Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрической функции на заданном отрезке. Рассмотрим несколько примеров. Но сначала советую повторить теорию, всё необходимое есть в статье «Исследование функций, это нужно знать!».
На блоге уже рассмотрены подобные задачи с логарифмической функцией, функции с числом е, а также функции в составе которых имеется квадратичная функция (решаются без нахождения производной). Можете ознакомиться со статьёй, в которой мы рассматривали нахождение точек максимума (минимума) тригонометрических функций.
Алгоритм процесса решения прост, кратко напомню:
1. Находим производную.
2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение (находим вероятные точки экстремумов).
3. Далее вычисляем значения данной функции на границах отрезка, также в найденных точках п.2.
4. Определяем наибольшее (наименьшее), в зависимости от поставленного вопроса.
Здесь стоит отметить, что если уравнение п.2 не имеет решения, то это означает, что функция на всём отрезке возрастает (рис.1) или убывает (рис.2):
Что это означает?
Это значит то, что точек минимума (максимума) нет и нам необходимо определить знак производной.
— Если производная имеет отрицательное значение, то функция убывает.
— Если производная имеет положительное значение, то функция возрастает.
Далее мы уже без труда сможем выявить в какой (пограничной) точке отрезка значение функции наибольшее, а в какой наименьшее.
Подробнее:
— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка;
— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;
— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;
— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка.
В представленных ниже задачах нахождение производной подробно не расписано, производные элементарных функций вы должны знать на отлично.
Что ещё следует помнить?
1. Когда речь идёт о синусе и косинусе имеются ограничения:
– 1 ≤ sin x ≤ 1 и – 1 ≤ cos x ≤ 1
2. В ответе должно получится целое число, либо конечная десятичная дробь. Если получили числовое выражение с неизвлекаемым корнем, то оно ответом являться не будет.
25594. Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4
на отрезке [–3П/2; 0].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Известно, что – 1 ≤ sin x ≤ 1, то есть уравнение не имеет решения.
Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная будет отрицательна при всех значениях переменной. Почему?
Если учесть, что – 1≤sinx≤ 1, то получаем
– 1≤sinx≤1 => 5 ≥ –5sinx≥ –5 => –1 ≥ –5sinx–6 ≥ –11
то есть значение выражения (производной) «–5cosx – 6» лежит в пределах от – 11 до – 1 включительно.
Следовательно на указанном интервале функция убывает, и наименьшее значение будет в крайней правой точке, то есть при х = 0. Таким образом,
Ответ: 9
26697. Найдите наименьшее значение функции y = 7sin x – 8x + 9
на отрезке [–3П/2; 0].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Известно, что – 1 ≤ cos x ≤ 1, то есть уравнение не имеет решения.
Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная отрицательна при всех значениях переменной, значение производной лежит в пределах от – 15 до – 1 включительно.
Значит на указанном интервале функция убывает.
Следовательно наименьшее значение функции на заданном отрезке будет в правой крайней точке, то есть при х = 0.
Ответ: 9
77498. Найдите наибольшее значение функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Точка x = П/6, принадлежит заданному интервалу.
Вычислим значение функции в точках: 0, П/6, П/2.
Если учесть, что число Пи равно 3,14 а корень из трёх ≈ 1,73 то значения вычислить будет не трудно:
Значит наибольшим значением функции на отрезке будет 12. Данные приближённые значения можно и не вычислять. Достаточно помнить то, что ответом в задачах части В является целое число, а там где присутствует неизвлекаемый в целых числах корень, целое число мы никак не получим.
Ответ: 12
*Примечание. Корень уравнения мы записали сразу с учётом данного в условии отрезка, поэтому период косинуса в результате не записан.
26699. Найдите наибольшее значение функции
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Значит уравнение не имеет решения, так как – 1 ≤ cos x ≤ 1.
Учитывая данное ограничение, производная на данном отрезке имеет отрицательное значение:
Следовательно она убывает.
Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке будет в левой крайней точке, то есть при х = – 5П/6.
Ответ: 32
26692. Найдите наибольшее значение функции
Посмотреть решение
26693. Найдите наименьшее значение функции
Посмотреть решение
26695. Найдите наибольшее значение функции
Посмотреть решение
26696. Найдите наименьшее значение функции
Посмотреть решение
77499. Найдите наименьшее значение функции
Посмотреть решение
*Примечание. Безусловно, можно после вычисления нулей функции, определить точки максимума (минимума) и далее исходя из этого вычислять наибольшее (наименьшее) значение. Но можно обойтись без этого, так как при подстановке нулей и границ отрезка мы однозначно, и наверняка, искомое значение найдём. В любом случае, используйте тот путь (способ), к которому вы привыкли.
В будущем рассмотрим ещё несколько заданий с тригонометрическими функциями, не пропустите!
На этом всё! Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Решение.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдем производную заданной функции: 
Уравнение 
не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является
Ответ: 9.
Тригонометрические функции
Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение имеет корни Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?
Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n . Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение — Поэтому для начала берем а затем до тех пор, пока соответствующий корень не «вылезет» за пределы Аналогично, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.
Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.
Задача. Найдите точку максимума функции, принадлежащую
y = sin x − 5 x sin x − 5cos x + 1
y ’ = (sin x − 5 x sin x − 5cos x + 1)’ = . =
Затем решаем уравнение:
y ’ = 0;
(1 − 5 x ) cos x = 0;
.
x 1 = 0,2;
x 2 = π /2 + πn , n ∈ Z .
С корнем все понятно, а вот формула требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные
Но π /2 > π /3, поэтому корень не входит в исходный отрезок. Кроме того, поэтому нет смысла рассматривать
Но − π /2 < − π /3 — этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним — и все корни
Получается, что на отрезке лежит только корень Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:
Чтобы удостовериться, что справа производная действительно отрицательная, достаточно подставить в производную значение Мы же просто отметим, производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно, это точка максимума.
Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
y = 4 tg x − 4 x + π − 5
y ’ = (4tg x − 4 x + π − 5)’ =
Затем решаем уравнение:
y ’ = 0 ⇒ 4/cos 2 x − 4 = 0 ⇒ . ⇒
Снова выделим из этой формулы корни, подставляя
n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π . поэтому надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = − π . тоже вычеркиваем.
Из всего многообразия корней остался лишь один: Поэтому вычисляем значение функции для Имеем:
y (0) = 4tg 0 − 4 · 0 + π − 5 = π − 5;
y ( π /4) = 4tg π /4 − 4 · π /4 + π − 5 = 1;
y (− π /4) = 4tg (− π /4) − 4 · (− π /4) + π − 5 = . =
Теперь заметим, Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее — очевидно,
Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел в бланк ответов можно записать лишь единицу.
Действительно, как написать в бланке, скажем, А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.
Случай пустого множества решений
Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.
Однако будьте предельно внимательны, поскольку такие задачи встречаются в ЕГЭ крайне редко. Если в процессе решения выясняется, что корней нет, лучше еще раз проверить все выкладки. И только когда убедитесь, что ошибок нет, можно расслабиться: вам досталась легкая задача!
Задача. Найдите наименьшее значение функции
y = 7sin x − 8 x + 5
Сначала находим производную:
y ’ = (7sin x − 8 x + 5)’ =
Попробуем решить уравнение:
y ’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 =
Но значения cos x всегда лежат Поэтому корней нет.
Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу — вычисляем значение функции:
y (−3 π /2) = 7sin (−3 π /2) − 8 · (−3 π /2) + 5 = . =
y(0) = 7sin 0 − 8 · 0 + 5 = 5.
Поскольку число 1 в бланк ответов не записать, остается лишь
, часть 1 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве
(основные определения)
Пусть X – некоторое множество, входящее в область определения D ( f ) функции y = f (x) .
Определение 1. Значение f (x0) функции y = f (x) в точкеназывают наибольшим значением функции f (x) на множестве X , если для любой точки выполнено неравенство
Наибольшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают
Определение 2. Значение f (x0) функции y = f (x) в точке называют наименьшим значением функции f (x) на множестве X , если для любой точки выполнено неравенство
Наименьшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают
Определение 3. Наибольшее значение функции на множестве X часто называют максимальным значением функции f (x) на множестве X или максимумом функции f (x) на множестве X . Наименьшее значение функции на множестве X часто называют минимальным значением функции f (x) на множестве X или минимумом функции f (x) на множестве X .
Пример 1. Минимальным значением функции y = x 2 на множестве является число 0 (рис. 1).
Максимального значения функция y = x 2 на множестве не имеет.
Пример 2. Максимальным значением функции y = – x 2 на множестве является число 0 (рис. 2).
Минимального значения функция y = – x 2 на множестве не имеет.
Пример 3. Функция y = x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 3).
Пример 4. Функция y = arctg x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 4).
Существование наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса
Как мы видели в примерах 1 — 4, даже такие хорошо известные функции, как
не имеют наибольших или наименьших значений на множестве. Однако, если бы в качестве множества X мы взяли произвольный отрезок, то ситуация стала бы принципиально иной, что вытекает из следующей теоремы.
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, а также точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
Доказательство теоремы Вейерштрасса выходит за рамки школьного курса математики и здесь не приводится.
Примеры решения задач
| y = 2x 3 + 3x 2 – 36x + 30 | (1) |
Из формулы (2) получаем, что критическими точками функции (1) являются точки x = – 3 , x = 2, причем только точка x = 2 принадлежит отрезку [–2, 4] . Вычисляя значения функции (1) в критической точке x = 2, а также на концах отрезка x = – 2 и x = 4 , получим:
| y (2) = – 14 , |
| y (– 2) = 98 , |
| y (4) = 62 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (1) на отрезке [–2, 4] равно 98 , а наменьшее значение функции (1) на отрезке [–2, 4] равно – 14 .
на отрезке [–1, 27] .
Решая уравнение y’ = 0 , получим
Заметим также, что производная (4) функции (3) не существует в точке x = 0 . Следовательно, у функции (3) есть три критические точки: x = 0, и , причем все эти точки лежат на отрезке [–1, 27] . Вычисляя значения функции (3) в критических точках x = 0, и , а также на концах отрезка x = – 1 и x = 27 , получим:
| y (0) = 0 , |
| y (– 1) = – 1 , |
| y (27) = 99 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (3) на отрезке [–1, 27] равно 99 , а наменьшее значение функции (3) на отрезке [–1, 27] равно – 1 .
Решение. Для того, чтобы найти критические точки функции (5), перепишем правую часть формулы (5), используя определение модуля:
В точке x = 0 производная функции (5) не существует. Критическими точками являются точки
Все критические точки принадлежат отрезку [–1, 6] . Вычисляя значения функции (5) в критических точках x = 0, x = 3, x = 5, а также на концах отрезка x = – 1 и x = 6 , получим:
| y (0) = – 4 , |
| y (3) = – e 3 , |
| y (5) = e 5 , |
| y (– 1) = – 5e , |
| y (6) = 2e 6 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (5) на отрезке [–1, 6] равно 2e 6 , а наменьшее значение функции (5) на отрезке [–1, 6] равно – e 3 .
| y = (x – 27) e 28 – x | (6) |
на отрезке [23, 40] .
Решая уравнение y’ = 0 , получаем, что функция (6) имеет единственную критическую точку x = 28 , причем эта точка лежит на отрезке [23, 40] . При переходе через точку x = 28 производная функции (7) меняет знак с «+» на «–» , откуда вытекает, что точка x = 28 является точкой максимума функции (6) на множестве . Следовательно, точка x = 28 является точкой максимума функции (6) и на отрезке [23, 40] . Найдем значение функции (6) в точке x = 28 :
Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике
Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.
Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:
Нахождение точек максимума и минимума функций
Исследование сложных функций
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
Нахождение точек максимума и минимума функций
1. Найдите точку максимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю. Получим:
Исследуем знаки производной.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю.
Определим знаки производной.
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Исследование сложных функций
3. Найдите точку максимума функции
Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.
при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .
Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.
Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при
4. Найдите абсциссу точки максимума функции
Напомним, что абсцисса — это координата по
Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции
Это вершина квадратичной параболы
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.
Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.
6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому
и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.
7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.
Мы применили формулу для логарифма произведения. при
Если то Если , то
Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке
8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции
Приравняем производную к нулю:
Найдем знаки производной на отрезке
При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и
Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.
9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].
Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:
Найдем производную функции
При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.
По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки
В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при
11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.
Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.
Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при
Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при
Тригонометрические функции
6 августа 2012
Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение sin x = 0 имеет корни x = πn, n ∈ Z. Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?
Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n. Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение — отрезок [a; b]. Поэтому для начала берем n = 0, а затем увеличиваем n до тех пор, пока соответствующий корень не «вылезет» за пределы отрезка [a; b]. Аналогично, уменьшая n, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.
Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, на отрезке [a; b] не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.
Задача. Найдите точку максимума функции, принадлежащую отрезку [−π/3; π/3]:
y = sin x − 5x sin x − 5cos x + 1
Вычисляем производную:
y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = … = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x
Затем решаем уравнение:
y’ = 0;
(1 − 5x) cos x = 0;
…
x1 = 0,2;
x2 = π/2 + πn, n ∈ Z.
С корнем x = 0,2 все понятно, а вот формула x = π/2 + πn требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные значения n, начиная с n = 0.
n = 0 ⇒ x = π/2
Но π/2 > π/3, поэтому корень x = π/2 не входит в исходный отрезок. Кроме того, чем больше n, тем больше x, поэтому нет смысла рассматривать n > 0.
n = −1 ⇒ x = − π/2
Но −π/2 < −π/3 — этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним — и все корни для n < −1.
Получается, что на отрезке [−π/3; π/3] лежит только корень x = 0,2. Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:
Чтобы удостовериться, что справа от x = 0,2 производная действительно отрицательная, достаточно подставить в производную значение x = π/4. Мы же просто отметим, что в точке x = 0,2 производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно, это точка максимума.
Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−π/4; π/4]:
y = 4 tg x − 4x + π − 5
Вычисляем производную:
y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.
Затем решаем уравнение:
y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ … ⇒ x = πn, n ∈ Z.
Снова выделим из этой формулы корни, подставляя конкретные n, начиная с n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π. Но π > π/4, поэтому корень x = π и значения n > 1 надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = −π. Но −π < −π/4, поэтому x = −π и n < −1 тоже вычеркиваем.
Из всего многообразия корней остался лишь один: x = 0. Поэтому вычисляем значение функции для x = 0, x = π/4 и x = −π/4. Имеем:
y(0) = 4tg 0 − 4 · 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg π/4 − 4 · π/4 + π − 5 = 1;
y(−π/4) = 4tg (−π/4) − 4 · (−π/4) + π − 5 = … = 2π − 9.
Теперь заметим, что π = 3,14… < 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 < 0 и 2π − 9 < 8 − 9 < 0. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее — очевидно, это y = 1.
Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел π − 5, 1 и 2π − 9 в бланк ответов можно записать лишь единицу.
Действительно, как написать в бланке, скажем, число π? А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.
Случай пустого множества решений
Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.
Однако будьте предельно внимательны, поскольку такие задачи встречаются в ЕГЭ крайне редко. Если в процессе решения выясняется, что корней нет, лучше еще раз проверить все выкладки. И только когда убедитесь, что ошибок нет, можно расслабиться: вам досталась легкая задача!
Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−3π/2; 0]:
y = 7sin x − 8x + 5
Сначала находим производную:
y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8
Попробуем решить уравнение:
y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7
Но значения cos x всегда лежат на отрезке [−1; 1], а 8/7 > 1. Поэтому корней нет.
Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу — вычисляем значение функции:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8 · (−3π/2) + 5 = … = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 · 0 + 5 = 5.
Поскольку число 12π + 12 в бланк ответов не записать, остается лишь y = 5.
Смотрите также:
- Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
- Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов
- Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
- Метод коэффициентов, часть 1
- Задача B5: вычисление площади методом обводки
- Углы и отрезки в стереометрии — 2
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Содержание:
Некоторые свойства функции 
Например, областью определения функции 
является множество всех действительных чисел, множеством значений функции 
является отрезок 
наименьший положительный период функции 
равен 
Определение функции y=cos x
Определение:
Зависимость, при которой каждому действительному числу 
соответствует значение 
называется функцией 
Свойства функции y=cos x
Свойства функции 
приведены в таблице.:
График функции y=cos x
График функции 
изображен на рисунке 83. Этот график может быть получен путем преобразования (сдвига) графика функции 
Пример №1
Определите, какие из данных точек принадлежат графику функции 
Решение:
а) Подставим в формулу 
значение аргумента 
и найдем соответствующее значение функции 
Полученное значение функции равно ординате точки 
значит, точка 
принадлежит графику функции 
б) При 
— получим 
Точка 
принадлежит графику функции 
в) При 
получим 
Точка 
не принадлежит графику функции 
г) При 
получим 
Точка 
принадлежит графику функции 
Пример №2
Найдите область определения и множество значений функции 
Решение:
Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т. е. 
Множеством значений функции 
является отрезок 
значит, 
Тогда по свойству неравенств 
Таким образом, 
Пример №3
Найдите наименьшее значение функции 
Решение:
Так как 
значит, 
тогда 
Наименьшее значение функции 
равно -6.
Пример №4
Используя свойство периодичности функции 
найдите значение выражения:
Решение:
Так как число 
является наименьшим положительным периодом функции 
Тогда:
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №5
Используя свойство четности функции 
найдите значение выражения:
Решение:
Так как функция 
четная, то 
Тогда:
Пример №6
Исследуйте функцию на четность (нечетность):
Решение:
а) 
— область определения симметрична относительно нуля;
значит, функция является четной.
— область определения симметрична относительно нуля;
значит, функция является нечетной.
Пример №7
Найдите нули функции:
Решение:
а) Пусть 
Нулями функции 
являются числа 
Тогда 
значит, 
Таким образом, числа 
являются нулями функции 
б) Пусть 
Нулями функции 
являются числа 
Тогда 
значит, 
Таким образом, числа 
являются нулями функции 
Пример №8
Определите знак произведения 
Решение:
Так как 
т. е. углы
4,5 радиана и 2 радиана принадлежат промежутку 
на котором функция 
принимает отрицательные значения, значит, 
Угол 7 радиан принадлежит промежутку, на котором функция 
принимает положительные значения, т. е. 
Значит, 
Пример №9
Что больше: 
Решение:
Так как функция 
убывает на промежутке 
то из того, что 
следует, что 
Пример №10
Постройте график функции:
Решение:
а) График функции 
получаем из графика функции 
сдвигом его вдоль оси абсцисс на 
влево (рис. 86).
б) График функции 
получаем из графика функции 
сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вниз (рис. 87).
- Функции y=tg x и y=ctg x — их свойства, графики
- Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
- Тригонометрические уравнения
- Тригонометрические неравенства
- Определение синуса и косинуса произвольного угла
- Определение тангенса и котангенса произвольного угла
- Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
- Функция y=sin x и её свойства и график