Как найти наименьшее значение выражения в знаменателе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Действия с дробями общего вида

Для дробей общего вида характерно наличие числителя и знаменателя.

Значения которые, которыми выражены данные составляющие дроби, могут быть натуральными и числовыми выражениями.

Если рассмотреть подробно следующие дробные числа:

[frac{5}{4}, frac{3,5}{5}, frac{1+2,6}{4(6-1)}, frac{frac{3}{5}+frac{7}{8}}{2,3-0,9}, frac{1}{2 sqrt{3}}]

можно с уверенностью отметить, что и в числителе и знаменателе дробные выражения могут быть обозначены как:

десятичная дробь;
натуральный логарифм;
сумма и разность выражений;
дробь с постоянным значением числа.

Алгоритм решения задач с обыкновенной дробью общего вида

Когда необходимо произвести вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, то в процессе решения суммируется только числитель дробей.
[frac{a}{b} pm frac{c}{b}=frac{a pm c}{b}]
Где:
[a, c, d_{0}] и равные некоторым числовым значениям.
При выполнении сложения или вычитания дробей для различных значений в знаменателях, нужно выполнить приведение к общему знаменателю. Далее осуществить сложение или вычитание преобразованных дробей с одинаковыми числовыми значениями.
При перемножении дробных значений, выполняются следующие действия:
- произведение числителей;
- аналогичные действия , но только с знаменателями.
При выполнении деления, необходимо первую дробь перемножить на вторую, но в обратном значении. Иными словами произвести замену числителя на значение знаменателя.

Основные показатели и свойства дроби:

черта в дроби обозначает признак деления;
деление на числовое значение характеризуется как перемножение его на обратное значение;
возможность применения свойств, которые относятся для действительных чисел;
свойства для дробей и различного рода числовых неравенств.

Применяя данные свойства можно произвести преобразование дробных чисел:

Пример №1:

Для заданных значений дроби: [frac{8}{2,7}] и [frac{1}{2,7}] необходимо выполнить сложение.

используя алгоритм решения, необходимо значения в числителе сложить, а в знаменателе оставить без изменений и переписать.

Выполнив все действия получим дробь: [frac{8+1}{2,7}].

Далее произведем сложение и получим дробное значение:

[frac{8+1}{2,7}=frac{9}{2,7}=frac{90}{27}=3 frac{1}{3}]

Следовательно: [frac{8}{2,7}+frac{1}{2,7}=frac{8+1}{2,7}=frac{9}{2,7}=frac{90}{27}=3 frac{1}{3}]

Ответ задачи: [frac{8}{2,7}+frac{1}{2,7}=3 frac{1}{3}].

Пример №2

Необходимо найти разность дробей:

[frac{1-sqrt{2}}{3 cdotleft(log_{2} 3 cdot log_{2} 5+1right)}]

[frac{sqrt[3]{2}}{3 cdotleft(log_{2} 3 cdot log_{2} 5+1right)}]

Так как в знаменателе данные являются равными между собой. вычисление будет производиться по принципу равного знаменателя.

Из этого следует:

[frac{1-sqrt{2}}{3 cdotleft(log {2} 3 cdot log {2} 5+1right)}-frac{sqrt[3]{2}}{3 cdotleft(log {2} 3 cdot log {2} 5+1right)}=frac{1-sqrt{2} sqrt{2}}{3 cdotleft(log {2} 3 cdot log {2} 5+1right)}]

Для решения данного типа задач важно помнить правило приведения к общему знаменателю.

Вычисление дробных значений с переменной

В случае, когда имеются одинаковые значения в знаменателях, то необходимо производить суммирование или вычитание числителей.

Дробь соответствующего вида можно упростить.

После проведения процесса упрощения дробного значения, окончательный вариант значения, если их несколько приводят к общему знаменателю.

Затем суммируют числитель и находят правильный ответ решения.

Вычислительные действия с десятичными дробями

В свою очередь данный вид дробей подразделяется на следующие категории:

Конечные — если после запятой присутствует окончательное число.
Например: [pm a_{0} a_{1} a_{2} a_{3} ldots . . a_{n}]
[pm sum_{k=0}^{n} a_{k} cdot 10^{-k}]
Бесконечные — количество цифр после запятой, не имеют окончательного значения, то есть они бесконечны.
Например: [pm a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}]
[pm sum_{k=0}^{n} a_{k} cdot 10^{-k}]

Основные свойства дробей:

Изменение величины десятичной дроби не произойдет, даже если к ней добавить справа несколько нулей. Это свойство принято считать одним из самых главных для данного вида дробей.

Если в рассматриваемом дробном значении наблюдается множество нулевых значений, тогда их просто исключают, так как никакого влияния на значение они не имеют.

Рассмотрим несколько простых и понятных для ознакомления примеров решения данных дробей

0,900 = 0,9;
22,10200000 = 22,102;
0,45000=0,45;
0,12569000=0,12569;
0,780=0,78.

Основные характеристики десятичных дробей

Дробное число, не будет иметь какого-либо значения, если в знаменателе нулевое число. Деление на ноль в математике строго запрещено.
Нулю будет равна дробь, у которой в числителе значится нулевое значение. В знаменатель — отсутствует.
Если значения, которые находятся в числителе и знаменателе разделить или перемножить на любое действительное число. То получится дробь равная ей по значении.
Если взять две дроби: [frac{a}{b}] и [frac{c}{d}] то они называться будут равными при [a cdot d ] или [ b cdot c .]

Принцип умножения десятичных дробей

Для перемножения десятичных дробей необходимо, произвести следующие действия.

Дробь записать в виде так называемого математического столбика. Далее рассмотреть заданное значение, как обыкновенные действительные числа и подсчитать их;
Все знаки за запятой подсчитать и сложить сумму;
Полученную сумму справа налево отложить и поставить запятую.

Для данного вида дробей характерны все те же действия, что и для остальных чисел.

Если переставить местами множители, на окончательный ответ это не повлияет.

если мы хотим умножить число на произведение двух и более. Сначала перемножаем данное число на первый множитель затем полученное значение на второй и так далее.

Чтобы умножить сумму на множитель. Нужно по отдельности перемножить числа и полученную сумму сложить.

Если проводим умножение на разность чисел. Для начала умножаем на уменьшаемое, а затем на вычитаемое. Следовательно, полученные значения вычитаем.

Также процесс умножения можно упростить. Десятичные дроби перемножить как действительные целые числа, и поставить запятую.

Пример №1:

Определить произведение чисел [1,5 cdot 0,75].

Первым делом преобразуем дробь. Заменим десятичную. на обыкновенную.

[0,75 = frac{75}{100}], [1,5=frac{15}{10}]

Затем проводим сокращение дробных значений и выделяем, по уже изученным правилам целую часть.

[frac{125}{1000}] можно преобразовать и получить следующую дробь 1,125.

Ответ: 1,125.

Пример №2:

Определить произведение чисел [5,382 cdot 0,2].

Первое значение является бесконечной дробью. Ее рекомендуется округлить до сотых значений. Получается [5,382 approx 5,38].

Второй множитель округлять не требуется, это не имеет смысла.

[5,38 cdot 0,2=frac{frac{538}{100} cdot 2}{10}=frac{1,076}{1000}=1,076]

Следовательно, получаем ответ к нашей задаче: 1,076.

Пример №3:

Необходимо перемножить две периодические дроби. [0,(3) cdot 2,(36)]

Преобразуем заданные значения в обыкновенную дробь.

[0,(3)=0,3+0,03+0,003+0,003+ldots=frac{0.3}{1-0,1}=frac{0.3}{9}=frac{3}{9}=frac{1}{3}]

[2,(36)=2+(0,36+0,0036+ldots)=2+frac{0,36}{1-0,01}=2+frac{36}{99}=2+frac{4}{11}=frac{2 cdot 4}{11} frac{26}{11}]

[Rightarrow 0,(3) cdot 2,(36)=frac{frac{1}{3} cdot 26}{11}=frac{26}{33}]

Полученную в конечном итоге обыкновенную дробь приводим к десятичной. В столбик разделим числитель на знаменатель.

Окончательный ответ : [0,(3) cdot 2,(36)=0,(78)]

Умножение десятичных дробей при помощи столбика

Перемножение столбиком выполняя на условии, что на запятые никакого внимания не уделяется (они игнорируются)

В итоговом результате ставится знак запятой справа. Отделяется столько запятых, сколько множители имеют десятичных знаков вместе.

Если не хватает цифр, то принято в окончательном ответе дописывать нули.

Рассмотрим примеры решения подобных задач.

Пример №1:

Нужно найти значение произведения, следующих чисел: 63,37 и 0,12.

Выполняем умножение, не обращая внимание на запятые.

Далее определяемся с запятой, где ее ставить.Она будет через четыре цифры справа. Потому что сумма десятичных знаков двух множителей равна 4.

Нули в данной ситуации не записываются. Это связано с достаточным количеством чисел.

Получаем окончательное значение равное 7,6044.

Пример №2:

Заданные числовые, дробные выражения 3,2601 и 0,0254. необходимо перемножить между собой.

Для этого применим умножение столбиком.

Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны. Потому что заданные дроби, вместе, имеют восемь знаков после запятой.

Нули в данной ситуации записываются. Это связано с недостаточным количеством значений.

Получаем окончательное значение равное: 0 , 08280654

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Умножение десятичной дроби с обыкновенной и со смешанной дробью

Чтобы произвести данную операцию, необходимо выполнить следующие требования:

Десятичную дробь преобразовывают в обыкновенную и перемножаем с нужным числом.
В десятичную переводим обыкновенную или смешанную дробь и далее перемножаем друг с другом.

Пример 1. Найти произведение [frac{3}{5} text { на 0,9 }].

Поэтапный процесс решения.

Записываем 0,9 в виде обыкновенной дроби, а именно [0,9=frac{9}{10}].
Перемножаем цифры по правилам математики.
[frac{frac{3}{5}cdot 9}{10}=frac{27}{50}=0,54]
Ответ: [frac{3}{5} cdot 0,9=0,54]

Пример 2. Найти произведение чисел [0,18 text { на } 3 frac{1}{4}].

Выполняем следующие действия:

Записываем [3 frac{1}{4}] в виде десятичной дроби:
[3 frac{1}{4}=3,25].
Вычисляем известные нам значения:
0,18 * 3,25 = 0,585.

Ответ: [0,18 quad 3 frac{1}{4}=0,585].

Пример 3:

Даны следующие значения [0,4 text { и } 3 frac{3}{5} text {. }] По условию задач нужно найти их произведение, иными словами перемножить.

Первым делом 0,4 переведем в десятичную дробь и получим значение: [0,4=frac{4}{10}=frac{2}{5}]

Затем проводим вычисление:

[0,4 quad 3 frac{3}{5}=frac{frac{2}{5} cdot 23}{6}=frac{23}{15}=1 frac{8}{15}]

Полученный ответ является смешанным значением. Его необходимо перевести в значение периодической дроби. А именно: 1,5(3).

Следовательно, это и ответ задачи. 1,5(3).

Возведение в степень дробного числового выражения

Свойство произведения в степень в виде дроби

[frac{left(z^{*} aright)^{m}}{n}=frac{z^{m}}{n} cdot frac{a^{m}}{n}, text { при условии что: } mathrm{z}>0, mathrm{a}>0, frac{m}{n}>0]

В случае если в знаменателе дроби, имеется степень, то ее можно переместить в числитель и при этом необходимо поменять знак на противоположный.

При этом само значение выражения не поменяется.

Данный метод иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим основные примеры:

Пример 1:

[frac{4^{2}}{4^{2}}=1] — это выражение является верным, так как после преобразования степеней мы получаем [4^{0}]. А как гласят правила алгебры — любое число в нулевой степени равно единице.

Пример 2. Перемещение значения степени из знаменателя дробного выражения [frac{1}{z^{2} x}] в числитель

[frac{1}{z^{2} x}=z^{-2} x z^{-1}]

Пример 3. Записать произведение 3x*(x + y)⁻⁴ в виде дроби, которая не имеет степени с отрицательным значением.

Выражение имеет множители 3 и (x + y)⁻⁴. Множитель 3 не изменяем, а множители (x + y)⁻⁴ заменяем на соответственно равную ему дробь [frac{1}{(x+y)-4}]

[3 *(x+y)-^{4}=3 x frac{1}{(x+y)-4}]

Затем перемножим множитель 3 с числителем дроби [frac{1}{(x+y)-4}].

В результате образуется дробь [frac{3}{}]

Итоговый результат: [3(x+y)-^{4}=3 x frac{1}{(x+y)-4}=frac{3}{(x+y)-4}]

Преобразование дробных значений 0,1, 0,01, 0,001, где основанием степени является число 10

Если степень представлена числами 0,1; 0,01; 0,001 и основание имеет значение 10. Для преобразования необходимо:

указать отрицательный показатель степени;
записать основание равным десяти.

Пример 1: Значение 0,01, где основание — число 10.

В числе 0,01 имеется два 0. Значит, оно будет представлено как 10 ^-2. Значение показателя равно значению нулей в числе 0,01.

0,01 = 10^-2

Число 0,01 это значение деления 1/100, или 1/10²

Пример 2: Значение 0,00001 в виде степени с основанием 10.

0,00001 = 10^-5

Правила деления дробей

Выполнение деления дробных значений по своей аналогии одинаково с умножением.

При делении первую дробь необходимо перемножить со значениями дроби под номером два.

Пример 1:

Дробное значение следующего вида: [frac{sqrt{sqrt{x+2 cdot x}}}{x^{2} cdotleft(operatorname{Ln} x^{2} cdot operatorname{Ln} x+1right)}] необходимо разделить на следующую дробь [frac{3 cdot x^{2.3} cdot(sqrt{x+1})-2}{sin (2 cdot x-sqrt{x})}]

Преобразовывая значения можно записать следующую форму:

[frac{sqrt{sqrt{x+2 cdot x}}}{x^{2} cdotleft(operatorname{Ln} x^{2} cdot operatorname{Ln} x+1right)} / frac{3 cdot x^{2.3} cdot(sqrt{x+1})-2}{sin (2 cdot x-sqrt{x})}]

затем заменить произведением следующего вида

[frac{sqrt{sqrt{x+2 cdot x}}}{x^{2} cdotleft(operatorname{Ln} x^{2} cdot operatorname{Ln} x+1right)} * frac{3 cdot x^{2.3} cdot(sqrt{x+1})-2}{sin (2 cdot x-sqrt{x})}]

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Наименьший общий знаменатель дробей

Определение

Общий знаменатель значения — это любое из положительных данных числа, которое является кратным для всех значений дробей.

Иными словами, можно сказать, что общим знаменателем дроби, будет характеризоваться натуральное простое числовое значение. Оно должно делиться без остатка на все значения знаменателей данных дробей.

Натуральные числа имеют свойство бесконечности и поэтому ряд обыкновенных дробных значений имеет характерное множество общих значений знаменателя. Чтобы определить общий знаменатель для дроби, нужно применить его основное определение.

Рассмотри два значения дробных выражений: 16 и 35. Общим дробным знаменателем будет являться любое число с положительным значением. Оно должно быть кратным значениям 6 и 5.

Перечислим подходящие значения: 30,35,65,95,125,155,185,215 и так далее.

Данное определение звучит следующим образом: минимальное значение числа, на которое можно разделить знаменатель дроби, обязательно без остаточного значения.

Аббревиатура данного значения, выглядит как НОК.

В определенном перечне числовых значений, которые являются общими знаменателями данных дробей, будет иметь место наименьшее простое значение. Оно будет характеризоваться, как наименьший общий знаменатель. Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.

Как правильно определить наименьший общий знаменатель числа дроби?

Так как НОК, будет иметь значение наименьшего положительного общего делителя данного набора чисел. Тогда НОК знаменателей любых дробей, представлен, как минимальный общий знаменатель дроби.

Из этого следует, что определение наименьшего знаменателя дроби, будет сводиться к определению НОК знаменателя дроби.

Рассмотрим данное правило на примере решения.

Пример 1:

Задано два значения дроби: [frac{3}{10} и frac{277}{28}]

Знаменатели дробей равняются 10 и 28 соответственно.

Наименьший знаменатель будет определяться как НОК чисел 10 и 28.

Разложим числа на простые множители: 10=2*5, 28=2*2*7, следовательно НОК (15 и 28)=2*2*5*7=140.

Ответ задачи: 140

Когда простые обыкновенные дроби, имеют одинаковые по значению знаменатели, то это характеризуется как дроби приведены к общему знаменателю.

Пример 2: значения [frac{45}{76} text { и } frac{143}{76}] приведены к общему знаменателю, числу 76. Рассмотрим еще несколько дробей [frac{1}{3}, frac{3}{3}, frac{17}{3} text { и } frac{1000}{3}] все эти значения приведены к общему знаменателю 3.

В случае, если знаменатели дробных чисел, являются разными по значениям и не равны друг другу. Можно их привести к общему числовому знаменателю. Для этого значение числителя и знаменателя данных значений перемножим с дополнительным множителем.

Например 3: [frac{2}{5} и frac{7}{4}] — эти дроби имеют разные знаменатели, поэтому воспользуемся приведение к общему знаменателю, при помощи дополнительных множителей, а именно 4 и 5.

Применяя данные значения приведем и вычисления и получим общий множитель: значение равное 20.

При перемножении числителя и знаменателя дроби [frac{2}{5}] на значение равное 4, получим дробь вида [frac{8}{20}]. Проводим аналогичные действия, но только с дробью.

При перемножении числителя и знаменателя дроби [frac{7}{4}] на 5 и приведем ее к дроби вида [frac{35}{20}].

Теперь можно сформулировать определение, приведение дробей к общему знаменателю.

Определение

Приведение дробей к знаменателю одинаковых значений – это вычислительный процесс, который включает в себя: умножение числителей и знаменателей любых значений дробей на определенные значения дополнительных множителей, чтобы результаты проведенных вычислений получились дроби с одинаковыми знаменателями.

В математике существует правило, которое помогает привести дроби к общему наименьшему знаменателю.

Данное правило включает в себя три основных пункта.

Принцип приведения дробного значения к наименьшему общему знаменателю:

Для начала определяется значение наименьшего общего знаменателя дробей.
Затем для каждой дроби определяется дополнительный множитель. Он должен соответствовать правилу: деление наименьшего общего знаменателя на знаменатель, каждой рассматриваемой при решении, дроби.
Перемножаем числитель и знаменатель на принятый дополнительный множитель.

Решение задач с приведением к наименьшему знаменателю

Пример 1:

Нужно привести к наименьшему знаменателю следующие дроби:

[frac{5}{14} и frac{7}{18}]

Для решения применим алгоритм решения, рассмотренный вышеприведенном пункте.

Для начала определим наименьшее значение общего знаменателя, который равен минимальному и кратному числу 14 и 18.

Разложим значения знаменателей на множители: 14=2*7, 18=2*3*3, следовательно, значение НОК будет равно 2*3*3*7=126.

Следующим шагом, будет вычисление дополнительных множителей. С их помощью приведем дробные значения [frac{5}{14}] и [frac{7}{18}] будут приведены к числу 126.

Дробному значению [frac{5}{14}] дополнительный множитель будет равняться 12614=9. Для значения второй дроби равной [frac{7}{18}] , аналогичный множитель будет равняться 12918=7.

Числители и знаменатели дробей перемножаем на дополнительный множитель 9 и 7 соответственно.

Записываем следующие выражения:

Итоги проведенных вычислений: Заданные дроби [frac{5}{14} и frac{7}{18}] приведены к общему знаменателю. Итоговое значение выражения [frac{45}{126} и frac{49}{126}].

Пример 2:

Нужно привести к наименьшему знаменателю следующие дроби:

[frac{3}{12} и frac{5}{18}]

В этом примере, также применим алгоритм решения, состоящий из трех главным действий.

Используя алгоритм решения, определим наименьшее значение общего знаменателя, который равен самому минимальному значению и кратному числам 12 и 18.

Следующим шагом, разлом данные значения на множители: 12=2*6, 18=2*3*3, следовательно, значение НОК будет равно 2*3*3*7=216.

Произведем вычисление дополнительных множителей. С их помощью приведем дробные значения [frac{3}{12}] и [frac{5}{18}] будут приведены к числу 216.

Дробному значению [frac{3}{12}] дополнительный множитель будет равняться 21612=18. Для значения второй дроби равной [frac{7}{18}], аналогичный множитель будет равняться 21618=12.

Данные значений дробей, нужно перемножить на дополнительный числовой множитель равный числам 9 и 7 соответственно. Подставим эти данные и вычислим составленные выражения.

Записываем следующие выражения:

Итоги проведенных вычислений: Заданные дроби [frac{5}{14} и frac{7}{18}] не приведены к общему знаменателю. Окончательное значение выражения [frac{27}{108} и frac{35}{126}] и из этого следует, что знаменатели разные.

Ответ: значение 216 не будет являться наименьшим общем знаменателем.

Аналогичным способом, используя алгоритм решения, можно определить значение наименьшего знаменателя трех и более дробных значений.

Калькулятор вычисления НОД и НОК двух чисел

Источник

Как найти наибольшую и наименьшую дробь

Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа (frac<20> <4>= 5) и (frac<20> <10>= 2). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Сравните дроби с одинаковым числителем (frac<1><17>) и (frac<1><15>) .

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби (frac<5> <10>).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби (frac<3> <5>).

Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.

Если у двух (или нескольких) дробей числитель одинаковый (то, что сверху черточки), то наименьшей дробью будет та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наибольший, а наибольшей та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наименьший.

В б наоборот — числители одинаковые, зато разные знаменатели. Представь себе пирог. Его разделили на столько частей, сколько написано внизу дроби. Из них взяли 31 часть. Чем на большее число частей поделили пирог, тем меньше часть (следовательно, находим где в знаменателе самое большое число — 53). Следовательно, пирог поделили на 53 части (маленькие) и из них взяли 31.

Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.

Количество источников, использованных в этой статье: 5. Вы найдете их список внизу страницы.

Сравнивают дроби обычно для того, чтобы узнать, какая больше, а какая меньше. Чтобы сравнить дроби, вам нужно привести их к одному знаменателю, тогда дробь с большим числителем большая, а с меньшим — меньшая. Самое сложное — это уяснить, как делать так, чтобы дроби имели одинаковые знаменатели, но все не так сложно, как кажется. Мы расскажем, как все это делать. Читайте дальше!

Источник

Нахождение наименьшего общего знаменателя бывает нужно для сложения, вычитания и сравнения дробей.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, которое нацело делится и на первый, и на второй знаменатель двух дробей.

Правило нахождения наименьшего знаменателя следующее:

Наименьший знаменатель

Для того, чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей, нужно найти методом подбора наименьшее общее число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель. После этого нужно умножить каждую дробь на такое число, чтобы в знаменателе этих дробей получилось найденное нами наименьшее общее число.

Пример 1

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 56frac{5}{6} и 34frac{3}{4}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 6, и на 4. Это число 12. Далее умножаем каждую дробь на такие числа, чтобы в знаменателе получилось 12. Первую дробь умножаем на 2, а вторую на 3:

56=5⋅26⋅2=1012frac{5}{6}=frac{5cdot2}{6cdot2}=frac{10}{12}

34=3⋅34⋅3=912frac{3}{4}=frac{3cdot3}{4cdot3}=frac{9}{12}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 12.

Ответ

Пример 2

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 521frac{5}{21} и 27frac{2}{7}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 21, и на 7. В этом случае это – один из знаменателей, число 21. Далее нужно умножить вторую дробь на такое число, чтобы в знаменателе получилось 21. Умножаем вторую дробь на 3:

27=2⋅37⋅3=621frac{2}{7}=frac{2cdot3}{7cdot3}=frac{6}{21}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 21.

Ответ

Решение задач по алгебре онлайн от экспертов Студворк!

Тест по теме “Наименьший общий знаменатель”

Источник

Для полного ответа на вопрос, как привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо бы объединить ответы аллаgruz и Михаила Белодедова.

Поскольку для того чтобы найти наименьший общий знаменатель, надо сперва проделать процедуру разложения на простые множители. Иначе подбирать общий знаменатель будете по методу научного тыка. При этом полезно еще знать, что простые множители — это простые числа. И их надо знать наизусть, хоть из первой сотни. Или иметь под рукой их список.

Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и далее по этой полезной таблице являются простыми.

Выделение же простых множителей надо начинать с самых маленьких чисел. И знать признаки делимости чисел тоже.

Пример:

3/20097 и 3/110 привести к общему знаменателю.

Сперва надо разложить число 20097. Разложение его придется начать с проверки делится ли оно на 2, потом на 3, потом на 5, на 7 и так далее. И конечно, же делить на каждое из них до получения «сухого остатка» в виде последнего простого множителя в его составе.

А надо еще и второй знаменатель из предложенного примера разложить.

А если их несколько?

А потом только домножать числители и так далее.

Ох, нелегкая это работа…..

Источник

Содержание

Как найти наибольшую и наименьшую дробь
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.
как определить наибольшую и наименьшую дробь?
Чему равно наибольшее значение дроби (см.)?
Решение уравнений с дробями
Понятие дроби
Основные свойства дробей
Понятие уравнения
Понятие дробного уравнения
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
2. Метод избавления от дробей
Что еще важно учитывать при решении
Универсальный алгоритм решения
Примеры решения дробных уравнений

Как найти наибольшую и наименьшую дробь

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа (frac = 5) и (frac = 2). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Сравните дроби с одинаковым числителем (frac ) и (frac ) .

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби (frac ).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби (frac ).

В б наоборот – числители одинаковые, зато разные знаменатели. Представь себе пирог. Его разделили на столько частей, сколько написано внизу дроби. Из них взяли 31 часть. Чем на большее число частей поделили пирог, тем меньше часть (следовательно, находим где в знаменателе самое большое число – 53). Следовательно, пирог поделили на 53 части (маленькие) и из них взяли 31.

Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)

Количество источников, использованных в этой статье: 5. Вы найдете их список внизу страницы.

Источник

как определить наибольшую и наименьшую дробь?

Если у двух (или нескольких) дробей знаменатель одинаковый (то, что ниже черточки), то
наименьшей дробью будет та, у которой числитель (то, что сверху черточки) наименьший, а наибольшей та, у которой числитель (то, что сверху черточки) наибольший.

В а ты тупик) У них знаменатели (то, что внизу) одинаковые, а числители (то, что наверху) разные. Значит, чем больше числитель, тем больше дробь. Тут самая большая — предпоследняя (22/23). Представь пирог. Его поделили на 23 части. И взяли столько, сколько написано вверху

Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)

В остальных случаях только приводить к общему знаменателю 🙂

Источник

Чему равно наибольшее значение дроби (см.)?

В знаменателе ( 2 * x + y ) ^ 2 + 9 — отрицательным быть не может по определению (квадрат числа плюс положительное число). Наибольшее значение дробь принимает при наименьшем знаменателе, а он (наименьший знаменатель) равен 9 при x = y = 0 или 2 * x = — y, итого, наибольшее значение 18 / 9 = 2

Дробь — это какая-то часть от целого. Дроби делятся на обыкновенные и десятичные. Обыкновенные дроби состоят из двух чисел: числителя и знаменателя, разделённых дробной чертой, причём нет никаких ограничений на их (числителя и знаменателя) величину. например: 23/598, 69/23 и т.п. В принципе, десятичные дроби ничем не отличаются от обычных, только знаменатель у них кратен 10, например 3/10, 248/1000, 23/100000, и т.п. Но, поскольку у нас принята десятичная система счисления, и при записи чисел один разряд отличается от другого в 10 раз, то для десятичных дробей возможна более удобная система записи, «в строчку», достаточно отделить дробную часть от целой специальным знаком (запятой, а иногда, во многих языках программирования, — точкой).

Таким образом число, равное (23 + 67/1000) («23 целых и 67 тысячных) удобно записать в виде 23,067.

Бывают правильные дроби, например 5/10=1/2, это когда чилситель меньше знаменателя.

Есть неправильные дроби, например 10/5 ; 5/5 это когда числитель равень или больше знаменателя.

Есть обыкновенные дроби, это 1/2 или 2/10

Есть десятинчные дроби, этьо 0.5 или 0.2

Обыкновенная (простая) дробь — это число, записанное в виде m/n, где горизонтальная (-), или наклонная (/) черта обозначает деление. При этом m называют числителем, а n — знаменателем.

Обыкновенная дробь называется правильной, если m n

Есть несколько способов написать дробь в программе Ворд.

Ввод осуществляется только с клавиатуры. Знак дроби заменяется «/».

Переходим во вкладку Вставка. Выбираем команду Уравнение.

В открывшейся вкладке Конструктор находим кнопку дробь. Кликаем на понравившийся макет.

На месте пустых квадратов необходимо ввести числа числителя и знаменателя. Итог.

В старых версиях программы нет команды Уравнение (Формула). Ввод формул происходит через microsoft equation.

Активация microsoft equation. Во вкладке Вставка перейти в меню Текст. Нажать Объект. В открывшемся окне найти microsoft equation из списка и нажать ОК.

Источник

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

Область допустимых значений: х ≠ −2.
Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Источник