Как найти наименьший положительный корень тригонометрического уравнения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Тригонометрические уравнения. В составе экзамена по математике в первой части имеется задание связанное с решением уравнения — это простые уравнения, которые решаются за минуты, многие типы можно решить устно. Включают в себя: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму вычисления и по сложности от остальных задач этой части. Не пугайтесь, под словом «сложность», имеется виду их относительную сложность по сравнению с другими заданиями.

Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала.

Их в данной части ЕГЭ менее 7%. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо.

Понимание раздела «Тригонометрия» в математике во многом определяет ваш успех при решении многих задач. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. После того, как получите корни уравнения, ОБЯЗАТЕЛЬНО сделайте проверку. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки.

В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать:

Знание этих значений необходимо, это «азбука», без которой невозможно будет справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, вы легко выучили и запомнили эти значения. Что делать, если этого сделать не получается, в голове путаница, да просто вы именно при сдаче экзамена сбились. Обидно будет потерять бал из-за того, что вы запишите при расчётах неверное значение.

Алгоритм восстановления этих значений прост, он также приведён в теории, полученной вами во втором письме после подписки на рассылку. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. Не даром её называют «Золотое сердце тригонометрии».

Сразу поясню, во избежание путаницы, что в рассматриваемых ниже уравнениях даны определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса с использованием угла х для соответствующих уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, где х может быть и выражением. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением.

Итак, рассмотрим следующие задачи:

Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решением уравнения cos x = a являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Значит

Выразим x:

Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон n от – 2 до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: – 3 и 3, – 4 и 4 и так далее.

Вычисляем:

При n = – 2 х₁= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х₂= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При n = – 1 х₁= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х₂= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При n = 0 х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х₁= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5

Ответ: –1,5

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Решите уравнение:

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения sin x = a являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от – 90^о до 90^осинус которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n = 0,1,2 …

При n = 0 х = (– 1)⁰ + 4∙0 + 3 = 4

При n = 1 х = (– 1)¹ + 4∙1 + 3 = 6

При n = 2 х = (– 1)² + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при n = –1 х = (–1)^–1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

Ответ: 4

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Решите уравнение:

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения tg x = a является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90^о до 90^о, тангенс которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим обе части уравнения на 6 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения n = 1,2,3… Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

Ответ: 0,25

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Определение котангенса: Арккотангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу (0;П), котангенс которого равен a.

Здесь хочу добавить, что в уравнениях в правой части может стоять отрицательное число, то есть тригонометрическая функция от аргумента может иметь отрицательное значение. Если в ходе решения вы не сможете определить угол, например, для

то данные формулы вам помогут:

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Тригонометрические уравнения

Итак, рассмотрим следующие задачи:

Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решением уравнения cos x = a являются два корня:

При n = – 2 х₁= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х₂= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При n = – 1 х₁= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х₂= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При n = 0 х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х₁= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения sin x = a являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от – 90 о до 90 о синус которого равен a.

Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):

При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при n = –1 х = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения tg x = a является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90 о до 90 о , тангенс которого равен a.

Выразим x (умножим обе части уравнения на 6 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения n = 1,2,3. Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

то данные формулы вам помогут:

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:

Решением уравнения cosx=a являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон n от –2 до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: –3 и 3, –4 и 4 и так далее. Вычисляем:

При n = – 2 х₁= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х₂= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При n = – 1 х₁= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х₂= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При n = 0 х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х₁= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения sin x = a являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от –90 о до 90 о синус которого равен a.

Значит
Выразим x (умножим на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n=0,1,2 …

При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при n=–1 х=(–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения tg x = a является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90 о до 90 о , тангенс которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим на 6 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения n=0,1,2,3 … Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

Корни уравненияcosx=a.

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

источники:

http://matematikaege.ru/uravneniya/najdite-naibolshij-otricatelnyj-koren-uravneniya.html

http://ya-znau.ru/znaniya/zn/280

Источник

Время от времени я нахожу в математических группах ВКонтакте просьбы о решении школьных математических задач и разбираю их в своём блоге. Вот, например, в одной из контрольных работ самой сложной, 10-й задачей была такая.

Условие
Найти наименьший положительный корень уравнения
1 — sin 2x = (cos 2x + sin 2x)²

Решение
Во-первых, обратим внимание, что во всех тригонометрических функциях аргумент одинаковый и равен 2х. Сделаем замену:
t = 2x
Уравнение превращается в:
1 — sin t = (cos t + sin t)²

Теперь раскроем правую часть, пользуясь формулами сокращённого умножения и тригонометрическими тождествами.

1 — sin t = cos² t + 2 sin t cos t + sin² t
1 — sin t = 1 + 2 sin t cos t
— sin t = 2 sin t cos t // вот тут не стоит торопиться сворачивать удвоенное произведение синуса на косинус в синус двойного угла

2 sin t cos t + sin t = 0

Выносим общий множитель:
sin t (2 cos t + 1) = 0

В левой части уравнения произведение, а в правой части — ноль. Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим оба варианта.

а) sin t = 0
Это один из особых случаев тригонометрического уравнения. Решением его является:
$t=pi n,~nin Z$
И, возвращаясь к подстановке:
$x=frac{pi n}{2},~nin Z$

б) 2 cos t + 1 = 0
$cos t = -frac{1}{2}$

Применяем стандартную формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения
$t = pm arccosleft(-frac{1}{2}right)+2pi k,~kin Z$

Избавляемся от минуса под арккосинусом, применив формулу $arccos (-x)=pi-arccos x$
$t = pm left(pi — arccosfrac{1}{2}right)+2pi k,~kin Z$

Вспомним, что арккосинус одной второй равен пи на 3, $arccos frac{1}{2}=frac{pi}{3}$

$t = pm left(pi — frac{pi}{3}right)+2pi k,~kin Z$

$t = pm frac{2pi}{3}+2pi k,~kin Z$

И находим х:
$x = pm frac{pi}{3}+pi k,~kin Z$

Таким образом, решением уравнения будут множества корней:
$x=frac{pi n}{2},~nin Z$ или $x = pm frac{pi}{3}+pi k,~kin Z$

В первом случае положительные значения корней будут получатся, начиная с n = 1 и наименьшим положительным корнем будет $frac{pi cdot 1}{2}=frac{pi}{2}$. А во втором случае положительные корни будут получаться, начиная с k = 0 и наименьшим положительным корнем будет число $+ frac{pi}{3}+pi cdot 0= frac{pi}{3}$

Наименьшим положительным корнем уравнения 1 — sin 2x = (cos 2x + sin 2x)² будет число $frac{pi}{3}$

Ответ: $frac{pi}{3}$

Источник

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	${π}/{6}$	${π}/{4}$	${π}/{3}$	${π}/{2}$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ {1}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {√3}/{2}$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ {√3}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {1}/{2}$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ {√3}/{3}$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ {√3}/{3}$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

$сos(90° + α)=sinα$

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

$tgα={sinα}/{cosα}$
$ctgα={cosα}/{sinα}$
$sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

$tgα·ctgα=1$
$1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
$1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

$sin⁡t=-√{1-cos^2t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$

Формулы двойного угла

$sin2α=2sinα·cosα$
$cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
$tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$

$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$

$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Вычислить $sin12cos18+cos12sin18$

Данное выражение является синусом суммы

$sin12cos18+cos12sin18= sin⁡(12+18)=sin30=0.5$

Задача (Вписать в ответ число)

Вычислить $sin{5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}$

Решение:

Данное выражение является синусом суммы

$sin {5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}=sin⁡({π}/{12}+{5π}/{12})=sin {6π}/{12}=sin {π}/{2}=1$

Ответ: $1$

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Найдите наименьший положительный корень уравнения $сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

${2πx}/{3}=±arccos⁡(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-arccos{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±{5π}/{6} +2πk;kϵZ$

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$

$x=±{5π·3}/{6·2π} +{2π·3}/{2π}k$

$x=±1,25+3k$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения

$k=0$

$x_1= -1,25$

$x_2=1,25$

$к=1$

$х_1=3-1,25=1,75$

$х_2=3+1,25=4,25$

Нам подходит $1,25$ – это и есть результат

Ответ: $1,25$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Источник

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Дата: 2018-02-02

15073

Категория: Простейшие уравнения

Метка: ЕГЭ-№5

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:

Решением уравнения cosx=a являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон n от –2 до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: –3 и 3, –4 и 4 и так далее. Вычисляем:

При n = – 2 х₁= 3(– 2) – 4,5 = – 10,5 х₂= 3(– 2) – 5,5 = – 11,5

При n = – 1 х₁= 3(– 1) – 4,5 = – 7,5 х₂= 3(– 1) – 5,5 = – 8,5

При n = 0 х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х₁= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5

Ответ: –1,5

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения sin x = a являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от –90^о до 90^осинус которого равен a.