Как найти наклон прямой по уравнению - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Download Article

The slope of a line is a measure of how fast it is changing. This can be for a straight line — where the slope tells you exactly how far up (positive slope) or down (negative slope) a line goes while it goes how far across. Slope can also be used for a line tangent to a curve. Or, it can be for a curved line when doing Calculus, where slope is also known as the «derivative» of a function. Either way, think of slope simply as the «rate of change» of a graph: if you make the variable «x» bigger, at what rate does «y» change? That is a way to see slope as a cause and an effect event.

1

Use slope to determine how steep, and in what direction (upward or downward), a line goes. Finding the slope of a line is easy, as long as you have or can setup a linear equation. This method works if and only if:^[1]
2

Find the number in front of the x, usually written as «m,» to determine slope. If your equation is already in the right form, , then simply pick the number in the «m» position (but if there is no number written in front of x then the slope is 1). That is your slope! Note that this number, m, is always multiplied by the variable, in this case an «x.» Check the following examples:

Advertisement
3

Reorganize the equation so one variable is isolated if the slope isn’t apparent. You can add, subtract, multiply, and more to isolate a variable, usually the «y.» Just remember that, whatever you do to one side of the equal sign (like add 3) you must do to the other side as well. Your final goal is an equation similar to . For example:

1
Use a graph and two points to find slope without the equation handy. If you’ve got a graph and a line, but no equation, you can still find the slope with ease. All you need are two points on the line, which you plug into the equation ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . While finding the slope, keep in mind the following information to help you check if you’re on the right track:^[5]
- Positive slopes go higher the further right you go.
- Negative slopes go lower the further right you go.
- Bigger slopes are steeper lines. Small slopes are always more gradual.
- Perfectly horizontal lines have a slope of zero.
- Perfectly vertical lines do not have a slope at all. Their slope is «undefined.»^[6]
2
Find two points, putting them in simple (x,y) form. Use the graph (or the test question) to find the x and y coordinates of two points on the graph. They can be any two points that the line crosses through. For an example, assume that the line in this method goes through (2,4) and (6,6).^[7]
- In each pair, the x coordinate is the first number, the y coordinate comes after the comma.
- Each x coordinate on a line has an associated y coordinate.
3
Label your points x₁, y₁, x₂, y₂, keeping each point with its pair. Continuing our first example, with the points (2,4) and (6,6), label the x and y coordinates of each point. You should end up with:^[8]
- x₁: 2
- y₁: 4
- x₂: 6
- y₂: 6^[9]
4

Plug your points into the «Point-Slope Formula» to get your slope. The following formula is used to find slope using any two points on a straight line: ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . Simply plug in your four points and simplify:^[10]
5

Understand how the Point-Slope Formula works. The slope of a line is “Rise over Run:” how much the line goes up divided by how much the line «runs» to the right. The “rise” of the line is the difference between the y-values (remember, the Y-axis goes up and down), and the “run” of the line is the difference between the x-values (and the X-axis goes left and right).^[11]
6

Recognize other ways you may be tested to find slope. The equation of the slope is ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . This may also be shown using the Greek letter “Δ”, called “delta”, meaning “difference of”. Slope can also be shown as Δy/Δx, meaning «difference of y / difference of x:» this is the same exact question as «find the slope between

1
Review how to take a variety of derivatives from common functions. Derivatives give you the rate of change (or slope) at a single point on a line. The line can be curved or straight — it doesn’t matter. Think of it as how much the line is changing at any time, instead of the slope of the entire line. How you take derivatives changes depending on the type of function you have, so review how to take common derivatives before moving on.
- Review taking derivatives here
- The most simple derivatives, those for basic polynomial equations, are easy to find using a simple shortcut. This will be used for the rest of the method.
2

Understand what questions are asking for a slope using derivatives. You will not always be asked to explicitly find the derivative or slope of a curve. You might also be asked for the «rate of change at point (x,y). You could be asked for an equation for the slope of the graph, which simply means you need to take the derivative. Finally, you may be asked for «the slope of the tangent line at (x,y).» This, once again, just wants the slope of the curve at a specific point, (x,y).
3
Take the derivative of your function. You don’t even really need you graph, just the function or equation for your graph. For this example, use the function from earlier, $f(x)=2x^{2}+6x$ . Following the methods outlined here, take the derivative of this simple function.^[13]
- Derivative:
4

Plug in your point to the derivative equation to get your slope. The differential of a function will tell you the slope of the function at a given point. In other words, f’(x) is slope of the function at any point (x,f(x)) So, for the practice problem:
5
Check your point against a graph whenever possible. Know that not all points in calculus will have a slope. Calculus gets into complex equations and difficult graphs, and not all points will have a slope, or even exist on every graph. Whenever possible, use a graphing calculator to check the slope of your graph. If you can’t, draw the tangent line using your point and the slope (remember — «rise over run») and note if it looks like it could be correct.^[14]
- Tangent lines are just lines with the exact same slope as your point on the curve. To draw one, go up (positive) or down (negative) your slope (in the case of the example, 22 points up). Then move over one and draw a point. Connect the dots, (4,2) and (26,3) for your line.

Practice Problems and Answers

Our Most Loved Articles & Quizzes

Add New Question

Question

What is the slope for the equation y=1?

The graph of y=1 is a straight, horizontal line, meaning that it does not rise or fall as it moves left or right. Its slope is therefore zero.
Question

What if the equation is like x+y=0 or x-y=0?

That’s no problem. When x+y=0, y=-x. In this case the slope is -1. On the other hand, when x-y=0, y=x. Here the slope is +1.
Question

What’s the difference between a slope = 0 and slope = undefined?

A zero slope is a horizontal line (parallel to the x-axis), and an undefined slope is a vertical line (parallel to the y-axis).

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

About This Article

Article SummaryX

To find the slope of a linear equation, start by rearranging the given equation into slope-intercept form, which is y = mx + b. In slope-intercept form, «m» is the slope and «b» is the y-intercept. The slope of the line is whatever number is multiplied on the «x» variable, so just solve the equation for «x» to figure out the slope! For tips on finding the slope when you’re given two points on a graph, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 539,941 times.

Did this article help you?

Источник

Загрузить PDF

Если вы умеете вычислять угловые коэффициенты (тангенс угла наклона) прямых, то на основании этих коэффициентов можно узнать другие параметры. Например, выяснить, параллельны ли прямые или же перпендикулярны, найти их точку пересечения и многие другие величины. Вычисление углового коэффициента — довольно простая задача. Прочитайте эту статью, чтобы узнать, как это сделать.

1

Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) определяется как отношение изменения координаты «у» к изменению координаты «х».

Реклама

1

Рассмотрите любую прямую линию. Убедитесь, что линия прямая, так как угловой коэффициент вычисляется только для прямых линий.
2

Выберите любые две точки, лежащие на прямой. Запишите их координаты в виде (х,у). Не имеет значения, какие точки вы выберете (главное, чтобы они были разными и лежали на одной прямой).
3

Дайте обозначение выбранным точкам. Не имеет значения, какую из них вы обозначите первой, а какую – второй (главное — на протяжении всего процесса вычисления строго придерживаться выбранного обозначения). Координаты первой точки запишем как x₁ и y₁, а координаты второй точки как x₂ и y₂.
4

Подставьте координаты точек в формулу для вычисления углового коэффициента, приведенную выше.
5

Вычтите две координаты «у».
6

Вычтите две координаты «х».
7

Разделите результат разности координат «у» на результат разности координат «х». Сократите дробь, если возможно.
8
Проверьте полученный результат.
- Прямые, идущие вверх слева направо, всегда имеют положительный угловой коэффициент (даже если это дробь).
- Прямые, идущие вниз слева направо, всегда имеют отрицательный угловой коэффициент (даже если это дробь).
Реклама

Пример

Дана прямая с точками A и B, лежащими на ней.
Координаты точек: A(-2,0) и B(0,-2)
(y₂-y₁): -2-0=-2; Изменение координаты «у» = -2
(x₂-x₁): 0-(-2)=2; Изменение координаты «х» = 2
Угловой коэффициент данной прямой равен -1.

Советы

Как только вы обозначили координаты точек на прямой через (х1,у1) и (у1,у2), не меняйте эти обозначения, или вы получите неверный ответ.
Вы нашли «m» в линейном уравнении вида y=mx+b, где «у» — координата «у», «m» – угловой коэффициент, «х» — координата «х», «b» – смещение прямой по оси Y (или значение координаты «у» при х=0).
Для получения ответов на возникающие вопросы прочитайте школьный учебник или обратитесь к учителю.

Предупреждения

Не путайте формулу для вычисления углового коэффициента (тангенса угла наклона) прямой с любой другой формулой, например, с формулой для вычисления расстояния или формулой для вычисления средней точки.

Что вам понадобится

Миллиметровка (возможно).
Координатная плоскость или прямая с координатами двух точек, лежащих на ней.
Формула для вычисления углового коэффициента (тангенса угла наклона) прямой.
Карандаш, бумага, линейка, калькулятор.
Прямая.
Координаты «х».
Координаты «у».

Об этой статье

Эту страницу просматривали 103 403 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

В декартовых координатах каждая прямая
определяется уравнением первой степени
и, обратно, каждое уравнение первой
степени определяет прямую.

Уравнение
вида

(1)

называется
общим уравнением прямой.

Угол ,
определяемый, как показано на рис.,
называется углом наклона прямой к оси
Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси
Ох называется угловым коэффициентом
прямой; его обычно обозначают буквой
k:

Уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом;
k — угловой коэффициент, b — величина
отрезка, который отсекает прямая на оси
Оу, считая от начала координат.

Если
прямая задана общим уравнением

то
ее угловой коэффициент определяется
по формуле

Уравнение является
уравнением прямой, которая проходит
через точку (, )
и имеет угловой коэффициент k.

Если
прямая проходит через точки (, ), (, ),
то ее угловой коэффициент определяется
по формуле

Уравнение

является
уравнением прямой, проходящей через
две точки (, )
и (, ).

Если
известны угловые коэффициенты и двух
прямых, то один из углов между
этими прямыми определяется по формуле

Признаком
параллельности двух прямых является
равенство их угловых коэффициентов:.

Признаком
перпендикулярности двух прямых является
соотношение
,
или .

Иначе говоря, угловые коэффициенты
перпендикулярных прямых обратны по
абсолютной величине и противоположны
по знаку.

4.Общее уравнение прямой

Уравнение

Ах+Ву+С=0

(где А, В, Смогут иметь любые
значения, лишь бы коэффициентыА,
Вне были нулями оба сразу)
представляетпрямую
линию. Всякую прямую можно
представить уравнением этого вида.
Поэтому его называютобщим уравнением
прямой.

Если А=0, то есть уравнение не
содержитх, то оно представляет
прямую,параллельную
оси ОХ.

Если В=0, то есть уравнение не
содержиту, то оно представляет
прямую,параллельную
оси ОY.

Когла Вне равно нулю, то общее
уравнение прямой можноразрешить
относительно ординаты у,
тогда оно преобразуется к виду

y=ax+b

(где a=-A/B; b=-C/B).

Аналогично, при Аотличным от
нуля общее уравнение прямой можно
разрешить относительнох.

Если С=0, то есть общее уравнение
прямой не содержит свободного члена,
то оно представляет прямую, проходящую
через начало координат

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей
через данную точку A(x₁, y₁)
в данном направлении, определяемом
угловым коэффициентом k,

y — y₁ = k(x — x₁). (1)

Это уравнение определяет
пучок прямых, проходящих через
точку A(x₁, y₁),
которая называется центром пучка.

6. уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.

. Уравнение
прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁)
и B(x₂, y₂),
записывается так:

(2)

Угловой коэффициент прямой, проходящей
через две данные точки, определяется
по формуле

(3)

7.
Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении
прямой ,
то разделив (1) на ,
получаем уравнение прямой в отрезках

где  ,  .
Прямая пересекает ось   в
точке  ,
ось   в
точке  .

8.
Формула: Угол между прямыми на плоскости

Уголα между
двумя прямыми, заданными
уравнениями: y=k₁x+b₁ (первая
прямая) и y=k₂x+b₂ (вторая
прямая), может быть вычислен по формуле
(угол отсчитывается от 1^й прямой
ко 2^й против
часовой стрелки):

tg(α)=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)

9. Взаимное
расположение двух прямых на плоскости.

Пусть сейчас
оба уравнения прямых
записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

– общие уравнения двух
прямых на координатной плоскости
Оху. Тогда

1) если ,
то прямые и совпадают;

2) если ,
то прямые и

параллельные;

3) если ,
то прямые пересекаются.

Доказательство.
Условие равносильно
коллинеарности нормальных векторов данных
прямых:

.
Поэтому, если ,
то и прямыепересекаются.

Если же ,
то , , иуравнение прямой принимает
вид:

или ,
т.е. прямые совпадают.
Заметим, что коэффициент пропорциональности ,
иначе все коэффициенты общего уравнения были
бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не
совпадают и не пересекаются, то остается
случай ,
т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Калькулятор углового коэффициента прямой может не только рассчитать коэффициент, но и найдет точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат (x и y), а также покажет решение и построит график прямой.

Содержание:

калькулятор углового коэффициента прямой
определение углового коэффициента прямой
формула углового коэффициента прямой
геометрический смысл углового коэффициента
1. k>0
2. k<0
3. k=0
4. k не определен (k=∞)
5. угловой коэффициент параллельных прямых
6. угловой коэффициент перпендикулярных прямых
примеры расчета углового коэффициента прямой по заданным координатам точек

Определение углового коэффициента прямой

Угловой коэффициент прямой — это число, которое определяет наклон прямой относительно положительного направления оси OX. Численно он равен тангенсу угла (отсчитываемого против часовой стрелки) между положительным направлением оси OX и прямой.

Угловой коэффициент прямой обозначается буковой k.

Угловой коэффициент показывает, как быстро прямая меняет свое положение по оси OX при изменении координаты y и является ключевым понятием в геометрии и физике, используемым для описания многих физических явлений, например, движения тела в пространстве или распространение света.

В геометрии, угловой коэффициент прямой используется для определения угла наклона прямой относительно оси абсцисс и для вычисления ее точек пересечения с осями координат. Также угловой коэффициент прямой используется для записи уравнения прямой в общем виде. Знание углового коэффициента прямой является необходимым при решении многих задач геометрии, таких как построение перпендикуляров и параллельных линий, определение углов между прямыми и плоскостями, а также решение задач на поиск расстояний между прямыми и плоскостями.

Формула углового коэффициента прямой

Формула вычисления углового коэффициента прямой определяется как отношение изменения координаты y к изменению координаты x между любыми двумя точками на прямой. Математически это можно записать следующим образом:

{k=dfrac{y_b — y_a}{x_b — x_a} = tg(alpha)}

k — угловой коэффициент прямой,

x_a, y_a — координаты точки A,

x_b, y_b — координаты точки B

α — угол между осью OX и прямой (против часовой стрелки).

Если прямая задана уравнением в общем виде y = kx + b, то угловой коэффициент прямой равен коэффициенту при x, то есть k.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим возможные значения углового коэффициента и какой геометрический смысл он несет.

Угловой коэффициент прямой больше нуля

Если угловой коэффициент прямой больше нуля (k>0), то угол между осью OX и прямой является острым, а график прямой возрастающий. Обратное утверждение также справедливо — если график прямой возрастает, то ее угловой коэффициент больше нуля.

Угловой коэффициент прямой меньше нуля

Если угловой коэффициент прямой меньше нуля (k<0), то угол между осью OX и прямой является тупым, а график прямой убывающий. И наоборот — если график прямой убывает, то ее угловой коэффициент меньше нуля.

Угловой коэффициент равен нулю

Если угловой коэффициент прямой равен нулю (k=0), то это значит, что прямая параллельна оси x.

Угловой коэффициент не определен (равен бесконечности)

Если угловой коэффициент прямой не определен (или можно сказать обращается в бесконечность) (k=∞), то это значит, что прямая параллельна оси y.

Угловой коэффициент параллельных прямых

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны и наоборот — если у прямых равные угловые коэффициенты, то они параллельны друг другу.

Угловой коэффициент перпендикулярных прямых

Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и имеют противоположный знак.

Для примера рассмотрим две прямые, заданные угловыми коэффициентами:

y = k_{m} x + b_m

y = k_{n} x + b_n

Прямые будет перпендикулярны, если k_{m} = — dfrac{1}{k_{n}}

Как рассчитать угловой коэффициент прямой по заданным координатам точек

Чтобы закрепить материал, рассмотрим решение задачи.

Задача 1

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(5, -2) и B(-3, 1).

Решение

Воспользуемся формулой углового коэффициента прямой. Для начала найдем разницу между соответствующими координатами двух точек:

{Delta x = x_b — x_a = -3 -5 -= -8}

{Delta y = y_b — y_a = 1 — -(2) = 3}

Осталось применить формулу и поделить Delta y на Delta x:

k = dfrac{Delta y}{Delta x} = dfrac{3}{-8} = — dfrac{3}{8} approx -0.375

Это и есть угловой коэффициент прямой AB.

А если вы внимательно читали статью, то, учитывая, что полученный угловой коэффициент отрицательный, можно сказать, что прямая AB убывающая.

Ответ: k = — dfrac{3}{8} approx -0.375

Проверить ответ нам поможет калькулятор .

Источник

Угол наклона прямой

Решение функций

Для построения графика линейной функции или определения координат точек пересечения прямой с осью Ох и Оy важно уметь находить угол наклона прямой.

Углом наклона прямой к оси Ох является угол, который считают против часовой стрелки от положительного направления Ох к прямой.

В уравнении y = kх + b, где b — координата «у» — точки пересечения прямой с Оy, коэффициент k при х — коэффициент наклона прямой.
Этот коэффициент равняется тангенсу угла а, образованного между прямой и положительным направлением оси Ох: k = tg а.

Если прямая наклонена вправо, то угол, образованный между прямой и осью Ох, будет острым, тангенс угла (tgа) и коэффициент наклона k больше нуля. Угол определяем по формуле: a = arctg k.

Если наклон прямой влево, то угол между прямой и осью Ох будет тупым, а тангенс угла (tgа) и коэффициент k меньше нуля. Угол a = Пи — arctg |k|.

Угол наклона равняется 0, если прямая расположена параллельно Ох или совпадает с ней.

Зная координаты 2-х точек, расположенных на прямой, можно легко рассчитать угол наклона как отношение вертикального расстояния между двумя точками к горизонтальному расстоянию между ними.

Пусть координаты первой точки (х1,y1), координаты второй (х2,y2), тогда угловой коэффициент будет равняться: (y2 — y1): (х2 — х1),
где (y2 — y1) — величина изменения координаты «у», (х2 — х1) — изменение координаты «х». Из полученной величины возьмем арктангенс и определим угол наклона прямой.

Быстро определить угол наклона прямой, вам поможет онлайн калькулятор.

Источник