Как найти наименьшее значение степенной функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

28 апреля 2012

По определению, показательная функция — это выражение вида y = a^x, где a > 0. Но в задаче B15 встречаются только функции вида y = e^x. В крайнем случае, y = e^{kx + b}. Причина в том, что производные этих функций считаются очень легко:

(e^x)’ = e^x;
(e^{kx + b})’ = k · e^{kx + b}.

Как видите, если в показателе стоит просто переменная x, ничего не меняется. А если там будет линейное выражение вида kx + b, то спереди добавляется множитель k. Эта формула — частный случай производной сложной функции.

Задачи на вычисление наибольшего/наименьшего значения

Все задачи B15 с показательной функцией решаются по стандартной схеме — см. «Общая схема решения задач B15». Но если требуется найти наименьше/наибольшее значение функции, есть одна фишка:

Показатель должен быть равен нулю. Потому что e⁰ = 1 — нормальное число, его можно записать в ответ. В отличие от чисел e¹, e², которые вообще не представимы в виде десятичной дроби.

Данное замечание реально сокращает объем вычислений. Аналогичное правило есть у логарифмов — см. «Как считать логарифмы еще быстрее». И это вполне логично, поскольку логарифмы и показательные функции — родственные объекты.

А теперь разберем конкретные задачи.

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−1; 5]:

y = (x² − 5x + 5)e^{x − 3}

Сначала находим производную и раскладываем ее на множители:

y’ = ((x² − 5x + 5)e^{x − 3})’ = … = (x² − 3x)e^{x − 3} = x(x − 3)e^{x − 3}

Затем приравниваем полученное выражение к нулю и находим корни:

x(x − 3)e^{x − 3} = 0;
x₁ = 0; x₂ = 3.

Оба корня принадлежат отрезку [−1; 5]. Итого получаем четыре точки: два корня и два конца отрезка. Осталось вычислить значение функции в этих точках:

y(−1) = ((−1)² − 5 · (−1) + 5)e^{−1 − 3} = … = 11e⁻⁴;
y(0) = (0² − 5 · 0 + 5)e^{0 − 3} = … = 5e⁻³;
y(3) = (3² − 5 · 3 + 5)e^{3 − 3} = … = −1;
y(5) = (5² − 5 · 5 + 5)e^{5 − 3} = … = 5e².

Заметим, что из этих четырех чисел в бланк можно записать только y = −1. Кроме того, это единственное отрицательное число. Следовательно, это число и будет наименьшим.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 6]:

y = (2x − 7)e^{8 − 2 · x}

Как и в прошлый раз, вычисляем производную функции и раскладываем ее на множители:

y’ = (y = (2x − 7)e^{8 − 2 · x})’ = … = (16 − 4x)e^{8 − 2 · x} = 4(4 − x)e^{8 − 2 · x}

Приравниваем производную к нулю и находим корни:

y’ = 0;
4(4 − x)e^{8 − 2 · x} = 0;
x = 4.

Корень x = 4 принадлежит отрезку [0; 6]. Мы ищем наибольшее значение, поэтому подставляем этот корень, а также концы отрезка в исходную функцию. Имеем:

y(0) = (2 · 0 − 7)e^{8 − 2 · 0} = … = −7e⁸;
y(4) = (2 · 4 − 7)e^{8 − 2 · 4} = … = 1;
y(6) = (2 · 6 − 7)e^{8 − 2 · 6} = … = 5e⁻⁴.

Итак, ответом может быть только число y = 1.

Задачи на вычисление точек максимума/минимума

В задачах на точки максимума/минимума нельзя применять приведенное выше правило, поэтому считаем все по стандартной схеме.

Задача. Найдите точку минимума функции:

y = (x − 12)e^{x − 11}

В первую очередь считаем производную:

y’ = (y = (x − 12)e^{x − 11})’ =
= (x − 12)’ · e^{x − 11} + (x − 12) · (e^{x − 11})’ =
= 1 · e^{x − 11} + (x − 12)e^{x − 11} =
= (1 + x − 12)e^{x − 11} =
= (x − 11)e^{x − 11}

Приравниваем производную к нулю:

y’ = 0;
(x − 11)e^{x − 11} = 0;
x − 11 = 0;
x = 11.

Множитель e^{x − 11} никогда не равен нулю, поэтому мы избавились от него. Осталось начертить координатную ось и расставить знаки производной:

Итак, в точке x = 11 знак производной меняется с минуса на плюс. Считаем всегда в направлении оси — слева направо. Значит, x = 11 — это точка минимума.

Задача. Найдите точку максимума функции:

y = (2x² − 34x + 34)e^{6 − x}

Снова считаем производную:

y’ = ((2x² − 34x + 34)e^{6 − x})’ =
= (2x² − 34x + 34)’ · e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (e^{6 − x})’ =
= (4x − 34)e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (−1) · e^{6 − x}

Напомню, что производная сложной показательной функции считается по формуле:

(e^{kx + b})’ = k · e^{kx + b};
(e^{6 − x})’ = (−1) · e^{6 − x}.

Производная получилась довольно навороченная. Разложим ее на множители, для этого вынесем e^{6 − x} за скобку. Имеем:

(4x − 34)e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (−1) · e^{6 − x} =
= e^{6 − x} · (4x − 34 − 2x² + 34x − 34) =
= e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68)

Приравниваем полученное выражение к нулю:

e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68) = 0;
−2x² + 38x − 68 = 0;
x² − 19x + 34 = 0;
…
x₁ = 17; x₂ = 2.

Множитель e^{6 − x} снова можно безболезненно убрать, поскольку он никогда не равен нулю. Осталось отметить полученные точки и знаки производной на координатной прямой:

Обратите внимание: на рисунке отмечены знаки производной функции: y = e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68) — а вовсе не многочлена x² − 19x + 34, как думают некоторые ученики. В скобках стоит квадратичная функция, ее график — парабола ветвями вниз, поскольку a = −2 < 0.

В точке x = 17 знак производной меняется с плюса на минус. Значит, это точка максимума, что и требовалось найти.

Смотрите также:

Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией
Специфика работы с логарифмами в задаче B15
Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
Типичные задачи B12 с функциями
Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром

Источник

Содержание:

Рассмотрим выражение

Определение:

Показательной функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения показательной функции — это естественная область определения выражения т. е. множество всех действительных чисел.

Графики некоторых показательных функций при а > 1 изображены на рисунке 23, при 0< а< 1 — на рисунке 24. Как получаются изображения таких графиков?

Например, чтобы изобразить график функции придадим несколько значений аргументу, вычислим соответствующие значения функции и внесем их в таблицу:

Вычислив приближенные значения у с точностью до 0,1, получим следующую таблицу:

Отметим точки с указанными координатами на координатной плоскости Оху (рис. 25) и соединим эти точки плавной непрерывной линией.

Полученную кривую можно рассматривать как изображение графика функции (рис. 26).

График функции расположен над осью Ох и пересекает ось Оу в точке Заметим еще, что когда значения аргумента х уменьшаются, то график этой функции «прижимается» к оси Ох, а когда значения аргумента х увеличиваются, то график «круто поднимается» вверх.

Аналогично для любой функции (рис. 27).

Изобразим теперь график функции Для этого придадим несколько значений аргументу, вычислим соответствующие значения функции и внесем их в таблицу:

Вычислив приближенные значения у с точностью до 0,1. получим следующую таблицу:

Отметим точки с указанными координатами на координатной плоскости Оху (рис. 28) и соединим эти точки плавной непрерывной линией.

Полученную кривую можно рассматривать как изображение графика функции (рис. 29).

График функции расположен над осью Ох и пересекает ось Оу в точке Заметим еще, что когда значения аргумента х увеличиваются, то график этой функции «прижимается» к оси Ох, а когда значения аргумента х уменьшаются, то график «круто поднимается» вверх.

Аналогично для любой функции (рис. 30).

Теорема (о свойствах показательной функции)

Областью определения показательной функции является множество R всех действительных чисел.
Множеством (областью) значений показательной функции является интервал
Показательная функция наименьшего и наибольшего значений не имеет.
График показательной функции пересекается с осью ординат в точке (0; 1) и не пересекается с осью абсцисс.
Показательная функция не имеет нулей.
Показательная функция принимает положительные значения на всей области определения; все точки ее графика лежат выше оси Ох в I и II координатных углах.
Показательная функция не является ни четной, ни нечетной.
При а > 1 показательная функция возрастает на всей области определения. При показательная функция убывает на всей области определения.
Показательная функция не является периодической.

Свойства, указанные в этой теореме, мы примем без доказательства.

Изображение графика показательной функции позволяет наглядно представить эти свойства.

Множество (область) значений показательной функции — это проекция ее графика на ось Оу, а на рисунках 27 и 30 видно, что эта проекция есть интервал на оси Оу. Это значит, что для любой точки принадлежащей этому интервалу, найдется такая точка на оси Ох, что (свойство 2).

Множество (область) значений показательной функции — это интервал а в этом интервале нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3).

График показательной функции проходит через точку и лежит в верхней полуплоскости (свойства 4, 5, 6).

График показательной функции не симметричен относительно оси ординат, поэтому она не является четной; график показательной функции не симметричен относительно начала координат, поэтому она не является нечетной (свойство 7).

На рисунке 27 видно, что при а > 1 показательная функция возрастает, а на рисунке 30 видно, что при 0 < а < 1 показательная функция убывает (свойство 8).

На графике показательной функции нет точек с одинаковыми ординатами, поэтому она не является периодической (свойство 9).

К графику показательной функции можно провести невертикальную касательную в любой его точке, в том числе и в точке (напомним, что это означает наличие производной функции в этой точке).

Если то угол который образует такая касательная с осью Ох, острый. Например, если а = 2, то (рис. 31, а), а если а = 3, то (рис. 31, б).

Существует основание 2 < а < 3 такой единственной показательной функции, что касательная, проведенная к ее графику в точке (0; 1), образует с осью Ох угол (рис. 31, в).

Основанием показательной функции с таким свойством является число, которое было открыто еще в XVII в. Джоном Непером (его портрет — на обложке) и названо неперовым числом; оно приближенно равно 2,7182818284. С XVIII в. неперово число стали обозначать буквой е в честь великого Леонарда Эйлера. В 1766 г. Ламбертом (с помощью приема Эйлера) было доказано, что число е, как и число иррационально. Числа очень важны для математики, они входят в большое число формул. В российских гимназиях для запоминания приближенного значения числа е использовали такое двустишие:

«Помнить е — закон простой: Два, семь, дважды Лев Толстой», Поскольку 1828 — год рождения великого русского писателя Л. Н. Толстого.

Пример:

Указать наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

Решение:

а) Поскольку 3 — положительное число больше 1, то большему значению показателя соответствует и большее значение степени Но выражение при х = 0 имеет наименьшее значение, а наибольшего значения не имеет. Значит, при любых значениях х верно неравенство

б) Поскольку 0,7 — положительное число меньше 1, то большему значению показателя sin х соответствует меньшее значение степени Значения выражения sin х при любых значениях х удовлетворяют неравенству

Таким образом, при любых значениях х верно неравенство

Значит, верно и неравенство

Ответ: а) 1 — наименьшее значение функции наибольшего значения нет;

б) наименьшее значение, а наибольшее значение функции

Понятие показательной функции

Показательной функцией называется функция, заданная формулой

где — некоторое действительное число, и .

Теорема 1.

Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел, а областью значений — множество всех положительных действительных чисел.

Доказательство:

Пусть . Тогда, по свойству (10) степени с действительным показателем из параграфа 6, выражение-степень имеет значение при любом значении переменной , а это означает, что областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел.

Поскольку , то, по свойству (11) степени с действительным показателем из параграфа 6, значение выражения положительно при всех значениях переменной . В курсе математического анализа доказывается, что при уравнение имеет единственный корень. Это означает, что каждое положительное число можно получить как значение выражения , иными словами, областью значений показательной функции является множество всех положительных действительных чисел.

Теорема 2.

Показательная функция на множестве всех действительных чисел при является возрастающей, а при — убывающей.

Доказательство:

Сравним значения выражений и :

Пусть , т. е. . Если , то, по свойству (12) степени с действительным показателем из параграфа 9, из условия следует, что , а потому и, значит, , так как по свойству (11) из параграфа 6. Получили, что , или . Это неравенство вместе с определением возрастающей функции позволяет утверждать, что функция является возрастающей при .

Если , то и по уже доказанному , или и потому . Это неравенство с учетом определения убывающей функции позволяет утверждать, что при функция является убывающей.

Следствие 1.

Равные степени с одним и тем же положительным и не равным единице основанием имеют равные показатели:

Действительно, если допустить, что , то при по теореме 2 получим, что , а при — что . Но оба эти неравенства противоречат условию.

Так же приводит к противоречию с условием и допущение .

Теорема 3.

Графики всех показательных функций проходят через точку (0; 1).

Для доказательства теоремы достаточно заметить, что при любом положительном истинно равенство .

Построим график функции . Для этого нанесем на координатную плоскость некоторые точки этого графика, составив предварительно таблицу значений функции.

Используя построенные точки и установленные свойства показательной функции, получим график функции , который представлен на рисунке 153. Обратим внимание на то, что график функции при уменьшении отрицательных значений переменной быстро приближается к оси абсцисс, но остается выше нее.

Для построения графика функции учтем, что , и используем утверждение о том, что график функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси ординат. Указанное преобразование приведено на рисунке 154. Обращаем внимание на то, что график функции при увеличении положительных значений переменной быстро приближается к оси абсцисс, но не пересекает ее.

Теорема 4.

Если , то при и при .

Доказательство:

Пусть , тогда . Сравним значения выражений и :

Пусть , тогда , так как . Значит, , а потому , так как . Значит, , или .

Пусть , тогда и, значит, . Поскольку , то . Значит, , или .

В соответствии с теоремой 4 при увеличении основания график функции на промежутке будет располагаться более близко к оси абсцисс, а на промежутке — более далеко.

График любой показательной функции с основанием , большим единицы, похож на график функции . На рисунке 155 представлены графики функций и .

График любой показательной функции с положительным основанием , меньшим единицы, похож на график функции.

На рисунке 156 приведены графики функций и .

Обратим внимание на ограничения на основание степени показательной функции . Первое ограничение вызвано тем, что значение выражения определено при всех значениях показателя только при положительном основании. Второе ограничение объясняется тем, что при функция принимает вид , т. е. все значения такой функции равны единице (рис. 157), и такая функция не вызывает особого интереса.

Показательная функция описывает ряд физических процессов. Например, радиоактивный распад определяется формулой , где и — массы радиоактивного вещества в начальный момент времени 0 и в момент времени , — период полураспада, т. е. промежуток времени, за который количество радиоактивного вещества уменьшается в два раза. С помощью показательной функции описывается зависимость от высоты , где — давление на уровне моря, — определенная константа; ток самоиндукции в катушке после подачи постоянного напряжения.

Понятие показательной функции и ее график:

Определение: показательной функцией называется функция вида:

График показательной функции (экспонента):

Свойства показательной функции:

1. Область определения: 2. Область значений: 3. Функция ни четная, ни нечетная 4. Точки пересечения с осями координат: с осью , с осью 5. Промежутки возрастания и убывания:

функция возрастает на всей области определения

функция убывает на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства: 7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Для любых действительных значений выполняются равенства:

Объяснение и обоснование:

Показательной функцией. называется функция вида Например, — показательные функции. Отметим, что функция вида существует и при

Тогда то есть при всех значениях Но в этом случае функция не называется показательной. (График функции — прямая, изображенная на рис. 13.1.) Поскольку при выражение определено при всех действительных значениях то областью определения показательной функции являю тся все действительные числа. Попытаемся сначала построить графики некоторых показательных функций, например и «по точкам», а затем перейдем к характеристике общих свойств показательной функции.

Составим таблицу нескольких значений функции

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 13.2, а) и соединим их плавной линией, которую естественно считать графиком функции у = 2′ (рис. 13.2, б).

Как видно из графика, — возрастающая функция, которая принимает все значения на промежутке Аналогично составим таблицу некоторых значений функции

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 13.3, а) и соединим их плавной линией, которую естественно считать графиком функции (рис. 13.3, б). Как видно из графика, — убывающая функция, которая принимает все значения на промежутке

Заметим, что график функции можно получить из графика функции с помощью геометрических преобразований. Действительно Таким образом, график функции симметричен графику функции относительно оси , и поэтому, если функция является возрастающей, функция обязательно будет убывающей.

Оказывается, что всегда при график функции похож на график функции а при — на график функции (рис. 13.4). График показательной функции называется экспонентой.

Свойства показательной функции

Как отмечалось выше, областью определения показательной функции являются все действительные числа: В курсе математического анализа доказывается, что областью значений функции является множество всех положительных чисел, иначе говоря, функция принимает только положительные значения, причем любое положительное число является значением функции, то есть

Это означает, что график показательной функции всегда расположен выше оси и любая прямая, которая параллельна оси и находится выше нее, пересекает этот график.

При функция возрастает на всей области определения, а при функция убывает на всей области определения. Обоснование области значений и промежутков возрастания и убывания показательной функции проводится так: эти свойства проверяют последовательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на любые действительные показатели.

Следует учесть, что при введении понятия степени с иррациональным показателем мы уже пользовались возрастанием функции, когда проводили такие рассуждения: поскольку Таким образом, в нашей системе изложения материала мы можем обосновать эти свойства только для рациональных показателей, но, учитывая громоздкость таких обоснований, примем их без доказательства. Остальные свойства показательной функции легко обосновать с помощью этих свойств.

Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку (по определению ). Также поскольку (по свойству 1),

График и точки пересечения с осями координат

График функции пересекает ось в точке Действительно, на оси значение тогда График показательной функции не пересекает ось так как на оси но значение не принадлежит области значений функции ( только при хотя по определению ). Промежутки знакопостоянства. при всех действительных значениях поскольку при Отметим еще одно свойство показательной функции. График функции пересекает ось в точке Учитывая возрастание функции при и убывание при получаем следующие соотношения между значениями функции и соответствующими значениями аргумента:

Значение функции

Значение аргумента при

Значение функции

Значение аргумента при

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений, поскольку ее область значений — промежуток не содержащий ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Свойства показательной функции:

Рассмотрим одно из характерных свойств показательной функции, выделяющее ее из ряда других функций: если то

при любых действительных значениях аргументов и выполняется равенство

Действительно, В курсах высшей математики это свойство (вместе со строгой монотонностью) является основой аксиоматического определения показательной функции. В этом случае дается определение, что показательная функция — это строго монотонная функция, определенная на всей числовой оси, которая удовлетворяет функциональному уравнению а затем обосновывается, что функция совпадает с функцией

Кроме общих свойств показательной функции при и при отметим некоторые особенности поведения графиков показательных функций при конкретных значениях Так, на рис. 13.5 приведены графики показательных функций при значениях основания

Сравнивая эти графики, можно сделать вывод: чем больше основание тем круче поднимается график функции при движении точки вправо и тем. быстрее график приближается к оси при движении точки влево. Аналогично, чем меньше основание тем круче поднимается график функции при движении точки влево и тем быстрее график приближается к оси при движении точки вправо.

Заканчивая разговор о показательной функции, укажем причины, по которым не рассматриваются показательные функции с отрицательным или нулевым основанием.

По этой причине не берут основание показательной функции (получаем постоянную функцию при) и (получаем функцию, определенную только при ). Приведенные рассуждения относительно целесообразности выбора основания показательной функции не влияют на область допустимых значений выражения (например, как мы видели выше, пара значений принадлежит его ОДЗ, и это приходится учитывать при решении некоторых задач).

Примеры решения задач:

Пример №1

Сравните значения выражений:

Решение:

1) Функция убывающая поэтому из неравенства получаем 2) Функция возрастающая поэтому из неравенства получаем

Комментарий:

Учтем, что функция при является возрастающей, а при — убывающей. Поэтому сначала сравним данное основание с единицей, а затем, сравнивая аргументы, сделаем вывод о соотношении между данными значениями функции.

Пример №2

Сравните с единицей положительное основание , если известно, что выполняется неравенство:

Решение:

1) Поскольку и по условию то функция — убывающая, следовательно, 2) Так как и по условию то функция — возрастающая, поэтому

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это два значения функции . Проанализируем, какое значение функции соответствует большему значению аргумента (для этого сначала сравним аргументы). Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция является возрастающей и Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция — убывающая, тогда

Пример №3

Постройте график функции:

Комментарий:

При значение следовательно, график функции всегда расположен выше оси Он пересекает ось в точке При показательная функция возрастает, а значит, ее графиком будет кривая (экспонента), точки которой при увеличении аргумента поднимаются.

При показательная функция убывает, поэтому, графиком функции будет кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются. (Напомним, что, опускаясь, график приближается к оси но никогда ее не пересекает.) Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Пример №4

Изобразите схематически график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

Комментарий:

оставим план построения графика данной функции с помощью последовательных геометрических преобразований.

Решение показательных уравнений и неравенств

Простейшие показательные уравнения

1. Основные формулы и соотношения

График функции

возрастает;

убывает;

постоянная.

2. Схема равносильных преобразований простейших показательных уравнений

Ориентир:

Пример:

Ответ: -1.

Корней нет (поскольку для всех )

Ответ: корней нет.

3. Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим

Ориентир:

Примеры:

Ответ:

Ответ: 2.

Объяснение и обоснование:

Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная входит в показатель степени (а основание этой степени не содержит переменной).

Рассмотрим простейшее показательное уравнение вида

Чтобы его найти, достаточно представить в виде Очевидно, что является корнем уравнения

Графически это проиллюстрировано на рис. 14.1.

Чтобы решить, например, уравнение достаточно представить его в виде и записать единственный корень —

Если то уравнение (при ) корней не имеет, так как всегда больше нуля. (На графиках, приведенных на рис. 14.2, прямая не пересекает график функции при ) Например, уравнение не имеет корней.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных уравнений, отметим, что при и уравнение вида равносильно уравнению

Коротко это утверждение можно записать так: при

Чтобы обосновать равносильность этих уравнений, достаточно заметить, что равенства (2) и (3) могут быть верными только одновременно, поскольку функция является строго монотонной и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента (то есть из равенства степеней (2) обязательно вытекает равенство показателей (3)). Таким образом, все корни уравнения (2) (которые обращают это уравнение в верное равенство) будут корнями и уравнения (3), и наоборот, все корни уравнения (3) будут корнями уравнения (2).

А это и означает, что уравнения (2) и (3) равносильны.

В простейших случаях при решении показательных уравнений пытаются с помощью основных формул действий над степенями привести (если это возможно) данное уравнение к виду

Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего используют замену переменных или свойства соответствующих функций.

Заметим, что все равносильные преобразования уравнения всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого уравнения). Областью допустимых значений (ОДЗ) показательных уравнениях чаще всего является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решении уравнения (см. далее решение задач 1-3). Но если в ходе решения показательных уравнений равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится вспоминать об ОДЗ.

Примеры решения задач:

Пример №5

Решите уравнение:

Решение:

1) 2) — корней нет, поскольку 5′ > 0 всегда. 3)

Комментарий:

При всегда поэтому уравнение не имеет корней. Другие уравнения приведем к виду и перейдем к равносильному уравнению

Пример №6

Решите уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 5.

2) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 1.

Комментарий:

В левой и правой частях данных уравнений стоят только произведения, частные, корни или степени.

В этом случае для приведения уравнения к виду попробуем применить основные формулы действий над степенями, чтобы записать обе части уравнения как степени с одинаковыми основаниями.

В уравнении 1 следует обратить внимание на то, что а и таким образом, левую и правую части этого уравнения можно записать как степени числа 5.

Для преобразования уравнения 2 напомним, что все формулы можно применять как слева направо, так и справа налево. Например, для левой части этого уравнения воспользуемся формулой и запишем

Пример №7

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 1

Комментарий:

В левой части уравнения все члены содержат выражения вида (показатели степеней отличаются только свободными членами). В этом случае в левой части уравнения удобно вынести за скобки наименьшую степень числа 3, то есть

Пример №8

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ: любое Рассмотрим два случая. 1) При получаем уравнение корни которого — все действительные числа из ОДЗ, то есть 2) При значение поэтому данное уравнение равносильно уравнению Отсюда тогда

Ответ: 1) при 2) при

Комментарий:

Это уравнение относительно переменной содержит параметр Анализируя основания степеней в уравнении, делаем вывод, что при любых значениях основание Функция при — возрастающая, а при — постоянная (см. графики функции ). Основание при а при всех других значениях основание Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно:

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Схема поиска плана решения показательных уравнений

Ориентир:

1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные формулы действий над степенями» приведенные в табл. 53).

Пример:

Учитывая, что приводим все степени к одному основанию 2:

Ориентир:

2. Если возможно, приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию и выполняем замену переменной.

Пример:

Замена дает уравнение Обратная замена дает тогда или — корней нет. Ответ: 1.

Ориентир:

3. Если нельзя привести к одному основанию, то пытаемся привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение (которое решается делением обеих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных).

Пример:

Приведем все степени к основаниям 2 и 3: Имеем однородное уравнение (у всех членов одинаковая суммарная степень — ). Для его решения разделим обе части на Замена дает уравнение Обратная замена дает уравнения: — корней нет или тогда

Ответ: 0.

Ориентир:

4. В других случаях переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем разложить полученное выражение на множители или применяем специальные приемы решения, в которых используются свойства соответствующих функций

Пример:

Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скобки общий множитель, то получаем Теперь можно вынести за скобки общий множитель Отсюда или Получаем два уравнения: 1) тогда 2) тогда Ответ: 2; 1.

Объяснение и обоснование:

Для решения более сложных показательных уравнений (в сравнении с теми, которые были рассмотрены в п. 14.1) чаще всего используют замену переменных. Чтобы сориентироваться, можно ли ввести замену переменных в данном показательном уравнении, часто бывает полезно в начале решения избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней. используя формулы:

Например, в уравнении

вместо записываем произведение и получаем уравнение

равносильное данному.

Затем пробуем все степени (с переменной в показателе) привести к одному основанию и выполнить замену переменной. Например, в уравнении (2) степень с основанием 4 можно записать как степень с основанием 2: получить уравнение

Напомним общий ориентир: если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной). Обращаем внимание на то, что Таким образом, в уравнение (3) переменная входит фактически в одном виде — поэтому удобно ввести замену Получаем квадратное уравнение

для которого находим корни, а затем выполняем обратную замену. Отметим, что как использование основных формул действий над степенями, так и использование замены и обратной замены всегда приводит к уравнению, равносильному данному на его ОДЗ (в уравнении (1) — на множестве всех действительных чисел). Это обусловлено тем, что все указанные преобразования мы можем выполнить и в прямом, и в обратном направлениях. (Таким образом, мы всегда сможем доказать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, аналогично тому, как был обоснован равносильный переход для простейших показательных уравнений).

В тех случаях, когда все степени (с переменной в показателе) в показательном уравнении, которое не приводится непосредственно к простейшему, не удается привести к одному основанию, следует попытаться привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение. Например, рассмотрим уравнение

Все степени в этом уравнении можно записать через основания 2 и 3, поскольку

Получаем уравнение

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень (степень одночлена также равна ). Напомним ориентир:

Если все члены, уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (и ли от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень*, то уравнение называется однородным.

Решается однородное уравнение делением обеих его частей на наибольшую степень одной из переменных.

Следовательно, уравнение (6) является однородным и его можно решить делением обеих частей или на или на Отметим, что при всех значениях выражения и не равны нулю. Таким образом, при делении на эти выражения не может произойти потери корней (как это могло быть, например, для однородных тригонометрических уравнений). В результате деления обеих частей уравнения на любое из этих выражений всегда получается уравнение, равносильное данному. Например, если разделить обе части уравнения (6) на получаем или после сокращения В последнем уравнении все члены можно представить как степени с одним основанием и выполнить замену

Далее решение полученного уравнения полностью аналогично решению уравнения (2). Полное решение этого уравнения приведено в табл. 19.

Составляя план решения показательного уравнения, необходимо учитывать, что при решении некоторых из них целесообразно перенести все члены уравнения в одну сторону и попытаться разложить полученное выражение на множители, например, с использованием группировки членов, как это сделано в табл. 19 для уравнения

Для решения некоторых показательных уравнений можно применить свойства соответствующих функций.

Примеры решения задач:

Пример №9

Решите уравнение

Решение:

Замена Получаем Тогда Отсюда

Обратная замена дает уравнения: — корней нет или тогда Ответ: 1.

Комментарий:

В данное уравнение переменная входит только в одном виде поэтому удобно ввести замену и, получив дробное уравнение, найти его корни, а затем выполнить обратную замену.

Как уже отмечалось, замена и обратная замена — это равносильные преобразования данного уравнения, но при решении полученного дробного уравнения следует позаботиться о том, чтобы не получить посторонних корней (для этого, например, достаточно учесть, что и поэтому ОДЗ полученного уравнения: будет учтена автоматически).

*Конечно, если уравнение имеет вид (где — многочлен), то речь идет только о степени членов многочлена , поскольку нуль-многочлен степени не имеет.

Пример №10

Решите уравнение

Решение:

Замена дает уравнение Обратная замена дает тогда или — корней нет. 5 Ответ: 0.

Комментарий:

1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней.
2. Приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию 5.
3. Выполняем замену решаем полученное уравнение, производим обратную замену и решаем полученные простейшие показательные уравнения (а также учитываем, что все преобразования были равносильными).

Пример №11

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 2.

Комментарий:

При решении систем уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используются традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных.

Пример №12

Решите систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения системы Тогда из второго уравнения получаем то есть Замена дает уравнение из которого получаем уравнение имеющее корни: Обратная замена дает тогда или откуда Находим соответствующие значения если если Ответ:

Комментарий:

Если из первого уравнения выразить через и подставить во второе уравнение, то получим показательное уравнение, которое мы умеем решать (аналогично решению задачи 2). Выполняя замену, учитываем, что Тогда в полученном дробном уравнении знаменатель Таким образом, это дробное уравнение равносильно уравнению

Пример №13

Решите систему уравнений

Решение:

Замена и дает систему уравнений и Из второго уравнения этой системы имеем Далее из первого уравнения получаем Отсюда тогда Обратная замена дает уравнения: тогда отсюда тогда отсюда Ответ: (2; 2).

Комментарий:

Если обозначить и то Тогда данная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить.

Решение показательных неравенств

1. График показательной функции

2. Схема равносильных преобразований простейших показательных неравенств

— знак неравенства сохраняется

— знак неравенства меняется на противоположный

Примеры:

Функция является возрастающей, следовательно:

Ответ:

Функция убывающая, следовательно:

Ответ:

3. Решение более сложных показательных неравенств

Ориентир:

I. С помощью равносильных преобразований (по схеме решения показательны х уравнений) данное неравенство приводится к неравенству известного вида (квадратному, дробному и др.).

После решения полученного неравенства приходим к простейшим показательным неравенствам.

Пример:

Замена дает неравенство решения которого или (см. рисунок).

Обратная замена дает (ре шений нет) или откуда то есть Ответ:

II. Применяем метод интервалов, приводя данное неравенство к виду и используя схему:

Найти ОДЗ.
Найти нули
Отметить пули функции на ОДЗ и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ. 4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример:

Решим неравенство методом интервалов. Данное неравенство равносильно неравенству

Обозначим

ОДЗ:
Нули функции:
Поскольку функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения:
Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Решение простейших показательных неравенств вида (или где и ) основывается на свойствах функции которая возрастает при и убывает при Например, чтобы найти решение неравенства при достаточно представить в виде Получаем неравенство

(1)

При функция возрастает, следовательно, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем (знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства(1)). При функция убывает, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем (знак этого неравенства противоположен знаку неравенства (1)).

Графически это проиллюстрировано на рис. 14.3.

Например, чтобы решить неравенство достаточно представить это неравенство в виде учесть, что (функция возрастающая, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и записать решение:

Решение данного неравенства можно записывать в виде или в виде промежутка

Аналогично, чтобы решить неравенство достаточно представить это неравенство в виде учесть, что (функция убывающая, таким образом, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный), и записать решение:

Учитывая, что при любых положительных значениях значение всегда больше нуля, получаем, что при неравенство решений не имеет, а неравенство выполняется при всех действительных значениях

Например, неравенство не имеет решений, а решениями неравенства являются все действительные числа.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных неравенств, отметим, что при неравенство равносильно неравенству а при О < а < 1 — неравенству Коротко это утверждение можно записать так.

Чтобы обосновать равносильность соответствующих неравенств, достаточно заметить, что при неравенства

могут быть верными только одновременно, поскольку функция при возрастающая и большему значению функции соответствует большее значение аргумента (и наоборот: большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Таким образом, все решения неравенства (2) (которые обращают его в верное числовое неравенство) будут и решениями неравенства (3), и наоборот: все решения неравенства (3) будут решениями неравенства (2). А это и означает, что неравенства (2) и (3) равносильны. Аналогично обосновывается равносильность неравенств и при

В простейших случаях при решении показательных неравенств, как и при решении показательных уравнений, пытаются с помощью основных формул действий над степенями привести (если это возможно) данное неравенство к виду

Для решения более сложных показательных неравенств чаще всего используют замену переменных или свойства соответствующих функций.

Заметим, что аналогично решению показательных уравнений все равносильные преобразования неравенства всегда выполняются на его области допустимых значений (общей области определения для всех функций, входящих в запись этого неравенства). Для показательных неравенств достаточно часто областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решение неравенства (см. далее задачу 1). Но если в процессе решения показательного неравенства равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится учитывать ОДЗ (см. далее задачу 2).

Заказать решение задач по высшей математике

Примеры решения задач:

Пример №14

Решите неравенство

Решение:

Поскольку функция у убывающая, то Отсюда (см. рисунок).

Ответ:

Комментарий:

Запишем правую часть неравенства как степень числа Поскольку то при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный (получаем неравенство, равносильное данному). Для решения полученного квадратного неравенства используем графическую иллюстрацию.

Пример №15

Решите неравенство

Решение:

ОДЗ: Замена дает неравенство равносильное неравенству Поскольку получаем Отсюда Учитывая, что имеем Выполняя обратную замену, получаем Тогда Функция возрастающая, таким образом, Учитывая ОДЗ, получаем Ответ:

Комментарий:

Поскольку равносильные преобразования неравенств выполняются на ОДЗ исходного неравенства, то зафиксируем эту ОДЗ. Используя и формулу избавляемся от а числового слагаемого в показателе степени и получаем степени с одним основанием 3, что позволяет ввести замену В полученном неравенстве знаменатель положителен, поэтому это дробное неравенство можно привести к равносильному ему квадратному. После выполнения обратной замены следует учесть не только возрастание функции но и ОДЗ исходного неравенства.

Пример №16

Решите неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов. Обозначим 1. ОДЗ: 2. Нули функции:

Замена Получаем Обратная замена дает: или

Отсюда 3. Отметим нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из полученных промежутков и записываем решения неравенства

Ответ:

Комментарий:

Данное неравенство можно решать или приведением к алгебраическому неравенству, или методом интервалов. Для решения его методом интервалов используем схему, приведенную в табл. 20. При нахождении нулей функции приведем все степени к двум основаниям (2 и 3), чтобы получить однородное уравнение. Это уравнение решается делением обеих частей на наивысшую степень одного из видов переменных — на Учитывая, что при всех значениях в результате деления на получаем уравнение, равносильное предыдущему. Разумеется, для решения данного неравенства можно было учесть, что всегда, и после деления данного неравенства на и замены получить алгебраическое неравенство.

Пример №17

Решите неравенство

Комментарий:

Данное нестрогое неравенство также удобно решать методом интервалов. При этом следует учитывать, что в случае, когда мы решаем нестрогое неравенство все нули функции должны войти в ответ.

Решение:

Обозначим 1. ОДЗ: Тогда или (см. рисунок).

2. Нули функции: Тогда или Из первого уравнения: — не принадлежит ОДЗ, а из второго: 3. Отмечаем нули на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства Ответ:

Определение и вычисление показательной функции

Если величины и связаны уравнением (где ), то величина у называется показательной функцией от . Возьмем для примера , тогда . Будем давать значения, равные нулю и целым положительным числам, тогда будет принимать значения, указанные в таблице:

Мы видим, что если придавать независимому переменному значения, увеличивающиеся в арифметической прогрессии, то у будет расти в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 2.

Вообще, если в уравнении независимое переменное увеличивается в арифметической прогрессии, то функция возрастает в геометрической прогрессии со знаменателем . Если независимое переменное уменьшать, придавая ему целые отрицательные значения, то у будет уменьшаться в геометрической прогрессии со знаменателем . В самом деле, взяв уравнение , составим таблицу:

Приняв за абсциссу, а за ординату точки, построим точки, полученные в таблицах, и соединим их плавной кривой. Тогда получим кривую линию, изображенную на рис. 31. Эта линия называется графиком показательной функции.

Отметим, что показательная функция нигде не обращается в нуль, т. е. ее график нигде не пересекает ось .

Аналогичный график имеет и любая показательная функция с основанием, большим единицы ().

Если же взять основание положительное, но меньшее единицы (), то график будет иметь вид, изображенный на рис. 32.

Показательная функция — практическое занятие с решением

1) Составьте таблицу значений для функций и .

2) На координатной плоскости постройте точки, абсциссы которых соответствуют аргументам, а ординаты значениям функции и соедините сплошной кривой линией.

3) Сравните с значение выражения и для произвольных значений х.

4) Увеличиваются или уменьшаются значения функции при увеличении значений х ? Увеличиваются или уменьшаются значения функции при увеличении значений х?

5) В какой точке графики пересекают ось у ?

6) Сравните графики и запишите их сходные и отличительные черты.

7) Выполните задание для функций .

При а > 0, функция называется показательной функцией.

1) Область определения показательной функции все действительные числа.

2) Множество значений показательной функции все положительные

числа.

3) Так как = 1(при х = 0), то показательная функция пересекает ось у в точке (0; 1).

4) При а > 1 функция возрастающая, при функция убывающая.

5) Показательная функция не пересекает ось абсцисс и её график расположен выше оси х, т.е. в верхней полуплоскости.

Функция и её график называется экспонентой.

Экспонента при изменении аргумента увеличивается или уменьшается с большой скоростью.

6) При , если х бесконечно возрастают, соответствующие значения у бесконечно убывают и точки графика функции неограниченно стремятся к оси абсцисс. При точки на графике неограниченно стремятся к оси абсцисс.

Экспоненциально возрастающая и экспоненциально убывающие функции

Функция также называется экспоненциальной функцией.

Например: функцию можно записать в виде

Пример:

По графику функции зададим её уравнение.

Решение:

Составим таблицу значений.

Из таблицы значений видно, что при увеличении значений х на 1 единицу, значения у уменьшаются в .

Значит, .Тогда формула функции будет:

Пример:

При каких значениях переменных справедливо следующие:

а)равенство ; б) неравенство ; в) неравенство ?

Решение:

а) запишем равенство в виде . Здесь по свойству степени с действительным показателем х = 3.

б)запишем неравенство в виде . Здесь ясно, что .

в)запишем неравенство в виде (в виде степени с одинаковым основанием), степени с основанием меньше 1. Получим, что .

Преобразование графиков показательных функций

Общий вид показательной функции . Функция вида является основной функцией в семействе показательных функций. Выполняя различные преобразования можно построить графики следующих функций

•График в раз растягивается от оси х.

Например.

•При происходит отражение относительно оси х.

Например. График функции

можно построить при помощи графика функции

используя параллельный перенос.

Пример №18

Построим график функции при помощи параллельного переноса графика функции . 1.Для функции отметим точки (0; 3), (1; 6); (2; 12) и соединим эти точки гладкой линией. Прямая у = 0 является асимптотой 2.График функции перенесём параллельно на одну единицу влево и на одну единицу вверх (на вектор (-1; 1)), найдём новые координаты указанных точек и расположим их на координатной плоскости. Соединим эти точки гладкой линией и получим график функции .

Прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой.

В реальной жизни, при ежегодном увеличении величины на постоянный процент, её состояние через лет можно оценить формулой , при уменьшении — формулой .Здесь а — начальное количество, — процент увеличения (уменьшения) ( десятичная дробь), -количество лет.

При помощи данных формул решим следующее задание.

Пример №19

Цена автомобиля купленного за 24 ООО руб ежегодно снижается на 12%. Запишем зависимость между количеством лет эксплуатации автомобиля и его ценой.

Решение.

В формулепримем а = 24000, = 12% = 0,12, 1 — = 0,88.

Тогда данную ситуацию можно смоделировать показательной

функцией .

Показательная функция. Число е.

Исследование:

Представьте, что вы вложили в банк 1 руб, под сложные проценты с процентной ставкой равной 100%. В течении года вы произвели вычислений раз, подставив в формулу сложного процентного роста следующие данные .

Вычислите значения функции и установите, к какому числу приближается значение функции при различных значениях .

Как видно, если банк будет чаще вычислять процент для вложенной суммы, то прибыль увеличится. Однако, отношение ежедневных вычислений к ежемесячным даёт прибыль 10 гяпик. Если даже банк будет находить процент для денег на счету ежесекундно , то и в данном случае разница между начислением процентов ежечасно или ежедневно будет незначительна. Из графика функции построенного при помощи графкалькулятора видно, что при функция имеет горизонтальную асимптоту.

Число е:

Исследование показывает, что при увеличении значений значение выражения колеблется между 2,71 и 2,72. Это число записывается буквой е и имеет значение е = 2,718 281 828 459… .

Число е, так же как и число является иррациональным числом. Эти числа называются трансцендентными числами. Трансцендентным называется число, которое не является корнем уравнения степени с целыми коэффициентами. Экспоненциальное возрастание или убывание по основанию е задаётся формулой . Здесь N_o-начальное значение, t -время, -постоянное число.

График функции y=e^x

График функции .

Для построения графика функции можно использовать различные граф калькуляторы. Например, (http://www.meta-calculator.com/onlinc) или как показано на рисунке, при помощи программы Geometer’s Sketchpad®.

Показательная и логарифмическая функции их свойства и график

Понятие показательной функции и ее график:

Определение. Показательной функцией называется функция вида

График показательной функции (экспонента)

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция ни четная, ни нечетная.

4. Точки пересечения с осями координат:

с осью

5. Промежутки возрастания и убывания:

функция при возрастает на всей области определения

функция при убывает на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства:

8. Для любых действительных значений выполняются равенства:

Понятие показательной функции

Показательной функцией называется функция вида

Например, показательная функция

Отметим, что функция вида существует и при

Тогда при всех значениях Но в этом случае функция не называется показательной. (График функции — прямая, изображенная на рис. 118.)

Поскольку при выражение определено при всех действительных значениях то областью определения показательной функции являются все действительные числа.

Попытаемся сначала построить графики некоторых показательных функций, например «по точкам», а затем перейдем к характеристике общих свойств показательной функции.

Составим таблицу некоторых значений функции

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 119, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графиком функции (рис. 119,6).

Как видим из графика, функция является возрастающей функцией, которая принимает все значения на промежутке

Аналогично составим таблицу некоторых значений функции

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 120, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графиком функции (рис. 120, б).

Как видим из графика, функция является убывающей функцией, которая принимает все значения на промежутке. Заметим, что график функции можно получить из графика функции с помощью геометрических преобразований. Действительно,

Таким образом, график функции симметричен графику функции относительно оси (табл. 4, с. 28), и поэтому, если функция является возрастающей, функция обязательно будет убывающей.

Оказывается, что всегда при график функции похож на график функции — на график функции (рис. 121). График показательной функции называется экспонентой.

Свойства показательной функции

Как было обосновано выше, областью определения показательной функции являются все действительные числа:

Областью значений функции является множество всех положительных чисел, то есть функция принимает только положительные значения, причем любое положительное число является значением функции, то есть

При функция возрастает на всей области определения, при функция убывает на всей области определения.

Обоснование области значений и промежутков возрастания и убывания показательной функции проводится так: эти свойства проверяются последовательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на любые действительные показатели.

Следует учесть, что при введении понятия степени с иррациональным показателем мы уже пользовались возрастанием функции, когда проводили такие рассуждения: поскольку Таким образом, в нашей системе изложения материала мы можем обосновать эти свойства только для рациональных показателей, но, учитывая громоздкость таких обоснований, примем их без доказательства. Все остальные свойства показательной функции легко обосновываются с помощью этих свойств.

Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку (по определению Также поскольку (по свойству 1), а

Точки пересечения с осями координат. График функции пересекает ось в точке Действительно, на оси значение тогда

График показательной функции не пересекает ось поскольку на оси но значение не принадлежит области значений показательной функции только при но по определению

Промежутки знакопостоянства. при всех действительных значениях поскольку

Отметим еще одно свойство показательной функции. Поскольку график функции пересекает ось в точке то, учитывая возрастание функции при и убывание при получаем следующие соотношения между значениями функции и соответствующими значениями аргумента:

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений, поскольку ее область значений — промежуток который не содержит ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Свойства показательной функции, приведенные в пункте 8 таблицы 49:

были обоснованы в разделе 3.

Отметим еще одно свойство показательной функции, которое выделяет ее из ряда других функций: если то при любых действительных значениях аргументов выполняется равенство

Кроме общих свойств показательной функции при отметим некоторые особенности поведения графиков показательных функций при конкретных значениях Так, на рисунке 122 приведены графики показательных функций при значениях основания

Сравнивая эти графики, можно сделать вывод: чем больше основание тем круче поднимается график функции при движении точки вправо и тем быстрее график приближается к оси при движении точки влево. Аналогично, чем меньше основание тем круче поднимается график функции при движении точки влево и тем быстрее график приближается к оси при движении точки вправо.

Заканчивая разговор о показательной функции, укажем те причины, которые мешают рассматривать показательные функции с отрицательным или нулевым основанием.

Отметим, что выражение можно рассматривать и при и при Но в этих случаях оно уже будет определено не при всех действительных значениях как показательная функция В частности, выражение определено при всех (и тогда а выражение — при всех целых значениях ( например По этой причине не берут основание показательной функции (получаем постоянную функцию при и (получаем функцию, определенную только при достаточно «редких» значениях Приведенные рассуждения относительно целесообразности выбора основания показательной функции не влияют на область допустимых значений выражения (например, как мы видели выше, пара значений принадлежит его ОДЗ, и это приходится учитывать при решении некоторых задач).

Примеры решения задач:

Пример №20

Сравните значения выражений:

Решение:

1) Функция является убывающей поэтому из неравенства получаем

2) Функция является возрастающей поэтому из неравенства получаем

Комментарий:

Учтем, что функция является возрастающей, а при — убывающей. Поэтому сначала сравним данное основание с единицей, а затем, сравнивая аргументы, сделаем вывод о соотношении между данными значениями функции.

Пример №21

Сравните с единицей положительное основание а, если известно, что выполняется неравенство:

Решение:

1) Поскольку и по условию то функция является убывающей, следовательно,

2) Поскольку и по условию то функция является возрастающей, следовательно,

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это два значения функции

Проанализируем, какое значение функции соответствует большему значению аргумента (для этого сначала сравним аргументы).

Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция является возрастающей и Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция является убывающей, и тогда

Пример №22

Постройте график функции:

Комментарий:

При значение следовательно, график функции всегда расположен выше оси Этот график пересекает ось в точке

При показательная функция возрастает, следовательно, ее графиком будет кривая (экспонента), точки которой при увеличении аргумента поднимаются.

При показательная функция убывает, следовательно, графиком функции будет кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются. (Напомним, что, опускаясь вниз, график приближается к оси но никогда ее не пересекает.)

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Пример №23

Изобразите схематически график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

Комментарий:

Составим план построения графика данной функции с помощью последовательных геометрических преобразований (табл. 4 на с. 28). 1. Мы можем построить график функции основание показательная функция убывает).

2. Затем можно построить график функции справа от оси (и на самой оси) график функции остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси

3. После этого можно построить график функции

параллельно перенести график вдоль оси на (-3) единицы.

4. Затем можно построить график данной функции выше оси (и на самой оси) график функции должен остаться без изменений(но таких точек у графика функции нет, а ниже оси — график функции необходимо отобразить симметрично относительно оси

Решение показательных уравнении и неравенств

Основные формулы и соотношения:

График функции

— возрастает

— убывает

— постоянная

Схема равносильных преобразований простейших показательных уравнений:

Ориентир:

При

Пример №24

Ответ: —1

Корней нет (поскольку для всех

Ответ: корней нет.

Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим:

1) Если в левой и правой частях показательного уравнения стоят только произведения, частные, корни или степени, то целесообразно с помощью основных формул попробовать записать обе части уравнения как степени с одним основанием.

Пример №25

Ответ:

2) Если в одной части показательного уравнения стоит число, а в другой все члены содержат выражение вида (показатели степеней отличаются только свободными членами), то удобно в этой части уравнения вынести за скобки наименьшую степень

Пример №26

Ответ: 2

Объяснение и обоснование:

Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная входит в показатель степени (а основание этой степени не содержит переменной).

Простейшие показательные уравнения

Рассмотрим простейшее показательное уравнение вида

где Поскольку при этих значениях функция строго монотонна (возрастает при и убывает при то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Это означает, что уравнение имеет единственный корень. Чтобы его найти, достаточно представить

Очевидно, что является корнем уравнения

Графически это проиллюстрировано на рисунке 123.

Например, чтобы решить уравнение достаточно представить это уравнение в виде и записать его единственный корень

Если то уравнение корней не имеет, поскольку всегда больше нуля. (На графиках, приведенных на рисунке 124, прямая не пересекает график функции

Например, уравнение не имеет корней.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных уравнений, отметим, что при уравнение вида

равносильно уравнению

Коротко это утверждение можно записать так: при

В простейших случаях при решении показательных уравнений пытаются с помощью основных формул действий над степенями (см. таблицу 46) привести (если это возможно) данное уравнение к виду

Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего используют замену переменных (применение этого метода рассмотрено в табл. 51, с. 344) или свойства соответствующих функций (применение этих методов рассмотрено в табл. 58, с. 403).

Заметим, что все равносильные преобразования уравнения всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого уравнения). Но в показательных уравнениях чаще всего областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решении уравнения (см. ниже задачи 1-3). Но если в ходе решения показательных уравнений равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится вспоминать об ОДЗ (задача 4″ на с. 343).

Примеры решения задач:

Пример №27

Решите уравнение:

Решение:

2) — корней нет, поскольку всегда;

Комментарий:

При всегда поэтому уравнение не имеет корней.

Другие уравнения приведем к виду и перейдем к равносильному уравнению

Пример №28

Решите уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 5.

2) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 1.

Комментарий:

В левой и правой частях данных уравнений стоят только произведения, частные, корни или степени. В этом случае для приведения уравнения к виду попробуем применить основные формулы действий над степенями, чтобы записать обе части уравнения как степени с одним основанием.

В уравнении 1 следует обратить внимание на то, что а таким образом, левую и правую части этого уравнения можно записать как степени числа 5.

Для преобразования уравнения 2 напомним, что все формулы можно применять как слева направо, так и справа налево, например для левой части этого уравнения воспользуемся формулой то есть запишем

Пример №29

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 1.

Комментарий:

Пример №30

Решите уравнение

Решение:

► ОДЗ:

Рассмотрим два случая.

1) При получаем уравнение корни которого — все действительные числа из ОДЗ, то есть

2) При значение и тогда данное уравнение равносильно уравнению

Отсюда

Ответ: 1) при

2) при

Комментарий:

Это уравнение относительно переменной которое содержит параметр Анализируя основания степеней в уравнении, делаем вывод, что при любых значениях основание Функция является возрастающей, а при — постоянной (см. графики функции в табл. 50).

Основание а при всех других значениях основание

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно, то есть:

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Схема поиска плана решения показательных уравнений:

Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные формулы действий над степенями, приведенные в табл. 50).
Если возможно, приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию и выполняем замену переменной.

Учитывая, что приводим все степени к одному основанию 2: Замена дает уравнение

Обратная замена дает тогда корней нет.

Ответ: 1.

3. Если нельзя привести к одному основанию, то пытаемся привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение (которое решается делением обеих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных).

Приведем все степени к двум основаниям 2 и 3:

Имеем однородное уравнение (у всех членов одинаковая суммарная степень — Для его решения разделим обе части на

Замена дает уравнение Обратная замена дает — корней нет или тогда Ответ: 0.

4. В других случаях переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем разложить полученное уравнение на множители или применяем специальные приемы решения, в которых используются свойства соответствующих функций.

Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скобки общий множитель, то получаем

Теперь можно вынести за скобки общий множитель

Тогда Получаем два уравнения:

Ответ: 2; 1.

Объяснение и обоснование:

Для решения более сложных показательных уравнений (в сравнении с теми, которые были рассмотрены в предыдущем пункте 30.1) чаще всего используют замену переменных. Чтобы сориентироваться, можно ли ввести замену переменных в данном показательном уравнении, часто бывает полезно в начале решения избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней, используя формулы: Например, в уравнении вместо записываем произведение и получаем уравнение равносильное заданному.

Обращаем внимание на то, что Таким образом, в уравнение (3) переменная входит фактически в одном виде — поэтому в этом уравнении удобно ввести замену Получаем квадратное уравнение для которого находим корни, а затем выполняем обратную замену (см. решение в табл. 51).

Отметим, что как использование основных формул действий над степенями, так и использование замены и обратной замены всегда приводит к уравнению, равносильному данному на его ОДЗ (в уравнении (1) — на множестве всех действительных чисел). Это обусловлено тем, что все указанные преобразования мы можем выполнить и в прямом, и в обратном направлениях. (Таким образом, мы всегда сможем доказать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго и наоборот, аналогично тому, как был обоснован равносильный переход для простейших показательных уравнений на с. 341).

Например, рассмотрим уравнение

Все степени в этом уравнении можно записать через основания 2 и 3, поскольку

Получаем уравнение

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень (степень одночлена также равна

Напомним (см. раздел 2, с. 172):

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень, то уравнение называется однородным.

Решается однородное уравнение делением обеих его частей на наибольшую степень одной из переменных.

Следовательно, уравнение (6) является однородным, и его можно решить делением обеих частей или на или на Отметим, что при всех значениях выражения не равны нулю. Таким образом, при делении на эти выражения не может произойти потери корней (как это могло быть, например, для однородных тригонометрических уравнений). В результате деления обеих частей уравнения на любое из этих выражений всегда получается уравнение, равносильное данному. Например, если разделить обе части уравнения (6) на получаем

или после сокращения

В последнем уравнении все члены можно представить как степени с одним основанием и выполнить замену Далее решение полученного уравнения полностью аналогично решению уравнения (2). Полное решение этого уравнения приведено в таблице 51.

Составляя план решения показательного уравнения, необходимо учитывать, что при решении некоторых из них целесобразно перенести все члены уравнения в одну сторону и попытаться разложить полученное выражение на множители, например, с использованием группировки членов, как это сделано в таблице 51 для уравнения

Для решения некоторых показательных уравнений можно применить свойства соответствующих функций.

Примеры решения задач:

Пример №31

Решите уравнение

Решение:

Замена Получаем

Тогда Отсюда

Обратная замена дает

— корней нет или тогда

Ответ: 1.

Комментарий:

В данное уравнение переменная входит только в одном виде и поэтому удобно ввести замену и, получив дробное уравнение, найти его корни, а затем выполнить обратную замену.

Пример №32

Решите уравнение

Решение:

Замена дает уравнение

Обратная замена дает тогда

корней нет

Ответ: 0.

Комментарий:

Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней.
Приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию 5.
Выполняем замену решаем полученное уравнение, производим обратную замену и решаем полученные простейшие показательные уравнения (а также учитываем, что все преобразования были равносильными).

Пример №33

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 2

Комментарий:

Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней,переносим все члены уравнения в одну сторону и приводим подобные члены.
Замечаем, что степени всех членов полученного уравнения (с двумя основаниями 2 и 3) одинаковые — следовательно, это уравнение однородное. Его можно решить делением обеих частей на наибольшую степень одного из видов выражений с переменной — или на или на Учитывая, что при всех значениях в результате деления на получаем уравнение, равносильное предыдущему (а значит, и заданному).

Пример №34

Решите систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения системы

Тогда из второго уравнения получаем то есть Замена дает уравнение из которого получаем уравнение имеющее корни: Обратная замена дает тогда откуда Находим соответствующие значения если если

Ответ:

Комментарий:

Если из первого уравнения выразить через и подставить во второе уравнение, то получим показательное уравнение, которое мы умеем решать (аналогично решению задачи 2).

Выполняя замену, учитываем, что Тогда в полученном дробном уравнении знаменатель Таким образом, это дробное уравнение равносильно уравнению

Пример №35

Решите систему уравнений

Решение:

Замена и дает систему

Из второго уравнения этой системы имеем Тогда из первого уравнения получаем Отсюда Обратная замена дает

Ответ:

Комментарий:

Если обозначить то

Тогда данная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить.

После обратной замены получаем систему простейших показательных уравнений

Решение показательных неравенств

График показательной функции :

Схема равносильных преобразований простейших показательных неравенств:

знак неравенства сохраняется знак неравенства меняется на противоположный

Пример №36

. Функция является возрастающей, следовательно:

Ответ:

Пример №37

Функция убывающая, следовательно:

Ответ:

Решение более сложных показательных неравенств

I. С помощью равносильных преобразований (по схеме решения показательных уравнений, табл. 51) данное неравенство приводится к неравенству известного вида (квадратному, дробному и т. д.). После решения полученного неравенства приходим к простейшим показательным неравенствам.

Пример №38

Замена дает неравенство решения которого (см. рисунок).

Обратная замена дает (решений нет) или откуда

Ответ:

II. Применяем общий метод интервалов, приводя данное неравенство к виду f (x)0 и используя схему:

1. Найти ОДЗ.

2. Найти нули

3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Решим неравенство методом интервалов. Данное неравенство равносильно неравенству Обозначим

1. ОДЗ:

2. Нули функции:

Поскольку функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения:

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Решение простейших показательных неравенств вида где основывается на свойствах функции которая возрастает при и убывает при Например, чтобы найти решение неравенства достаточно представить в виде Получаем неравенство

При функция убывает, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем (знак этого неравенства противоположен знаку неравенства (1)).

Графически это проиллюстрировано на рисунке 125.

Например, чтобы решить неравенство достаточно представить это неравенство в виде учесть, что (функция является возрастающей, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и записать решение:

Заметим, что решение данного неравенства можно записывать в виде или в виде промежутка

Аналогично, чтобы решить неравенство Достаточно представить это неравенство в виде Учесть что (Функция является убывающей, таким образом, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный), и записать решение:

Учитывая, что при любых положительных значениях а значение всегда больше нуля, получаем, что при неравенство решений не имеет, а неравенство выполняется при всех действительных значениях

Например, неравенство не имеет решений, а решениями неравенства являются все действительные числа.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных неравенств, отметим, что при неравенство равносильно неравенству а при — неравенству

При (знак неравенства сохраняется).

При (знак неравенства меняется на противоположный).

Чтобы обосновать равносильность соответствующих неравенств, достаточно заметить, что при неравенства могут быть верными только одновременно, поскольку функция при является возрастающей и большему значению функции соответствует большее значение аргумента (и наоборот: большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Таким образом, все решения неравенства (2) (которые обращают его в верное числовое неравенство) будут и решениями неравенства (3), и наоборот: все решения неравенства (3) будут решениями неравенства (2). А это и означает, что неравенства (2) и (3) являются равносильными.

Аналогично обосновывается равносильность неравенств и при

Заметим, что аналогично решению показательных уравнений все равносильные преобразования неравенства всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого неравенства). Для показательных неравенств достаточно часто областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решение неравенства (см. далее задачу 1). Но если в процессе решения показательного неравенства равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится учитывать ОДЗ (см. далее задачу 2).

Примеры решения задач:

Пример №39

Решите неравенство

Решение:

Поскольку функция является убывающей, то

Отсюда ( см.рисунок)

Ответ:

Комментарий:

Для решения полученного квадратного неравенства используем графическую иллюстрацию.

Пример №40

Решите неравенство

Решение:

ОДЗ:

Замена дает неравенство

равносильное неравенству Поскольку получаем Отсюда Учитывая, что имеем Выполняя обратную замену, получаем Тогда

Функция является возрастающей, таким образом, Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Комментарий:

Поскольку равносильные преобразования неравенств выполняются на ОДЗ исходного неравенства, то зафиксируем эту ОДЗ. Используя формулу избавляемся от числового слагаемого в показателе степени и получаем степени с одним основанием 3, что позволяет ввести замену

В полученном неравенстве знаменатель положителен, поэтому это дробное неравенство можно привести к равносильному ему квадратному.

После выполнения обратной замены следует учесть не только возрастание функции но и ОДЗ исходного неравенства.

Пример №41

Решите неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов. Обозначим

1 ОДЗ:

2. Нули функции:

Замена Получаем Обратная замена дает:

Отсюда Отметим нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из полученных промежутков и записываем решения неравенства

Ответ:

Комментарий:

При нахождении нулей функции приведем все степени к двум основаниям (2 и 3), чтобы получить однородное уравнение. Это уравнение решается делением обеих частей на наивысшую степень одного из видов переменных — на Учитывая, что при всех значениях в результате деления на получаем уравнение, равносильное предыдущему.

Разумеется, для решения данного неравенства можно было учесть, что всегда, и после деления данного неравенства на и замены получить алгебраическое неравенство.

Пример №42

Решите неравенство

Комментарий:

Данное нестрогое неравенство также удобно решать методом интервалов. Записывая ответ, следует учитывать, что в случае, когда мы решаем нестрогое неравенство все нули функции должны войти в ответ.

Решение:

Обозначим

1. ОДЗ: Тогда (см. рисунок).

2. Нули функции:

Тогда Из первого уравнения: — не принадлежит ОДЗ, а из второго:

3. Отмечаем нули на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства

Ответ:

Показательные функции в высшей математике

Рассмотрим функцию, заданную равенством Составим таблицу её значений для нескольких значений аргумента:

На рисунке 19, а обозначены точки, координаты которых соответствуют этой таблице. Когда на этой же координатной плоскости обозначить больше точек с координатами удовлетворяющих равенству они разместятся, как показано на рисунке 19, б. А если для каждого действительного значения вычислить соответствующее значение и обозначить на координатной плоскости точки с координатами они разместятся на одной бесконечной кривой (рис. 19, в). Эта кривая — график функции

График функции размещён в I и II координатных четвертях. Когда он как угодно близко подходит к оси но общих точек с ней не имеет. Говорят, что график функции асимптотически приближается к оси что ось — асимптота этого графика. Когда неограниченно увеличивается, график функции всё дальше отходит от оси Как видим, функция определена для всех действительных чисел, её область значений — промежуток На всей области определения функция возрастает, она ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.

Рассматриваемая функция — пример показательной функции, а именно — показательная функция с основанием 2.

Показательной функцией называется функция, заданная формулой

Примеры других показательных функций: Их графики изображены на рисунке 20. Согласно определению функция не является показательной.

Основные свойства показательной функции

Область определения функции — множество ибо при каждом положительном и действительном выражение определено.
Область значений функции — множество поскольку, если основание степени положительное, то положительная и степень Следовательно, функция принимает только положительные значения.
Если функция возрастает, а если — убывает. Это свойство хорошо видно на графиках функций (рис. 20).
Функция каждое своё значение принимает только один раз, т. е. прямую, параллельную оси график показательной функции может пересечь только в одной точке. Это следует из свойства 3.
Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая. Поскольку каждое своё значение она принимает только один раз, то не может быть чётной или периодической. Не может она быть и нечётной, так как не имеет ни отрицательных, ни нулевых значений.
График каждой показательной функции проходит через точку поскольку если

При решении задач и упражнений, связанных с показательной функцией, особенно часто используется третье свойство, в котором указывается на монотонность показательной функции, то есть её возрастание или убывание. В частности из него вытекают следующие утверждения.

Если
Если
Если

Присмотритесь к графикам показательных функций и (рис. 21). Угловой коэффициент касательной, проведённой в точке к графику функции меньше 1, а к графику функции — больше 1. Существует ли такая показательная функция, у которой угловой коэффициент касательной к её графику в точке равен 1? Существует (рис. 22).Основание этой показательной функции — иррациональное число 2,71828 …, которое принято обозначать буквой Показательная функция в математике и многих прикладных науках встречается довольно часто, ее называют экспонентом (лат. exponens — выставлять напоказ).

К показательной функции иногда относят также функции вида При помощи таких функций описывают много разных процессов, связанных с физикой, химией, биологией, экономикой, социологией и т. д. Например, процессы новообразования и распада вещества можно описать с помощью формулы Здесь — количество вновь образованного (или распавшегося) вещества в момент времени — начальное количество вещества, — постоянная, значение которой определяется для конкретной ситуации. Подберите самостоятельно соответствующие примеры.

Пример №43

Сравните с единицей число:

Решение:

а) Представим число 1 в виде степени с основанием 0,5. Имеем: Поскольку функция убывающая и отсюда

функция возрастающая и поэтому отсюда

Пример №44

Функция задана на промежутке Найдите её наименьшее и наибольшее значения.

Решение:

Поскольку то данная функция убывающая. Поэтому её наименьшее и наибольшее значения:

Пример №45

Постройте график функции

Решение:

Функция — чётная (проверьте). График чётной функции симметричен относительно оси поэтому достаточно построить график заданной функции для и отобразить его симметрично относительно оси Если Построим график функции для и отобразим его симметрично относительно оси (рис. 23).

Производные показательной и логарифмической функций
Показательно-степенные уравнения и неравенства
Показательные уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства
Техника дифференцирования
Дифференциальная геометрия
Логарифмическая функция, её свойства и график
Логарифмические выражения

Источник

Степенная функция. В данной статье мы рассмотрим вычисление максимума (минимума) указанной функции. В предыдущей статье мы с вами рассмотрели задачи на нахождение максимума (минимума) функции с числом «е». Здесь представлены примеры без числа «е». Некоторые примеры, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции, вообще можно решить без нахождения производной.

В любом случае, советую вам ознакомится с этой статьёй, если вы ещё этого не сделали. Рассмотрим задачи:

Найдите точку максимума функции у = (х – 2)²(х – 4)+5

Для этого найдём производную, приравняем её к нулю, найдём корни полученного уравнения:

Обратите внимание, что мы сразу представили результат в виде произведения, рекомендую делать именно так. Зачем вам упрощать его до многочлена, а затем снова раскладывать его на множители? Для дальнейших действий проще сразу представить в виде произведения.

Находим нули производной:

Полученные точки разбивают числовую ость на интервалы.

Посмотрим, как ведёт себя график функции на этих интервалах. Возьмём значения из них, подставим их в производную и определим знак:

На интервале (–∞;2) функция возрастает, на интервале (2;10/3) функция убывает. Значит х = 2 это точка максимума.

Второй способ:

Перебираем значения х от – 5 до 5 подставляем в функцию и вычисляем. Затем по полученным значениям функции определяем точку максимума.

Почему берём интервал от – 5 до 5? Потому, что большинство ответов на ЕГЭ в подобных задачах лежат в этих пределах. Если будет необходимо, то берите интервал шире. Для наглядности можете построить график.

Решите предложенным способом самостоятельно, а затем посмотрите решение.

*Данный способ использовать осторожно, в будущем возможно изменение типов заданий входящих в ЕГЭ и такой подход может не сработать.

Ответ: 2

Найдите точку максимума функции у = (х – 3)²(х – 10) – 9

Это аналогичная задача.

Для этого найдём производную, приравняем её к нулю, найдём корни полученного уравнения:

Находим нули производной:

Полученные точки разбивают числовую ость на интервалы.

Посмотрим, как ведёт себя график функции на этих интервалах. Возьмём значения из интервалов, подставим их в производную и определим знак:

На интервале (–∞;3) функция возрастает, на интервале (3;23/3) функция убывает. Значит, х = 3 это точка максимума.

Вторым способом попробуйте решить сами.

Ответ: 3

Найдите наименьшее значение функции у = (х–3)²(х–6)–1 на отрезке [4;6].

Так как интервал дан (при чём он небольшой), то здесь рекомендую подставить целые значения из него (4, 5 и 6) в функцию:

Наименьшее значение функции на заданном отрезке равно – 5.

Ответ: – 5

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Найдите наибольшее значение функции у=(х+6)²(х–1)–6 на отрезке [– 9;–2].

Данную задачу можно решать любым из двух способов. Интервал здесь маленьким не назовёшь, но и в то же время он невелик.

Решим её подстановкой всех значений из интервала.

Подставим – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, –2.

Наибольшее значение функции равно – 6.

Ответ: – 6

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Подведём итог. Как видите, задачи решаются по простому алгоритму. Важно для успешного решения знать таблицу производных, правила дифференцирования и производную сложной функции, свойства производной для исследования графиков функций.

Конечно, когда используем метод подстановки значений из интервала, то знать всё это, казалось бы, не обязательно, но такой подход помогает не всегда. Советую использовать его лишь как дополнительный инструмент.

Мы продолжим рассматривать задачи в этой рубрике, не пропустите!

Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Свойства показательной функции и её график
- Показательные уравнения и неравенства
- Неравенства
- Системы уравнений
Показательная функция
- Порядок роста и убывания функции
Определение степени с произвольным показателем
- Свойства степени
Исследование показательной функции
Производная показательной функции
Аксиоматическое определение показательной функции
Дополнение к показательной функции
Показательная функция
- Свойства показательной функции
- График показательной функции
- Целая и дробная части числа

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л.Эйлер

Свойства показательной функции и её график

В курсе алгебры рассматривалась степень с действительным показателем. Напомним основные свойства степени. Пусть a>0, b>0, х, и — любые действительные числа. Тогда

Эйлер Леонард (1707—1783) — математик, механик, физик и астроном, академик Петербургской Академии Наук. Научные труды Л. Эйлера относились ко всем областям естествознания, к которым можно применить математические методы.

Кроме того, в курсе алгебры рассматривались функции и т. д., т. е. степенные функции , где r — заданное число, а х — переменная.

В практике используются также функции т. е. Функция вида

где а — заданное число, а х — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основание степени — заданное число.

Показательной функцией называется функция , где а — заданное число,

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1) Область определения показательной функции — множество R всех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что степень , где а > 0, определена для всех

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение , где
а > 0, , не имеет корней, если , и имеет корень при любом b > 0. По свойству степени (6) это уравнение не имеет корней, если

То, что это уравнение имеет корень при любом b > 0, доказывается в курсе высшей математики. Это означает, что любая прямая у = b, где
b > 0, пересекается с графиком показательной функции.

3) Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а> 1, и убывающей, если 0<а<1.

Пусть а> 1 и . Покажем, что , т. е.

Так как , то и по свойству степени (7) имеем т. е.

Отсюда, учитывая, что получаем

Пусть 0<а<1 и Покажем, что , т. е.

Так как 0<а<1, то и поэтому

т. е. откуда

Построим графики функций и используя
рассмотренные свойства, по нескольким точкам, принадлежащим
графику (рис. 1 и 2 ).
Отметим, что график функции проходит через точку
(0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х < 0 и убывает, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает ее); если х > 0
и возрастает, то график быстро поднимается вверх. Такой же
вид имеет график любой функции , если а > 1 (рис. 3).
График функции также проходит через точку (0; 1)
и расположен выше оси Ох. Если x > 0 и возрастает, то график
быстро приближается к оси Ох (не пересекая ее); если х < 0 и
убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид
имеет график любой функции , если 0 < а < 1

Показательная функции часто используется при описании
различных физических процессов. Как радиоактивный распад
вписывается формулой

где m (t) и — масса радиоактивного вещества соответственно в момент момент времени t и в начальный момент t=0. T —
период полураспада (промежуток примени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
С помощью показательной функции выражается давление
воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции
в катушке после включения постоянного напряжения и т. д.

Задача:

Решить уравнение
По свойству показательной функции данное уравнение
имеет корень, так как 27 > 0 . Одним из корней является число
х = 3, так как

Других корней нет, так как функция возрастает на всей числовой прямой, и поэтому при х > 3 и при
х < 3 и (рис. 5). ▲

Задача:

Период полураспада плутония равен 140 суткам.
Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная
масса равна 8 г?

Воспользуемся формулой (8). В данной задаче t = 10*365
(считаем, что в году 365 дней), T = 140.

Вычисления проведем на микрокалькуляторе МК-54 по программе

Ответ. Через 10 лет плутония останется примерно

Показательные уравнения и неравенства

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений
и неравенств, т. е. уравнений и неравенств, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Уравнения
Решение показательных уравнений часто сводится к решению
уравнения

где , х — неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:
Теорема. Если а > 0 , то

О Предположим, что равенство не выполняется, т. е.
или

Пусть, например, . Тогда если а > 1, то показательная функция возрастает и поэтому должно выполняться неравенство если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство

В обоих случаях получилось противоречие с условием

Задача:

Решить уравнение

Запишем уравнение в виде откуда x+2 = 0.
Ответ. x = — 2.

Задача:

Решить уравнение

Так как то уравнение можно записать в виде или в виде Отсюда х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача:

Решить уравнение

Вынося в левой части за скобки общий множитель

получаем откуда
х — 2 = 0, х=2.
Ответ. х = 2.

Задача:

Решить уравнение
Так как то уравнение можно записать в виде откуда х = 0.
Ответ. x = 0.

Задача:

Решить уравнение

Запишем уравнение в виде

откуда
Ответ. х = 2.

Задача:

Решить уравнение

Заменой данное уравнение сводится к квадратному
уравнению

Решая это уравнение, находим его корни: откуда

Уравнение имеет корень х = 2, а уравнение не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
О т в е т. х = 2

Неравенства

Решение показательных неравенств часто сводится к решению
неравенств или . Эти неравенства решаются с
помощью свойства возрастания или убывания показательной
функции.

Задача:

Решить неравенство

Запишем неравенство в виде Так как 3 > 1 , то
функция является возрастающей. Следовательно, при x>4 выполняется неравенство , а при выполняется неравенство . Таким образом, при х < 4 неравенство является верным, а при — неверным, т. е.
неравенство выполняется тогда и только тогда, когда
х < 4 .
Ответ. х < 4

Задача:

Решить неравенство

Запишем неравенство в виде или

Так как — убывающая функция, то

Ответ.

Задача:

Решить неравенство

Обозначим тогда получим квадратное неравенство Это неравенство выполняется при t < — 2 и при
t > 1 . Так как , то получим два неравенства
Первое неравенство не имеет решений, так как при всех
Второе неравенство можно записать в виде , откуда x >0.
Ответ. x > 0.

Задача:

Решить графически уравнение

Построим графики функций и (рис- 6 )
Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой . Проверка показывает, что x = 1 — корень данного уравнения:

Покажем, что других корней нет. Функция
убывающая, а функция — возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше , а второй — больше ; при x < 1, наоборот, значения первой функции больше , а второй — меньше . Геометрически
(рис. 6) это означает, что графики этих функций при x > 1 и x < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при

Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство выполняется при х < 1, а неравенство при х > 1.

Системы уравнений

Задача:

Решить систему уравнений

Решим эту систему способом подстановки:

откуда

Найдем значения х:

Ответ. ( — 7 ; 3), (1; — 1 ) .

Задача:

Решить систему уравнений

Обозначим

Тогда система запишется так:

Решим эту систему способом подстановки

Найдем значения u:

Возвратимся к принятым обозначениям:
1) Так как первое из этих уравнений корней не имеет, то решений системы в этом случае нет.
2) откуда х = 2, у = 1.
О т в е т. (2; 1 ).

Показательная функция

Показательной функцией называется функция, заданная формулой y=a ^x , где a > 0 и a ≠ 1

Порядок роста и убывания функции

Функция — это основной математический инструмент для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.

Вслед за линейными мы подробно изучали квадратичные зависимости. Так, путь при равноускоренном движении квадратично зависит от времени; энергия падающего тела квадратично зависит от его скорости; количество теплоты, выделяемой током, текущим по проводнику, квадратично зависит от силы тока и т. п.

Степенные зависимости более высокого порядка также встречаются на практике. Например, по закону Стефана — Больц-мана излучательная способность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры. Масса шара является кубической функцией его радиуса.

Если мы изобразим на одном чертеже (схема IX) графики степенных функций вида при положительных значениях k, то увидим, что, чем больше k, тем быстрее при больших значениях х растут эти функции. Степенные функции образуют естественную шкалу, позволяющую сравнивать рост различных функций со стандартными, степенными функциями.

Аналогичная картина наблюдается и с убывающими функциями. Простейшая убывающая функция задается обратно пропорциональной зависимостью Изображая на одном чертеже (рис. 104) графики функций видим, что, чем больше k, тем быстрее убывают эти функции при больших значениях х.

Гильберт Давид (1862—1943) —

немецкий математик, основатель Геттин-генской математической школы. Гильберт завершил начатое Евклидом. Ему принадлежит глубокое обобщение евклидовой геометрии (гильбертовы пространства), он получил важнейшие результаты в математической логике.

«Арифметические знаки — это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы».

Д. Гильберт

В естествознании и технике встречаются процессы, рост или затухание которых происходит быстрее, чем у любой степенной функции. С примерами быстро растущих функций человек столкнулся очень давно. В древней легенде об изобретателе шахмат говорится, что он потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, а за каждую следующую — вдвое больше, чем за предыдущую. Человеку трудно представить себе порядок величины (общее число зерен, плату за изобретение шахмат). Если грубо заменить

Достаточно сказать, что расстояние от Земли до Солнца в миллиметрах приблизительно равно , так что, считая диаметр зерна за 1 мм, можно этим зерном 100 тысяч раз уложить путь до Солнца.

Поразительное явление быстрого роста членов геометрической прогрессии, т. е. чисел вида cqn, отражено во многих старинных задачах. Однако лишь с конца XVII в. стали систематически рассматриваться зависимости типа y = cqx, в которых переменная х принимает не только целые значения. Такие функции называются показательными.

Показательные функции, к изучению которых мы переходим в этой главе, обладают замечательным свойством: скорость их роста пропорциональна значению самой функции. Они как костер, который, чем больше разгорается, тем больше в него надо подкладывать дров.

Мы знаем, что скорость роста линейной функции постоянна, квадратичной функции линейна и вообще производная степенной функции, являясь меньшей степенью, растет медленнее, чем сама функция. Необходимость изучения функций, у которых производная пропорциональна самой функции, возникла с обнаружением различных законов естествознания, таких, как законы размножения, законы радиоактивного излучения, законы движения в тормозящей среде и т. д. Как эти законы связаны с показательными функциями, мы обсудим в главе, посвященной интегралу.

Определение степени с произвольным показателем

В основе определения показательной функции лежит понятие степени. Как надо понимать выражение ? Его определение строится постепенно. Сначала надо вспомнить, что такое степень с натуральным показателем, т. е. рассмотреть случай, когда t — натуральное число. Запись мы понимаем как произведение 10 одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. В общем виде если t = n — натуральное число, то запись означает произведение п множителей, каждый из которых равен а.

Если t — отрицательное целое число, то его можно записать в виде t= — n, где n — натуральное число. Тогда определяется так: Например, по определению равно .

Если t=0, то принимается равным единице, т. е. а°=1. Заметим, что при t ≤ 0 не определено при а—0. Тем самым мы определили степень с произвольным целым показателем. Дальнейшее обобщение понятия степени требует положительности основания а. Рассмотрим случай, когда t — рациональное число. Его можно записать в виде дроби , где m — целое число, n — натуральное число. По определению = В частности,

Степень с произвольным вещественным показателем t определяется следующим образом. Для числа t выбирается последовательность рациональных чисел t1, t2…, tn,…. задающая приближение числа t с любой степенью точности. Строится последовательность степеней с рациональными показателями …, . Оказывается, что эта последовательность задает приближение некоторого числа с с любой степенью точности. Это число и называется степенью .

Таким образом, мы определили степень для положительного основания а и любого показателя t. Замечания.

Степень числа с натуральным показателем имеет смысл не только для положительного, но и для любого основания, так как эта степень определяется с помощью операции умножения, а умножать можно любые числа. Поэтому имеют смысл равенства

= 0 и т. п. Степень с целым отрицательным показателем может быть определена для любого числа, кроме нуля, так как ее вычисление сводится к операциям умножения и деления. Определение же степени с рациональным показателем требует операции извлечения корня, которая выполнима, как правило, только для положительных чисел. Поэтому мы с самого начала считаем основание степени положительным числом.

2. Степень с иррациональным показателем вычисляется приближенно. Сначала мы задаем приближения к числу t с помощью рациональных чисел, затем вычисляем степени с рациональным показателем. У нас остался невыясненным вопрос: как, зная погрешность приближения числа t с помощью рационального числа tn, оценить погрешность приближения к числу ?

Свойства степени

Операция возведения в натуральную степень имеет хорошо известные свойства. Перечислим их.

, т. е. при умножении степеней с одинаковым основаниями показатели складываются.

2. т. е. при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

3. т. е. при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Для натуральных показателей эти свойства выводятся из определения степени и свойств умножения. Аналогичные свойства сохраняются для степеней с произвольными вещественными показателями:

Доказательство свойств степени с произвольным вещественным показателем проводится, начиная со случая натурального показателя и переходя последовательно к целым, рациональным и любым показателям.

В приведенных выше свойствах основание степени было одним и тем же, а менялись показатели степени. Можно сформулировать свойства степеней с одинаковыми показателями, но разными основаниями:

Исследование показательной функции

Определение:

Показательной функцией называется функция вида у = , где а — фиксированное положительное число.

При исследовании показательной функции будем считать, что основание а ≠ 1, так как при а= 1 функция получается постоянной.

Перечислим основные свойства показательной функции.

Область определения: множество всех вещественных чисел R.
Монотонность: при а>1 функция у = строго возрастает, при 0<а<1 функция у = строго убывает (схема X).
Положительность: значения функции у = положительны (при любом основании а>0) .
Область значений: множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0; + ∞).

Свойство 1 подчеркивает, что степень определена при любом вещественном показателе х. Доказательство свойств 2 и 3 показательной функции проводится так: эти свойства проверяются последовательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на произвольные вещественные показатели.

Свойства показательной функции позволяют построить ее график. Графики показательных функций при различных основаниях показаны на рисунке 105.

Рассмотрим показательную функцию у = . С ростом х значения этой функции возрастают очень быстро. Так, и т. д. Если же брать отрицательные значения х, то будет быстро приближаться к нулю: и т. д. Это свойство показательной функции быстро увеличиваться, с одной стороны, и быстро приближаться к нулю, с другой, хорошо видно на графике.

Вместе с функцией у = показательной функцией считают и функцию вида у = с, где с — постоянная. К такому виду можно привести, например, функцию у=, сделав преобразование:

Производная показательной функции

Вычислим среднюю скорость роста показательной функции у= на отрезке [х; х+ ∆х]:

Мы видим, что средняя скорость роста показательной функции на отрезке [х; x + ∆х] равна значению этой функции в точке х, умноженному на число. Исследуем, как ведет себя это число при маленьких значениях ∆х. Так как а°=1, то значение при маленьких значениях ∆х близко к 1. Если на графике функции проведем секущую, проходящую через точки (0; 1) и ( ∆х; ), то ее угловой коэффициент будет равен числу =tg a (рис. 106).

При секущая будет приближаться к касательной к

графику функции в точке (0; 1). Это означает, что будет

приближаться к произведению на значение производной при х=0. Итак, для нахождения производной функции у= надо знать только значение этой производной в нуле. Если мы его обозначим через k, то получим формулу

т. е. производная показательной функции пропорциональна самой функции.

Как же найти коэффициент пропорциональности k? Мы знаем, что он равен угловому коэффициенту касательной, проведенной в точке (0; 1). Можно приближенно по графику вычислить этот коэффициент. Так, известно, что для а=10 значение k ≈2,3, поэтому

С помощью знака предела коэффициент k можно записать так:

3. Число е

Посмотрим на графики показательных функций при различных а (рис. 105). Все они проходят через точку М (0; 1). Проведем в этой точке касательные к графикам. Мы видим, что, чем больше основание а, тем «круче» касательная. Так, при а = 2 угловой коэффициент касательной равен 0,693, а при а=10 угловой коэффициент касательной равен 2,303. Ясно, что при непрерывном изменении а от 2 до 10 угловой коэффициент касательной в точке М будет непрерывно меняться и найдется такое значение а, для которого этот коэффициент будет равен единице. Такое основание а обозначается буквой е. Число е иррационально. Его приближенное значение таково: е ≈ 2,718.

Итак, е — это такое число, что угловой коэффициент касательной к графику функции у=в точке х = 0 равен единице, т. е. касательная в этой точке образует с осью абсцисс угол 45° (рис. 107).

Можно сказать иначе. Мы уже знаем, что производная любой показательной функции пропорциональна самой этой функции. Число е — это основание, для которого коэффициент пропорциональности равен единице, т. е. е — это такое число, что производная функции у = равна самой этой функции:

Функцию у = часто обозначают у = ехр х (читается: «Эксп от х») и называют экспонентой. Экспонентами называют и функции более общего вида: у = . Подумайте, понятен ли вам смысл таких распространенных выражений: «Численность бактерий растет по экспоненте», «Сила тока затухает по экспоненте», «Его успехи растут по экспоненте».

Аксиоматическое определение показательной функции

Показательная функция y = f(x), где f(x) = , обладает замечательным свойством:

Это свойство может быть положено в основу определения показательной функции.

Пусть функция f задана на всей числовой оси R и для любых чисел x₁,x₂ удовлетворяет соотношению

Написанное соотношение называют функциональным уравнением. Вопрос можно поставить так: каковы функции f с областью определения R, удовлетворяющие функциональному уравнению

Прежде всего функция f {х) = 0 удовлетворяет этому уравнению. Будем считать, что f не является тождественным нулем. Из функционального уравнения следует цепочка свойств функции /, которые мы перечислим в виде серии нетрудных задач с указаниями на то, как их надо решать.

1)f(0)=1 (рассмотреть f(x+O), где х — какое-либо число, для которого f(x) ≠ 0).

2) f(х) ≠ 0 для любого х (рассмотреть f (x + ( — x))).

3) f(x)>0 для любых х (рассмотреть )

4) (рассмотреть f (x + ( —x))).

Обозначим f(1) через а.

5) где n ∈ N (рассмотреть f (1 + 1+ …-+-1)).

6) , где n ∈ N (воспользоваться 4) и 5)).

7) где n ∈ N (рассмотреть .

f(r) = ar, где r — рациональное число.

Таким образом, мы видим, что значения всякой, не равной тождественно нулю функции, определенной на всей числовой оси и удовлетворяющей функциональному уравнению f( x₁)-f( x₂) = f(x₁+x₂), для рациональных значений аргумента г совпадают со значениями а’ при некотором а. Для того чтобы сделать вывод о том, что f (х) совпадает с при любом вещественном х, одного функционального уравнения мало. Надо добавить еще какое-либо свойство — монотонность или непрерывность. Вот почему, стараясь избежать трудоемкого описания значений показательной функции с помощью рациональных приближений, часто дают следующее определение показательной функции:

Показательная функция y = f (х) — это строго монотонная функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая функциональному уравнению

В одном мгновеньи видеть вечность, Огромный мир — в зерне песка, В единой горсти — бесконечность И небо — в чашечке цветка.

У. Блейк, пер. С. Маршака

Дополнение к показательной функции

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Показательная функция

Определение:

Показательной функцией называется функция вида где основание а—произвольное положительное число, отличное от единицы. От отрицательных значений а отказываются по той причине, что при этом для некоторых значений переменной х значения степени не существуют. Например, при и при значение не определено. Легко сообразить, что значение не определено и при в соответствии с определением степени с рациональным показателем.

В случае значение степени при любом х равно единице. Случай не рассматривают потому, что он не интересен.

Данное выше определение показательной функции позволяет находить значение у для всякого значения х.

Рассмотрим в качестве примера показательную функцию Эта функция определена на множестве всех целых значений х. Действительно,

и, вообще,

(по определению).

При отрицательных целых значениях х имеем

Эта функция определена также при любом рациональном х, например:

Наконец, функция определена и при любом иррациональном х (здесь мы этот случай не рассматриваем).

Итак, показательная функция определена на всем множестве действительных чисел.

Найденные значения показательной функции запишем в виде таблицы

Предлагаем читателю убедиться самостоятельно в том, что функция принимает следующие значения:

Свойства показательной функции

Рассмотрим приведенные в п. 1 таблицы. Мы замечаем следующие свойства:

1.Показательные функции принимают только положительные значения, это вытекает из свойства степени с рациональным показателем. Любая показательная функция обладает этим свойством.

2. Показательная функция является монотонно возрастающей.

Докажем, что показательная функция при любом является монотонно возрастающей. Действительно, выберем два произвольных значения причем пусть Составим для них разность соответствующих значений показательной функции вынесем за скобку:

Заметим, что число положительно, тогда (положительная степень числа, большего единицы, сама больше единицы). Следовательно, разность положительна и, так как

Тем самым можно считать доказанным тот факт, что показательная функция при является монотонно возрастающей.

3.Показательная функция является монотонно убывающей.

Предоставляем читателю доказать, что показательная функция всегда является монотонно убывающей.

График показательной функции

Воспользовавшись составленными в п. 1 таблицами, построим в координатной

плоскости точки с соответствующими координатами для функции на рис. 82 и для функции на рис. 83. Эти точки намечают в каждом случае некоторую линию, расположенную выше оси абсцисс. Уменьшая шаг таблицы, можно доказать, что мы будем получать точки, попадающие на те же линии. Соединяя эти точки плавной кривой, получим графики функций и

На рис. 85 изображены графики показательной функции при различных основаниях

Рассматривая эти графики, мы видим, что показательная функция при а > 1 растет тем быстрее, чем больше а, а при основании 0 < а < 1 убывает тем быстрее, чем меньше а.

В заключение еще раз перечислим основные свойства показательной функции (в справедливости этих свойств советуем читателю убедиться, рассматривая рис. 85).

1°. Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел.

2°. Показательная функция принимает только положительные значения, т. е. областью ее значений является множество положительных чисел.

3°. Если а> 1, то при а при Если же то, наоборот, при

4°. Если (график показательной функции пересекает ось ординат в точке у= 1).

5°. При а> 1 показательная функция является монотонно возрастающей, а при —монотонно убывающей.

Из этого свойства показательной функции вытекает важное следствие. Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от единицы, равны, то равны и их показатели, т. е. если то

Другими словами: показательная функция принимает каждое свое значение один раз.

6°. Если а> 1, то при неограниченном возрастании значения функции также неограниченно растут При неограниченном убывании аргумента значения этой функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными Если 0<а<1, то при неограниченном возрастании аргумента значения функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными При неограниченном убывании аргумента значения этой функции неограниченно растут

Примеры:

1. При помощи графика функции найти: а) значение у, соответствующее значению х = 0,5; б) при каком значении х значение у равно 4.

Решение:

а) Через точку проведем прямую, параллельную оси ординат до пересечения с графиком функции (рис. 86). Эта прямая пересечет график функции в точке ордината которой откуда

б) Через точку проведем прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет график функции в точке абсцисса которой 2, откуда х = 2 (см. рис. 86).

Рис. 86 2. Сравнить значения выражений:

Решение:

Как известно, при а > 1 показательная функция является монотонно возрастающей, а при 0 <а< 1—монотонно убывающей. На этом и основано сравнение значений выше приведенных выражений:

но поэтому

Рекомендуем читателю убедиться в справедливости выше перечисленных неравенств, рассматривая графики функций (см- Рис- 85)

3.Решить уравнения и неравенства

Решение:

Уравнение можно переписать в виде (уравняв основания). Так как показательная функция принимает каждое свое значение один раз (в силу монотонности), то х = 3.

Переписав неравенство в виде и учитывая, что показательная функция является монотонно возрастающей, получим x > 3.

Уравнение не имеет корней, так как показательная функция может принимать только положительные значения. 4. Решить следующие уравнения и неравенства:

Решение:

поэтому уравнение примет вид: Используя свойство монотонности показательной функции, получаем уравнение

поэтому уравнение примет вид: откуда

уравнение примет вид: откуда

уравнение примет вид Значит, откуда

д) Показательная фуннция с основанием а= 13 является монотонно возрастающей, поэтому

е) Показательная функция с основанием является монотонно убывающей, поэтому

Целая и дробная части числа

Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается символом Для любого х имеем

Пример:

Дробной частью числа х называется разность между х и его целой частью. Дробная часть числа х обозначается символом Значит,

Так как то можно записать, что т. е. дробная часть числа — это неотрицательное число, меньшее единицы.

Например:

Из равенства следует, что т. е. любое число х можно записать в виде суммы его целой и дробной части. Например,

Функция

В практике вычислений особую роль играет функция Покажем, что, зная значения выражения для легко вычислить значения этого выражения для любого х.

Пусть нужно найти приближенное значение выражения Представим показатель степени 3,78 в виде суммы целой и дробной части: тогда

Таким образом, для отыскания приближенного значения осталось найти значение выражения где

Рассмотрим еще один пример —найти приближенное значение выражения Представим показатель степени —2,85 в виде суммы целой и дробной части: тогда

Для решения задачи осталось найти значение выражения где

Итак, зная значения выражения легко вычислить значения этого выражения для любого x. Значения выражения где можно приближенно найти, построив график функции на отрезке [0; 1]. Для этого составим таблицу ее значений с шагом 1/8:

(Все вычисления выполнены по таблицам В. М. Брадиса «Четырехзначные математические таблицы», М., «Просвещение», 1969, таблица IV и затем округлены до сотых).

Далее имеем:

Найденные значения выражения занесем в таблицу

Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице (причем по оси абсцисс в качестве единицы масштаба возьмем 10 см, а по оси ординат—1 см), и соединим эти точки плавной кривой (рис. 87).

Построенный график позволяет находить приближенные значения функции для любого х. По- ^ кажем на примерах, как находить приближенные значения функции

Примеры. 1. Пусть х = 3,56, тогда По графику находим откуда

Пусть х =-1,3, тогда По графику находим откуда

Если требуется большая степень точности для вычисления значений выражения пользуются таблицами, например четырехзначными математическими таблицами В. М. Брадиса.

Приведенная ниже таблица содержит значения функции для значений переменной х от 0,0000 до 0,9999. Рассмотрим начало этой таблицы.

Найдем, например, значение выражения Прежде всего преобразуем это выражение Для решения задачи надо найти значение функции при х =0,024. Возьмем строку «02» и столбец «4». В их пересечении стоит число 1057. Чтобы найти значение выражения заметим, что т. е. Значит, и окончательно

Если бы требовалось найти значение то к найденному в таблице числу 1057 нужно было бы прибавить 1 —поправку, помещенную в таблице справа на пересечении строки 02 и столбца «6». Таким образом, Аналогично можно найти Значение выражения находим по таблице откуда

С помощью таблицы значений функции можно представить в виде степени с основанием 10 любое положительное число. Возьмем для примера число 11,09. Найдем это число в таблице. Оно находится на пересечении строки «04» и столбца «5», т. е. Значит,

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Задание 942

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-8x+8)*e^{2-x}$$ на отрезке [1; 7].

Ответ: -4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную функции: $$f^{‘}(x)=(2x-8)e^{2-x}+(-1)e^{2-x}(x^{2}-8x+8)=$$

$$=e^{2-x}(2x-8-x^{2}+8x-8)=e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)$$

Приравняем производную к нулю:

$$e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)=0$$ $$e^{2-x}=0$$

решений не имеет $$(-x^{2}+10x-16)=0$$ x₁=2 и x₂ =8

Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной:

Точка минимума там, где производная меняет знак с — на +, то есть в точке 2

Подставим данное значение в первоначальную функцию и получим:

$$f(2)=(2^{2}-8*2+8)*e^{2-2}=(4-16+8)*1=-4$$

Задание 979

Найдите точку максимума функции $$f(x)=ln (x+5)-2x+9$$

Ответ: -4.5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: $$f^{‘}(x)=frac{1}{x+5}-2=0Leftrightarrow frac{1-2x-10}{x+5}=0Leftrightarrow$$ $$ frac{-2x-9}{x+5}=0Leftrightarrow x=-4.5 ; xneq -5 $$ Отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной. Получим, что точка -4,5 — точка максимума

Задание 1241

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=2^{x}(x+1)$$ , на отрезке [-1;2]

Ответ: 12

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

$$f'(x)=2^{x}ln 2(x+1)+2^{x}$$

$$2^{x}(ln 2(x+1)+1)=0$$

$$ln 2 * x+ ln 2 + 1 = 0$$

$$x = -1 — frac{1}{ln 2}$$

Данное значение меньше -1, значит точка экстремума левее нашего промежутка, а это означает, в свою очередь, что на заданном промежутке функция монотонна. Если мы подставим ноль в производную, то получим, что на промежутке, где расположен ноль, производная больше нуля, значит функция возрастает. Поэтому наибольшее значение функции будет в конце промежутка.

$$f(2)=2^{2}(2+1)=4*3=12$$

Задание 1295

Найдите точку минимума функции $$f(x) =x^{2}-3.75x- ln (x+2)$$

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции и приравняем к нулю:

$$f'(x) =2x-3.75- frac{1}{x+2}=0 $$

$$frac{2x^{2}+4x-3.75x-7.5-1}{x+2}=0$$

$$2x^{2}+0.25x-8.5=0 $$

$$x_{1}=frac{-34}{16}$$

$$x_{2}=2 $$

Начертим координатную прямую и посмотрим какие знаки принимает производная на полученных интервалах и получим, что точка 2 — точка минимума

Задание 2737

Найдите точку минимума функции: $$y=(73-x)cdot e^{73-x}$$

Ответ: 74

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=(73-x)cdot e^{73-x}$$

$${y}’={(73-x)}’cdot e^{73-x}+(73-x){(e^{73-x})}’=$$ $$=- e^{73-x}+(73-x)cdot(-e^{73-x})=$$ $$-e^{73-x}(1+73-x)=0$$

$$x=74$$

Задание 2789

Найдите наибольшее значение функции $$y=10cdot ln(x+5)-10x-21$$ на отрезке [‐4,5; 0].

Ответ: 19

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$${y}’=frac{10}{x+5}-10=0$$ $$frac{10-10x-50}{x+5}=0$$ $$Leftrightarrow$$ $$frac{-10x-40}{x+5}=0$$ $$x=4$$ $$xneq -5$$ $$y=10cdot ln(-4+5)-10cdot(-4)-21=19$$

Задание 3117

Найдите точку максимума функции: $$y=(x^{2}-15x+15)cdot e^{x+3}$$

Ответ: 0

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y’=(2x-15)cdotexp^{x+3}+(x^{2}-15x+15)cdotexp^{x+3}=exp^{x+3}(x^{2}-13x)=0$$ $$x=0$$ $$x=13$$

Задание 3288

Найдите точку максимума функции $$y=0,5x^{2}-11x+28*ln x + 9$$

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y’=x-11+frac{28}{x}=0$$ $$frac{x^{2}-11x+28}{x}=0$$ $$x=7 ; x=4 ; xneq 0$$ Начертим координатную прямую и отметим полученные точки. На интервале от 0 до 4 производная имеет положительные значения, от 4 до 7 — отрицательные и от 7 до плюс бесконечности — положительные, значит: 7 — точка минимума 4 — точка максимума

Задание 3375

Найдите точку минимума функции $$f(x)=x^{8}cdot e^{5x+6}$$

Ответ: 0

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f'(x)=(x^{8})’cdotexp^{5x+6}+x^{8}cdot(exp^{5x+6})’=$$ $$=8x^{7}cdotexp^{5x+6}+x^{8}cdotexp^{5x+6}cdot5=$$ $$=exp^{5x+6}cdot x^{7}cdot(8+5x)=0$$ $$x=0$$ или $$x=-frac{8}{5}=-1,6$$

Задание 5239

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x^{2}-4x+4)cdot e^{2}$$ на отрезке $$[-1;3]$$

Ответ: 0

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю: $$y’=(2x-4)e^{x}+e^{x}*(x^{2}-4x+4)=0$$ $$e^{x}(2x-4+x^{2}-4x+4)=0$$ Число $$e^{x}$$ всегда положительно, поэтому можем его убрать: $$x^{2}-2x=0$$ Тогда $$x=0 ; x=2$$ Начертим координатную прямую, расставим знаки производной и получим, что $$x=2$$ — точка минимума, то есть в ней будет наименьшее значение функции на заданном в условии отрезке: $$y(2)=(2^{2}-4*2+4)e^{2}=0$$

Задание 5287

Найдите точку максимума функции $$y=(x-4)^{2}cdot e^{x}$$

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

$$y’=((x-4)^{2})’e^{x}+(e^{x})'(x-4)^{2}=0$$

$$y’=2(x-4)e^{x}+e^{x}(x-4)^{2}=0$$

$$e^{x}(x-4)(2+x-4)=0$$

$$x=4 ; x=2$$

Начертим координатную прямую, отметим полученные точки и расставим знаки, которые принимает производная на полученных промежутках.

Тогда x=2 — точка максимума

Задание 6181

Найдите наименьшее значение функции $$y=log_{3} (x^{2}-6x+10)+2$$

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=log_{3}(x^{2}-6x+10)+2$$ Найдем минимальное значение функции; $$y_{min}$$ при $$x^{2}-6x+10rightarrow min$$ Минимальное значение квадратичная функция принимает в вершине параболы (ветви вверх): $$x_{0}=-frac{-6}{2}=3Rightarrow$$ $$y_{0}=9-6*3+10=1$$ Тогда минимальное значение функции: $$y_{min}=log_{3}(1)+2=2$$

Задание 6276

Найдите наибольшее значение функции $$y=sqrt{2lg x-1}-lg x$$

Ответ: 0

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$${y}’=frac{1}{2sqrt{2lg x-1}}*frac{2}{xln 10}-frac{1}{xln10}=0$$

$$frac{1}{xln 10}(frac{1}{2sqrt{2lg x-1}})=0$$

$$left{begin{matrix}xneq 0 \sqrt{2lg x-1}=1(1)end{matrix}right.$$

$$(1): sqrt{2lg x-1}=1Leftrightarrow$$ $$2lg x-1leq 1Leftrightarrow$$ $$2lg x=2Leftrightarrow$$ $$lg x=1Leftrightarrow x=10$$

$$y(10)=y=sqrt{2lg 10-1}-lg 10=1-1=0$$

Задание 6466

Найдите точку максимума функции $$y=6ln x — (x-2)^{2}$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Так как дан логарифм, то будет ОДЗ: $$x>0$$

Найдем производную данной функции: $${y}’=frac{6}{x}-2(x-2)$$

Приравняем производную к нулю: $$frac{6-2x^{2}+4x}{x}=0$$

$$2x^{2}-4x+6=0Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x+3=0Leftrightarrow$$$$(x-3)(x+1)=0$$

Тогда производная имеет вид: $${y}’=frac{-2(x-3)(x+1)}{x}$$. При этом, с учетом ОДЗ и знаков производной на полученных промежутках ((0;3) и $$(3;infty)$$) получим, что $$x(3)=x_{max}$$

Задание 6614

Найдите наибольшее значение функции $$y=frac{50}{2^{x}+3^{x}}$$ на промежутке [1;7]

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция $$f(x)=2^{x}$$ — возрастает, $$g(x)=3^{x}$$ — возрастает, тогда $$m(x)=2^{x}+3^{x}$$ — возрастает на всем промежутке, тогда $$y=frac{40}{2^{x}+3^{x}}$$ — убывает. Следовательно, $$y_{max}=y(1)=frac{40}{2+3}=8$$

Источник

Задачи на вычисление наибольшего/наименьшего значения

Задачи на вычисление точек максимума/минимума

Понятие показательной функции

Свойства показательной функции

График и точки пересечения с осями координат

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Пример №4

Решение показательных уравнений и неравенств

Пример №5

Пример №6

Пример №7

Пример №8

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Пример №9

Пример №10

Пример №11

Пример №12

Пример №13

Решение показательных неравенств

Пример №14

Пример №15

Пример №16

Пример №17

Определение и вычисление показательной функции

Показательная функция — практическое занятие с решением

Экспоненциально возрастающая и экспоненциально убывающие функции

Преобразование графиков показательных функций

Пример №18

Пример №19

Показательная функция. Число е.

График функции y=ex

Показательная и логарифмическая функции их свойства и график

Понятие показательной функции

Свойства показательной функции

Пример №20

Пример №21

Пример №22

Пример №23

Решение показательных уравнении и неравенств

Пример №24

Пример №25

Пример №26

Простейшие показательные уравнения

Пример №27

Пример №28

Пример №29

Пример №30

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Пример №31

Пример №32

Пример №33

Пример №34

Пример №35

Решение показательных неравенств

Пример №36

Пример №37

Решение более сложных показательных неравенств

Пример №38

Пример №39

Пример №40

Пример №41

Пример №42

Показательные функции в высшей математике

Основные свойства показательной функции

Пример №43

Пример №44

Пример №45

Свойства показательной функции и её график

Показательные уравнения и неравенства

Неравенства

Системы уравнений

Показательная функция

Порядок роста и убывания функции

Определение степени с произвольным показателем

Свойства степени

Исследование показательной функции

Производная показательной функции

Аксиоматическое определение показательной функции

График функции y=e^x