Как найти наклон кривой в точке

Did this article help you?

Автор:
Lewis Jackson

Дата создания:
12 Май 2021

Дата обновления:
22 Май 2023

Содержание

• меры

В этой статье: Найти наклон линейного уравнения. Найти наклон. Имея две точки, найти наклон горизонтальных и вертикальных линий. Используйте дифференциальный расчет, чтобы найти наклон кривой.

Вам когда-нибудь нужно было найти наклон линии во время урока математики? Вот краткое руководство, которое покажет вам много разных подходов, которые вы можете использовать.

меры

Способ 1 Найти наклон линейного уравнения

1 Если у вас есть уравнение прямой с переменными (x, y), используйте все возможные алгебраические манипуляции, чтобы закончить уравнением в явном виде: у = мх + б



2 Значение m, или угловой коэффициент, является наклоном уравнения.

Метод 2 из 2: Найдите склон, имеющий две точки

1 Предположим, вам нужно искать наклон линии через две заданные точки. Это точки P1 = (x1, y1) и P2 = (x2, y2)



2 Наклон прямой линии «Поднятие на аванс»: насколько прямолинейное движение идет вверх, разделенное на то, насколько оно движется вправо. «Повышение» — это разница между значениями y (помните: ось y является вертикальной), а «Advance» — это разница между значениями x.



3 Таким образом, формула наклона имеет вид (y2 — y1) / (x2 — x1). На это также может указывать греческая буква «Δ», называемая «дельта», что означает «разница». Таким образом, наклон также может упоминаться как Δy / x.

Метод 3 из 3: Найдите наклон горизонтальных и вертикальных линий

1 Везде, где есть горизонтальная линия (плоская), наклон всегда равен нулю. Почему это происходит? Потому что разница между значениями y двух разных точек всегда будет равна нулю. Из-за этого Δy = 0, поэтому Δy / Δx = 0.



2 С вертикальной линией (прямой) наклон всегда не определен. Почему? Потому что разница между значениями x двух разных точек всегда будет равна нулю. Eso Δx = 0, Δy / Δx не будет существовать, поскольку в вещественных числах деление на ноль не определено.

Метод 4 Используйте дифференциальный расчет, чтобы найти наклон кривой

Эта математика намного более продвинута, чем процессы, описанные выше. Если вы не учитесь хотя бы в последних классах средней школы, эта часть руководства, вероятно, будет бесполезной и запутанной.

1 Как вы, возможно, уже узнали, дифференциал функции даст вам наклон функции в данной точке.

Другими словами, f ’(x) = наклон функции в точке (x, f (x))



2 Остров f (x) на одной стороне уравнения, чтобы сделать его явным. Затем дифференцируйте функцию.



3 Если вы пытаетесь найти наклон кривой в определенной точке, введите значение x в уравнение f ’(x).

Итак, чтобы найти наклон в x = k, замените x на k, чтобы найти f (k).

Наклон:

m = (Δ y Δ x) = tan ⁡ (θ) { displaystyle m = left ({ frac { Delta y} { Delta x}} right) = tan ( theta)}

В математике, наклон или градиент для линия — это число, которое описывает как направление, так и крутизну линии. Наклон часто обозначается буквой м; нет четкого ответа на вопрос, почему буква m используется для обозначения наклона, но самое раннее ее использование в английском языке появилось у О’Брайена (1844 г.), который написал уравнение прямой линии как «y = mx + b», и оно может также можно найти у Тодхантера (1888), который написал это как «y = mx + c».

Наклон рассчитывается путем нахождения отношения «вертикального изменения» к «горизонтальному изменению» между (любыми) двумя различные точки на линии. Иногда это соотношение выражается как частное («превышение пробега»), дающее одно и то же число для каждых двух различных точек на одной линии. У убывающей линии есть отрицательный «подъем». Линия может быть практичной — как указано геодезистом или на диаграмме, моделирующей дорогу или крышу, в виде описания или плана.

Крутизна, уклон или уклон линии измеряется абсолютным значением уклона. Уклон с большим абсолютным значением указывает на более крутую линию. Направление строки линии — увеличение, уменьшение, горизонтальное или вертикальное.

Подъем дороги между двумя точками — это разница между высотой дороги в этих двух точках, скажем, y 1 и y 2, или, другими словами, подъем составляет (y 2 — y 1) = Δy. Для относительно небольших расстояний, где кривизной Земли можно пренебречь, пробег — это разница в расстоянии от фиксированной точки, измеренная вдоль уровня, горизонтальной линии, или, другими словами, пробег равен (x 2 — x 1) = Δx. Здесь наклон дороги между двумя по ints просто описывается как отношение изменения высоты к горизонтальному расстоянию между любыми двумя точками на линии.

На математическом языке наклон линии m равен

m = y 2 — y 1 x 2 — x 1. { displaystyle m = { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}

Понятие наклона применяется непосредственно к классам или градиенты в географии и гражданском строительстве. Через тригонометрию наклон m линии связан с ее углом наклона θ с помощью функции касательной

m = tan ⁡ (θ) { displaystyle m = tan ( theta)}

Таким образом, восходящая линия 45 ° имеет наклон +1, а нисходящая линия 45 ° имеет наклон -1.

В качестве обобщения этого практического описания математика дифференциального исчисления определяет наклон кривой в точке как наклон касательной . в этот момент. Когда кривая задается серией точек на диаграмме или в списке координат точек, наклон может быть вычислен не в точке, а между любыми двумя заданными точками. Когда кривая задана как непрерывная функция, возможно, как алгебраическая формула, тогда дифференциальное исчисление предоставляет правила, дающие формулу для наклона кривой в любой точке в середине кривой.

Это обобщение концепции уклона позволяет планировать и строить очень сложные конструкции, которые выходят далеко за рамки статических структур, которые являются горизонтальными или вертикальными, но могут меняться во времени, перемещаться по кривой и изменяться в зависимости от скорость изменения других факторов. Таким образом, простая идея склона становится одной из основных основ современного мира как с точки зрения технологий, так и с точки зрения застроенной среды.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Примеры
• 2 Алгебра и геометрия
  • 2.1 Примеры
• 3 Статистика
• 4 Уклон дороги или железной дороги
• 5 Расчет
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Определение

Наклон показан для y = (3/2) x — 1. Щелкните, чтобы увеличить Наклон линии в системе координат, от f (x) = — 12x + 2 до f (x) = 12x + 2

Наклон линии на плоскости, содержащей оси x и y, обычно обозначается буквой m и определяется как изменение координата y, деленная на соответствующее изменение координаты x между двумя различными точками на линии. Это описывается следующим уравнением:

m = Δ y Δ x = вертикальное изменение горизонтальное изменение = подъем по высоте. { displaystyle m = { frac { Delta y} { Delta x}} = { frac {{ text {vertical}} , { text {change}}} {{ text {horizontal}} , { text {change}}}} = { frac { text {rise}} { text {run}}}.}

(Греческая буква delta, Δ, обычно используется в математике для обозначения «различия» или «изменения».)

Учитывая две точки (x 1,y1) и (x 2,y2), изменение x от одного к другому составляет x 2 — x 1 (бег), а изменение y равно y 2 — y 1 (рост). Подстановка обеих величин в приведенное выше уравнение дает формулу:

m = y 2 — y 1 x 2 — x 1. { displaystyle m = { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}

Формула не работает для вертикальной линии, параллельной оси y ( см. Деление на ноль ), где наклон можно принять как бесконечное, поэтому наклон вертикальной линии считается неопределенным.

Примеры

Предположим, что линия проходит через две точки: P = (1, 2) и Q = (13, 8). Разделив разницу в координатах y на разницу в координатах x, можно получить наклон прямой:

m = Δ y Δ x = y 2 — y 1 x 2 — x 1 = 8 — 2 13 — 1 = 6 12 = 1 2 { displaystyle m = { frac { Delta y} { Delta x}} = { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ { 1}}} = { frac {8-2} {13-1}} = { frac {6} {12}} = { frac {1} {2}}}.

Поскольку наклон положительный, направление линии увеличивается. Поскольку | m | <1, the incline is not very steep (incline <45°).

В качестве другого примера рассмотрим прямую, проходящую через точки (4, 15) и (3, 21). Тогда наклон линии равен

m = 21-15 3-4 = 6-1 = — 6. { displaystyle m = { frac {21-15} {3-4}} = { frac {6} {- 1}} = — 6.}

Поскольку наклон отрицательный, направление линии уменьшается. Поскольку | m |>1, это снижение довольно крутое (падение>45 °).

Алгебра и геометрия

• Если y является линейной функцией от x, то коэффициент при x является наклон линии, созданной при построении функции. Следовательно, если уравнение прямой задано в форме

y = m x + b { displaystyle y = mx + b}

, то m — это наклон. Эта форма уравнения линии называется формой пересечения наклона, потому что b можно интерпретировать как точку пересечения y линии, то есть координату y, в которой линия пересекает ось y.

• Если наклон m линии и точка (x 1,y1) на линии оба известны, то уравнение прямой можно найти с помощью формулы угла наклона точки :

y — y 1 = м (х — х 1). { displaystyle y-y_ {1} = m (x-x_ {1}).}

• Наклон линии, определяемой линейным уравнением

ax + by + c = 0 { displaystyle ax + by + c = 0}

is

— ab { displaystyle — { frac {a} {b}}}.

• Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не являются одной и той же линией (совпадают), и либо их наклоны равны, либо они оба вертикальны и, следовательно, оба имеют неопределенный наклон. Две прямые являются перпендикулярными, если произведение их наклонов равно -1 или одна имеет наклон 0 (горизонтальная линия), а другая — неопределенный наклон (вертикальная линия).
• Угол θ между -90 ° и 90 °, который линия образует с осью x, связан с наклоном m следующим образом:

m = tan ⁡ (θ) { displaystyle m = tan ( theta)}

и

θ = arctan ⁡ (m) { displaystyle theta = arctan (m)}(это функция, обратная касательной; см. обратные тригонометрические функции ).

Примеры

Например, рассмотрим линию, проходящую через точки (2,8) и (3,20). Эта линия имеет наклон, м, равный

(20-8) (3 — 2) = 12. { displaystyle { frac {(20-8)} {(3-2)}} ; = 12.}

Затем можно записать уравнение линии в форме точечного уклона:

y — 8 = 12 (x — 2) = 12 x — 24 { displaystyle y-8 = 12 (x-2) = 12x-24}

или:

y = 12 x — 16. { displaystyle y = 12x-16.}

Угол θ между -90 ° и 90 °, который эта линия образует с осью x, равен

θ = arctan ⁡ (12) ≈ 85,2 ∘. { displaystyle theta = arctan (12) приблизительно 85.2 ^ { circ} ,.}

Рассмотрим две прямые: y = −3x + 1 и y = −3x — 2. Обе линии имеют наклон m. = −3. Это не одна и та же линия. Итак, это параллельные линии.

Рассмотрим две прямые y = −3x + 1 и y = x / 3 — 2. Наклон первой прямой равен m 1 = −3. Наклон второй линии равен m 2 = 1/3. Произведение этих двух наклонов равно -1. Итак, эти две линии перпендикулярны.

Статистика

В статистической математике, градиент регрессии наименьших квадратов линии наилучшего соответствия для данного линейного распределения данных. числовое значение, не содержащее выбросов, может быть записано как m = rsysx { displaystyle m = { frac {rs_ {y}} {s_ {x}}}}, где m { displaystyle m}определяется как статистический градиент для линии наилучшего соответствия (y = mx + c { displaystyle y = mx + c}), r { displaystyle r}— коэффициент корреляции Пирсона, sy { displaystyle s_ {y}}— стандартное отклонение значений y и sx { displaystyle s_ {x}}— стандартное отклонение значений x. Это также может быть записано как отношение ковариаций :

m = cov ⁡ (Y, X) cov ⁡ (X, X) { displaystyle m = { frac { operatorname {cov} (Y, X)} { operatorname {cov} (X, X)}}}

Уклон дороги или железной дороги

Основные статьи: Уклон (уклон), Разделение уклонов

Есть два распространенных способа описать крутизну дороги дороги или железной дороги. Один — это угол между 0 ° и 90 ° (в градусах), а другой — уклон в процентах. См. Также железная дорога с крутым уклоном и зубчатая железная дорога.

Формулы для преобразования уклона, заданного в процентах, в угол в градусах и наоборот:

угол = арктангл ⁡ (уклон 100 %) { displaystyle { text {angle}} = arctan left ({ frac { text {slope}} {100 %}} right)}, (это обратное функция касательной; см. тригонометрия )

и

slope = 100% ⋅ tan ⁡ (угол), { displaystyle { mbox {slope}} = 100 % cdot tan ({ mbox { angle}}),}

, где угол выражается в градусах, а тригонометрические функции работают в градусах. Например, наклон 100 % или 1000 ‰ — это угол 45 °.

Третий способ — указать на одну единицу подъема, скажем, 10, 20, 50 или 100 единиц по горизонтали, например 1:10. 1:20, 1:50 или 1: 100 (или «1 в 10 дюймов, 1 в 20 и т. д.). Обратите внимание, что 1:10 больше, чем 1:20. Например, крутизна 20% означает 1: 5 или наклон с углом 11,3 °.

Дороги и железные дороги имеют как продольные, так и поперечные уклоны.

• 

  Предупреждающий знак наклона в Нидерланды

• 

  Предупреждающий знак о уклоне в Польше

• 

  Железная дорога протяженностью 1371 метр с уклоном 20 ‰. Чешская Республика

• 

  Железнодорожный градиентный столб с указанием уклона в обоих направлениях на железнодорожной станции Меолс, Соединенное Королевство

Расчет

В каждой точке производная — это наклон линии , которая является касательной к кривой в этой точке. Примечание: производная в точке A положительная, где зеленый и пунктирная, отрицательная,, когда красная и пунктирная, и ноль, где черная и сплошная.

Концепция наклона является центральной в дифференциальном исчислении. Для нелинейных функций скорость изменения изменяется вдоль кривой. производная функции в точке — это наклон прямой касательной к кривой в этой точке, и, таким образом, она равна скорости изменения функции в этой точке.

Если мы позволим Δx и Δy быть расстояниями (по осям x и y, соответственно) между двумя точками на кривой, то наклон, заданный приведенным выше определением,

m = Δ y Δ x { displaystyle m = { frac { Delta y} { Delta x}}},

— наклон секущей линии к кривой. Для линии секущая между любыми двумя точками — это сама линия, но это не относится к любому другому типу кривой.

Например, наклон секущей, пересекающей y = x в точках (0,0) и (3,9), равен 3. (Наклон касательной в точке x = ⁄ 2 также равно 3 — следствие теоремы о среднем значении.)

При перемещении двух точек ближе друг к другу, так что Δy и Δx уменьшаются, секущая линия более точно приближается к касательной к кривая, и поэтому наклон секущей приближается к наклону касательной. Используя дифференциальное исчисление, мы можем определить предел или значение, к которому Δy / Δx приближается по мере приближения Δy и Δx к нулю ; отсюда следует, что этот предел и есть точный наклон касательной. Если y зависит от x, то достаточно выбрать предел, при котором только Δx стремится к нулю. Следовательно, наклон касательной является пределом Δy / Δx, когда Δx приближается к нулю, или dy / dx. Мы называем этот предел производной.

dydx = lim Δ x → 0 Δ y Δ x { displaystyle { frac {dy} {dx}} = lim _ { Delta x to 0} { frac { Delta y} { Delta x}}}

Его значение в точке функции дает нам наклон касательной в этой точке. Например, пусть y = x. Балл этой функции равен (-2,4). Производная этой функции / dx = 2x. Таким образом, наклон касательной к y в точке (-2,4) равен 2 · (-2) = -4. Уравнение этой касательной: y-4 = (- 4) (x — (- 2)) или y = -4x — 4.

См. Также

• Евклидово расстояние
• Степень
• Наклонная плоскость
• Линейная функция
• Линия наибольшего наклона
• Медиант
• Определения наклона
• Оценка Тейла – Сена, линия со средним наклоном среди набор точек выборки

Ссылки

Внешние ссылки

Найдите slope в Wiktionary, бесплатном словаре.

• «Наклон линии ( Координатная геометрия) «. Открытый справочник по математике. 2009. Получено 30 октября 2016 г. interactive

Наклон нелинейной кривой

Теперь
перейдем из простого мира линейных
связей (прямых линий) в несколько более
сложный мир нелинейных связей (кривых),
когда наклон кривой изменяется по мере
продвижения от одной точки на кривой к
другой. Например, рассмотрим восходящую
кривую AA на рисунке
3(а). Несмотря на то что ее наклон
положителен на всем ее протяжении, мы
видим, что он уменьшается, или выравнивается,
по мере продвижения по кривой вверх и
вправо (в северо-восточном направлении).
Поскольку наклон постоянно меняется,
мы можем его измерить лишь в какой-то
отдельной точке на кривой.

Как это делается? Мы начинаем с проведения
прямой линии, которая касается кривой
в той точке, где мы хотим измерить ее
наклон. По определению, прямая является
касательной к кривой в данной точке,
если она соприкасается с нею, но не
пересекает ее. Тех, прямая aa
— это касательная кривой AA
в точке P на
рисунке 3(а). Проведя указанную прямую,
мы можем измерить наклон кривой AA
в точке P, просто
измерив наклон прямой линии касания
aa. В данном случае на
рисунке 3(а) мы видим, что, когда вертикальное
изменение (разность ординат) aa
составляет +10, горизонтальное изменение
(разность абсцисс) также равно +10. Таким
образом, наклон касательной aa
составляет 10/10, или +1, и следовательно,
наклон кривой AA в
точке P также составляет
+1.

Теперь рассмотрим нисходящую кривую
BB на рисунке 3(6).
В данном случае мы видим, что наклон BB
отрицателен и что он уменьшается, или
вырав-

нивается, по мере
продвижения кривой вниз и вправо (в
юго-восточном направлении). Каков наклон
в точке P?
Снова проводим линию bb,
которая
касается кривой BB
в точке P.
В данном
случае мы видим, что, когда вертикальное
изменение (снижение) на ее
равно —10,
горизонтальное изменение составляет
лишь +5. Таким образом, наклон кривой
+BB
в точке P
равняется
-10/+5 или —2. Сюда относится вопрос 6 в
конце данного приложения.

между вертикальным
изменением и горизонтальным изменением,
складывающееся по мере передвижения
между любыми двумя точками. Наклон
восходящей линии является положительным,
а нисходящей ливни — отрицательным.

1. Точка пересечения
   с осью ординат (абсцисс) и наклон линии
   устанавливают положение прямой и
   используются для изображения связи
   между двумя переменными в форме
   уравнения.

2. Наклон кривой в
   любой точке определяется измерением
   наклона прямой в месте касании ее с
   этой точкой.

Рисунок 3. Определение
наклона кривых

Наклон кривой
изменяется по мере продвижения по ней
от одной точки к другой. Наклон в любой
точке можно определить проведением
прямой, касающейся кривой в соответствующей
точке, и измерением наклона этой прямой.

Резюме приложения

1.
Графики служат удобным и информативным
способом иллюстрации экономических
зависимостей или принципов.

1. Между двумя
   переменными существует положительная,
   или прямая, зависимость, когда их
   величины изменяются в одном и том же
   направлении, изображаются на графике
   в виде восходящей линии.

2. Между двумя
   переменными существует отрицательная,
   или обратная, зависимость, когда их
   величины изменяются в противоположных
   направлениях. Эти переменные изображаются
   на графике в виде нисходящей линии.

4.
Величина
зависимой переменной («следствия»)
определяется величиной независимой
переменной («причиной»).

5. Когда учитываются
изменения «прочих факторов»,
которые могут повлиять на связь между
двумя переменными, следует ожидать,
что изображенная на графике линия связи
примет новое положение.

6. Наклон прямой
линии представляет собой отношение

ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ,
УПОТРЕБЛЕННЫЕ В ПРИЛОЖЕНИИ

Оси
ординат и абсцисс

Прямые и обратные
зависимости

Зависимые и
независимые переменные

Наклон прямой
линии

Пересечение с
осью ординат

Касательная

ВОПРОСЫ К
ПРИЛОЖЕНИЮ

И УЧЕБНЫЕ ЗАДАНИЯ

1.
Кратко объясните, как используются
графики в качестве способа изображения
экономических принципов. Что такое
обратная зависимость? Как она изображается
на графике? Что такое прямая зависимость?
Как она изображается на графике?
Начертите и объясните связи, которые
могут возникнуть между а) количеством
осадков в месяц (в дюймах) и продажей
зонтов, б) размером платы за обучение
и числом студентов в университете и в)
размером поощрительных стипендий
студентам-спортсменам и количеством
матчей, выигранных футбольной командой
университета. В каждом случае

назовите факторы
и объясните, которые из них, помимо
названных выше, способны нарушить
ожидаемые связи. Совместимо ли ваше
обобщение в) с тем фактом, что исторически
как число студентов, так и плата за
обучение возрастали параллельно? Если
нет, то объясните любое отступление от
этого обобщения.

2. Укажите, как
может каждое из следующих обстоятельств
повлиять на данные, приведенные в
таблице 2 и на рисунке 2 настоящего
приложения:

а) руководитель
отдела спорта университета определяет
сильнейшие команды;

б) футбольная
команда университета три сезона подряд
терпит поражение;

в) контракты,
заключаемые футбольной командой
университета, предусматривают
телевизионные репортажи с игр на своем
стадионе.

3. Следующая таблица
содержит данные о зависимости между
сбережением и доходом.

Перестройте порядок
расположения этих данных, приведите
его в надлежащий вид и нанесите эти
данные на помещенную здесь сетку. Каким
окажется наклон линии? Где будет
вертикальное пересечение? Объясните
значение наклона и точки пересечения.
Постройте уравнение, которое соответствует
линии на вашем графике. Каким, по-вашему,
будет объем сбережения при уровне
дохода в 12 500 дол.?

4. Составьте таблицу
на основе данных, изображенных на
помещенном ниже графике.

Доход (в год, дол.)	Сбережения (в год, дол.)
15 000 0 10 000 5 000 20 000	1 000 —500 500 0 1 500

1. Предположим, что,
   когда учетная ставка на ссуды составляет
   16%, предприятия считают невыгодным
   инвестировать средства в машины и
   оборудование. Однако, когда ставка
   снижается до 14%, выгодным считается
   инвестировать 5 млрд дол. При ставке в
   12% выгодно вложить уже 10 млрд дол.
   Следовательно, снижение ставки на
   каждые два процентных пункта приводит
   к увеличению объема инвестиций на 5
   млрд дол. Покажите эту связь между
   процентной ставкой и размером инвестиций
   устно, в табличной форме, в графическом
   изображении, в виде уравнения. Поместите
   процентную ставку на вертикальной оси
   графика, а объем инвестиций на
   горизонтальной оси; в уравнении
   используйте формулу i
   = a
   — bI,
   где i
   — это процентная ставка, a
   — вертикальное
   пересечение, b
   — наклон
   линии и I
   — объем инвестиций. Охарактеризуйте
   преимущества и недостатки представления
   этой связи в устной, табличной,
   графической форме и в форме уравнения.

2. Помещаемый ниже
   график показывает кривую XX
   и три тангенса
   в точках A,
   B
   и C.
   Вычислите
   наклон кривой в этих точках.

7. Является ли на
помещенном ниже графике наклон кривой
АА’ положительным
или отрицательным? Увеличивается ли
или уменьшается наклон по мере продвижения
от A
к A‘
Ответьте на
такие же два вопроса, относящиеся к
кривой BB‘.

1
Кейнс Дж М. Общая
теория занятости, процента и денег
/Пер. с англ. М , 1978. С 458.

2
Любой
из следующих трех трудов послужит
читателю великолепным
введением в историю развития экономической
мысли:Robert
Heilbroner.
The
Worldly Philosophers. 6th ed. New York: Simon and
Schuster, Inc., 1986; Daniel
R. Fusfeld The
Age of the Economist.5th
ed. Chicago Scott, Foresman and Company, 1986; E.
Ray Canterbery. The
Making of Economics. 3d ed. Belmont, Calif.:Wadsworth
Publishing Company, 1987.

1
Walter
W Heller New
Dimensions of Political Economy New York W W Norton & Company,
Inc, 1967 P 14 Отсюда
вовсе
не
следует,
что
политические
лидеры
всегда
удовлетворены
получаемыми
рекомендациями.
Трезвая
экономическая наука и «хорошая
политика»
отнюдь не синонимы

1
Кто-то
экономиста охарактеризовал как человека,
у которого на
одном конце цепочки для часов висит
брелок Фи Бета Капа (то есть
члена общества выпускников колледжей.
— Прим.
перев.), а
на другом
конце цепочки нет часов

1
Kenneth
E. Boulding.
Economic Analysis: Microeconomics. 4th ed. New
York:
Harpet
& Row,
Publishers,
Incorporated,
1966. P.
5.

1
Сюда можно было
бы добавить и другие цели. Например,
часто ставится цель улучшения окружающей
природной среды

1
Предполагается,
что не существует правительственных
программ,
фиксирующих цены на продукцию сельского
хозяйства.

1
Henry
Clay. Economics
for the General Reader. New York: The Macmillan Company, 1925. P.
10—11.

2
Oskar
Lange. The
Scope and Methos of Economics //
Review
of Economic Studies. Vol. 13. 1945—1946 P. 20.

3
George
J. Stigler.
The Theory if Price. New York: The Macmillan Company, 1947. P. 10.

4
Victor
R. Fuchs.
How We Live. Cambridge. Mass.: Harvard University Press, 1983. P. 5

5
John
Kenneth Galbraith. American
Capitalism. (rev. ed.). Boston: Houghten Mifflin Company, 1956. Р.
49.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #