Как найти наименьшую высоту треугольника со сторонами - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Какая наименьшая высота у треугольника, какая — наибольшая? Как найти наименьшую (наибольшую) высоту треугольника, зная его площадь? Как найти наименьшую и наибольшую высоты по сторонам треугольника?

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к этой стороне высоту.

Таким образом,

$[S = frac{1}{2}a{h_a} = frac{1}{2}b{h_b} = frac{1}{2}c{h_c},]$

то есть произведение стороны на проведенную к ней высоту равны для каждой пары множителей:

$[a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}.]$

Следовательно,

наименьшая высота треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне, а наибольшая высота треугольника — проведенная к наименьшей стороне.

Высота треугольника через его площадь равна частному от деления удвоенной площади на сторону, к которой эта высота проведена:

$[{h_a} = frac{{2S}}{a};{h_b} = frac{{2S}}{b};{h_c} = frac{{2S}}{c}]$

Площадь треугольника по сторонам находят по формуле Герона:

где p — полупериметр,

$[p = frac{{a + b + c}}{2}.]$

Значит, формулы для нахождения любой высоты треугольника по его сторонам

$[{h_a} = frac{{2sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{a};]$

$[{h_b} = frac{{2sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{b};]$

$[{h_c} = frac{{2sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{c}.]$

Источник

Наименьшая высота треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к этой стороне высоту.

то есть произведение стороны на проведенную к ней высоту равны для каждой пары множителей:

где p — полупериметр,

Значит, формулы для нахождения любой высоты треугольника по его сторонам

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Найдите меньшую высоту треугольника если его стороны равны 9 см 12см 15 см

Меньшая высота треугольника — это высота, опущенная на большую сторону. Опустим высоту СО на сторону АВ.

В ΔАСО по т. Пифагора:
СО² = АС²-АО²
В ΔСОВ по т. Пифагора:
СО² = ВС²-ОВ²
Отсюда следует:
АС²-АО² = ВС²-ОВ²
пусть АО=х, тогда ОВ = 15-х;
9² — х² = 12² — (15-х)²
81 — x² = 144 — (225 — 30x + x²)
81 — x² = 144 — 225 + 30x — x²
30x = 81 — 144 + 225
30x = 162
x = 5,4 (см) — АО

СО² = АС²-АО²
СО² = 9²-5,4²
СО² = 81-29,16
СО² = 51,84
СО = √51,84 = 7,2 (см)

Ответ: 7,2 см.

источники:

Формулы для нахождения высоты треугольника

Найдите меньшую высоту треугольника если его стороны равны 9 см 12см 15 см

Источник

Как найти меньшую высоту треугольника

В треугольнике зависимости между сторонами и углами жестко связывают и внутренние линии фигуры — высоты, медианы и биссектрисы. Знание этих соотношений существенно упрощает решение задач.

Инструкция

Из трех высот треугольника наименьшей будет та, которая опущена на самую большую из сторон фигуры. Чтобы убедиться в этом, выразите все три высоты треугольника через размеры его сторон и сравните. Пусть из трех сторон a, b, c произвольного остроугольного треугольника сторона а — наибольшая, сторона с — наименьшая. Обозначим ha высоту, опущенную на сторону а, hb высоту, проведенную к стороне b, hc — высоту на сторону с. Высота делит любой треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых эта высота всегда будет одним из катетов.

Высота ha, проведенная к наибольшей стороне а, может быть определена по теореме Пифагора: hа²= b² — а₁² или hа²=с² — а₂². Где а₁ и а₂ — отрезки, на которые сторона а разделена высотой hа. Также по теореме Пифагора выразите две другие высоты треугольника через его стороны:
hb ²= a²-b₁² или hb²= c²-b₂²; hc²=a²-c₁² или hc²=b²-c₂².

Из сравнения формул, определяющих высоты треугольника, очевидно, что соотношение между уменьшаемым и вычитаемым дает наименьшую разность в выражениях hа²= b² — а₁² и hа²=с²-а₂², поскольку вычитаемые а₁ и а₂ — отрезки наибольшей стороны треугольника.

Определить меньшую высоту треугольника можно также через синус известного угла треугольника. Если по условию задан наибольший из углов, то этот угол лежит против наибольшей стороны, и именно из него проведена наименьшая высота. Чтобы избежать громоздких вычислений, лучше выразите искомую высоту через тригонометрические функции двух других углов треугольника, поскольку отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла — величина для данного треугольника постоянная. Следовательно, наименьшая высота треугольника ha=b*SinB или ha=c*SinC, где В -угол между наибольшей стороной а и стороной b, а С — угол между наибольшей стороной а и стороной с треугольника.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник