Как найти наивероятнейшее число выигрышных билетов

Наивероятнейшее число. Примеры задач и калькулятор

Напомню, что мы рассматриваем типовые задачи схемы Бернулли (или независимых повторных испытаний). Чаще всего эти задачи связаны с нахождением вероятности того, что событие произойдет сколько-то раз в серии опытов (см. решения задач про выстрелы, билеты лотереи, партии в шахматы или рождения детей). Но еще один часто встречающийся тип задач — тот, где требуется подсчитать наиболее вероятное число наступлений события.

Вычисление этого значения имеет большое практическое значение, что легко видно из постановки задач:

1. С завода отправили 100 ящиков с хрупким товаром. Вероятность того, что ящик повредится в пути, равна 0,01. Какое наиболее вероятное число поврежденных ящиков будет на станции приема груза?

2. Вероятность того, что лампа небракованная, равна 0,97. Для ресторана закупили 124 лампы. Каково наиболее вероятное число рабочих ламп?

Конечно, в реальной жизни эти задачи формулируются более сложно и решаются по иным правилам, но для учебных целей мы разбираем простейшие случаи. Перейдем к формуле, для чего сформулируем общую постановку задачи еще раз:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых одинакова равна $p$. Тогда наивероятнейшее число $m$ наступлений события $A$ в этой серии опытов можно найти по формуле:
$$
np-q le m le np+p, quad q=1-p. qquad (1)
$$

Часто после нахождения наибольшего числа успехов требуется вычислить вероятность наступления именно этого числа, для чего используем обычную формулу Бернулли:

$$
P_n(m)= C_n^m cdot p^m cdot q^{n-m}. qquad (2)
$$

Далее:

• Онлайн калькулятор
• Видеоурок и шаблон Excel
• Примеры решенных задач
• Полезная информация

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач о наивероятнейшем значении успехов, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о наиболее вероятном значении

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,8. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий?

Выписываем известные величины $n=100, p=0,8$ и подставляем в формулу (1):
$$
100 cdot 0,8 — 0,2 le m le 100 cdot 0,8 + 0,8, \
79,8 le m le 80,8,\
m=80.
$$
Наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий равно 80 изделиям.

Пример 2. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,2. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Всего куплено $n=12$ билетов, вероятность выигрыша по каждому $p=0,2$. Получаем по формуле (1):
$$
12 cdot 0,2 — 0,8 le m le 12 cdot 0,2 + 0,2, \
1,6 le m le 2,6,\
m=2.
$$
Наиболее вероятное число выигрышных билетов равно двум. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2):
$$
P_{12}(2)= C_{12}^2 cdot 0,2^{2} cdot 0,8^{10}=66cdot 0,2^{2} cdot 0,8^{10}=0,283.
$$

Пример 3. Для данного баскетболиста вероятность забить мяч при одном броске равна 0,6. Произведено 10 бросков по корзине. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Спортсмен делает $n=10$ независимых бросков, вероятность забить мяч при каждом $p=0,6$. Подставляем все в формулу (1):
$$
10 cdot 0,6 — 0,4 le m le 10 cdot 0,6 + 0,6, \
5,6 le m le 6,6,\
m=6.
$$
Наиболее вероятное число попаданий равно 6. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2):
$$
P_{10}(6)= C_{10}^6 cdot 0,6^{6} cdot 0,4^{4}=210 cdot 0,6^{6} cdot 0,4^{4}=0,251.
$$

Пример 4. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения 6 очков было равно 50?

Это несколько иная постановка задачи, хотя речь в ней тоже идет о наиболее вероятном числе. В отличие от разобранных выше, здесь уже задано $m=50$, $p=1/6$ (вероятность выпадения 6 очков на кости), а вот общее число бросков $n$ необходимо найти.

Начинаем с формулы (1), разбиваем ее на два неравенства и получаем из каждого выражение для $n$:

$$
np-q le m, quad m le np+p,
$$
$$
np le m+q, quad np ge m-p,
$$
$$
n le (m+q)/p, quad n ge (m-p)/p.
$$

Подставляем наши значения

$$
n le (50+5/6)/(1/6), quad n ge (50-1/6)/(1/6),
$$
$$
n le 305, quad n ge 299.
$$

Таким образом, нужно подбросить игральную кость от 299 до 305 раз.

Полезные ссылки

• Формулы по теории вероятностей
• Выполненные контрольные по теории вероятностей
• Заказать решение задач о вероятностях

Найдите готовые задачи в решебнике:

Условие.
Вероятность
выигрыша в лотерею на один билет равна
0,3. Куплено 13 билетов. Найти наивероятнейшее
число выигрышных билетов и соответствующую
вероятность.

Решение.
Наивероятнейшее число выигрышных
билетов определим из неравенств

,
где
.

Тогда
.

Следовательно,
наивероятнейшее число выигрышных
билетов равно
.

Вероятность того,
что среди 13 купленных билетов ровно 4
выигрышных определим по формуле Бернулли

.

Ответ.
0,23.

Пример выполнения
задачи 7

Условие. При
вытачивании гаек наблюдается в среднем
5% брака. Найти вероятность того, что в
партии из 250 гаек ровно 230 гаек окажутся
не бракованными.

Решение.
Вероятность брака равна
,
тогда вероятность того, что гайка
окажется не бракованной, равна.
По локальной теореме Лапласа имеем

,
где
и.

Таким образом,
получаем
,
значение функциивычислим в системеMathCAD.
То есть:
.

Тогда искомая
вероятность равна
.

Ответ.

.

Пример выполнения
задачи 8

Условие.
Вероятность
наступления некоторого события в каждом
из 100 независимых испытаний равна 0,75.
Определить вероятность того, что число
наступлений события удовлетворяет
следующему неравенству

Решение.
По интегральной теореме Лапласа имеем

,
где
.

По условию задачи
.

Тогда

,

.

Используя MathCAD,
получим:

.

Ответ.

.

Пример выполнения
задачи 9

Условие.
Вероятность
«сбоя» в работе телефонной станции при
каждом вызове равна 0,0012. Поступило 2000
вызовов. Определить вероятность 3
«сбоев».

Решение.
Так как число вызовов велико, а вероятность
сбоя очень мало, то воспользуемся
формулой Пуассона:
,
где.

По условию имеем
.
Тогда получим

.

Ответ.
0,21.

Пример выполнения
задачи 10

Условие. Найти
функцию распределения ДСВ
,
математическое ожидание, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение
этой случайной величины и вероятность
попадания в интервал,
если случайная величина задана законом
распределения

X	10	11	12	18
P	0,4	0,3	0,2	0,1

Решение.
Функция распределения определяется
формулой
.

Если
,
то;

если
,
то;

если
,
то;

если
,
то;

если
,
то.

Получим

Вычислим
математическое ожидание

.

Дисперсия равна

.

Найдем среднее
квадратическое отклонение

.

Вероятность
попадания в заданный интервал определяется
формулой

.

Пример выполнения задачи 11

Условие.
Дана плотность распределения случайной
величины
.
Найти параметр,
математическое ожидание, дисперсию,
функцию распределения случайной
величины,
вероятность попадания в интервал,
если

Решение.
По свойству плотности распределения
вероятностей, имеем

.

Тогда плотность
распределения принимает вид

Функция распределения
определяется формулой
.

Если
,
то.

Если
,
то.

Если
,
то.

Получим

Вычислим
математическое ожидание

.

Дисперсия случайной
величины равна

.

Найдем вероятность
попадания случайной величины в заданный
интервал

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Наивероятнейшее число наступления события

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Число наступлений события

, которому отвечает наибольшая вероятность,
называют наивероятнейшим числом наступления события

.
Если построен полигон распределения, то
наивероятнейшее число наступления события – это абсцисса наиболее высокой точки
полигона.

Пусть

 – наивероятнейшее
число наступления события

, тогда

Отсюда:

Формула для определения наивероятнейшего числа

Итак, наивероятнейшее число

  определяется двойным
неравенством:

Так как выражение

, то всегда существует целое число

, удовлетворяющее написанному выше двойному
неравенству. При этом если

 – целое
число, то наивероятнейших чисел два.

Смежные темы решебника:

• Формула Бернулли

Примеры решения задач

---

Пример 1

При
данном технологическом процессе 77% всей продукции — 1-го сорта.  Найдите  
наивероятнейшее    число   первосортных   изделий из 
220 изделий и вероятность этого события.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Наивероятнейшее число первосортных   изделий
найдем из двойного неравенства:

Воспользуемся

локальной теоремой Лапласа:

Вероятность
того, что в

 независимых испытания, в каждом из которых
вероятность появления события равна

, событие наступит ровно

 раз:

в нашем случае: 

Искомая вероятность:

Ответ: Наивероятнейшее число
– 170, вероятность этого события – 0,064.

---

Пример 2

Вероятность
выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 20 билетов. Найти
наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение

Наивероятнейшее число выигравших билетов найдем из двойного неравенства:

Найдем
соответствующую вероятность. Для этого воспользуемся законом Бернулли:

Ответ: 

---

Пример 3

Вероятность
появления события в каждом испытании равна 0,7. Сколько нужно провести
испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений события равнялось 10?

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Наивероятнейшее
число определяется двойным неравенством:

В нашем
случае:

Из
первого неравенства:

Из
второго неравенства:

Так как

 – целое число, получаем,

Необходимо
провести 14 испытаний.

Ответ: 14 испытаний.

---

Пример 4

За смену
работник ГАИ проходит техосмотр 30 автомашин. Вероятность того, что
произвольная автомашина не пройдет техосмотр равна 0,1. Каково наивероятнейшее
число автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены.

Решение

Для определения наивероятнейшего
числа автомашин,
не прошедших техосмотр в течение одной смены, воспользуемся двойным неравенством:

Искомое наивероятнейшее число не
прошедших техосмотр автомашин:

Ответ: 

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Вероятность
хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти: а)
наивероятнейшее число попаданий в серии из семи выстрелов и модальную
вероятность; б) что вероятнее: три попадания при четырех выстрелах или шесть попаданий
при восьми?

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Вероятность
получения с конвейера изделий 1 сорта равна 9/10. Определить вероятность того,
что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут 1 сорта. Определить
наивероятнейшее число изделий первого сорта.

---

Задача 3

На ежегодную
вечеринку приглашены 12 человек, причем каждый из них может прийти с
вероятностью 0,7 независимо от других. Найти наиболее вероятное число гостей и
его вероятность.

---

Задача 4

Система
состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента
равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность
наивероятнейшего числа отказавших элементов системы; в) вероятность отказа
системы, если для этого достаточно, чтобы отказали пять элементов.

---

Задача 5

При визите
страхового агента вероятность заключения договора равна 0,2. Найти
наивероятнейшее число заключенных договоров после 10 визитов и вероятность
того, что их будет заключено не больше найденного числа.

---

Задача 6

Страховой
агент при каждом визите заключает договор с вероятностью 30%. При каком числе
визитов наивероятнейшее число договоров будет равно 10?

---

Задача 7

Сколько надо
сделать выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,7, чтобы наивероятнейшее
число попаданий в цель было равно 15?

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 8

Сколько раз надо
бросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений четного числа
очков было равно 6?

---

Задача 9

Сколько раз
надо сыграть партии в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3,
чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

---

Задача 10

Вероятность
сдачи студентом каждого из семи зачетов равна 0,3. Найти вероятность сдачи: а)
пяти зачетов; б) наивероятнейшего числа зачетов; в) хотя бы одного зачета.

---

Задача 11

Страховая
компания выплачивает страховку в среднем 15% от всех клиентов.

а) Найти
вероятность того, что из 8-ми клиентов страховку выплатит менее, чем 2-м
клиентам.

б) Найти
наивероятнейшее число клиентов, получивших страховку.

---

Задача 12

Применяемый
метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того,
что из четырех больных поправятся:

а) трое;

б) хотя
бы один;

в) найти
наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому
событию вероятность.

---

Задача 13

Вероятность
попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти:
а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число
попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.

---

Задача 14

Монету подбрасывают 9 раз. Какова
вероятность, что монета 6 раз упадет гербом вверх? Определите наивероятнейшее
число выпадения герба и вычислите вероятность этого события.

---

Задача 15

Имеется 20 ящиков
однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали
окажется стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в
которых все детали стандартные.

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

          

Номер задачи: Tv-74

Решение: бесплатно

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,6. Куплено 16 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соответствующую вероятность.

Посмотреть другие задачи

Отправить также файл на почту

Заказать / Оценить подобную работу

Отправить также файл на почту