Как найти наименьшее значение х удовлетворяющее неравенству - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Наименьшее решение неравенства

Задания, в которых требуется найти наименьшее решение неравенства, а также наименьшее целое или наименьшее натуральное решение неравенства, в курсе алгебры впервые встречаются при изучении темы «Линейные неравенства». Рассмотрим на примерах решение такого рода задач.

1) Найти наименьшее решение неравенства

$[frac{{4x + 1}}{6} - frac{{x - 9}}{4} ge 1]$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, равный 12:

$[frac{{4x + {1^{backslash 2}}}}{6} - frac{{x - {9^{backslash 3}}}}{4} ge {1^{backslash 12}}___left| {cdot12 > 0} right.]$

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Раскрываем скобки:

Упрощаем:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

$[5x ge - 17___left| {:5 > 0} right.]$

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$[x ge frac{{ - 17}}{5}]$

Наименьшее значение неравенства равно -3,4 (неравенство нестрогое, поэтому -3,4 входит в множество решений). Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

Ответ: -3,4.

2) Назвать наименьшее решение неравенства:

$[{(3x + 2)^2} - (9x - 1)(x + 1) > 17]$

Первые скобки раскроем по формуле квадрата суммы. Перед произведением двух скобок стоит знак «минус», поэтому, чтобы не допустить ошибки в знаках, лучше сначала выполнить умножение, а уже потом раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:

$[9{x^2} + 12x + 4 - (9{x^2} + 9x - x - 1) > 17]$

$[9{x^2} + 12x + 4 - 9{x^2} - 9x + x + 1 > 17]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом

$[4x > 12___left| {:4 > 0} right.]$

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Решением данного неравенства является любое число, большее 3:

Но наименьшего решения неравенство не имеет — 3 не входит в решение, так как неравенство строгое, а любое другое число, большее 3, наименьшим решением не является.

Ответ: неравенство наименьшего решения не имеет.

3) Найти наименьшее целое решение неравенства:

$[frac{{x - 2}}{5} - frac{2}{3} ge frac{{3x + 2}}{6} - x]$

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 30:

$[frac{{x - {2^{backslash 6}}}}{5} - frac{{{2^{backslash 10}}}}{3} ge frac{{3x + {2^{backslash 5}}}}{6} - {x^{backslash 30}}___left| { cdot 30 > 0} right.]$

Раскрываем скобки и упрощаем:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$[21x ge 42___left| {:21 > 0} right.]$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 21 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

Наименьшим целым решением данного неравенства является x=2 (так как неравенство нестрогое, 2 входит в множество решений).

Ответ: 2.

4) Найти наименьшее натуральное решение неравенства:

Упрощаем:

$[2{x^2} - 8x - (2{x^2} - 20x + 5x - 50) < 10x + 68]$

$[2{x^2} - 8x - 2{x^2} + 20x - 5x + 50 < 10x + 68]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

$[ - 3x < 18___left| {:( - 3) < 0} right.]$

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

$[x > frac{{18}}{{ - 3}}]$

Наименьшим натуральным решением этого неравенства является x=1.

Ответ: 1.

Источник

Всего: 48 1–20 | 21–40 | 41–48

Добавить в вариант

Решите систему неравенств

На каком рисунке изображено множество её решений?

В ответе укажите номер правильного варианта.

При каких значениях m вершины парабол и расположены по одну сторону от оси x?

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств,

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Источник: Банк заданий ФИПИ

Решите систему неравенств

На каком рисунке изображено множество её решений?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)	2) система не имеет решений

Решите систему неравенств

На каком рисунке изображено множество её решений?

В ответе укажите номер правильного варианта.

3) система не имеет решений

Решите систему неравенств

Всего: 48 1–20 | 21–40 | 41–48

Источник

При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
 Напомним свойства числовых неравенств.
 1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
 2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

Замечание.

Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
 5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а d, то а – c b и m – положительное число, то m а > m b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
 Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
 7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а² > b², и если а < b, то а² < b², т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.

8. Если а > b, где а, b > 0, то и если а < b , то .

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Пример 1. Решить неравенство .
 Решение:
 .
 Ответ: х < – 2.

Пример 2. Решить систему неравенств
    Решение:
         .
    Ответ: (– 2; 0].

Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств

    Решение:

    Ответ:

2. Квадратные неравенства

Пример 4. Решить неравенство х² > 4.
    Решение:
        х² > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.
        Решаем методом интервалов.

Ответ:

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х² – 2х + 1) > 0.
    Решение:

    Ответ: .

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х² – 24х + 24 < 4у², где .
 Решение:
 Область определения неравенства: .
 С учётом области определения 4х² – 24х + 24 < 4у² будет равносильно неравенству

Решаем методом интервалов.

        Решение неравенства: .
        Середина отрезка: .
    Ответ: .

4. Рациональные неравенства

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
    Решение:

Методом интервалов:

        Решение неравенства: .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.
    Ответ: – 6; – 5; – 4; 1.

5. Иррациональные неравенства

Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8. Решить неравенство .
    Решение:
        Область определения: .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
    Ответ: .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства .

Решение:

Область определения .

– быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе .

Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство .

Решение:

Область определения:

Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства — положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное исходному.

т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.

Ответ: .

Пример 11. Решить неравенство .

Решение:

Раскрываем знак модуля.

Объединим решения систем 1) и 2): .

Ответ: .

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Пример 12. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 13. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 14. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 15. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Целые неравенства и системы неравенств

1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.

2) Решите неравенство – 5х > 0,25.

3) Решите неравенство .

4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.

5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).

6) Решите неравенство
.

7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.

Решить систему неравенств

9) Найдите целочисленные решения системы неравенств .

10) Решить систему неравенств .

11) Решить систему неравенств

12) Найти наименьшее целое решение неравенства

13) Решите неравенство .

14) Решите неравенство .

15) Решите неравенство .

16) Решите неравенство .

17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .

18) Решить систему неравенств

19) Найти все целые решения системы

Рациональные неравенства и системы неравенств

20) Решите неравенство .

21) Решите неравенство .

22) Определите число целых решений неравенства .

23) Определите число целых решений неравенства .

24) Решите неравенство .

25) Решите неравенство 2^x<16 .

26) Решите неравенство .

27) Решите неравенство .

28) Решите неравенство .

29) Найдите сумму целых решений неравенства на отрезке [– 7, 7].

30) Решите неравенство .

31) Решите неравенство .

Иррациональные неравенства

32) Решите неравенство .

33) Решите неравенство

34) Решите неравенство .

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

35) Решите неравенство .

36) Решите неравенство .

37) Решите неравенство .

38) Решите неравенство .

39) Решите неравенство .

40) Решите неравенство 49∙7^х < 7^{3х + 3}.

41) Найдите все целые решения неравенства .

42) Решите неравенство .

43) Решите неравенство .

44) Решите неравенство 7^x+1-7^x<42 .

45) Решите неравенство log₃(2x²+x-1)>log₃2 .

46) Решите неравенство log_0,5(2x+3)>0 .

47) Решите неравенство .

48) Решите неравенство .

49) Решите неравенство .

50) Решите неравенство log_x+112>log_x+12 .

51) Решите неравенство log_x9<2.

52) Решите неравенство .

Повышенный уровень

53) Решите неравенство |x-3|>2x.

54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.

55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .

56) Решить систему неравенств

57) Решить систему неравенств .

58) Решите неравенство .

59) Решите неравенство 25•2^x-10^x+5^x>25 .

60) Решите неравенство .

Ответы

1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) ; (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5; 11); 12) 1; 13); 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17); 18) ; 19) 3, 4, 5;

20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26); 27) (– 3; 17); 28)

; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31); 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35); 36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) ; 44) х < 1; 45) ; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48); 49) ; 50) х > 0; 51) ; 52) ; 53) х < 1; 54); 55) – 1; 56) ; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60)

Источник

Задание 1750

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix}6x+18leq0\ x+8geq2end{matrix}right.$$

Ответ: -6

Скрыть

$$left{begin{matrix}6x+18leq0\ x+8geq2end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}6x leq -18|:6 \ xgeq 2-8 end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}x leq -3\ xgeq -6 end{matrix}right.$$
Получаем, что $$x in [-6;-3]$$, тогда наименьшее значение $$x=-6$$

Задание 1751

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix}5x+15leq 0\ x+5geq 1end{matrix}right.$$

Ответ: -3

Скрыть

$$left{begin{matrix}5x+15leq 0\ x+5geq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}5xleq -15\ xgeq 1-5end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}xleq -3\ xgeq -4end{matrix}right.$$
То есть мы получили, что $$xin [ -4; -3]$$. В таком случае наибольшее значение будет $$x=-3$$

Задание 4839

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

$$left{begin{matrix}2(x+2)-7<15\-3x+12<0end{matrix}right.$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2(x+2)-7<15\-3x+12<0end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x+4-7-15<0\-3x<-12end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x<18\x>4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x<9\x>4end{matrix}right.$$

Задание 5030

Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$left{begin{matrix}x+4<2x+3\3x-4leq2x+4end{matrix}right.$$

Ответ: 10

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}x+4<2x+3\3x-4leq2x+4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x-3<2x-x\3x-2xleq4+4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x>1\xleq8end{matrix}right.$$

$$x_{min}=2$$; $$x_{max}=8$$

Задание 6778

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств $$left{begin{matrix}2x-3<1\ 5-3x>8end{matrix}right.$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2x-3<1\5-3x>8end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x<4\-3x>3end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x<2\x<-1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$x<-1$$, что соответствует 3 варианту ответа ( т.к. $$(-4;1) in (-infty ;-1)$$ )

Задание 7461

Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$left{begin{matrix}2x+5<3x+7\ 5x-3leq 4x+3end{matrix}right.$$

Ответ: 5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2x+5<3x+7\ 5x-3leq 4x+3end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}5-7<3x-2x\ 5x-4xleq 3+3end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}x>-2\ xleq 6end{matrix}right.$$ Так как первое неравенство строгое, то -2 в ответ не входит, следовательно, наименьшее целое будет -1. Наибольше же целое составляет 6. Тогда их сумма : $$-1+6=5$$

Задание 7581

Укажите решение системы неравенств $$left{begin{matrix}-9+3x<0\ 2-3x>-10end{matrix}right.$$

$$(-infty;3)$$
$$(-infty;4)$$
$$(3;+infty)$$
$$(3;4)$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7751

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix} 5x+12geq 0\ 3x-5leq 7 end{matrix}right.$$

Ответ: -2,4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9436

Укажите множество решений системы неравенств $$left{begin{matrix}x<-3\9-x<0end{matrix}right.$$

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9915

Укажите номер решения системы неравенств $$left{begin{matrix} x+4geq -4,5\ x+4leq 0 end{matrix}right.$$

$$[-8,5;-4]$$
$$[4;+infty)$$
$$(-infty;-8,5]$$
$$(-infty;-8,5]cup[4;+infty)$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 10353

Решите систему неравенств $$left{begin{matrix} x-4geq 0\ x-0,3geq 1 end{matrix}right.$$. В ответе укажите номер правильного ответа.

$$[1,3;+infty)$$
$$[4;+infty)$$
$$[1,3;4]$$
$$(-infty;1,3]cup[4;+infty)$$

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Задание 10951

Решите систему неравенств $$left{ begin{array}{c} x^2le 4 \ x+3ge 0 end{array} right.$$. В ответе укажите номер правильного ответа.

$$genfrac{}{}{0pt}{}{1) (-infty ;3]}{ begin{array}{c} 2) left(-infty ;3right]cup [2;+infty ) \ 3)[-2;2] \ 4)[-2;3] end{array} }$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
$${rm }left{ begin{array}{c}
x^2le 4 \
x+3ge 0 end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
(x-2)(x+2)le 0 \
xge -3 end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
xge -2 \
xle 2 \
xge -3 end{array}
right.leftrightarrow xin left[-2;2right],$$ т.е. 3 вариант.

Источник

Задача №285 из 376
Условие задачи:

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Решение задачи:

Для решения этой задачи надо решить систему неравенств и найти наименьшее значение х из этого решения.
Чтобы решить систему неравенств, необходимо:
1) решить каждое неравенство по отдельности. Решением неравенства является диапазон, удовлетворяющий неравенству.
2) наложить полученные диапазоны друг на друга. Новые диапазоны, полученные при пересечение исходных и будут решением системы неравенств.
Приступим:
1) Первое неравенство:
5x+15≤0
5x≤-15 |:5
x≤-3
Т.е. решение первого неравенства x⊂(-∞;-3].
Второе неравенство:
x+5≥1
x≥-4
Т.е. решение второго неравенства x⊂[-4;+∞).
2) При пересечении решений, получаем диапазон [-4;-3].
Очевидно, что наименьшее значение — это -4.
Ответ: -4

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’

Другие задачи из этого раздела

Задача №91FFC1

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

Источник

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

2. Квадратные неравенства

3. Неравенства высших степеней

4. Рациональные неравенства

5. Иррациональные неравенства

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Целые неравенства и системы неравенств

Рациональные неравенства и системы неравенств

Иррациональные неравенства

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Повышенный уровень

Ответы

Задание 1750

Задание 1751

Задание 4839

Задание 5030

Задание 6778

Задание 7461

Задание 7581

Задание 7751

Задание 9436

Задание 9915

Задание 10353

Задание 10951

Задача №285 из 376Условие задачи:

Решение задачи:

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице ‘Про нас’

Другие задачи из этого раздела

Задача №91FFC1

Задача №285 из 376
Условие задачи:

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’