Как найти наименьшее значение функции логарифмической функции

В этой статье мы рассмотрим решение двух примеров, которые на первый взгляд очень похожи, а на второй принципиально отличаются друг от друга.

Итак.

Пример 1

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Чтобы найти наибольшее значение функции, нам надо найти ее производную, затем приравнять производную к нулю, определить ее знаки и выяснить поведение функции на отрезке.

В этом примере под знаком логарифма стоит выражение  в пятой, то есть в нечетной степени. Если мы возводим отрицательное число в нечетную степень, то в результате получаем отрицательное число. Поскольку выражение по знаком логарифма должно быть больше нуля, следовательно, и отсюда .

Упростим функцию: вынесем показатель степени за знак логарифма. Получим .

Найдем производную функции. (Не забываем, что мы, строго говоря, имеем дело со сложной функцией.)

Найдем нули производной:

Определим знаки производной: (учитываем, что )

И, соответственно, поведение функции:

В точке производная меняет знак с «+» на «-«, следовательно, это точка максимума функции. Точка -4 принадлежит заданному отрезку:

Следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение на отрезке .

Найдем значение функции при :

Ответ: 20.

Замечание. Так как при решений заданий В-части в ответе должно получиться целое число или конечная десятичная дробь, а  натуральный логарифм при рациональном аргументе принимает такие значения только в том случае, если его аргументом является число 1, то мы могли бы сразу сказать, что , т.к.  . Но это для тех, кому трудно освоить алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.

Пример 2.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

В этом примере под знаком логарифма стоит выражение в квадрате. Выражение в четной степени больше нуля, если основание степени не равно нулю, поэтому область допустимых значений этой функции . Если бы мы решили вынести показатель степени за знак логарифма, то получили бы такое выражение:

При вынесении четной степени не забываем ставить модуль! Если бы мы забыли поставить знак модуля, то сузили бы область определения функции.

Далее, чтобы взять производную, нам пришлось бы раскрыть модуль, а для этого рассмотреть два промежутка: и . Но поскольку в школе практически не рассматривают нахождение производной от функции с модулем, мы не будем выносить показатель степени за знак производной, а найдем производную сложной функции:

Найдем нули производной:

В точке -4 производная не определена, но меняет знак.

Исследуем знаки производной:

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«, следовательно, это точка максимума функции.

Ответ: -5

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

  Функции с логарифмами (наибольшее и наименьшее значение). В этой статье речь пойдёт о задачах на нахождение  наибольшего и наименьшего значения функции. Рассмотрим задачи с логарифмами. Задания связанные с исследованием функции разнообразны. Кроме логарифмических функций рассматриваются: функции с числом е, с тригонометрическими функциями, дробно-рациональные функции и прочие.

В любом случае рекомендую ещё раз просмотреть теорию изложенную в статье «Исследование функций. Это нужно знать». Если вы этот материал поняли и имеете хороший навык нахождения производных, то любую задачу в этой теме решите без труда.

Напомню алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке:

1. Вычисляем производную.

2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение.

3. Определяем принадлежат ли полученные корни (нули производной) данному отрезку. Отмечаем те, которые принадлежат.

4. Вычисляем значения функции на границах отрезка и в точках (полученных в предыдущем пункте) принадлежащих данному отрезку.

*В некоторых случаях удобно обойтись без п.4. Достаточно определить убывание (возрастание) функции чтобы найти точку максимума (минимума) и далее вычислить наименьшее (наибольшее) значение.

Найдите наименьшее значение функции у=5х–ln (х+5)⁵  на отрезке [–4,5;0].

Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную, приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Производная функции:

Найдем нули производной:

*Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю.

Точка  х= – 4  принадлежит заданному интервалу. 

Таким образом, вычисляем значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами, которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. НО! На это уйдет драгоценное время

Вычислять их не обязательно. Почему? Мы знаем, что ответом должно быть либо, целое число, либо конечная десятичная дробь. А значения с логарифмами:  – 22,5 – ln 0,5⁵  и   – ln3125  такого ответа не дадут.

Кроме того, убедится в том, что в точке х=–4 функция приобретает минимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (– 5:– 4) и (– 4;+∞). 

Теперь информация для тех, у кого с производной и пониманием того, как решать подобные задачи, нет вообще никаких трудностей. Как можно обойтись без вычисления производной и без лишних расчётов?

Итак, если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то такое значение мы можем получить только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма в скобках у нас получится единица или число е. В противном случае, мы не сможем получить оговоренное значение. А это возможно только при  х = – 4.

Значит именно в этой точке значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Решить самостоятельно:  

Найдите наименьшее значение функции у=3х– ln (х+3)³ на отрезке [–2,5;0].

Посмотреть решение

Найдите наибольшее значение функции у=ln (х+5)⁵–5х  на отрезке [–4,5;0].

Посмотреть решение

Найдите наибольшее значение функции у=х²–13х+11∙lnх+12 на отрезке [13/14; 15/14]. 

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить значение функции на его концах, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале.

Вычислим производную, приравниваем её к нулю, решим полученное уравнение:

Решив квадратное уравнение,  получим

Точка  х = 1, принадлежит заданному интервалу.

Точка  х = 22/4 ему не принадлежит.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках:

Мы знаем, что ответом является целое число либо конечная десятичная дробь, значит наибольшее значение функции равно 0. В первом и третьем случае такое значение мы не получим, так как натуральный логарифм данных дробей  такого результата не даст.

Кроме того, убедится в том, что в точке х = 1 функция приобретает максимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (0:1) и (1;+∞). 

Как решить такой тип задач без вычисления производной?

Если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то это условие обеспечивается только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма у нас будет единица или число е.

Это возможно только при  х = 1. Значит в точке х=1 (или 14/14) значение функции будет наибольшим, вычислим его:

Ответ: 0

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции  у = 2х²–13х+9∙lnх+8 на отрезке [13/14; 15/14]. 

Посмотреть решение

Отмечу, что способ решения таких заданий без нахождения производных, можно использовать только для экономии времени при вычислении задания на самом экзамене. И только в том случае, когда вы отлично понимаете, как решать такие задачи через нахождение производной (по алгоритму) и хорошо умеете это делать. Бесспорно, что при решении без вычисления производной должен быть некоторый опыт в аналитике.

«Хитрых» приёмов, которые порой помогают в конкретных заданиях множество, и все их не запомнить. Важно понимать принципы решения, свойства. Если же вы возложите свои надежды на какой-то приём, то он может просто не сработать по простой причине: вы его забудете или вам попадёт такой тип задания,  который вы видите впервые.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите! 

На этом всё. Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Специфика работы с логарифмами в задаче B15

22 февраля 2012

Вообще говоря, для решения задачи B15 с логарифмом надо знать две формулы:

Первая формула — классическая производная натурального логарифма, вторая — производная сложной функции. Обратите внимание: в числителе стоит это не опечатка.

Добавьте к этим формулам стандартные правила вычисления производных — и задача B15 решена:

( f ± g ) ’ = f ’ ± g ’;
( c · f ) ’ = c · f ’, c ∈ R.

В настоящих задачах логарифмы никогда не встречаются сами по себе. Поэтому обязательно приводите всю производную к общему знаменателю. Почему это важно, узнаете из примеров.

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0,5; 4]:

y = 2 x 2 − 4 ln x + 5

Выясняем, когда производная равна к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Имеем:

4( x 2 − 1) = 0;
x 2 = 1;
x = ±1.

Корень x = −1 не принадлежит отрезку [0,5; 4], поэтому нас интересует только Кроме того, рассмотрим концы отрезка — Итого три числа: Поскольку требуется найти наименьшее значение функции, подставляем эти числа в исходную функцию:

y (0,5) = 2 · 0,5 2 − 4 ln 0,5 + 5 = 0,5 − 4 ln 0,5 + 5 = 5,5 − 4 ln 0,5;
y (1) = 2 · 1 2 − 4 ln 1 + 5 = 2 − 0 + 5 = 7;
y (4) = 2 · 4 2 − 4 ln 4 + 5 = 32 − 4 ln 4 + 5 = 37 − 4 ln 4.

В общем, выбирать особо не из чего. Ответ: 7. Потому что числа иррациональны, их нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

Задача. Найдите точку минимума функции:

y = 2 x − 5 ln ( x − 7) + 3

Снова считаем производную:

Под логарифмом стоит линейная функция Коэффициент при переменной x равен поэтому в числителе никаких дополнительных множителей не возникнет — только множитель 5, который стоит перед логарифмом.

Поскольку требуется найти точку минимума, считаем нули числителя и знаменателя:

2 x − 19 ⇒ x = 19 : 2 = 9,5;
x − 7 = 0 ⇒ x = 7.

Отмечаем эти точки на прямой, расставляем знаки производной между точками:

Итак, в точке x = 9,5 производная меняет знак с минуса на плюс, если считать слева — направо, в направлении стрелки. Это и есть точка минимума.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−1,5; 1]:

y = 3 ln ( x + 2) − 3 x + 10

Находим нули числителя:

Нули знаменателя нас не интересуют, поскольку требуется найти значение функции. А когда знаменатель равен нулю, значение функции не определено.

Поскольку корень получаем три точки: Подставляем их в исходную функцию:

y (−1,5) = 3 ln (−1,5 + 2) − 3 · (−1,5) + 10 = 3 ln 0,5 + 14,5;
y (−1) = 3 ln (−1 + 2) − 3 · (−1) + 10 = 3 ln 1 + 13 = 0 + 13 = 13;
y (1) = 3 ln (1 + 2) − 3 · 1 + 10 = 3 ln 3 + 7.

Понятно, что числа нельзя записать в ответ. Остается только число 13 — это и будет наибольшее значение.

Вынесение степени за знак логарифма

Еще одна полезная фишка, которая избавит вас от сложных производных:

ln ( f ( x )) k = k · ln f ( x )

Обратите внимание: в первом случае внутри логарифма стоит степень, для которой потребуется производная сложной функции. Во втором случае все намного проще, поскольку чаще всего это обычная линейная функция.

Этот прием часто встречается в задачах на вычисление максимального и минимального значения. В задачах на точки экстремума его почти не применяют. Прежде чем решать такую задачу, обязательно найдите ОДЗ логарифма. Если забыли, что это такое, см. «Что такое логарифм».

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−4; 1]:

y = 5 x − ln ( x + 5) 5

Итак, область допустимых значений логарифма — аргумент должен быть больше нуля. Имеем:

( x + 5) 5 > 0;
x + 5 > 0;
x > −5;
x ∈ (−5; +∞).

Теперь решаем задачу. Сначала немного преобразуем исходное выражение:

y = 5 x − 5 ln ( x + 5)

Это и есть вынесение степени за знак логарифма. Считаем производную:

Дальше все стандартно. Нас интересует значение функции, поэтому приравниваем числитель к нулю:

5 x + 20 = 0;
x = −4.

Полученное число x = −4 ∈ [−4; 1] совпадает с концом отрезка, поэтому кандидатов на наименьшее значение всего два: Оба числа подходят по ОДЗ. Поскольку требуется найти наименьшее значение, подставляем эти числа в исходную функцию:

y (−4) = 5 · (−4) − 5 · ln (−4 + 5) = −20 − 5 · ln 1 = −20;
y (1) = 5 · 1 − 5 · ln (1 + 5) = 5 − 5 ln 6.

Второе число — точно не ответ, поскольку его нельзя представить в виде десятичного числа. Значит, наименьшее значение функции равно −20.

Задача. Найдите точку максимума функции:

y = 18 ln x − x 2 + 5

ОДЗ логарифма: x > 0 ⇒ x ∈ (0; +∞). Считаем производную:

Поскольку требуется найти точку максимума, нас интересует и числитель, и знаменатель. Приравниваем их к нулю:

2 · (9 − x 2 ) = 0 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ±3 — числитель;
x = 0 — знаменатель.

Получили три точки. Отмечаем эти точки и знаки производной на числовой прямой:

Требуется найти точку максимума — там, где плюс меняется на минус. Таких точек две: Но вспомним ОДЗ: Значит, точка не подходит. Остается точка это и будет ответ.

Нахождение точек максимума (мин) функции. Логарифмы

Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую повторить теорию , необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.

Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы уже рассмотрели . В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.

По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).

Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию будем на интервале (– 5;+∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75 . Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.

Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Найдите точку максимума функции у = х 2 –34х+140lnх–10

По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное уравнение, получим: D = 9 х₁ = 10 х₂ = 7.

Точка х = 0 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10 .

Ось ох разбивается на интервалы: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х = 7 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Найдите точку максимума функции у = 2х 2 –13х+9lnх+8

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ />Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ /> (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

9. Решите неравенство:

Выражение 5 — x 2 навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, ( t − 3) (5 9 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625 t − 2) 2 .

Это означает, что 625 t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3)%5E%3C2%3E-(625t-2)%5E%3C2%3E%3E0;» />
0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3-625t+2)(t-3+625t-2)%3E0;» />
0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(-624t-1)(626t-5)%3E0.» />
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

9;» src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E%3C2%3E%3E&space;9;» /> 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-3)(x+3)%3E0″ />Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg | x − 3| равно нулю, если | x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (| x| − 2) равно нулю, если | x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

0\ x+2neq 1\ 36+16x-x^<2>>0\ xneq 18 endright. : : : : : : : : Leftrightarrow : : : : : left <beginx>-2\ xneq -1\ xin (-2;18) endright.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x+2%3E0%5C%5C&space;x+2%5Cneq&space;1%5C%5C&space;36+16x-x%5E%3C2%3E%3E0%5C%5C&space;x%5Cneq&space;18&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5CLeftrightarrow&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E-2%5C%5C&space;x%5Cneq&space;-1%5C%5C&space;x%5Cin&space;(-2;18)&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />
Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x x — 18) 2 =(18 — x) 2 . Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

1. Логарифмическая функция и ее свойства.

О.
Пусть

.
Функция, заданная формулой

называется логарифмической
функцией с основанием

.

Свойства:

1. Область
   определения функции:

,
по определению логарифма числа.

1. Множество
   значений функции:

1. Периодичность:

Функция

не является периодической (почему?).

1. Чётность/нечётность

Поскольку

,
то есть область определения функции
не симметрична относительно нуля, то
есть если

,
то

,
значит, функция

является функцией общего вида.

1. Точки
   пересечения графика с осями координат.

Точки
пересечения с осью

:
так как

,
то график функции не пересекает ось

Точки
пересечения с осью

, то есть

1. Промежутки
   знакопостоянства функции:

1. если

   ,
   то

   при
   

   и

   при
   

1. если

   ,
   то

   при

   и

   при

1. Интервалы
   возрастания/убывания

Если

,
то функция возрастает на всей области
определения

Если

,
то функция убывает на всей области
определения

Доказательство:

1. Рассмотрим
   случай

   .

Пусть

— произвольные действительные числа,
причем пусть для определенности

.
Докажем, что

.

Предположим
от противного, что

,
так как показательная функция

при

возрастает, то из неравенства

следует, что

,
но

,
а

,
то есть получили, что

,
что противоречит условию, так как по
условию

.

1. Теперь
   рассмотрим случай

   .

Пусть

— произвольные действительные числа,
причем пусть для определенности

.
Докажем, что

.

Предположим
от противного, что

,
так как показательная функция

при

убывает, то из неравенства

следует, что,

,
но

,
а

,
то есть получили, что

,
что противоречит условию, так как по
условию

.

1. Наибольшее/наименьшее значение функции

Функция

не имеет наименьшего и наибольшего
значения, т.к. её множеством значений
является всё множество

.

1. График
   функции.
   (рис 12).

1. Преобразование графиков функций

«Новая функция»	С пособ преобразования графика функции в «новую функцию»	Иллюстрация преобразования
	Параллельный перенос графика функции на единиц: влево, если в право, если
	Параллельный перенос графика функции на единиц: вверх, если вниз, если
	Симметрия относительно оси абсцисс
	Симметрия относительно оси ординат
	Если , то сжатие к точке (0;0) вдоль оси в раз; Если , то растяжение от точки (0;0) вдоль оси в раз
	Если , то растяжение от точки (0;0)вдоль оси ординат в раз Если , то сжатие к точке (0;0)вдоль оси ординат в раз
	Т у часть графика, которая расположена выше оси оставляем без изменений. А ту часть графика, которая расположена ниже оси отображаем симметрично относительно оси
	Т у часть графика, которая расположена правее оси оставляем без изменений. Ту часть графика, которая расположена левее оси убираем, а на её место отображаем правую часть графика, симметрично относительно оси

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Всего: 30    1–20 | 21–30

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 30    1–20 | 21–30