Наибольшим или наименьшим значением функции в определенной области называют наибольшее или наименьшее значение, которое достигает эта функция на указанной области.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в данной области, нужно решить задачу на экстремум, то есть найти производную заданной функции, приравнять её к нулю и найти точки, в которых производная функции обращается в нуль. Потом из этих точек нужно выбрать только те, которые входят в нашу заданную область. Затем нужно вычислить значение функций в этих точках. Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках заданной области (если это отрезок) и сравнить их со значениями в точках экстремума. Потом можно сделать вывод о наименьшем или наибольшем значении функции в данной области.
Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=x3−6×2+9y=x^3-6x^2+9 на отрезке [−1;2][-1;2].
Решение
Сначала вычисляем производную исходной функции:
y′=3×2−12xy’=3x^2-12x
Затем приравниваем ее к нулевому значению и решаем уравнение:
3×2−12x=03x^2-12x=0
x(3x−12)=0x(3x-12)=0
x1=0x_1=0
x2=4x_2=4
Затем — непосредственный поиск максимального и минимального значений функции на заданном отрезке. Важно отметить, что точка x=4x=4 не входит в заданный отрезок, поэтому значение функции в этой точке вычислять не требуется.
Находим значение функции в точке x1x_1:
f(0)=9f(0)=9
Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках нашего отрезка, то есть в точках x=−1x=-1 и x=2x=2:
f(−1)=−1−6+9=2f(-1)=-1-6+9=2
f(2)=8−24+9=−7f(2)=8-24+9=-7
Получаем, что на заданном отрезке, наименьшее значение функции, которое равно −7-7, достигается в точке x=2x=2 , а наибольшее значение, равное 99, достигается в точке x=0x=0.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции-параболы y=3x2y=3x^2 на всей области её определения.
Решение
Функция y=3x2y=3x^2 определена на всем интервале от минус бесконечности к плюс бесконечности. Найдем производную этой функции:
y′=6xy’=6x
Приравниваем производную к нулю:
6x=06x=0
x=0x=0
Точка x=0x=0 — единственный экстремум этой функции. В этой точке функция равна f(0)=0f(0)=0. Остается решить максимум это или минимум.
Так как график нашей функции это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку 3>03>0), то точка x=0x=0 — точка минимума этой функции. Следовательно, функция y=3x2y=3x^2 достигает своего минимального значения в точке x=0x=0 равного 00. Максимального значения эта функция не имеет. Оно только приближается к сколь угодно большому числу когда значение аргумента стремится к плюс или минус бесконечности.
Тест по теме “Наибольшие и наименьшие значения функции”
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Наибольшее и наименьшее значение функции
Как найти?
Постановка задачи
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $
План решения
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = pm infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $
- Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
- Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
- Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
- Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
- Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 — 3x^2 — 4 $ на отрезке $ [0;2] $ |
| Решение |
|
Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $. Находим производную: $$ y’ = (2x^3 — 3x^2 — 4)’ = 6x^2 — 6x $$ Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки: $$ 6x^2 — 6x = 0 $$ $$ 6x(x — 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$ Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $: $$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$ Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $: $$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 — 3 cdot 0^2 — 4 = -4 $$ $$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 — 3 cdot 1^2 — 4 = -5 $$ $$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 — 3 cdot 2^2 — 4 = 0 $$ Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ M = 0, m = -5 $$ |
| Пример 2 |
| Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $ |
| Решение |
|
Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $. Выполняем нахождение производной: $$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$ $$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$ Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки: $$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$ Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $. Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $: $$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$ $$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$ $$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$ Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $. |
| Ответ |
| $$ m = 0, M = 1 $$ |
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №17. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции,
2)Определение алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке,
3) Рассмотреть прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений
Глоссарий по теме
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:
- Найти область определения функции D(f).
- Найти производную f‘ (x).
- Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
- Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b).
- Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значения.
- Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
- Если наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:
- Найти производную f‘ (x) стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
- Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b)и среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 2 на отрезке [0; 3]
Решение. Действуем в соответствии с алгоритмом.
1) D(f) = (-∞; +∞).
2) f
(x) = 6x2 – 18x + 12
3) Стационарные точки: х = 1; х = 2.
4) f(0) = -2
f(3) = 7
f(1) = 3
f(2) = 2
5) fнаим.=f(0) = -2
fнаиб.=f(3) = 7.
Ответ: fнаим= -2
fнаиб.= 7.
№2.Найдите два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее.
Решение.
Пусть первое число равно х, 
Тогда второе число — 
Следовательно, 
Произведение этих чисел равно х(16 – х).
Составим функцию:
f(x) = x(16 – x)
x = 8 – единственная стационарная точка на интервале (0; 16), она является точкой максимума.
Следовательно, в этой точке функция F(x) = x(16 – x) принимает наибольшее значение.
Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее, это 8 и 8.
Ответ: 8 и 8
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
- Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
- Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Разложить производную функции на множители.
- Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
- Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.
Таблица производных некоторых элементарных функций:
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^{n-1}, n∈N$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| ${1}/x{^n}, n∈N$ | $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$ |
| $√^n{x}, n∈N$ | ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $log_{a}x$ | ${1}/{xlna}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Пример:
Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$
2. Производная произведения.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Пример:
Найти производную $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$
Пример:
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
Пример:
$f(x)= cos(5x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Пример:
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x+11)+4$
Решение:
1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$
2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$
3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю
${2x+21}/{x+11}=0$
Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю
$2x+21=0; x≠-11$
$2х=-21$
$х=-10,5$
4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.
$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$
5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.
Ответ: $-10,5$
Пример:
Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$
Решение:
1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$
2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки
$30x^4-270x^2=0$
Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(х-3)(х+3)=0$
Приравняем каждый множитель к нулю
$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$
$х=0;х=3;х=-3$
3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$
Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$
4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$
$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$
$y(0)= -5$
$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$
Наибольшее значение равно $967$
Ответ: $967$
Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.
Максимум
Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:
Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x0). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x0 делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x0).
Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».
Минимум
Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.
Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:
Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x0), которое при любом значении x€ X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≥f(x0).
Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x0, а минимум – самое маленькое.
Стационарные точки
При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.
Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.
Здесь рекомендуется запомнить следующее:
- Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
- Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
- Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.
Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.
План действий
Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.
Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:
- Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
- Если запись непрерывная – ищем производную.
- После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
- Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
- Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
- Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».
Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).
На отрезке
Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.
Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.
Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.
Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.
Открытый интервал
Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.
Здесь:
- Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
- Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
- На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.
Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.
Бесконечность
Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:
На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.
Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.
Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.
