Как найти наклонную зная только перпендикуляр - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Наклонная к прямой

Что такое наклонная к прямой? Сколько наклонных можно провести из одной точки к данной прямой? Как найти расстояние между основаниями наклонных?

Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отличный от перпендикуляра отрезок, соединяющий точку A с некоторой точкой на прямой a.

Рисунок наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, начинают с изображения перпендикуляра (даже если в условии задачи о перпендикуляре не упоминается).

Чтобы нарисовать наклонную, нужно соединить точку, из которой проводится наклонная, с любой точкой на данной прямой.

На рисунке 1 AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, AC — наклонная.

Точка B — основание перпендикуляра, точка C — основание наклонной AC.

Отрезок BC, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной, — проекция наклонной AC на прямую a.

Из точки к прямой можно провести бесконечно много наклонных.

Две наклонные проведенные из данной точки к данной прямой, могут быть расположены как по одну сторону от перпендикуляра, так и по разные стороны от него.

На рисунке 2 наклонные AC и AD расположены по одну сторону от перпендикуляра AB.

BC — проекция наклонной AC на прямую a,

BD — проекция наклонной AD на прямую a.

CD — расстояние между основаниями наклонных

Если наклонные расположены по одну сторону от перпендикуляра, чтобы найти расстояние между основаниями наклонных, надо найти разность между длинами их проекций.

На рисунке 3 наклонные AC и AD расположены по разные стороны от перпендикуляра AB.

BC — проекция наклонной AC на прямую a,

BD — проекция наклонной AD на прямую a.

CD — расстояние между основаниями наклонных

Если наклонные расположены по разные стороны от перпендикуляра, расстояние между основаниями наклонных равно сумме длин проекций этих наклонных.

В следующий раз рассмотрим свойства наклонных.

2 Comments

Косые треугольники: характеристика, примеры, упражнения

Содержание:

В косые треугольники Это те, у которых нет прямого угла, поэтому ни один из их внутренних углов не равен 90º. Итак, косой треугольник может быть острый угол или тупой.

В первом случае внутренние углы треугольника острые или что то же самое: меньше 90º, а во втором всегда есть угол больше 90º, то есть угол тупой. Давайте посмотрим на пример каждого из них на следующем рисунке:

Чтобы найти длины сторон и меры внутренних углов этого класса треугольников, при отсутствии прямых углов невозможно применить теорему Пифагора.

Однако есть альтернативы решению треугольника: теоремы косинусов и синусов и тот факт, что сумма внутренних углов равна 180 °.

Примеры наклонных треугольников

Руководствуясь рисунком 1, мы легко можем распознать наклонные треугольники по двум критериям, которые мы приведем ниже.

Острый треугольник

Пусть треугольник сторон a, b и c будет углом перед стороной a.

Если квадрат стороны a, противоположной острому углу α, равен Меньше чем сумма квадратов остальных сторон, треугольник равен острый угол. Алгебраически:

к 2 2 + c 2 ; α 2 > б 2 + c 2 ; α > 90º

Например, треугольник с внутренними углами 105º, 60º и 15º является тупым наклонным треугольником. Обратите внимание, что 105º + 60º + 15º = 180º.

Теоремы о синусе и косинусе

Чтобы решить наклонные треугольники, то есть найти меры всех их сторон и всех углов, требуются теоремы о синусе и косинусе.

Пусть a, b и c — стороны треугольника, а α, β и γ — его внутренние углы. Так:

Теорема синуса

Теорема синусов утверждает следующее:

Где α — угол, противоположный стороне a, β — угол, противоположный стороне b, а γ — угол, обращенный к стороне c.

Мы решили применить теорему синуса, когда собираемся решить треугольник, для которого известно больше углов, чем сторон.

Теорема косинусов

Согласно теореме косинусов:

c 2 = а 2 + b 2 — 2⋅a⋅b⋅cos γ

Угол γ снова находится перед стороной c. Мы также можем написать эквивалентные выражения для сторон a и b следующим образом:

к 2 = b 2 + c 2 — 2⋅b⋅c⋅cos α

б 2 = а 2 + c 2 — 2⋅a⋅c⋅cos β

Теорема косинуса предпочтительно применяется, когда известны значения двух сторон и угол между ними. Точно так же, как только три стороны треугольника известны, теорема позволяет нам вычислить косинус угла между двумя из них.

Решенные упражнения

— Упражнение 1

Убедитесь, что треугольник, стороны которого составляют 20, 10 и 12 условных единиц, тупой.

Решение

Мы не знаем ни одного из внутренних углов, но, принимая во внимание критерий, используемый для распознавания тупых треугольников, мы можем сформулировать неравенства с квадратами сторон, чтобы проверить, истинно ли это.

Сначала находим квадраты с каждой стороны:

И мы видим, что в действительности это: 400> 100 + 144, поскольку 400> 244. Следовательно, треугольник содержит угол больше 90º, расположенный напротив стороны, которая измеряет 20. Следовательно, этот треугольник, помимо того, что он наклонен, это тоже тупо.

— Упражнение 2.

Учитывая наклонный треугольник, показанный на рисунке 2, размеры которого даны в произвольных единицах, определите:

а) Значение х. Треугольник острый или тупой?

б) Остальные внутренние углы треугольника

Решение для

Известны две смежные стороны треугольника, размеры которых равны 38,0 и 45,8, а угол между ними равен 30 °, поэтому теорема косинусов имеет непосредственное применение:

Икс 2 = 38.0 2 + 45.8 2 — 2 x 38,0 x 45,8 x cos 30º = 527,18

х = (527,18) 1/2 = 22.96

Рисунок предполагает, что α> 90º и треугольник тупой и наклонный. Чтобы это проверить, находим квадраты сторон, как это было сделано в предыдущем упражнении:

Угол α больше 90 °, если квадрат на противоположной стороне: 45,8 2 больше суммы квадратов других сторон, которая равна 22,96 2 + 38.0 2 .

Посмотрим, будет ли это так:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

Следовательно, угол α больше 90º.

Решение б

Теперь мы можем применить теорему синусов, чтобы найти один из недостающих углов. Поднимем его на угол β:

грех 30º / 22,96 = грех β / 38

sin β = 38 x (sin 30º / 22,96) = 0,8275

β = арксен (0,8275) = 55,84º

Недостающий угол можно найти, зная, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180 °. Таким образом:

55.84º + 30º + α = 180º

Если хотите, вы также можете использовать теорему косинусов, чтобы найти косинус угла между любыми двумя соседними сторонами. После получения функция арккосинуса используется для определения угла.

Результаты могут немного отличаться до десятичных знаков, в зависимости от выполняемого округления.

Решение c

Периметр P — это контур фигуры, эквивалентный сумме измерений трех сторон:

P = 22,96 + 38,00 + 45,80 = 106,76 условных единиц.

Решение d

Формула для вычисления площади любого треугольника:

A = (1/2) x основание x высота

Нам нужно выбрать одну из сторон в качестве основы и определить высоту. Например, выбрав сторону размером 45,8, мы строим высоту час до вершины A, которая является красной линией на рисунке 2b.

Делая это, мы делим исходный треугольник на два прямоугольных треугольника, оба с час как общая нога. Любой из них работает, так как мы знаем сторону и острый угол.

Мы собираемся взять отрезок с гипотенузой, равной 38, отрезок, который измеряет час, что является искомой высотой и острым углом, равным 30º.

С помощью тригонометрических соотношений острого угла 30º определяем величину час:

sin 30º = катет напротив 30º / гипотенуза = h / 38

h = 38 x sin 30º = 19

A = (1/2) x 45,8 x 19 = 435,1 условных единиц площади.

В качестве основы мы могли бы выбрать другую из сторон, например сторону 38, в данном случае высоту час отличается, поскольку образуется еще один прямоугольный треугольник, но результат по площади такой же. Читателю остается проверить это в качестве упражнения.

— Упражнение 3.

Для треугольника ABC, такого что A = 45º, B = 60º и a = 12 см, вычислите другие данные треугольника.

Решение

Учитывая, что сумма внутренних углов треугольника равна 180º, мы имеем:

C = 180º-45º-60º = 75º.

Три угла уже известны. Затем по закону синусов вычисляются две недостающие стороны.

Возникают следующие уравнения: 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Из первого равенства мы можем решить для «b» и получить, что:

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696 см.

Вы также можете решить для «c» и получить:

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 см.

— Упражнение 4.

Учитывая треугольник ABC, такой что A = 60º, C = 75º и b = 10 см, вычислите другие данные треугольника.

Решение

Как и в предыдущем упражнении, B = 180º-60º-75º = 45º. Кроме того, используя закон синусов, мы получаем, что a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), из чего получается, что a = 10 * sin (60º) / sin (45º ) = 5√6 ≈ 12,247 см и c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 см.

— Упражнение 5.

Дан треугольник ABC такой, что a = 10 см, b = 15 см и C = 80º, вычислите другие данные треугольника.

Решение

В этом упражнении известен только один угол, поэтому его нельзя начинать, как в предыдущих двух упражнениях. Кроме того, нельзя применить закон синусов, потому что никакое уравнение не может быть решено.

Поэтому переходим к применению закона косинусов. Вот тогда:

c² = 10² + 15² — 2 (10) (15) cos (80º) = 325 — 300 * 0,173 ≈ 272,905 см,

Итак, c ≈ 16,51 см. Теперь, зная 3 стороны, используется закон синусов и получается, что:

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 см / sin (80º).

Следовательно, решение для B приводит к sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, что означает, что B ≈ 63,38º.

Теперь мы можем получить, что A = 180º — 80º — 63,38º ≈ 36,62º.

— Упражнение 6

Стороны наклонного треугольника равны a = 5 см, b = 3 см и c = 7 см. Найдите углы треугольника.

Решение

Опять же, закон синусов не может быть применен напрямую, поскольку никакое уравнение не может служить для получения значения углов.

Используя закон косинуса, мы имеем c² = a² + b² — 2ab cos (C), из которого при вычислении получаем cos (C) = (a² + b² — c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 и, следовательно, C = 120º.

Теперь мы можем применить закон синусов и, таким образом, получить 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), из которого мы можем решить относительно B и получить, что sin (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, так что B = 21,79º.

Наконец, последний угол рассчитывается с использованием того, что A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Ссылки

Клеменс, С. Геометрия с приложениями. Эддисон Уэсли.
Ибаньес, П. 2010. Математика III. Cengage Learning.
Хименес, Р. Математика II: геометрия и тригонометрия. 2-й. Издание. Пирсон.
Математика для вас. Тупой треугольник. Получено с: matematicasparaticharito.wordpress.com.
Стюарт, Дж. 2007. Precalculus. 5-е. Издание. Cengage Learning.

Что такое слезы и слезы?

Что такое самоисполняющееся пророчество? (Психология)

источники:

Наклонная к прямой

http://ru1.warbletoncouncil.org/triangulos-oblicuangulos-ejercicios-resueltos-8172

Источник

Определение.

рисунок 1

На рисунке 1 AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, AC — наклонная.

Точка B — основание перпендикуляра, точка C — основание наклонной AC.

Отрезок BC, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной, — проекция наклонной AC на прямую a.

Из точки к прямой можно провести бесконечно много наклонных.

рисунок 2

На рисунке 2 наклонные AC и AD расположены по одну сторону от перпендикуляра AB.

BC — проекция наклонной AC на прямую a,

BD — проекция наклонной AD на прямую a.

CD — расстояние между основаниями наклонных

AC и AD.

CD=BC-BD.

рисунок 3

На рисунке 3 наклонные AC и AD расположены по разные стороны от перпендикуляра AB.

BC — проекция наклонной AC на прямую a,

BD — проекция наклонной AD на прямую a.

CD — расстояние между основаниями наклонных

AC и AD:

CD=BC-BD.

В следующий раз рассмотрим свойства наклонных.

Источник

Если через какую-нибудь точку, взятую вне прямой, провести прямую, перпендикулярную к ней, то отрезок от данной точки до прямой для краткости называют одним словом перпендикуляр.

Отрезок СО — перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (рис).

Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.

Отрезок ВС — наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (рис.).

Если из концов какого-нибудь отрезка опустим перпендикуляры на произвольную прямую, то отрезок прямой, заключённый между основаниями перпендикуляров, называется проекцией отрезка на эту прямую.

Отрезок А’В’ — проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ’ — также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.

Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К’ (рис.).

2. Свойства перпендикуляра и наклонных

Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Отрезок АС (рис.) является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ — одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.

В ΔМАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника. Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.

Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС (рис.) меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.

Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции .

Пусть ВА и ВС — наклонные, проведённые из точки В к прямой АС (рис.), причём АВ = ВС. Нужно доказать, что равны и их проекции.

Для доказательства опустим из точки В перпендикуляр ВО на АС. Тогда АО и ОС будут проекции наклонных АВ и ВС на прямую АС. Треугольник АВС равнобедренный по условию теоремы. ВО — высота этого треугольника. Но высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является в то же время и медианой этого треугольника.

Поэтому АО = ОС.

Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.

Пусть АС и СВ — наклонные к прямой АВ (рис.). СО ⊥ АВ и АО = ОВ.

Требуется доказать, что АС = ВС.

В прямоугольных треугольниках АОС и ВОС катеты АО и ОВ равны. СО — общий катет этих треугольников. Следовательно, ΔAOС = ΔВОС. Из равенcтва треугольников вытекает, что АС = ВС.

Теорема 4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.

Пусть АВ и ВС — наклонные к прямой АО; ВО ⊥ АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.

1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.

Угол АСЕ внешний по отношению к прямоугольному треугольнику СОВ (рис.), а поэтому ∠АСВ > ∠СОВ, т. е. он тупой. Отсюда следует, что АВ > СВ.

2) Наклонные расположены по обе стороны перпендикуляра. Для доказательства отложим на АО от точки О отрезок ОК = ОС и соединим точку К с точкой В (рис.). Тогда по теореме 3 имеем: ВК = ВС, но АВ > ВК, следовательно, АВ > ВС, т. е. теорема справедлива и в этом случае.

Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

Пусть КС и ВС — наклонные к прямой КВ (рис.), СО ⊥ КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.

Между отрезками КО и ОВ может быть только одно из трёх соотношений:
1) КО < ОВ, 2) КО = ОВ,
3) КО > ОВ.
КО не может быть меньше ОВ, так как тогда по теореме 4 наклонная КС была бы меньше наклонной ВС, а это противоречит условию теоремы.
Точно так же КО не может равняться ОВ, так как в этом случае по теореме 3 КС = ВС, что также противоречит условию теоремы.
Следовательно, остаётся верным только последнее соотношение, а именно, что КО > ОВ.

Источник: http://razdupli.ru/teor/44_perpendikulyar-i-naklonnaya-k-pryamoj.php

Урок 10. перпендикуляр и наклонные — Геометрия — 10 класс — Российская электронная школа

Геометрия, 10 класс
Урок №10. Перпендикуляр и наклонные
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

Определение перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость;
Доказательство теоремы о трех перпендикулярах;
Определение угла между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Дополнительная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α.

Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM.

Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

(Рис. 1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН. Сторона АН — катет, а сторона AM — гипотенуза, поэтому АН < AM. Поэтому перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

Стоит отметить, что в случае двух параллельных плоскостей, расстоянием между ними будет расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости. Например, все точки потолка находятся на одинаковом расстоянии от пола.

Если же прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Например, все точки прямой b равноудалены от потолка комнаты.

Если мы имеем дело со скрещивающимися прямыми, то расстоянием между ними будет расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Сформулируем теорему о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

(Рис. 2)

На рисунке 2: АН — перпендикуляр к плоскости α, AM — наклонная, а — прямая, проведенная в плоскости α через точку М перпендикулярно к проекции наклонной НМ. Докажем, что прямая а перпендикулярна наклонной AM.

Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а перпендикулярна к НМ по условию. Так как прямая а, лежит в плоскости α, а эта плоскость перпендикулярна отрезку AH, то прямая а перпендикулярна к этой плоскости. Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности прямая а перпендикулярна отрезку АМ. Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и AM.

Справедлива также обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Введем теперь понятие проекции произвольной фигуры на плоскость. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру в пространстве. Если мы построим проекции всех точек этой фигуры на данную плоскость, то получим фигуру F1, которая называется проекцией фигуры F на данную плоскость (рис. 3).

(Рис. 3)

Докажем теперь, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая (рис. 4).

Данную плоскость обозначим буквой α. Произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости, обозначим буквой а. Из какой-нибудь точки М прямой а проведем перпендикуляр МН к плоскости α и рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую a и перпендикуляр МН. Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой а1.

Докажем, что эта прямая и является проекцией прямой а на плоскость α. В самом деле, возьмем произвольную точку М1 прямой а и проведем в плоскости β прямую М1Н1, параллельную прямой МН.

Так как отрезок MH перпендикуляр к плоскости α и отрезок MH параллелен М1Н1, то отрезок М1Н1 тоже перпендикулярен плоскости α.

Этим мы доказали, что проекция произвольной точки прямой а лежит на прямой а1.

Аналогично доказывается, что любая точка прямой а1 является проекцией некоторой точки прямой а. Следовательно, прямая а1 — проекция прямой а на плоскость α. Что и требовалось доказать.

(Рис. 4)
Теперь введем понятие угла между прямой и плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Докажем, что угол между φ0 между данной прямой AM и плоскостью α является наименьшим из всех углов φ, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.

(Рис. 5)

Обозначим буквой Н основание перпендикуляра (рис. 5), проведенного из точки М к плоскости α.

Рассмотрим произвольную прямую р в плоскости α, проходящую через точку А и отличную от прямой АН.
Угол между прямыми AM и р обозначим через φ.
Докажем, что φ больше чем φ0.

Из точки М проведем перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то φ равняется 90 градусам и поэтому φ больше чем φ 0. Рассмотрим случай, когда точки А и N не совпадают. Отрезок AM — общая гипотенуза прямоугольных

треугольников ANM и АНМ, поэтому sinφ=MN/AM

Так как наклонная MN больше, чем перпендикуляр МН, то синус угла φ больше, чем синус угла φ0. Поэтому угол φ больше, чем угол φ0. Что и требовалось доказать.

Тестовый вопрос №7. Прямая AM перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника ABC, точка H середина стороны BC. Найдите угол между прямой MH и плоскостью ABC, если AM = a, HB = a.

Решение. Искомый угол – MHA.

Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Это означает, что его медиана так же является высотой и биссектрисой. Так как HB = a, следовательно, любая сторона треугольника имеет длину 2a. Рассмотрим треугольник AHB.

Он прямоугольный, т.к. AH медиана и высота. По теореме Пифагора вычислим длину стороны AH: .

Далее рассмотрим треугольник MHA, он прямоугольный, т.к. MA перпендикулярна плоскости ABC. Зная это мы можем выразить тангенс искомого угла: .. Отсюда делаем вывод, что искомый угол равен 30 градусов.

Ответ: ∠MHA = 30˚.

Тестовый вопрос №8. Из точки O к плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 17 см, проекция наклонной равна 15 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка O?

Решение. Нарисуем рисунок. OH – перпендикуляр, OM – наклонная, длина которой 17 см, MH – проекция наклонной, длина которой 15 см.

Треугольник OHM – прямоугольный, т.к. OH – перпендикуляр. Поэтому OH – искомое расстояние. Найдем его по теореме Пифагора: сантиметров.

Ответ: 8 сантиметров.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6127/conspect/

Презентация на тему «Перпендикуляр и наклонная» в формате powerpoint

Презентация на тему «Перпендикуляр и наклонная» по геометрии в формате powerpoint. В презентации для школьников 10 класса дается понятие ортогональной проекции, перпендикуляра и наклонной, угла между перпендикуляром наклонной, также в презентации доказывается теорема о трех перпендикулярах. Автор презентации: учитель Аверкина Т.П.

Фрагменты из презентации

На одном из предыдущих уроков вы познакомились с понятием проекции точки на данную плоскость параллельно данной прямой.

На этом уроке вы продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.

Ортогональная проекция

Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры.
Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда отрезок АВ называется перпендикуляром, опущенным из точки А на эту плоскость, а сама точка В — основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С — произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к этой плоскости.
Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной проекцией точки А, а отрезок АС — ортогональной проекцией наклонной AВ. Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.

Свойства ортогональной проекции

Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.

Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.

Доказательство

Пусть из точки А к плоскости p проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС и AD; тогда отрезки ВС и BD — ортогональные проекции этих отрезков на плоскость p.
Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее ортогональной проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС.
Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС и AD.
Докажем третье утверждение: одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной. Пусть, например, ВС > BD. Отложим на отрезке ВС точку Е такую, что BD=BE. Тогда и AD=AE. В треугольнике АСЕ угол AEC тупой и поэтому больше угла ACE, следовательно, сторона АС больше стороны АЕ, равной AD.
Обратно, пусть АС > AD. Возможны три случая:

a) BC=BD;
б) ВС < BD;
с) ВС > BD.

Если BC=BD, то по доказанному выше в пункте 2, AC=AD, что противоречит условию. Если ВС < BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию. Остается третья возможность: ВС > BD. Теорема доказана.

Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости (не проходящей через эту точку) называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Из теоремы о свойствах ортогональной проекции следует, что расстояние от точки А до плоскости pi равно наименьшему расстоянию от точки А до точек этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ее ортогональной проекции.

Доказательство

Пусть даны плоскость pi, перпендикуляр АВ на эту плоскость, наклонная АС, и прямая m в плоскости pi. Нам надо доказать два взаимно обратных утверждения. Первое утверждение: если прямая m перпендикулярна наклонной АС, то она перпендикулярна и ее ортогональной проекции ВС. И обратно: если прямая m перпендикулярна ортогональной проекции ВС, то она перпендикулярна и наклонной АС.

Угол между наклонной и плоскостью

Пусть даны плоскость и наклонная прямая. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью прямой, т. е. равен 90°.

Источник: http://fevt.ru/load/prezentacii_powerpoint/perpendikuljar_prezentacija/110-1-0-979

Практическое занятие. Тема: Перпендикуляр и наклонная

Практическое занятие
Тема: Перпендикуляр и наклонная.
Цели:
Образовательная: продолжить формирование у студентов умений решать задачи по теме «Перпендикуляр и наклонная».
Воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению задач.
Развивающая: развитие логического мышления, навыков сравнительного анализа.
Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, индивидуальные карточки-задания, записи на доске.
Использование элементов педагогических технологий:
1. сотрудничества;
2. здоровье сберегающих (чередование видов деятельности);
3. информационно-коммуникационных;
4. развивающих;

5. личностно-ориентированных.

Результативность:
формирование компетенций: ценностно-смысловой, учебно-познавательной, коммуникативной, личного самосовершенствования.
План занятия.
1) Подготовительный этап.
Повторение опорных знаний.
1) Проверка усвоения пройденного материала фронтально (или индивидуально) по следующим вопросам (на экран проектируются вопросы, на которые студенты отвечают устно).

1. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости.

2. Какая прямая называется наклонной к плоскости?

3. Что называется проекцией наклонной на плоскость?

4. Как формулируется теорема о трех перпендикулярах?

5.Как определяется угол между прямой и плоскостью?

2) Теоретический этап.

а) К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 13 см, проекция наклонной равна 5 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная?

б) Расстояние от точки D до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 15 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC, если АВ = 10 см.

3) Практический этап.
Самостоятельное применение умений и знаний.
Провести самостоятельную работу в 15 вариантах. (Приложение 1)
Список литературы.

1. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

2. Богомолов Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014.

Приложение 1.
Варианты для самостоятельной работы.
Вариант 1

1)Точка А не лежит в плоскости, а точка Е — принадлежит этой плоскости. АЕ = 13 cм, проекция этого отрезка на плоскость равна 5см. Каково расстояние от точки А до данной плоскости?

2)Равнобедренный треугольник ABE находится в плоскости α. Боковые стороны треугольника ABE равны по 10 см, а сторона основания AE=16 см. К этой плоскости проведены перпендикуляр CB, который равен 6 см, и наклонные CA и CE. Вычислите расстояние от точки C до стороны треугольника AE.

3) Через вершину А прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника, а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный, б) Найдите BD, если ВС = 4, DC =6.

Вариант 2

1) Прямая a пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 30°. P∈a, точка R — проекция точки P на плоскость β. PR=7 см. Найди PC.

2)Прямоугольный треугольник MBE (∢M=90°) находится в плоскости α. BE=13 см, а ME=12 см. К этой плоскости проведён перпендикуляр CB длиной 7 см. Вычисли расстояние от точки C до стороны треугольника ME.

3)Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что АВ =АС = 5 см, ВС= 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.

Вариант 3

1) К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 10 см, проекция наклонной равна 6 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная?

2) Точка K расположена в расстоянии 8 cm от плоскости прямоугольника ABCD и в равных расстояниях от вершин прямоугольника.

Рассчитай, на каком расстоянии от вершин прямоугольника расположена точка K, если длина сторон прямоугольника 24 cm и 18 cm.

3) Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, КВ = 7 см, КС=9 см. Найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD;

Вариант 4

1) К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 18 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

2) Расстояние от точки G до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 12 см. Найдите расстояние от точки G до плоскости ABC, если АВ = 9 см.

3) Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.

Вариант 5

1) Прямая m пересекает плоскость ß в точке A, и образует с плоскостью угол 60°,P∈ m, точка R — проекция точки P на плоскость β. PR=9 см. Найди PА.

2)Наклонная AD с плоскостью α образует угол 30˚, а наклонная DC с плоскостью α образует угол 45˚. Длина перпендикуляра DB равна 7 см. Вычисли длины обеих наклонных.

3) Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BМ = 10 дм, АВ = 5 дм.

Вариант 6

1) Длина отрезка VB равна 10 м. Он пересекает плоскость в точке O. Расстояние от концов отрезка до плоскости соответственно равны 2 м и 3 м. Найди острый угол, который образует отрезок VB с плоскостью.

2) Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен 5, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен 60˚. Через вершину прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = 8. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

3) Из точки А, удаленной от плоскости ß на расстояние 5 см, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость ß образуют угол в 120°. Найдите ВС.

Вариант 7

1) Проекции наклонных AD и DC на плоскости α равны соответственно 4 см и 10 см, а угол между ними равен 60°. Вычисли расстояние между концами проекций наклонных.

2) Точка M расположена в расстоянии 10 cm от плоскости прямоугольника ABCD и в равных расстояниях от вершин прямоугольника.

Рассчитай, на каком расстоянии от вершин прямоугольника расположена точка M, если длина сторон прямоугольника 12 cm и 5 cm.

3) Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 11 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

Вариант 8

1) К плоскости α проведена наклонная СD (C∈α). Длина наклонной равна 16 см, наклонная с плоскостью образует угол 30°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка D.

2) Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.

3) Отрезок КD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника КРЕ. Известно, что КР =КЕ = 4 см, РЕ= 8 см, КD = 14 см. Найдите расстояния от концов отрезка КD до прямой РЕ.

Вариант 9

1) Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна 7см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 30°?

2) Расстояние от точки N до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 5 см. Найдите расстояние от точки N до плоскости ABC, если АВ = 8 см.

3) Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, КВ = 7 см, КС=9 см. Найдите расстояние между прямыми АК и CD.

Вариант 10

1) Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна 15. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 60°.

2) Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС=10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите расстояние от точки D до прямой AC

3) Точка М расположена в расстоянии 10 см. от плоскости прямоугольника ABCD и в равных расстояниях от вершин прямоугольника.

Рассчитай, на каком расстоянии от верши прямоугольника расположена точка M, если длина сторон прямоугольника 16 см и 10 см.

Вариант 11

1) Под углом φ к плоскости α проведена наклонная. Найдите φ, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

2) Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2 √7 см.

3) Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС=10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите площадь треугольника ACD.

Вариант12
1) Проекции наклонных AМ и МC на плоскость α равны соответственно 5 см и 8 см, а угол между ними равен 45°.
Вычисли расстояние между концами проекций наклонных
2) Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны

3) Через вершину М квадрата MNOR проведена прямая MF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если MF = 12 дм, MN = 6 дм.

Вариант 13

1) Один конец данного отрезка лежит в плоскости ß, а другой находится от нее на расстоянии 12 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости ß.

2) Точка P расположена в расстоянии 12 см от плоскости прямоугольника ABCD и в равных расстояниях от вершин прямоугольника.

Рассчитай, на каком расстоянии от вершин прямоугольника расположена точка P, если длина сторон прямоугольника 8 см и 6 см.

3) Проекции наклонных MN и MK на плоскости α равны соответственно 8 см и 12 см, а угол между ними равен 30°. Вычисли расстояние между концами проекций наклонных.

Вариант 14

1) Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна 8см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 45°.

2) Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если AB = 25 см, ∠BAD = 60°, BM =12,5 см.

3) Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. Известно, что ∠OAB= ∠BAС = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Вариант 15

1) Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 3 см и 7 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α.

2) Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.

3) Наклонная НМ, проведенная из точки Н к данной плоскости, равна 9см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой НМ и данной плоскостью равен 45°?

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/praktichieskoiezaniatiietiemapierpiendikuliarinaklonnaia

Источник

Перпендикуляр и наклонная к прямой

СОДЕРЖАНИЕ

1 Перпендикуляр и наклонная к прямой
- 1.1 1. Проекция отрезка на прямую.
- 1.2 2. Свойства перпендикуляра и наклонных.
2 Наклонная к прямой
3 Математика
4 Перпендикуляр и наклонная
5 Перпендикулярность геометрических элементов
6 1. Теорема о проецировании прямого угла
7 2. Главные линии плоскости
8 3 Прямая, перпендикулярная к плоскости
9 4. Перпендикулярные плоскости
10 6.5 Перпендикулярные прямые
11 Построение перпендикуляра к базовой линии
12 Построение направления,параллельного базовой линии
13 Перпендикуляр и наклонная
- 13.1 Теорема о трех перпендикулярах
14 Пересекающиеся прямые
15 Перпендикуляр и наклонная
16 Определение перпендикуляра и наклонной
17 Перпендикуляр к наклонной линии

1. Проекция отрезка на прямую.

Отрезок СО — перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (рис).

Отрезок ВС — наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (рис.).

Отрезок А&#146В&#146 — проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ&#146 — также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.

Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К&#146 (рис.).

2. Свойства перпендикуляра и наклонных.

Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции .

Пусть АС и СВ — наклонные к прямой АВ (рис.). СО ⊥ АВ и АО = ОВ.

Требуется доказать, что АС = ВС.

Пусть АВ и ВС — наклонные к прямой АО; ВО ⊥ АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.

1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.

Пусть КС и ВС — наклонные к прямой КВ (рис.), СО ⊥ КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.

Между отрезками КО и ОВ может быть только одно из трёх соотношений:

КО не может быть меньше ОВ, так как тогда по теореме 4 наклонная КС была бы меньше наклонной ВС, а это противоречит условию теоремы.

Точно так же КО не может равняться ОВ, так как в этом случае по теореме 3 КС = ВС, что также противоречит условию теоремы.

Следовательно, остаётся верным только последнее соотношение, а именно, что КО > ОВ.

Наклонная к прямой

На рисунке 1 AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, AC — наклонная.

Точка B — основание перпендикуляра, точка C — основание наклонной AC.

Отрезок BC, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной, — проекция наклонной AC на прямую a.

Из точки к прямой можно провести бесконечно много наклонных.

На рисунке 2 наклонные AC и AD расположены по одну сторону от перпендикуляра AB.

BC — проекция наклонной AC на прямую a,

BD — проекция наклонной AD на прямую a.

CD — расстояние между основаниями наклонных

На рисунке 3 наклонные AC и AD расположены по разные стороны от перпендикуляра AB.

BC — проекция наклонной AC на прямую a,

BD — проекция наклонной AD на прямую a.

CD — расстояние между основаниями наклонных

В следующий раз рассмотрим свойства наклонных.

Математика

Теорема 11. Из точки, лежащей вне прямой, на данную прямую можно опустить только один перпендикуляр.

Дана линия AB и внешняя точка C (чер. 29).

Требуется доказать, что можно опустить только одни перпендикуляр.

Доказательство. Предположим, что из точки C опущены на прямую AB два перпендикуляра CD и CE. Продолжим линию CD и отложим на ней точку F на расстоянии DF равном CD и соединим точку F с E.

Перегнем около линии AB верхнюю часть чертежа, тогда

a) линия CD пойдет по направлению линии DF, ибо углы CDE и EDF равны как прямые.

b) точка C совпадает с точкой F, ибо CD = DF по построению, и

c) линия CE совпадет с линией EF, следовательно, угол α = углу β.

Угол α прямой, следовательно, и угол β тоже прямой.

Сумма углов α + β = 2d, следовательно, по теореме 6, две стороны CE и EF составляют одну прямую CEF. Таким образом между двумя точками C и F проведены две не совпадающие прямые CDF и CEF. Это невозможно, следовательно, из точки C на линию AB дух перпендикуляров провести нельзя.

Кроме перпендикуляра всякая линия CE, идущая от точки C до прямой, называется наклонной или косвенной.

Теорема 12 . Перпендикуляр короче наклонной.

Д а ны перпендикуляр CD и наклонная CE (чер. 29).

Требуется доказать, что CD

Доказательство . Из предыдущего построения видно, что

Прямая менее ломаной, следовательно,

Так как CE = EF, CD = DF, то

Расстояние DE называется расстоянием наклонной от перпендикуляра. Это расстояние есть расстояние подошвы перпендикуляра от подошвы наклонной.

Так как перпендикуляр короче всякой наклонной, то длина его выражает собой кратчайшее расстояние от точки до прямой линии.

Отсюда вытекает следующее заключение . Кратчайшее расстояние точки от прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую линию.

Теорема 13 . Наклонные, равноотстоящая от перпендикуляра, равны.

Даны линии CD ⊥ AB (чер. 30) и две наклонные DM и DN, находящиеся на равных расстояниях CM и CN (CM = CN).

Требуется доказать, что DM = DN.

Доказательство . Повернем левую часть чертежа около линии CD, как около оси, тогда a) линия CA пойдет по линии CB, ибо углы при C прямые, b) точка M совпадет с N, ибо CM = CN по условию, и линия DM совпадет с линией DN всеми своими точками, следовательно

Теорема 14 . На большем расстоянии от перпендикуляра находится большая наклонная.

Даны DC ⊥ AB и две наклонные DF и DE, находящиеся на расстоянии CF и CE, из которых CF > CE (чер. 31).

Требуется доказать, что DF > DE.

Доказательство . a) Продолжим линию DC и отложим линию CG = CD.

Соединим точки E и F с точкой G. Повернув верхнюю часть чертежа около линии AB, как около ос, увидим, что линия DC пойдет по линии CG, ибо углы при точке C прямые, точка D совпадет с точкою G, линия DE совпадет с линией EG, а DF с FG, следовательно,

b) Внешняя ломаная больше внутренней, следовательно,

DF + FG > DE + EG или 2DF > 2DE

Сократив на 2, имеем:

Теорема 15 (обратная 14). Большая наклонная более удалена от перпендикуляра.

Даны DC ⊥ AB и две наклонные DF и DE, из которых DF > DE (чер. 32).

Требуется доказать, что CF > CE.

Доказательство . Тут могут быть три случая: CF > CE, CF = CE и CF

a) Если бы линия CF была меньше CE, то по теореме 14 линия DF тоже была бы

b) Если бы CF = CE, по теореме 13 было бы DF = DE, что также противоречит условию, следовательно, CF > CE (ЧТД).

Теорема 16 (обратная 13). Равные наклонные находятся на равном расстоянии от перпендикуляра.

Даны равные наклонные DM и DN (черт. 30) (DM = DN).

Требуется доказать, что CN = CM.

Доказательство . Здесь могут быть три случая: CN > CM, CN

a) Если бы было CN > CM, по теореме 14 было бы DN > DM, что противоречит условию.

b) Если бы было CN

Теорема 17 . Каждая точка перпендикуляра, восставленного из середины отрезка, находится на равных расстояниях от его концов.

Дано. Точка C есть середина отрезка AB, следовательно, AC = CB и линия CD ⊥ AB (черт. 33).

Требуется доказать, что DA = DB.

Доказательство . Наклонные DA и DB, находящиеся на равных расстояниях CA и CB, равны, следовательно, DA = DB (ЧТД).

Теорема 18 . Все точки вне перпендикуляра не находятся на равных расстояниях от его концов.

Дана точка E вне перпендикуляра CD (чер. 34).

Требуется доказать, что ее расстояния до концов отрезка AB не равны.

Доказательство . Соединим G, точку пересечения линий AE и CD с концом B, тогда AG = GB.

Ломаная EGB больше EB или

Заменив BG равной линией AG (т. 17), имеем:

Перпендикуляр и наклонная

Теорема. Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то:

1) наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше;

3) равные наклонные имеют равные проекции;

4) из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной (рис. 12.3).

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Пример 1. Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости.

Решение. Анализ. Предположим, что прямая построена (рис. 12.4). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости (по признаку параллельности прямой и плоскости). Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Значит, построив плоскость, проходящую через данную точку и произвольную прямую в данной плоскости, можно будет построить параллельную прямую.

1. На плоскости  проводим прямую а.

2. Прямая а и точка А задают плоскость. Построим плоскость .

3. В плоскости  через точку А проведем прямую b, параллельную прямой а.

4. Построена прямая b, параллельная плоскости .

Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости , так как она параллельна прямой а, принадлежащей плоскости .

Исследование. Задача имеет бесконечное множество решений, так как прямая а в плоскости  выбирается произвольно.

Пример 2. Определите, на каком расстоянии от плоскости находится точка А, если прямая АВ пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки А до точки В, принадлежащей плоскости, равно см.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 12.5):

АС – перпендикуляр к плоскости , АВ – наклонная, угол АВС – угол между прямой АВ и плоскостью . Треугольник АВС – прямоугольный, так какАС – перпендикуляр. Искомое расстояние от точки А до плоскости – это катет АС прямоугольного треугольника. Зная угол и гипотенузу найдем катетАС:

В ответе получаем: АС = 3 см.

Пример 3. Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка, удаленная от каждой из вершин треугольника на 13 см, если основание и высота треугольника равны по 8 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.6). Точка S удалена от точек А, В и С на одинаковое расстояние. Значит, наклонные SA, SB и SC равные, SO – общий перпендикуляр этих наклонных. По теореме о наклонных и проекциях АО = ВО = СО.

Точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Найдем ее радиус:

где ВС – основание; AD – высота данного равнобедренного треугольника.

Находим стороны треугольника АВС из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:

Теперь находим ОВ:

Рассмотрим треугольник SOB: SB = 13 см, ОВ = 5 см. Находим длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора:

В ответе получаем: SO = 12 см.

Пример 4. Даны параллельные плоскости  и . Через точку М, не принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и b, которые пересекают плоскость  в точках А₁ и В₁, а плоскость  – в точках А₂ и В₂. Найти А₁В₁, если известно, что МА₁ = 8 см, А₁А₂ = 12 см, А₂В₂ = 25 см.

Решение. Так как в условии не сказано, как расположена относительно обеих плоскостей точка М, то возможны два варианта: (рис. 12.7, а, б). Рассмотрим каждый из них. Две пересекающиеся прямые а и b задают плоскость. Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости  и  по параллельным прямым А₁В₁ и А₂В₂ согласно теореме 5 о параллельных прямых и параллельных плоскостях.

Отсюда

Получаем ответ: 10 см и 50 см.

Пример 5. Через точку А плоскости  проведена прямая АВ, образующая с плоскостью угол . Через прямую АВ проведена плоскость , образующая с плоскостью  угол . Найти угол между проекцией прямой АВ на плоскость  и плоскостью .

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.8). Из точки В опустим перпендикуляр на плоскость . Линейный угол двугранного угла между плоскостями и  – это угол ПрямаяAD перпендикулярна плоскости треугольника DBC, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как иПо признаку перпендикулярности плоскостей плоскость перпендикулярна плоскости треугольника DBC, так как она проходит через прямую AD. Искомый угол построим, опустив перпендикуляр из точки С на плоскость , обозначим его Найдем синус этого угла прямоугольного треугольникаСАМ. Введем вспомогательный отрезок ВС = а. Из треугольника АВС: Из треугольникаВМС ( ) найдем:

Тогда искомый угол

Перпендикулярность геометрических элементов

1. Теорема о проецировании прямого угла

2. Главные линии плоскости

3. Прямая, перпендикулярная к плоскости

4. Перпендикулярные плоскости

5. Перпендикулярные прямые

1. Теорема о проецировании прямого угла

Возможны три случая проецирования прямого угла:

1. Если обе стороны прямого угла прямые общего положения, то прямой угол проецируется искаженно на все три плоскости проекций.

2. Если обе стороны прямого угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в натуральную величину.

3. Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в натуральную величину, рис. 64. Это основная теорема о проецировании прямого угла.

Дано: ÐАВС = 90°; ВСúú Н. Необходимо доказать: ÐА ¢В ¢С ¢ = 90°.

ВС ^АВ , следовательно ВС ^ВВ ¢ — по свойству ортогонального проецирования

4. В ¢С ¢^А ¢В ¢ — что и требовалось доказать

2. Главные линии плоскости

Линии уровня плоскости

Кроме прямых линий общего положения, в плоскости отмечают три главные линии: горизонтальную (горизонталь), фронтальную (фронталь) и линию наибольшего наклона. Эти линии применяют как вспомогательные: они упрощают решение задач. Две из них — горизонтальная и фронтальная — уже рассматривались.

Необходимо добавить, что все горизонтальные линии плоскости параллельны между собой, а их горизонтальные проекции параллельны горизонтальному следу плоскости (рис. 65). Горизонтальный след плоскости — одна из горизонталей.

Рис. 64
Рис. 65

Все фронтальные линии плоскости параллельны между собой, а их фронтальные проекции параллельны фронтальному следу плоскости. Фронтальный след плоскости — одна из фронтальных линий (рис. 66).

Линии наибольшего наклона плоскости

Прямые плоскости, перпендикулярные к прямым уровня этой плоскости, называются линией наибольшего наклона (ЛНН) данной плоскости к соответствующей плоскости проекций.

Линии наибольшего наклона плоскости перпендикулярны к ее следам или к линиям уровня (либо к ее горизонталям, либо к фронталям, либо к ее профильным прямым) (рис. 67).

В случае перпендикулярности к горизонтали определяется наклон к плоскости проекций H (при этом ЛНН называют линией наибольшего ската ), перпендикулярности к фронтали — наклон к плоскости проекций V, перпендикулярности к профильной прямой — наклон к плоскости проекций W.

На рис. 67, 68 дано изображение плоскости  (а ||b ), для которой требуется построить линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций H.

Проведем в данной плоскости горизонталь h (рис. 68). Прямая n , перпендикулярная к прямой h , перпендикулярна и к следу плоскости _H (KL ^H) (рис. 69).

Угол наклона прямой n к плоскости H определяется как угол между прямой и ее проекцией на плоскость H. Строим KK ¢^H (рис. 69). Тогда угол j — искомый угол наклона прямой n к плоскости H.

На рис. 68 построена линия наибольшего наклона плоскости  к горизонтальной плоскости проекций — прямая n . Угол наклона плоскости  к плоскости H получают при определении натуральной величины отрезка KM при построении прямоугольного треугольника по проекциям K ¢M ‘ и

3 Прямая, перпендикулярная к плоскости

Прямая, перпендикулярная к плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого угла в качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать ее линии уровня.

Поэтому, проводя перпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости две такие прямые: горизонталь и фронталь.

Проекции прямой, перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже перпендикулярны к соответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линия перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали (рис. 70) или соответствующим следам плоскости (рис. 71).

Рис. 70
Рис. 71

На рис. 72 изображена плоскость общего положения  (a ||b ), к которой к которой требуется провести перпендикулярную прямую.

Проводим в данной плоскости горизонталь h (через точки 1,3) и фронталь v (через точки 1,4) (рис. 72).

Затем из точки 1 проводим прямую n перпендикулярно к горизонтали и фронтали плоскости следующим образом:

Построенная прямая n (n’ , n» ) является искомым перпендикуляром к плоскости .

4. Перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную данной плоскости. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями:

1) плоскость проводится через перпендикуляр к другой;

2) плоскость проводится перпендикулярно прямой, принадлежащей другой плоскости.

На рис. 73 изображены прямая общего положения

Для решения задачи необходимо через какую-нибудь точку данной прямой, например, точку М, провести перпендикуляр к плоскости , заданной пересекающимися прямыми a и b.

Проводим в плоскости  горизонталь h и фронталь v (рис. 73).

Далее из точки М , взятой на прямой

6.5 Перпендикулярные прямые

Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

На рис. 74 изображена прямая

Через точку А прямой

Любая прямая, лежащая в плоскости  будет также перпендикулярна к данной прямой

Соединив точки А и В , лежащие в плоскости, получим прямую n , перпендикулярную к данной прямой

Построение перпендикуляра к базовой линии

Пусть АВ есть базовая линия, точки которой недоступны для установки теодолита, и к этой линии необходимо построить перпендикуляр с точки Г, где установлен теодолит (рис. 15.5).

Задача сводится к отысканию основания перпендикуляра (точка Т°), опущенного с точки стояния теодолита на базовую линию. Для этого на базовой линии

Рис. 15.5. Построение перпендикуляра к базовой линии

выбирают на некотором удалении друг от друга две точки 1 и 2. Рулеткой измеряют расстояние между этими точками, а также измеряют расстояние S от точки 2 до оси вращения теодолита. Кроме того, измеряется угол /? в точке стояния прибора.

Найдя отрезки х и у, находят положение точки V на базовой линии построением этих отрезков соответственно от точек 2 или 1. Очевидно, что х + у = Ь.

Кроме того, следует проконтролировать выполнение условия у + /?’ = 90°, для чего необходимо измерить угол /У’.

Построение направления,параллельного базовой линии

В протяжённых направляющих со сложным креплением с большими пролётами (для подкрановых путей) выверку параллельности производят от двух параллельных створов. При исполнительной съёмке конструкций, установленных но монтажной оси, также возникает задача построения створа, параллельного оси, с целью производства съёмки методом бокового нивелирования. Часто в таких случаях створ задаётся коллимационной плоскостью теодолита, ориентированного параллельно базовой линии.

Ориентировать визирную плоскость теодолита параллельно базовой линии можно несколькими способами.

На рисунке 15.6, а) приведён способ построения параллельного направления путём введения поправки в отсчёт по горизонтальному кругу теодолита, труба которого ориентирована приблизительно параллельно базовой линии.

Теодолит устанавливают в точке Т на некотором удалении от базовой линии, заданной точками А и В. К базовой линии в точках А и В последовательно прикладывается измерительная линейка (нивелирная шашечная рейка) и производятся отсчёты а и b. Если разность отсчётов Д = b — а не равна нулю, то трубу теодолита следует повернуть на угол Да, значение которого вычисляют по формуле

где SI и S₂ — расстояния от теодолита до точек базовой линии. Для контроля отложения угла Да целесообразно вычислить по рейкам отсчёт а₍₎, соответствующий параллельному положению коллимационной плоскости теодолита заданной базовой линии:

Задача может быть решена без линейных измерений, а с использованием лишь нивелирных шашечных рейек, устанавливаемых горизонтально в исходных точках А и В базовой линии.

Установив теодолит в точку Т на некотором удалении от базовой линии (рис. 15.6, b), приводят его в рабочее положение, и зрительную трубу визуально ориентируют по направлению Тх, так, чтобы её коллимационная плоскость в перспективе пересеклась с направлением базовой линии. В этом положении зрительной трубы производят отсчёты по рейке а, и а₂, последовательно устанавливаемой в исходных точках А и В.

При следующем положении зрительной трубы, когда её ось ориентирована по направлению Тх₂ на удаление от базовой линии, по рейкам, установленным в тех

Построение направления, параллельного базовой линии

же точках, последовательно читают отсчёты а, и а₄. Далее вычисляется отсчёт но рейке а_п = а₂ + z, соответствующий параллельному положению визирной плоскости базовой линии. Здесь z вычисляют по формуле

Вычислив отсчёт а₀ , устанавливают рейку на одну из исходных точек (естественно, на дальнюю) и, наведя крест сетки нитей на этот отсчёт, закрепляют трубу. Контролируют построенное направление но другим точкам, задающим базовую линию.

Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляр короче любой наклонной, проведенной к плоскости из той же точки

У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны. Верно и обратное. Если равны проекции наклонных к плоскости, проведенных из одной точки, то равны и наклонные.

Из двух наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.

Верно и обратное.

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Заметим, что, вообще говоря, теорема о трех перпендикулярах верна и в более общем случае:

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Пересекающиеся прямые

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что эти прямые пересекаются. Такие прямые называют пересекающимися прямыми:

Говорят: прямые a и b пересекаются в точке O . Точка O лежит и на прямой a, и на прямой b . Точка O является точкой пересечения прямых a и b .

Точка пересечения – это точка, общая для двух или более геометрических фигур.

Перпендикуляр и наклонная

При пересечении вертикальной и горизонтальной прямой линии образуется четыре прямых угла. Такие линии, относительно друг к другу, называются перпендикулярными линиями или просто перпендикулярами:

Прямые a и b взаимно перпендикулярны. Перпендикулярность обозначается символом ⊥, то есть a ⊥ b или b ⊥ a. Каждая из этих прямых называется перпендикуляром относительно другой прямой: a – перпендикуляр к b, и b – перпендикуляр к a.

Даже если прямые не являются вертикальной и горизонтальной линиями, но при пересечении образуют четыре прямых угла, то они всё равно являются перпендикулярными:

Если прямая линия пересекает другую не под прямым углом, то такая линия называется наклонной к прямой, которую она пересекает. При этом образуется четыре угла: два из них будут острыми и два тупыми:

Образованные острые углы равны и относительно друг друга будут называться вертикальными углами. То же самое можно сказать и об образованных тупых углах – они равные и вертикальные.

Определение перпендикуляра и наклонной

1) Определение перпендикуляра и наклонной.

Пусть дана плоскость и не лежащая на ней точка.

· Отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.

· Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

· Любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.

· Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

На рисунке из точки А проведены к плоскости α перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, ВС — проекция наклонной АС на плоскость α.

2) Доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной

На рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней AO, наклонная AB, а также показан отрезок BO, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. Отрезки AO, BO и AB образуют ΔAOB.

Рассмотрим ΔAOB, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Перпендикуляр AO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой. Катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме Пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.

3) Определение проекции

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Отрезок BO на рисунке 2 – является проекцией наклонной AB.

4) Теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций

А) Любая наклонная больше своей проекции.

Вновь рассмотрим ΔAOB, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Проекция BO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.

Б) Равные наклонные имеют равные проекции

Доказательство: Рассмотрим треугольники AOB и AOD, они равны, т. к. равны их гипотенузы AB и AD, и углы AOB и AOD (они прямые), а сторона AO у них общая. Из равенства треугольников следует и равенство их сторон BO = OD, что и требовалось доказать.

В) Если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. Доказывается аналогично утверждению Б.

Г) Большей наклонной соответствует большая проекция.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и AOD, AB > AD.

Но так как AB > AD => AB2 > AD2 => > =>

=> BO > DO. Что и требовалось доказать.

Д) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. Доказывается аналогично Г.

Перпендикуляр к наклонной линии

Задачи, в которых определяются натуральные величины отрезков прямых, плоских фигур, углов и т.д., называются метрическими. В основе решения любой метрической задачи лежат свойства конгруэнтности и теорема о проецировании прямого угла (см. тему 1).

6.1. Определение натуральной величины отрезка прямой линии общего положения методом прямоугольного треугольника

Рис. 6.1. Натуральная величина отрезка определяется гипотенузой прямоугольного треугольника у которого катеты равны разности координат начала и конца.

Аналитически длина отрезка вычисляется (на языке программирования) по формуле:
s = sqrt ((xA-xB)*(xA-xB)+(xA-xB)*(xA-xB)+(xA-xB)*(xA-xB)),
где
xA-xB — разность широт начальной и конечной точек отрезка;
yA-yB — разность глубин начальной и конечной точек отрезка;
zA-zB — разность высот начальной и конечной точек отрезка;

6.2. Перпендикулярность прямой и плоскости

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекции перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 6.4,а).

а) б) в)
Рис. 6.2. Прямая перпендикулярная плоскости (ее фронтали и горизонтали).

Если плоскость задана следами, то прямая, перпендикулярная к ней, будет изображаться прямой линией, перпендикулярной к одноименным следам плоскости (имеем горизонтальный след — это горизонталь и фронтальный след — фронталь плоскости) (рис. 6.2,б).
Если прямая перпендикулярна к проецирующей плоскости, то она будет являться линией уровня (рис. 6.2,в).

Прямая а перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости (на рис. плоскость задана следами, а две пересекающиеся прямые f и h выбраны фронталью и горизонталью, которые параллельны следам плоскости).

6.3. Перпендикулярность двух плоскостей

На рис. 6.4, а показано построение плоскости Q (n пересекается с m), проходящей через точку К, перпендикулярной плоскости треугольника АВС и параллельной заданной прямой l (последнее дополнительное условие определяет единственное решение задачи).

Рис.6.4. Плоскость проходящая через перпендикуляр к другой плоскости перпендикулярна ей.

Решение задачи состоит в следующем: вначале, опускаем из точки К перпендикуляр n на плоскость треугольника АВС, для чего проводим горизонталь h и фронталь f в плоскости треугольника, и затем строим n’ перпендикулярно h’ и n» перпендикулярно f», и через точку К проводим прямую m, параллельную прямой l. Две пересекающиеся прямые m и n определяют искомую плоскость, перпендикулярную заданной плоскости.

Аналогично решаются задачи о построении перпендикулярной плоскости к плоскости, заданной следами. На рис. показана такая задача. Кроме того, плоскость Р проведена перпендикулярно и плоскости Н.

Рис. 6.5. Плоскость Q (ее след перепендикулярен P) явно видно, что перпендикулярна P.

По определению: плоскость перпендикулярно другой плоскости, если она перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Если плоскость перпендикулярна горизонтальной линии (горизонтали), то она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций Н

6.4. Линия ската и углы наклона плоскости к плоскостям проекций

Линией наибольшего ската (уклона) называется прямая плоскости, перпендикулярная к горизонтальному следу или горизонталям этой плоскости. (рис. 6.7, а,б, а также см. тему 3). При помощи линий ската определяется угол наклона данной плоскости к плоскости H.

Натуральная величина наклона плоскости (в частности, линий ската) может быть на ортогональном чертеже определена с помощью прямоугольного треугольника.
а) б)

Рис. 6.7. а) Прямая плоскости перпендикулярная ее горизонтали называется линией ската, б) прямая плоскости перпендикулярная горизонтальному следу плоскости является линией ската.

Аналогично могут быть определены углы наклона плоскости и к плоскостям V и W. Для этого используются прямые наибольшего уклона данной плоскости к соответствующим плоскостям проекций.

Прямые наибольшего уклона, перпендикулярные фронталям плоскости, образуют наибольший угол с фронтальной плоскостью;

прямые наибольшего уклона, перпендикулярные профильным прямым плоскости, образуют наибольший угол с профильной плоскостью проекций.

Угол, образованный между прямой наибольшего уклона и ее проекцией на выбранную плоскость проекций, определяют угол наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций. На эпюре данный угол может быть определен из метода прямоугольного треугольника.

Источник

Планиметрия

2. Треугольники

2.6. Теоремы о перпендикуляре, наклонных и их проекциях

Определение перпендикуляра мы уже знаем. Из точки, взятой вне прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр. Также через эту же точку можно провести еще бесчисленное множество других прямых, пересекающих данную прямую и образующих с ней непрямые углы.

Определение

Точка пересечения перпендикуляра к прямой с этой прямой называется основанием перпендикуляра.

Определение

Прямая, пересекающая другую прямую и не перпендикулярная к ней, называется наклонной.

Определение

Точка пересечения наклонной к прямой с этой прямой называется основанием наклонной.

Определение

Отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных из одной точки к прямой, называется проекцией наклонной.

Определение

Расстоянием точки от прямой называется длина перпендикуляра от данной точки до его основания на данной прямой.

Примечание. Под длиной перпендикуляра и наклонной будем понимать длину их отрезков между основанием и точкой, из которой проведены перпендикуляр и наклонная.

Теорема 1

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то перпендикуляр меньше любой наклонной.

Доказательство:

В прямоугольном треугольнике AOB — гипотенуза, — катет.

Теорема 2

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то равные наклонные имеют равные проекции.

Доказательство:

Так как AB=AC , то — равнобедренный, перпендикуляр — высота, которая является и медианой. BO=OC .

Теорема 3

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то (обратная теореме 2) равным проекциям соответствуют равные наклонные.

Дано: и BO=OC . Требуется доказать: AB=AC .

Доказательство:

Для доказательства перегнем чертеж по . Тогда пойдет по , так как прямые углы при наложении совпадут. Точка попадет в точку (BO=OC) . совпадет с .

Теорема 4

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то большей проекции соответствует большая наклонная.
Дано: DO>CO , .
Требуется доказать: AD>AC .

Доказательство:

больше прямого угла AOC . В треугольнике ACD лежит против тупого угла, а — против острого, AD>AC .
Пусть наклонные и с неравными проекциями расположены по разные стороны от . Повернем вокруг , он займет положение . Но мы уже доказали, что AD>AC , а AB=AC , значит, AD>AB .

Теорема 5

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то (обратная теореме 4) большая наклонная имеет большую проекцию.
Дано: AD>AB .
Требуется доказать: OD>OB .

Доказательство:

Между и может быть только одно из трех соотношений: OD=OB , или OD<OB , или OD>OB . Применив теоремы 3 и 4, убедимся, что первые два соотношения приводят к противоречию с условием теоремы (AD>AB) , а поэтому невозможны. Верно только соотношение OD>OB .

Источник