между точками B и M:

( small AM=x_b-x_a,;; BM=y_b-y_a. )

(8)

ABM является прямоугольным треугольником, где AB гипотенуза, а AM и BM катеты. Тогда, исходя из теоремы Пифагора, имеем:

( small AB^2=AM^2+BM^2. )

Тогда, учитывая (8), получим:

( small AB^2=AM^2+BM^2=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2. )

( small AB=sqrt <(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2>. )

(9)

Пример 2. На плоскости, в декартовой прямоугольной системе координат XOY заданы точки ( small A(x_a; y_a)=A(-6;3) ) и ( small B(x_b, y_b)=B(11,-4). ) . Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (9). Подставляя координаты точек A и B в формулу (9), получим:

.

Ответ: .

Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим в пространстве, в декартовой прямоугольной системе координат точки A и B, где A имеет координаты (x_a,y_a,z_a), а B имеет координаты (x_b,y_b,z_b) (Рис.5).

AB является диагональю параллелепипеда, грани которго параллельны координатным плоскостьям и проходят через точки A и B. Но AB является гипотенузой прямоугольного треугольника AMB, а AM и BM являются катетами этого прямоугольного треугольника. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

( small AB^2=AM^2+BM^2. )

(10)

Учитывая, что BM равно разности третьих координат точек B и A, получим:

Из предыдующего параграфа следует, что:

( small A’B’^2=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2. )

(11)

Но AM=A’B’. Тогда из (10) и (11) следует:

( small AB^2=AM^2+BM^2=A’B’^2+BM^2 ) ( small =(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2. )

( small AB= sqrt<(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2>. )

(12)

Пример 3. В пространстве задана декартова прямоугольная система координат XOY и точки ( small A(x_a; y_a ; z_a)=A(5;1;0) ) и ( small B(x_b, y_b, z_b)=B(-8,-4;21). ) Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (12). Подставляя координаты точек A и B в формулу (12), получим:

.

Ответ: .

Всегда ли прямая линия — самое короткое расстояние между двумя точками?

Нет, прямая линия не всегда является самым коротким расстоянием между двумя точками. Наименьшее расстояние между двумя точками зависит от геометрии объекта/поверхности. Для плоских поверхностей линия действительно является кратчайшим расстоянием, но для сферических поверхностей, таких как Земля, расстояния по большому кругу на самом деле представляют собой самое короткое расстояние.

В раннем возрасте всех нас учили, что «линия — это наикратчайшее расстояние между двумя точками». Однако, что если бы кто-то сказал вам, что эта почтенная во времени поговорка не совсем верна.

Как оказалось, это утверждение лишь отчасти правдиво. Самое короткое расстояние между двумя точками на самом деле зависит от геометрии рассматриваемого объекта.

Если бы мы жили на плоской земле (чего у нас нет), то да, прямая линия была бы наименьшим расстоянием между точками A и B. Однако, Земля — это приблизительная сфера, а наименьшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы — это дуга, известная как «расстояние по большой окружности».

Большое расстояние круга

Большое расстояние круга не новая концепция; на самом деле, многие из вас уже видели это в действии.

Люди, которые путешествовали по воздуху или только проверяли маршруты полета, вероятно, заметили, что рейсы не следуют прямым путем, а вместо этого берут изогнутый маршрут к месту назначения. Изогнутые маршруты не используются для того, чтобы выкопать более глубокую яму в карманах пассажиров, а используются потому, что на самом деле они являются самым коротким расстоянием между любыми двумя заданными точками на нашей планете.

Эти изогнутые маршруты часто сбивают с толку, так как маршруты очерчены на плоской двухмерной карте, где прямая линия может показаться наименьшим расстоянием. Однако ни одна двумерная карта Земли не является точной.

Чтобы дать вам понять суть, наша любимая Земля является трехмерным пространством и лучше всего представлена с помощью модели глобуса. Однако, когда пытаешься сравнять сферу с прямоугольной формой, как это делают большинство карт, на первый план выходит вековая дилемма искажений. Большинство прямоугольных карт торгуют формами страны, размерами, промежуточными расстояниями и даже легитимной информацией для удобства понимания.

Представьте, что вы хотите улететь из кишащих крысами глубин Нью-Йорка в город любви, Париж. На глобусе кратчайшее расстояние между двумя городами было бы дугой примерно 3630 миль, но та же самая дуга, когда она проецируется на 2D-карту, превращается в прямую линию, измеряющую приблизительно 3750 миль.

Чтобы убедиться в этом самим, откройте Google Maps на соседней вкладке и найдите Нью-Йорк. Найдя его, щелкните правой кнопкой мыши на именном теге и выберите «измерить расстояние». Затем уменьшите масштаб или прокрутите немного вправо, чтобы найти Париж, и нажмите на него. Следующее расстояние будет представлять собой кривую, представляющую собой кратчайшее расстояние между двумя городами. Нажмите в любом месте на этой кривой, чтобы сделать ключевую фигуру, и перетащите её немного на юг, чтобы преобразовать кривую в прямую линию. Вы можете использовать несколько ключевых кадров, чтобы составить прямую линию между двумя точками. После этого сравните размеры кривой и прямой линии (и приготовьтесь к тому, что ваша реальность будет разрушена!).

Разница между двумя числами (3,750 – 3,630 = 120 миль) может показаться несущественной, но, учитывая тот факт, что Boeing 747 потребляет в среднем 5 галлонов топлива на милю полета, самолет потребует дополнительных (5 галлонов/км × 120 миль =) 600 галлонов (2250 литров), чтобы пройти дополнительное расстояние, что является большим делом и добавит к стоимости билетов на самолет.

Расстояние большого круга в математических терминах

Говоря чисто математическим языком, большой круг (также известный как геодезические сферы) — это любой круг, нарисованный на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, и таким образом делит сферу на две равные половины. Проще говоря, большой круг — это самый большой круг, который можно вырезать из сферы. Малый круг, с другой стороны, это когда центр круга и сферы не совпадают.

Представьте себе (или просто посмотрите на рисунок ниже), разрезая землю вдоль экватора или полюсов. Результирующие полушария в обоих случаях будут равны, и грани этих полушарий будут иметь тот же диаметр и центр, что и сама сфера (Земля).

Для любых двух не диаметральных точек (положений) на сфере (Земле) существует только один уникальный большой круг, тогда как для диаметральных точек на сфере можно нарисовать бесконечное число больших кругов. Эти точки делят окружность на две дуги; меньшая дуга представляет собой истинное кратчайшее расстояние между двумя точками и называется расстоянием большого круга.

На приведенном ниже изображении точки P и Q являются двумя не диаметральными точками, а дуга PQ представляет собой кратчайшее расстояние между ними (расстояние большого круга). Точки u и v, с другой стороны, известны как противоположные или диаметрально противоположные точки и разделяют большой круг на две идентичные дуги.

Вычисление расстояния большого круга между любыми двумя точками на поверхности сферы требует использования сферической тригонометрии, и хотя мы, возможно, не были знакомы с существованием больших расстояний круга еще в наши школьные годы, всеобщая ненависть к синусам и косинусам хорошо известна.

Здесь d-расстояние большого круга, r-радиус сферы (Земли) и термин cos -1 (cos σ ₁ .cos σ ₂ .cos (λ₁ – λ₂) + sin σ ₁ .sin σ ₂) — центральный угол, под которым расположены две точки с координатами σ ₁, λ ₁ и σ ₂, λ ₂ соответственно.

Как уже говорилось ранее, большие круги находят свое основное применение в дальних путешествиях, в частности в воздушной и морской навигации. Искривленный характер больших окружных расстояний, дополненный вращением нашей планеты, заставляет пилотов и моряков постоянно корректировать свой курс. Поэтому большое расстояние по окружности разбивается на «линии Румба», которые представляют собой постоянное направление.

Сказав все это, даже большие расстояния по кругу не представляют собой истинное кратчайшее расстояние между двумя заданными местоположениями. Расстояния большого круга рассчитываются исходя из предположения, что Земля является идеальной сферой, но планета представляет собой более плоскую сферу с различными значениями радиуса в направлении экватора и полюсов. Значения большого круга, таким образом, имеют допуск около ± 5%.

Тем не менее большие расстояния по окружности сыграли огромную роль в дальних поездках за последние несколько лет и будут продолжать делать это, экономя топливо авиакомпаний и экономя деньги путешественников!

Расстояния между двумя точками

На данной странице калькулятор поможет рассчитать расстояние между двумя точками онлайн в плоскости и пространстве. Для расчета задайте координаты.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, которая соединяет эти точки.

Расстояния между двумя точками

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a; y_a) и B(x_b; y_b) на плоскости:

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z_b) в пространстве:

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.