Как найти направление силы электрического поля

Электрическое поле

Электродинамика – раздел физики, изучающий свойства и взаимодействия электрических зарядов, осуществляемые посредством электромагнитного поля.

Электростатикой называется раздел электродинамики, в котором рассматриваются свойства и взаимодействия неподвижных электрически заряженных тел или частиц.

Электромагнитное взаимодействие – это взаимодействие между электрически заряженными частицами или макротелами.

Точечный заряд – заряженное тело, размер которого мал по сравнению с расстоянием, на котором оценивается его действие.

Содержание

  • Электризация тел
  • Взаимодействие зарядов. Два вида зарядов
  • Закон сохранения электрического заряда
  • Закон Кулона
  • Действие электрического поля на электрические заряды
  • Напряженность электрического поля
  • Принцип суперпозиции электрических полей
  • Потенциальность электростатического поля
  • Потенциал электрического поля. Разность потенциалов
  • Проводники в электрическом поле
  • Диэлектрики в электрическом поле
  • Электрическая емкость. Конденсатор
  • Энергия электрического поля конденсатора
  • Основные формулы раздела «Электрическое поле»

Электризация тел

Электризация – процесс сообщения телу электрического заряда, т. е. нарушение его электрической нейтральности. Процесс электризации представляет собой перенесение с одного тела на другое электронов или ионов. В результате электризации тело получает возможность участвовать в электромагнитном взаимодействии.

Способы электризации:

  • трением, – например, электризация эбонитовой палочки при трении о мех. При тесном соприкосновении двух тел часть электронов переходит с одного тела на другое; в результате этого на поверхности у одного из тел создается недостаток электронов и тело получает положительный заряд, а у другого – избыток, и тело заряжается отрицательно. Величины зарядов тел одинаковы;
  • через влияние (электростатическая индукция) – тело остается электрически нейтральным, электрические заряды внутри него перераспределяются так, что разные части тела приобретают разные по знаку заряды;
  • при соприкосновении заряженного и незаряженного тела – заряд при этом распределяется между этими телами пропорционально их размерам. Если размеры тел одинаковы, то заряд распределяется между ними поровну;
  • при ударе;
  • под действием излучения – под действием света с поверхности проводника могут вырываться электроны, при этом проводник приобретает положительный заряд.

Взаимодействие зарядов. Два вида зарядов

Электрический заряд – скалярная физическая величина, характеризующая способность тела участвовать в электромагнитных взаимодействиях.

Обозначение – ​( q )​, единица измерения в СИ – кулон (Кл).

Существуют два вида электрических зарядов: положительный и отрицательный. Наименьший отрицательный заряд имеет электрон (–1,6·10-19 Кл), наименьший положительный заряд (1,6·10-19 Кл) – протон. Минимальный заряд, который может быть сообщен телу, равен заряду электрона (элементарный заряд). Если тело имеет избыточные (лишние) электроны, то тело заряжено отрицательно, если у тела недостаток электронов, то тело заряжено положительно.

Величина заряда тела будет равна

где ​( N )​ — число избыточных или недостающих электронов;
( e )​ — элементарный заряд, равный 1,6·10-19 Кл.

Важно!
Частица может не иметь заряда, но заряд без частицы не существует.

Электрические заряды взаимодействуют:

  • заряды одного знака отталкиваются:

  • заряды противоположных знаков притягиваются:

Прибор для обнаружения электрического заряда называется электроскоп. Основная часть прибора – металлический стержень, на котором закреплены два листочка металлической фольги, помещенные в стеклянный сосуд. При соприкосновении заряженного тела со стержнем электроскопа заряды распределяются между листочками фольги. Так как заряд листочков одинаков по знаку, они отталкиваются.

Для измерения зарядов можно использовать и электрометр. Основные части его – металлический стержень и стрелка, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси. Стержень со стрелкой закреплен в пластмассовой втулке и помещен в металлический корпус, закрытый стеклянными крышками. При соприкосновении заряженного тела со стержнем стержень и стрелка получают электрические заряды одного знака. Стрелка поворачивается на некоторый угол.

Закон сохранения электрического заряда

Систему называют замкнутой (электрически изолированной), если в ней не происходит обмена зарядами с окружающей средой.

В любой замкнутой (электрически изолированной) системе сумма электрических зарядов остается постоянной при любых взаимодействиях внутри нее.

Полный электрический заряд ​( (q) )​ системы равен алгебраической сумме ее положительных и отрицательных зарядов ​( (q_1, q_2 … q_N) )​:

Важно!
В природе не возникают и не исчезают заряды одного знака: положительный и отрицательный заряды могут взаимно нейтрализовать друг друга, если они равны по модулю.

Закон Кулона

Закон Кулона был открыт экспериментально: в опытах с использованием крутильных весов измерялись силы взаимодействия заряженных шаров.

Закон Кулона формулируется так:
сила взаимодействия ​( F )​ двух точечных неподвижных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна их модулям ​( q_1 )​ и ( q_2 ) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними ​( r )​:

где ​( k=frac{1}{4pivarepsilon_0}=9cdot10^9 )​ (Н·м2)/Кл2 – коэффициент пропорциональности,
( varepsilon_0=8.85cdot10^{-12} )​ Кл2/(Н·м2) – электрическая постоянная.

Коэффициент ​( k )​ численно равен силе, с которой два точечных заряда величиной 1 Кл каждый взаимодействуют в вакууме на расстоянии 1 м.

Сила Кулона направлена вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие заряды. Заряды взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению.

Значение силы Кулона зависит от среды, в которой они находятся. В этом случае формула закона:

где ​( varepsilon )​ – диэлектрическая проницаемость среды.

Закон Кулона применим к взаимодействию

  • неподвижных точечных зарядов;
  • равномерно заряженных тел сферической формы.

В этом случае ​( r )​ – расстояние между центрами сферических поверхностей.

Важно!
Если заряженное тело протяженное, то его необходимо разбить на точечные заряды, рассчитать силы их попарного взаимодействия и найти равнодействующую этих сил (принцип суперпозиции).

Действие электрического поля на электрические заряды

Электрическое поле – это особая форма материи, существующая вокруг электрически заряженных тел.

Впервые понятие электрического поля было введено Фарадеем. Он объяснял взаимодействие зарядов следующим образом: каждый заряд создает вокруг себя электрическое поле, которое с некоторой силой действует на другой заряд.

Свойства электрического поля заключаются в том, что оно:

  • материально;
  • создается зарядом;
  • обнаруживается по действию на заряд;
  • непрерывно распределено в пространстве;
  • ослабевает с увеличением расстояния от заряда.

Действие заряженного тела на окружающие тела проявляется в виде сил притяжения и отталкивания, стремящихся поворачивать и перемещать эти тела по отношению к заряженному телу.

Силу, с которой электрическое поле действует на заряд, можно рассчитать по формуле:

где ​( vec{E} )​ – напряженность электрического поля, ​( q )​ – заряд.

Решение задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов механики с учетом закона Кулона и вытекающих из него следствий.

Алгоритм решения задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним:

  • сделать рисунок; указать силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле;
  • записать для заряда условие равновесия или основное уравнение динамики материальной точки;
  • выразить силы электрического взаимодействия через заряды и поля и подставить эти выражения в исходное уравнение;
  • если при взаимодействии заряженных тел между ними происходит перераспределение зарядов, к составленному уравнению добавить уравнение закона сохранения зарядов;
  • записать математически все вспомогательные условия;
  • решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
  • проверить решение

Напряженность электрического поля

Напряженность электрического поля( vec{E} )​ – векторная физическая величина, равная отношению силы ​( F )​, действующей на пробный точечный заряд, к величине этого заряда ​( q )​:

Обозначение – ( vec{E} ), единица измерения в СИ – Н/Кл или В/м.

Напряженность поля точечного заряда в вакууме вычисляется по формуле:

где ( k=frac{1}{4pivarepsilon_0}=9cdot10^9 ) (Н·м2)/Кл2,
( q_0 )​ – заряд, создающий поле,
( r )​ – расстояние от заряда, создающего поле, до данной точки.

Напряженность поля точечного заряда в среде вычисляется по формуле:

где ​( varepsilon )​ – диэлектрическая проницаемость среды.

Важно!
Напряженность электрического поля не зависит от величины пробного заряда, она определяется величиной заряда, создающего поле.

Направление вектора напряженности в данной точке совпадает с направлением силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку.

Линией напряженности электрического поля называется линия, касательная к которой в каждой точке направлена вдоль вектора напряженности ​( vec{E} )​.

Линии напряженности электростатического поля начинаются на положительных электрических зарядах и заканчиваются на отрицательных электрических зарядах или уходят в бесконечность от положительного заряда и приходят из бесконечности к отрицательному заряду.

Распределение линий напряженности вокруг положительного и отрицательного точечных зарядов показано на рисунке.

Определяя направление вектора ​( vec{E} )​ в различных точках пространства, можно представить картину распределения линий напряженности электрического поля.

Поле, в котором напряженность одинакова по модулю и направлению в любой точке, называется однородным электрическим полем. Однородным можно считать электрическое поле между двумя разноименно заряженными металлическими пластинами. Линии напряженности в однородном электрическом поле параллельны друг другу.

Принцип суперпозиции электрических полей

Каждый электрический заряд создает в пространстве электрическое поле независимо от наличия других электрических зарядов.

Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность электрического поля системы ​( N )​ зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из них в отдельности:

Электрические поля от разных источников существуют в одной точке пространства и действуют на заряд независимо друг от друга.

Потенциальность электростатического поля

Электрическое поле с напряженностью ​( vec{E} )​ при перемещении заряда ​( q )​ совершает работу. Работа ​( A )​ электростатического поля вычисляется по формуле:

где ​( d )​ – расстояние, на которое перемещается заряд,
( alpha )​ – угол между векторами напряженности электрического поля и перемещения заряда.

Важно!
Эта формула применима для нахождения работы только в однородном электростатическом поле.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением заряда.

Потенциальным называется поле, работа сил которого по перемещению заряда по замкнутой траектории равна нулю.

Важно!
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Электростатическое поле является потенциальным.

Работа электростатического поля по перемещению заряда равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком. В электродинамике энергию принято обозначать буквой ​( W )​, так как буквой ​( E )​ обозначают напряженность поля:

Потенциальная энергия заряда ​( q )​, помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов вычисляется относительно нулевого уровня (аналогично потенциальной энергии поля силы тяжести). Выбор нулевого уровня потенциальной энергии определяется исходя из соображений удобства при решении задачи.

Потенциал электрического поля. Разность потенциалов

Потенциал – скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда.

Обозначение – ​( varphi )​, единица измерения в СИ – вольт (В).

Потенциал ( varphi ) является энергетической характеристикой электростатического поля.

Разность потенциалов численно равна работе, которую совершает электрическая сила при перемещении единичного положительного заряда между двумя точками поля:

Обозначение – ​( Deltavarphi )​, единица измерения в СИ – вольт (В).

Иногда разность потенциалов обозначают буквой ​( U )​ и называют напряжением.

Важно!
Разность потенциалов ( Deltavarphi=varphi_1-varphi_2 ), а не изменение потенциала ( Deltavarphi=varphi_2-varphi_1 ). Тогда работа электростатического поля равна:

Важно!
Эта формула позволяет вычислить работу электростатических сил в любом поле.

В электростатике часто вычисляют потенциал относительно бесконечно удаленной точки. В этом случае потенциал поля в данной точке равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал поля точечного заряда( q )​ в точке, удаленной от него на расстояние ​( r )​, вычисляется по формуле:

Для наглядного представления электрического поля используют эквипотенциальные поверхности.

Важно!
Внутри проводящего шара потенциал всех точек внутри шара равен потенциалу поверхности шара и вычисляется по формуле потенциала точечного заряда (​( r =R )​, где ​( R )​ – радиус шара). Напряженность поля внутри шара равна нулю.

Эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью равного потенциала, называется поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одинаковое значение.

Свойства эквипотенциальных поверхностей

  • Вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и направлен в сторону убывания потенциала.
  • Работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические окружности.

Разность потенциалов и напряженность связаны формулой:

Из принципа суперпозиции полей следует принцип суперпозиции потенциалов:

Потенциал результирующего поля равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов.

Важно!
Потенциалы складываются алгебраически, а напряженности – по правилу сложения векторов.

Решение задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов сохранения, теоремы об изменении кинетической энергии заряда с учетом работы электростатических сил.

Алгоритм решения таких задач:

  • установить характер и особенности электростатических взаимодействий объектов системы;
  • ввести характеристики (силовые и энергетические) этих взаимодействий, сделать рисунок;
  • записать законы сохранения и движения для объектов;
  • выразить энергию электростатического взаимодействия через заряды, потенциалы, напряженности;
  • составить систему уравнений и решить ее относительно искомой величины;
  • проверить решение.

Проводники в электрическом поле

Проводниками называют вещества, в которых может происходить упорядоченное перемещение электрических зарядов, т. е. протекать электрический ток.

Проводниками являются металлы, водные растворы солей, кислот, ионизованные газы. В проводниках есть свободные электрические заряды. В металлах валентные электроны взаимодействующих друг с другом атомов становятся свободными.

Если металлический проводник поместить в электрическое поле, то под его действием свободные электроны проводника начнут перемещаться в направлении, противоположном направлению напряженности поля. В результате на одной поверхности проводника появится избыточный отрицательный заряд, а на противоположной – избыточный положительный заряд.

Эти заряды создают внутри проводника внутреннее электрическое поле, вектор напряженности которого направлен противоположно вектору напряженности внешнего поля. Под действием внешнего электростатического поля электроны проводимости в металлическом проводнике перераспределяются так, что напряженность результирующего поля в любой точке внутри проводника равна нулю. Электрические заряды расположены на поверхности проводника.

Важно!
Если внутри проводника есть полость, то напряженность в ней будет равна нулю независимо от того, какое поле имеется вне проводника и как заряжен проводник. Внутренняя полость в проводнике экранирована (защищена) от внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита.

Явление перераспределения зарядов во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Заряды, разделенные электростатическим полем, взаимно компенсируют друг друга, если проводник удалить из поля. Если такой проводник разрезать, не вынося из поля, то его части будут иметь заряды разных знаков.

Важно!
Во всех точках поверхности проводника вектор напряженности направлен перпендикулярно к его поверхности. Поверхность проводника является эквипотенциальной (потенциалы всех точек поверхности проводника равны).

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектриками называют вещества, не проводящие электрический ток. Диэлектриками являются стекло, фарфор, резина, дистиллированная вода, газы.

В диэлектриках нет свободных зарядов, все заряды связаны. В молекуле диэлектрика суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду ядра. Различают полярные и неполярные диэлектрики.

В молекулах полярных диэлектриков ядра и электроны расположены так, что центры масс положительных и отрицательных зарядов не совпадают и находятся на некотором расстоянии друг от друга. То есть молекулы представляют собой диполи независимо от наличия внешнего электрического поля. В отсутствие внешнего электрического поля из-за теплового движения молекул диполи расположены хаотично, поэтому суммарная напряженность поля всех диполей диэлектрика равна нулю.

Если в отсутствие внешнего электрического поля центры масс положительных и отрицательных зарядов в молекуле диэлектрика совпадают, то он называется неполярным. Пример такого диэлектрика – молекула водорода. Если такой диэлектрик поместить во внешнее электрическое поле, то направления векторов сил, действующих на положительные и отрицательные заряды, будут противоположными. В результате молекула деформируется и превращается в диполь. При внесении диэлектрика в электрическое поле происходит его поляризация.

Поляризация диэлектрика – процесс смещения в противоположные стороны разноименных связанных зарядов, входящих в состав атомов и молекул вещества в электрическом поле.

Если диэлектрик неполярный, то в его молекулах происходит смещение положительных и отрицательных зарядов. На поверхности диэлектрика появятся поверхностные связанные заряды. Связанными эти заряды называют потому, что они не могут свободно перемещаться отдельно друг от друга.

Внутри диэлектрика суммарный заряд равен нулю, а на поверхностях заряды не скомпенсированы и создают внутри диэлектрика поле, вектор напряженности которого направлен противоположно вектору напряженности внешнего поля. Это значит, что внутри диэлектрика поле имеет меньшую напряженность, чем в вакууме.

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности электрического поля в вакууме к модулю напряженности электрического поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества:

В полярном диэлектрике во внешнем электрическом поле происходит поворот диполей, и они выстраиваются вдоль линий напряженности.

Если внесенный в электрическое поле диэлектрик разрезать, то его части будут электрически нейтральны.

Электрическая емкость. Конденсатор

Электрическая емкость (электроемкость) – скалярная физическая величина, характеризующая способность уединенного проводника удерживать электрический заряд.

Обозначение – ​( C )​, единица измерения в СИ – фарад (Ф).

Уединенный проводник – это проводник, удаленный от других проводников и заряженных тел.

Фарад – электроемкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл:

Формула для вычисления электроемкости:

где ​( q )​ – заряд проводника, ​( varphi )​ – его потенциал.

Электроемкость зависит от его линейных размеров и геометрической формы. Электроемкость не зависит от материала проводника и его агрегатного состояния. Электроемкость проводника прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды, в которой он находится.

Конденсатор – это система из двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников.

Проводники называют обкладками конденсатора. Заряды обкладок конденсатора равны по величине и противоположны по знаку заряда. Электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора. Конденсаторы используют для накопления электрических зарядов.

Электроемкость конденсатора рассчитывается по формуле:

где ​( q )​ – модуль заряда одной из обкладок,
( U )​ – разность потенциалов между обкладками.

Электроемкость конденсатора зависит от линейных размеров и геометрической формы и расстояния между проводниками. Электроемкость конденсатора прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости вещества между проводниками.

Плоский конденсатор представляет две параллельные пластины площадью ​( S )​, находящиеся на расстоянии ​( d )​ друг от друга.

Электроемкость плоского конденсатора:

где ​( varepsilon )​ – диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками,
( varepsilon_0 ) – электрическая постоянная.

На электрической схеме конденсатор обозначается:

Виды конденсаторов:

  • по типу диэлектрика – воздушный, бумажный и т. д.;
  • по форме – плоский, цилиндрический, сферический;
  • по электроемкости – постоянной и переменной емкости.

Конденсаторы можно соединять между собой.

Параллельное соединение конденсаторов

При параллельном соединении конденсаторы соединяются одноименно заряженными обкладками. Напряжения конденсаторов равны:

Общая емкость:

Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов соединяют их разноименно заряженные обкладки.

Заряды конденсаторов при таком соединении равны:

Общее напряжение:

Величина, обратная общей емкости:

При таком соединении общая емкость всегда меньше емкостей отдельных конденсаторов.

Важно!
Если конденсатор подключен к источнику тока, то разность потенциалов между его обкладками не изменяется при изменении электроемкости и равна напряжению источника. Если конденсатор заряжен до некоторой разности потенциалов и отключен от источника тока, то его заряд не изменяется при изменении электроемкости.

Применение конденсаторов
Конденсаторы используются в радиоэлектронных приборах как накопители заряда, для сглаживания пульсаций в выпрямителях переменного тока.

Энергия электрического поля конденсатора

Энергия заряженного конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить конденсатор.

Электрическая энергия конденсатора сосредоточена в пространстве между обкладками конденсатора, то есть в электрическом поле, поэтому ее называют энергией электрического поля. Формулы для вычисления энергии электрического поля:

Так как напряженность электрического поля прямо пропорциональна напряжению, то энергия электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату напряженности.

Плотность энергии электрического поля:

где ​( V )​ – объем пространства между обкладками конденсатора.

Плотность энергии не зависит от параметров конденсатора, а определяется только напряженностью электрического поля.

Основные формулы раздела «Электрическое поле»

Электрическое поле

2.9 (58.36%) 134 votes

Как определить направление вектора напряженности электрического поля

Содержание

  • Характеристика электрического поля
  • Силовые линии
  • Что называется напряженностью электрического поля

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем элект­рические заряды, существует силовое поле. Согласно представлениям современной физики, поле реально существует и наряду с веществом является одной из форм существования материи, посредством которого осуществляются определенные взаимо­действия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества. В данном случае говорят об электрическом поле — поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Мы рассматриваем элект­рические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами и называ­ются электростатическими.

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд — такой заряд, который не искажает исследу­емое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом Q, поместить пробный заряд Q, то на него действует сила F, различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона, пропорци­ональна пробному заряду Q. Поэтому отношение F/Q не зависит от Q и характеризу­ет электростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатичес­кого поля.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

.

Напряженность поля точечного заряда в вакууме

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положитель­ный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положи­тельного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду (рис.).

Единица напряженности электростатического по­ля — ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл= 1 В/м, где В (вольт) — еди­ница потенциала электростатического поля. Графически электростатическое поле изображают с помощьюлиний напряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис.).

Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Дляоднородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности — радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис.а), и входя­щие в него, если заряд отрицателен (рис.б). Вследствие большой наглядности графический способ представления электростатического поля широко применяется в электротехнике.

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились про­водить их с определенной густотой: число линий напряженности, прони­зывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е. Тогда число линий напряженности, пронизыва­ющих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол a с вектором Е, равно Е dS cosa = EndS, где Еп—проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS (рис.).

Величина dФЕndS=EdS называетсяпотоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь dS = dSn — век­тор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В×м.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверх­ность

,

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора Е является алгебра­ической величиной: зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу области, охватыва­емой поверхностью.

К кулоновским силам применим принцип независимости действия сил, т. е. результирующая сила F, дейст­вующая со стороны поля на пробный заряд Q, равна векторной сумме сил Fi, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Qi: . F = QE и Fi = QЕi, где Е—напряженность результирующего поля, а Еi — напряженность поля, создаваемого зарядом Qi. Подставляя это в выражение выше, получаем . Эта формула выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой си­стемы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля элект­рического диполя. Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q,–Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Согласно принципу суперпозиции, напряженность Е поля диполя в произ­вольной точке , где Е+ и Е– — напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9364 — | 7304 — или читать все.

Разделы: Физика

Цель урока: дать понятие напряжённости электрического поля и ее определения в любой точке поля.

  • формирование понятия напряжённости электрического поля; дать понятие о линиях напряжённости и графическое представление электрического поля;
  • научить учащихся применять формулу E=kq/r 2 в решении несложных задач на расчёт напряжённости.

Электрическое поле – это особая форма материи, о существовании которой можно судить только по ее действию. Экспериментально доказано, что существуют два рода зарядов, вокруг которых существуют электрические поля, характеризующиеся силовыми линиями.

Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности электрического поля:

  1. нигде не пересекаются друг с другом;
  2. имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
  3. между зарядами нигде не прерываются.


Рис.1

Силовые линии положительного заряда:


Рис.2

Силовые линии отрицательного заряда:


Рис.3

Силовые линии одноименных взаимодействующих зарядов:


Рис.4

Силовые линии разноименных взаимодействующих зарядов:


Рис.5

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, которая обозначается буквой Е и имеет единицы измерения или . Напряженность является векторной величиной, так как определяется отношением силы Кулона к величине единичного положительного заряда

В результате преобразования формулы закона Кулона и формулы напряженности имеем зависимость напряженности поля от расстояния, на котором она определяется относительно данного заряда

где: k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от выбора единиц электрического заряда.

В системе СИ Н·м 2 /Кл 2 ,

где ε – электрическая постоянная, равная 8,85·10 -12 Кл 2 /Н·м 2 ;

q – электрический заряд (Кл);

r – расстояние от заряда до точки в которой определяется напряженность.

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.

Общая напряженность поля нескольких взаимодействующих зарядов будет равна геометрической сумме векторов напряженности, в чем и заключается принцип суперпозиции полей:

Рассмотрим несколько случаев определения напряженности.

1. Пусть взаимодействуют два разноименных заряда. Поместим точечный положительный заряд между ними, тогда в данной точке будут действовать два вектора напряженности, направленные в одну сторону:

Е31 – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 1;

Е32 – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 2.

Согласно принципу суперпозиции полей общая напряженность поля в данной точке равна геометрической сумме векторов напряженности Е31 и Е32.

Напряженность в данной точке определяется по формуле:

где: r – расстояние между первым и вторым зарядом;

х – расстояние между первым и точечным зарядом.


Рис.6

2. Рассмотрим случай, когда необходимо найти напряженность в точке удаленной на расстояние а от второго заряда. Если учесть, что поле первого заряда больше, чем поле второго заряда, то напряженность в данной точке поля равна геометрической разности напряженности Е31 и Е32.

Формула напряженности в данной точке равна:

Е = kq1/(r + a) 2 – kq2/a 2

Где: r – расстояние между взаимодействующими зарядами;

а – расстояние между вторым и точечным зарядом.


Рис.7

3. Рассмотрим пример, когда необходимо определить напряженность поля в некоторой удаленности и от первого и от второго заряда, в данном случае на расстоянии r от первого и на расстоянии bот второго заряда. Так как одноименные заряды отталкиваются , а разноименные притягиваются, имеем два вектора напряженности исходящие из одной точки, то для их сложения можно применить метод противоположному углу параллелограмма будет являться суммарным вектором напряженности. Алгебраическую сумму векторов находим из теоремы Пифагора:


Рис.8

Исходя из данной работы, следует, что напряженность в любой точке поля можно определить, зная величины взаимодействующих зарядов, расстояние от каждого заряда до данной точки и электрическую постоянную.

4. Закрепление темы.

1. Продолжить фразу: “электростатика – это …

2. Продолжить фразу: электрическое поле – это ….

3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?

4. Определить знаки зарядов:

5. Указать вектор напряженности.

6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.

Своя оценка работы Оценка работы другим учеником

1. Продолжить фразу: “электростатика – это …

2. Продолжить фразу: напряженностью называется …

3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?

4. Определить заряды.

5. Указать вектор напряженности.

6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.

Своя оценка работы Оценка работы другим учеником

1. Два заряда q1 = +3·10 -7 Кл и q2 = −2·10 -7 Кл находятся в вакууме на расстоянии 0,2 м друг от друга. Определите напряженность поля в точке С, расположенной на линии, соединяющей заряды, на расстоянии 0,05 м вправо от заряда q2.

2. В некоторой точке поля на заряд 5·10 -9 Кл действует сила 3·10 -4 Н. Найти напряженность поля в этой точке и определите величину заряда, создающего поле, если точка удалена от него на 0,1 м.

По теории близкодействия взаимодействия между заряженными телами, удаленными друг от друга, происходит с помощью электромагнитных полей, создаваемых этими телами в окружающем их пространстве. Если поле было создано неподвижными частицами, то его относят к электростатическому. Когда происходят изменения во времени, получает название стационарного. Электростатическое поле является стационарным. Оно считается частным случаем электромагнитного поля.

Характеристика электрического поля

Силовая характеристика электрического поля – вектор напряженности, который можно найти по формуле:

E → = F → q , где F → — сила, действующая со стороны поля на неподвижный (пробный) заряд q . Его значение должно быть настолько мало, чтобы отсутствовала возможность искажать поле, напряженность которого с его помощью и измеряют. По уравнению видно, что напряженность совпадает по направлению с силой, с которой поле действует на единичный положительный пробный заряд.

У напряженности электростатического поля нет зависимости от времени. Когда она во всех точках поля одинакова, тогда поле называют однородным. В другом случае – неоднородным.

Силовые линии

Чтобы изобразить электростатические поля графически, необходимо задействовать понятие силовых линий.

Силовые линии – это линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлениями векторов напряженности в этих точках.

Такие линии в электростатическом поле разомкнутые. Они начинаются на положительных зарядах и заканчивают на отрицательных. Реже уходят в бесконечность или возвращаются из нее. Силовые линии поля не могу пересекаться.

Вектор напряженности электрического поля подчиняется принципу суперпозиции, а именно:

E → = ∑ i = 1 n E → i .

Результирующий вектор напряженности сводится к нахождению векторной суммы напряженностей, составляющих его «отдельные» поля. При распределении непрерывного заряда, поиск суммарной напряженности поля производится по формуле:

Интегрирование E → = ∫ d E → проводится по области распределения зарядов. Если их распределение идет по линии ( τ = d q d l — линейная плотность распределения заряда), то интегрирование E → = ∫ d E → тоже. Когда распределение зарядов идет по поверхности и поверхностная плоскость обозначается как σ = d q d S , тогда интегрируют по поверхности.

Интегрирование по объему выполняется, если имеется объемное распределение заряда:

ρ = d q d V , где ρ — объемная плотность распределения заряда.

Что называется напряженностью электрического поля

Напряженность поля в диэлектрике равняется векторной сумме напряженностей полей, которые создают свободные E 0 → и связанные E p → заряды:

Зачастую бывают случаи, когда диэлектрик изотропный. Тогда запись напряженности поля имеет вид:

E → = E 0 → ε , где ε обозначает относительную диэлектрическую проницаемость среды в рассматриваемой точке поля.

Отсюда следует, что по выражению E → = E 0 → ε имеется однородный изотропный диэлектрик с напряженностью электрического поля в ε меньше, чем в вакууме.

Напряженность электростатического поля системы точечных зарядов равняется:

E → = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 n q i ε r i 3 r i → .

В системе СГС напряженность поля точечного заряда в вакууме:

Дан равномерно распределенный заряд по четверти окружности радиуса R с линейной плотностью τ . Необходимо найти напряженность поля в точке А , являющейся центром окружности.

Решение

Произведем выделение на заряженной части окружности элементарного участка d l , который будет создавать элемент поля в точке А . Следует записать выражение для напряженности, то есть для d E → . Тогда формула примет вид:

d E → = d q R 3 R → R .

Проекция вектора d E → на ось О х составит:

d E x = d E cos φ = d q cos φ R 2 .

Произведем выражение d q через линейную плотность заряда τ :

d q = τ d l = τ · 2 πRdR .

Необходимо использовать d q = τ d l = τ · 2 πRdR для преобразования d E x = d E cos φ = d q cos φ R 2 :

d E x = 2 π R τ d R cos φ R 2 = 2 π τ d R cos φ R = τ cos φ d φ R ,

где 2 π d R = d φ .

Далее перейдем к нахождению полной проекции E x при помощи интегрирования d E x = 2 π R τ d R cos φ R 2 = 2 π τ d R cos φ R = τ cos φ d φ R ,

по d φ с изменением угла 0 ≤ φ ≤ 2 π .

E x = ∫ 0 2 π τ cos φ d φ R = τ R ∫ 0 2 π cos φ d φ = τ R sin φ 0 2 π = τ R .

Перейдем к проекции вектора напряженности на О у :

d E y = d E sin φ = τ R sin φ d φ .

Следует проинтегрировать с изменяющимся углом π 2 ≤ φ ≤ 0 :

E y ∫ π 2 0 τ R sin φ d φ = τ R ∫ π 2 0 sin φ d φ = — τ R cos φ π 2 0 = — τ R .

Произведем нахождение модуля вектора напряженности в точке А , применив теорему Пифагора:

E = E x 2 + E y 2 = τ R 2 + — τ R 2 = τ R 2 .

Ответ: E = τ R 2 .

Найти напряженность электростатического поля равномерно заряженной полусферы с радиусом R . Поверхностная плотность заряда равняется σ .

Решение

Следует выделить на поверхности заряженной сферы элементарный заряд d q , располагаемый на элементе площади d S . Запись, используя сферические координаты d S , равняется:

d S = R 2 sin θ d θ d φ ,

при 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 ≤ θ ≤ π 2 .

Элементарная напряженность поля точечного заряда в системе С И :

d E → = d q 4 π ε 0 R 3 R → R .

Необходимо спроецировать вектор напряженности на О х :

d E x = d q cos θ 4 π ε 0 R 2 .

Произведем выражение заряда через поверхностную плотность заряда:

Подставим d q = σ d S в d E x = d q cos θ 4 π ε 0 R 2 , используя d S = R 2 sin θ d θ d φ , проинтегрируем и запишем:

E x = σ R 2 4 π ε 0 R 2 ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π 2 cos θ sin θ d θ = σ 4 π ε 0 2 π · 1 2 = σ 4 ε 0 .

Отсюда следует, что E = E x .

Ответ: напряженность полусферы в центре равняется E = σ 4 ε 0 .

Содержание:

Магнитное поле окружает движущиеся элементарные частицы, обладающие электрическим зарядом, и связано с ними. В проводнике с током и пространстве вокруг него магнитное поле создается этим током, а внутри и вне намагниченного тела (постоянного магнита) — внутриатомным и внутримолекулярным движением элементарных заряженных частиц (например, вращением электронов вокруг собственной оси и ядра атома).

Магнитное поле характеризуется воздействием на движущуюся электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости.

Закон ампера и магнитная индукция

Магнитное поле обнаруживается благодаря магнитным явлениям: притяжению и отталкиванию проводов с токами или намагниченных тел, действию проводника с током на магнитную стрелку, электромагнитной индукции.
В основе этих явлений лежит характерное свойство магнитного поля — силовое действие на движущиеся заряженные частицы. Силы взаимодействия магнитного поля с движущимися заряженными частицами (токами) называются электромагнитными.

Изучение магнитных явлений и расчеты, связанные с их использованием, невозможны без количественной оценки магнитного поля.
Выбирая необходимую для этого величину, можно исходить из силового взаимодействия двух проводов с токами.

Закон Ампера

Опыт показывает, что на каждый из двух проводов действуют силы, притягивающие друг к другу провода с одинаковым направлением токов и отталкивающие провода с противоположными направлениями токов (рис. 8.1).
Магнитные поля, обусловленные каждым из токов, распределены в одной и той же области пространства. Поэтому в соответствии с принципом наложения можно полагать, что оба провода окружены общим магнитным полем, которое получается в результате наложения двух полей. Каждое поле связано со своим током, когда соответствующий провод уединен.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.1. К закону Ампера

В таком случае притяжение или отталкивание проводов нужно рассматривать как результат силового действия общего магнитного ноля на заряженные частицы, образующие ток в каждом из проводов. Количественные соотношения для этого случая определены законом Ампера, согласно которому силовое действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы рассматривается как взаимодействие двух элементов линейного тока.
 

Величина силы взаимодействия между двумя элементами линейных токов в вакууме пропорциональна произведению элементов линейных токов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Элементом линейного тока называется произведение Idl, где dl — длина участка провода с током I, весьма малая (так же как и диаметр провода) по сравнению с расстоянием от него до точек, в которых рассматривается магнитное поле тока I.

Если элементы линейных токов расположены параллельно, то сила взаимодействия между ними
Электрическое поле и его расчёт

В Международной системе единиц (СИ) магнитная постоянная
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт — единица индуктивности.

Заметим, что формула (8.1) и последующие формулы, относящиеся к магнитному полю в вакууме, справедливы и для магнитного поля в воздухе.

Магнитная индукция

Предположим, что элемент линейного тока I2dl2 столь мал, что его поле практически не изменяет поле тока I1. Тогда этот элемент линейного тока можно рассматривать как пробный, служащий лишь для регистрации электромагнитной силы, которая в этом случае является результатом действия магнитного поля первого тока на пробный элемент линейного тока.
Величина тока I1 определяет интенсивность магнитного поля: чем больше ток, тем «сильнее» его магнитное поле.

Для оценки интенсивности магнитного поля введено понятие магнитной индукции В.

Магнитная индукция — векторная величина, характеризующая магнитное поле и определяющая силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.

В численном выражении магнитная индукция равна отношению силы, действующей на заряженную частицу, к произведению заряда Q и скорости частицы υ, направленной так, что эта сила максимальна:
Электрическое поле и его расчёт
Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно векторам силы и скорости и совпадает с поступательным перемещением правого винта (или буравчика), если вращать его в направлении от вектора силы к вектору скорости частицы с положительным зарядом. 
За некоторое время dt, согласно (2.2), заряд Электрическое поле и его расчёт а скорость
Электрическое поле и его расчёт, поэтому Электрическое поле и его расчёт — элемент линейного тока.
Из формулы (8.1) следует
Электрическое поле и его расчёт
Магнитное поле в окружающем проводник пространстве создается не только выбранным элементом линейного тока, но и другими элементами, на которые может быть разделен реальный проводник (рис. 8.2).

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.2. К закону Био — Савара

Магнитная индукция В в данной точке является векторной суммой элементарных векторов dВ.

Формула (8.3), по которой определяется элементарная магнитная индукция, является математическим выражением закона Био — Савара.
Из нее следует единица измерения магнитной индукции:
Электрическое поле и его расчёт
В расчетах применяется также единица магнитной индукции — гаусс (Гс) (1 Гс = 10-4 Тл).

Линии магнитной индукции

Графически магнитное поле можно изобразить с помощью линий магнитной индукции.

Линию магнитной индукции проводят так, чтобы в каждой точке этой линии касательная к ней совпадала с вектором магнитной индукции.
Пользуясь этим правилом, можно изобразить магнитное поле для различных случаев.

Магнитное поле тока прямолинейного провода имеет линии магнитной индукции в виде окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных направлению тока, с центром на оси провода (рис. 8.3).

Направление магнитной индукции в этом случае определяется с помощью правила буравчика: если направление поступательного движения буравчика совместить с направлением тока в проводе, то вращение рукоятки покажет направление линий магнитной индукции.

Большой практический интерес представляет картина магнитного поля тока катушек, так как во многих электротехнических устройствах (трансформаторы, электрические машины, электромагнитные реле и т. д.) магнитное поле создается токами в катушках различной формы.

Магнитное поле тока цилиндрической катушки изображено на рис. 8.4. Если длина катушки значительно больше ее диаметра, то линии магнитной индукции имеют внутри катушки одинаковое направление (вдоль оси катушки) и величина магнитной индукции во всех точках одинакова, за исключением точек, расположенных у краев.

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.3. Магнитное поле прямого тока

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.4. Магнитное поле тока в цилиндрической катушке

Магнитное поле, имеющее во всех точках одинаковую по величине и направлению магнитную индукцию, называется однородным (равномерным).
По форме магнитного поля цилиндрическая катушка подобна постоянному магниту кругового сечения (рис. 8.5). На конце катушки, где линии магнитной индукции выходят из нее, образуется северный полюс, а на противоположном конце — южный.

Кольцевая катушка с обмоткой на тороидальном сердечнике (рис. 8.6) создает магнитное поле только внутри витков. Направление линий индукции магнитного поля тока катушки или контура тоже определяется правилом буравчика, но в другой формулировке: если рукоятку буравчика вращать по направлению тока в витках, то поступательное перемещение буравчика совпадает с направлением линий магнитной индукции внутри катушки.

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.5. Магнитное поле прямого постоянного магнита

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.6. Кольцевая катушка

С помощью линий магнитной индукции можно выразить не только направление магнитного поля, но и величину магнитной индукции, подобно тому, как это делается при исследовании электрического поля.
Неравномерное магнитное поле изображается замкнутыми линиями, проведенными с неодинаковой плотностью в различных областях.
В отличие от линий напряженности электростатического ноля, которые начинаются на положительных, а оканчиваются на отрицательных заряженных телах или уходят в бесконечность, линии индукции магнитного поля всегда замкнуты на себя, т. е. не имеют ни начала, ни конца.

Проводник с током в магнитном поле

Большой практический интерес представляет выражение силы, действующей на проводник с током в равномерном магнитном поле. На рис. 8.7 показан прямолинейный провод в пространстве между полюсами постоянного магнита или электромагнита (катушки, со стальным сердечником), расположенный так, что между направлениями вектора магнитной индукции В и тока в проводе I угол α = 90°.

В равномерном магнитном поле на элемент длины провода в любом месте действует одинаковая электромагнитная сила, поэтому на основании формул (8.2) и (8.3) можно записать выражение силы, действующей на часть провода, расположенную в пределах магнитного поля:
Электрическое поле и его расчёт
где В — магнитная индукция, Тл; I —ток в проводе, А; l — длина части провода, расположенной в магнитном поле, м; Fм — величина электромагнитной силы, Н.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.7. Прямой провод с током в магнитном поле

Если провод располагается так, что между направлениями вектора магнитной индукции поля и тока в проводе угол а ≠ 90°, то электромагнитная сила определяется той же формулой (8.4), но вместо полной длины провода берется ее проекция на направление, перпендикулярное направлению поля:
Электрическое поле и его расчёт
На провод с током, расположенный вдоль линий магнитной индукции, магнитное поле не действует.

Сила Fм направлена всегда перпендикулярно плоскости, в которой лежит провод и находятся линии магнитной индукции. Направление электромагнитной силы наиболее удобно определять по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы вытянутые четыре пальца (кроме большого) показывали направление тока в проводе, а линии магнитной индукции «входили» в ладонь, то большой палец, отогнутый перпендикулярно остальным четырем, покажет направление электромагнитной силы.

Задача 8.3.

В равномерное магнитное поле с индукцией В = 1,2 Тл помешен прямолинейный проводник длиной l = 80 см с током I = 20 А. Определить силу, действующую на проводник, если он расположен перпендикулярно направлению линий магнитной индукции.
Решение. Подставим в формулу (8.5) заданные величины, от которых зависит сила:

Электрическое поле и его расчёт

Примеры расчета магнитных полей с помощью закона Био — Савара

Определим с помощью закона Био — Савара магнитную индукцию и напряженность магнитного поля в ряде конкретных случаев.

Поле кругового тока

На рис. 8. 10 изображен кольцевой провод (виток) с током I. Требуется определить индукцию магнитного поля в центре этого витка (точка О).

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.10. К определению магнитной индукции поля кругового тока

Согласно закону Био — Савара [см. формулу (8.3)], каждый элемент тока создает в точке О магнитную индукцию

Электрическое поле и его расчёт

При этом имеется в виду, что угол α = 90° и составляющие результирующей магнитной индукции В в центре витка от каждого элемента имеют одно и то же направление, перпендикулярное плоскости витка.
Поэтому
Электрическое поле и его расчёт
Постоянные величины вынесем, за знак интеграла:
Электрическое поле и его расчёт
где Электрическое поле и его расчёт — длина витка.

Следовательно,
Электрическое поле и его расчёт
или

Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.11. К определению магнитной индукции поля прямого тока

Поле прямого тока

Определим индукцию магнитного поля в точке А (рис. 8.11), если оно создается током I прямолинейного провода конечной длины.

Элемент длины провода dl создает в точке А элементарный вектор магнитной индукции dВ [см. формулу (8.3)]. Для того чтобы найти полную величину магнитной индукции, следует сложить элементарные векторы dВ от всех элементов dl, из которых складывается длина провода.

Учитывая, что провод и отрезки r, проведенные от любого элемента провода в точку А, лежат в одной плоскости, можно заключить, что все векторы dВ в точке А направлены по одной прямой перпендикулярно этой плоскости, в данном случае за чертеж.

Поэтому полную величину магнитной индукции можно найти интегрированием:
Электрическое поле и его расчёт
Из рис. 8.11 видно, что Электрическое поле и его расчёт Электрическое поле и его расчёт
Отсюда Электрическое поле и его расчёт
Кроме того,

Электрическое поле и его расчёт Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Полная величина магнитной индукции в точке А
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт

Задача 8.4.

В витке, имеющем форму прямоугольника со сторонами b = 10 см и c = 20 см, ток I = 10 А. Определить магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей прямоугольника (точка А на рис. 8.12, а).
Решение. Магнитную индукцию поля прямолинейного провода конечной длины определяют по формуле (8.7).
Подставив в эту формулу обозначения величин по рис. 8.12, а, получим выражения для составляющих магнитной индукции. От участков провода, расположенных по сторонам b,
Электрическое поле и его расчёт
В данном случае α1 = α2 = α, поэтому
Электрическое поле и его расчёт
Аналогично, от участков провода, расположенных по сторонам с, при γ1 = γ2 = γ
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.12. К задачам: а —8.4; б —8.5; в — 8.6

Магнитная индукция в точке А(ВА) складывается из составляющих В1 (от двух сторон b) и В2 (от двух сторон c): Электрическое поле и его расчёт При этом учитывается, что по отношению к каждому из двух участков провода b или c точка А расположена одинаково и все составляющие магнитной индукции направлены в одну сторону (по правилу буравчика — за плоскость чертежа):
Электрическое поле и его расчёт
Из чертежа следует, что
Электрическое поле и его расчёт
Учитывая эти выражения, после преобразования получим:
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт

Расчет симметричных магнитных полей

Связь тока с его магнитным полем ранее выражена формулой закона Био — Савара, который можно применять для определения основных характеристик магнитного поля в любом случае. Подобные задачи решаются более просто на основе понятий о циркуляции вектора магнитной индукции и полном токе.

Циркуляция вектора магнитной индукции и полный ток

Для выяснения смысла этих понятий в магнитном поле системы токов выберем произвольный замкнутый контур (рис. 8.13).

В каждой точке этого контура вектор магнитной индукции В может иметь любое направление. Обозначим через Вl проекцию этого вектора на направление элемента длины dl около выбранной точки контура.

Выражение Электрическое поле и его расчёт взятое по всему замкнутому контуру, называют циркуляцией вектора магнитной индукции по данному контуру.
Алгебраическую сумму токов Электрическое поле и его расчёт пронизывающих поверхность, ограниченную контуром, называют полным током.

На основе закона Био — Савара можно доказать, что циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру пропорциональна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 8.13):
Электрическое поле и его расчёт

Для магнитного поля в вакууме коэффициентом пропорциональности между циркуляцией вектора магнитной индукции и полным током является магнитная постоянная μ0.

При составлении уравнения (8.8) для конкретного случая знак произведения Вldl берется положительным, если в данной точке направление Вl совпадает с направлением обхода контура; знак тока принимается положительным, если направление линий индукции магнитного поля данного тока, определенное по правилу буравчика, совпадает с направлением обхода.

Выражение Электрическое поле и его расчёт можно представить алгебраической суммой произведений Вldl, составленной из бесконечно большого числа слагаемых.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.13. К вопросу о циркуляции вектора магнитной индукции

Для рис. 8.13

Электрическое поле и его расчёт
Если выбрать контур, совпадающий с линией магнитной индукции, то вместо проекции вектора магнитной индукции Вl в формулу (8.8) можно подставить полную его величину В.    .

В отдельных случаях магнитное поле обладает симметрией, при которой магнитная индукция во всех точках такого контура имеет одинаковую величину. Для этих случаев формула (8.8) имеет более простое выражение.
Электрическое поле и его расчёт вынесем за знак суммы:
Электрическое поле и его расчёт
где Электрическое поле и его расчёт — длина контура;

тогда
Электрическое поле и его расчёт

Формула (8.8) справедлива для магнитного поля, созданного замкнутыми токами. Ее нельзя применить для определения составляющей магнитной индукции поля, образуемого током на участке провода конечной длины, как это сделано при выводе формулы (8.7) на основании закона Био — Савара.

Поле прямого тока

Наметим на произвольном расстоянии а от оси провода точку А (рис. 8.14, а) и проведем через нее замкнутый контур, совпадающий с линией магнитной индукции. Как известно, эта линия — окружность с центром на оси провода. Все точки контура находятся на одинаковом расстоянии от оси провода, поэтому магнитная индукция поля в них имеет одинаковую величину.

Согласно формуле (8.8),
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Формула (8.10) совпадает с выводами, полученными из закона Био — Савара [см. формулу (8.7)] при α1 и α2, равных нулю.

Для определения магнитной индукции поля внутри провода выберем произвольный контур радиуса r и будем полагать плотность тока во всех точках сечения провода одинаковой и равной
Электрическое поле и его расчёт
где r0 — радиус провода.

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.14. К определению магнитной индукции поля прямого тока
Полный ток, пронизывающий часть сечения, ограниченную выбранным контуром, имеет величину
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
отсюда
Электрическое поле и его расчёт
На рис. 8.14, б показан график изменения магнитной индукции внутри и вне линейного провода большой протяженности, построенный по формулам (8.10) и (8.11).

Поле тока кольцевой катушки

Выберем замкнутый контур, совпадающий с линией магнитной индукции в центре сечения сердечника (см. рис. 8.6). Предполагая намотку витков равномерной, по соображениям симметрии применим формулу (8.9). 
Поверхность, ограниченная выбранным контуром, пронизывается током I столько раз, сколько витков N имеет катушка, поэтому
Электрическое поле и его расчёт
магнитная индукция
Электрическое поле и его расчёт
Эта формула пригодна для определения магнитной индукции и в других точках, расположенных внутри катушки дальше или ближе к центру, если в них подставить соответствующий радиус.

Поле тока цилиндрической катушки

Если витки катушки навиты вплотную друг к другу, то при бесконечной ее протяженности все точки на любой линии, параллельной оси, находятся в одинаковых условиях (рис. 8.15).

Магнитная индукция поля внутри катушки во всех точках этой линии одинакова и направлена вдоль оси катушки. Вне катушки магнитного поля нет.
Выделим замкнутый контур а-6-в-г прямоугольной формы и применим к нему формулу (8.8). При обходе контура нужно учитывать, что на участке б-в поля нет (В = 0); на участках а-б и в-г вне катушки поля нет, а внутри катушки магнитная индукция направлена перпендикулярно направлению обхода, поэтому проекция вектора В на направление обхода равна нулю. На участке г-а Вl = В.
Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции имеет величину Электрическое поле и его расчёт
Полный ток контура а-б-в-г
Электрическое поле и его расчёт
где N — число витков, уложенных на участке длиной l.
Согласно выражению (8.9),
Электрическое поле и его расчёт

Из этой формулы следует, что магнитное поле внутри бесконечно длинной катушки равномерно.
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.15. К определению магнитной индукции поля цилиндрической катушки с током

Формулу (8.13) можно применить, допуская некоторую погрешность, для определения магнитной индукции цилиндрической катушки конечной длины lк, если она значительно больше диаметра витка Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Применение закона Био — Савара к цилиндрической катушке конечной длины дает для определения В в любой точке М на оси катушки выражение
Электрическое поле и его расчёт
Формулы (8.12)—(8.15), определяющие магнитное поле катушек, имеют в числителе произведение тока и числа витков IN. Магнитное поле данной интенсивности можно получить при относительно малом числе витков, но большом токе, или при малом токе, но относительно большом числе витков.
Это дает основание при расчете магнитных полей пользоваться произведением IN как единой величиной, которая называется намагничивающей силой. В практике эту величину называют также ампер-витками.

Магнитный поток и потокосцепление

Понятие о магнитном потоке как характеристике магнитного поля имеет в электротехнике большое значение. Его применяют при рассмотрении принципов работы и расчетах электромагнитных устройств {электрических машин, трансформаторов, электромагнитов различного назначения).

Магнитный поток

Любой проводник с током создает магнитное поле. Рассмотрим для примера в качестве источника магнитного поля виток провода кольцевой формы с током l (рис. 8.16).

Линии магнитной индукции этого неравномерного поля сцеплены с самим витком и часть их пронизывает некоторую поверхность S.
Выделим на этой поверхности элемент площади dS, в пределах которой магнитную индукцию В можно считать одинаковой. Вектор магнитной индукции в общем случае направлен под некоторым углом β к нормали n этой поверхности. Проекция вектора В на направление нормали дает вектор Вn, направленный перпендикулярно выделенной элементарной площадке dS.
Величина Электрическое поле и его расчёт выражает элементарный поток вектора магнитной индукции.

Сложив элементарные потоки по всей поверхности, получим выражение полного потока вектора магнитной индукции или магнитного потока через заданную поверхность S:
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.16. К определению магнитного потока

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.17. К определению магнитного потока

Аналогично можно выразить магнитный поток через любую другую поверхность, в том числе и через поверхность, ограниченную самим витком, т. е. магнитный поток, сцепленный с ним.

В практике бывают случаи, когда магнитное поле можно считать равномерным, а поверхность, через которую определяется магнитный поток, — плоскостью (рис. 8.17).

В этих величинах В и Вn остаются одинаковыми для всех точек плоскости, поэтому
Электрическое поле и его расчёт
где Sn — проекция площади S на плоскость, перпендикулярную направлению вектора магнитной индукции.

Если плоскость S расположена перпендикулярно линиям магнитной индукции, то магнитный поток
Электрическое поле и его расчёт
Согласно формулам (8.18) и (8.16), магнитная индукция В является плотностью магнитного потока в данной точке поля.
Единица измерения магнитного потока — вебер:
[Ф] = [ВS] = тесла • метр2 = вольт • секунда = вебер (Вб).

Работа при перемещении проводника с током в магнитном попе

Рассмотрим проводящий контур прямоугольной формы, одна сторона которого находится в равномерном магнитном поле. При токе I в магнитном контуре на провод действует электромагнитная сила Fм (рис. 8.18).

Незакрепленный контур перемещается в направлении действия силы; при этом на пути b сторона его описывает плоскую поверхность S, перпендикулярную линиям магнитной индукции S = bl.

Произведение магнитной индукции и площади этой поверхности выражает магнитный поток Ф равномерного поля через данную площадь S [см. (8.18)].
При движении контура с током в магнитном поле электромагнитная сила Fм на пути b совершает работу Электрическое поле и его расчёт

В этом случае работа считается положительной. При движении провода против силы (при наличии внешней механической силы) работа отрицательна.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.18. Замкнутый виток с током в магнитном поле

Учитывая формулу (8.18), работу, совершенную в результате взаимодействия магнитного поля и тока в проводнике, движущемся в магнитном поле, можно определить произведением тока в проводнике и магнитного потока сквозь поверхность, очерченную проводником при его движении: А = ФI.

Магнитный поток через поверхность, очерченную проводником, является разностью потоков, пронизывающих проводящий контур в конечном и начальном положениях, т. е. положительным приращением магнитного потока, сцепленного с контуром:
Электрическое поле и его расчёт
где
Электрическое поле и его расчёт
Работа, затраченная на перемещение контура,
Электрическое поле и его расчёт

На основании рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любой электромагнитной системы (см. также задачу 8.10).

  1. Работа электромагнитных сил, затраченная на перемещение контура с током, равна произведению тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.
  2. Всякий контур с током в магнитном поле стремится занять положение, при котором магнитный поток, пронизывающий контур, оказывается положительным и наибольшим (положительным считается магнитный поток, совпадающий внутри контура с потоком, созданным током этого контура).

Приведем такой пример. Стальной .сердечник втягивается внутрь катушки с током. При этом магнитный поток катушки увеличивается, так как добавляется действие контуров тока внутри стального сердечника, которые образуются внутриатомным и внутримолекулярным движением заряженных частиц. Если перемещение сердечника ничем не ограничено, то он втягивается до тех пор, пока поток не увеличится до максимальной величины для этой системы.

Сказанное относится к любым электромагнитным устройствам с подвижным стальным якорем (реле, тяговые электромагниты и т. п.).

Магнитное потокосцепление

При определении работы, совершаемой электромагнитными силами, была взята рамка, имеющая один виток. Но на рамку можно намотать несколько витков, тогда работа электромагнитных сил при перемещении рамки увеличится.

Если предположить, что все N витков сцеплены с одним и тем же потоком, то работа электромагнитных сил увеличится в N раз: А = NΔФI.
Произведение числа витков и сцепленного с этими витками магнитного потока называют потокосцеплением:
Электрическое поле и его расчёт
Следовательно, работа электромагнитных сил выражается произведением тока в витках и приращения магнитного потокосцепления:
Электрическое поле и его расчёт
В общем случае витки катушки могут быть сцеплены с разными потоками, тогда общее потокосцепление определяется алгебраической суммой потоков, сцепленных с каждым витком:
Электрическое поле и его расчёт
При этом имеется в виду, что потокосцепление одного витка численно равно потоку через поверхность, ограниченную этим витком.
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.19. Потокосцепление цилиндрической катушки

Отдельные потоки (Ф1, Ф2 и т. д.) могут быть сцеплены с несколькими витками (рис. 8.19), тогда потокосцепление будет выражено алгебраической суммой следующего вида:

Электрическое поле и его расчёт

Если в уединенном контуре любой формы имеется ток, то его магнитное поле сцеплено с самим контуром. Потокосцепление такого контура называется собственным (потокосцеплением самоиндукции). Собственное потокосцепление характеризует связь тока с собственным магнитным полем.
Потокосцепление имеет ту же размерность, что и магнитный поток.
 

Задача 8.10.

Прямоугольная рамка с током I расположена в магнитном поле, как показано на рис. 8.20. Найти выражение для работы, совершенной при повороте рамки из положения I в положение II.
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.20. Прямоугольная рамка с током в магнитном поле

Решение. По правилу левой руки найдем направления сил, действующих на стороны рамки в положении I.
На стороны аб и вг рамки действуют силы F и F, на две другие стороны силы не действуют, так как ток в них направлен вдоль линий магнитной индукции. Силы F и F образуют вращающий момент, под действием которого рамка поворачивается из положения I в положение II.
В положении II вращающий момент равен нулю, так как силы F и F направлены противоположно вдоль линии, проходящей через ось вращения рамки.
Стороны рамки аб и вг переместились в направлении действия силы на d/2, где d — ширина рамки.
Работа по перемещению каждой стороны рамки составляет

Электрическое поле и его расчёт
а всей рамки —
Электрическое поле и его расчёт
где ld — площадь рамки; ВS = Фm — наибольшая величина магнитного потока, пронизывающего рамку.
Величина Фm в данном случае определяет изменение потока, сцепленного с рамкой при повороте ее из положения I (Ф1 = 0) в положение II (ФII = Фm).
Изменение потока в зависимости от угла поворота рамки происходит по закону
Электрическое поле и его расчёт
так как в любом промежуточном положении проекция площади рамки на плоскость, перпендикулярную направлению линий магнитной индукции, равна Ssinα.
 

Задача 8.11.

В обмотке тороидальной катушки, имеющей длину lк = 40 см, площадь поперечного сечения S = 6 см2, число витков N = 400, ток I = 20 А, определить магнитный поток внутри катушки.
Решение. Магнитную индукцию внутри катушки определим по формуле (8.12), учитывая, что длина катушки 2πr = lk:
Электрическое поле и его расчёт
Магнитный поток определим приближенно, полагая поле внутри катушки равномерным:
Электрическое поле и его расчёт

Индуктивность собственная и взаимная

При изменении тока в контуре или катушке изменяется потокосцепление самоиндукции или собственное потокосцепление, обусловленное током в этом контуре (катушке), а также взаимное потокосцепление с другим контуром или катушкой.

Опыт показывает, что одинаковое изменение тока в двух контурах или катушках приводит в общем случае к различному изменению их потокосцепления. Особенности данного контура или катушки в отношении образования потокосцепления характеризуются индуктивностью собственной и взаимной.

Индуктивность собственная

На зависимость между потокосцеплением и током уединенного контура влияют форма, размеры контура и среда, в которой создается его магнитное поле, т. е. факторы, обусловленные конструкцией контура или катушки.
Для выражения этого влияния введено понятие индуктивности контура или катушки. 
 

Собственная индуктивность уединенного контура (или катушки) есть величина, характеризующая связь потокосцепления самоиндукции и тока, численно равная отношению потокосцепления самоиндукции контура к току в нем:
Электрическое поле и его расчёт

В вакууме и неферромагнитных веществах это отношение для данного контура (катушки) остается неизменным независимо от величин тока и потокосцепления.

Единица индуктивности
Электрическое поле и его расчёт
В практических расчетах индуктивность часто выражается в долях генри: миллигенри (мГн) и микрогенри (мкГн); 1 Гн = 103 мГн = = 106 мкГн.

Индуктивность взаимная

Рассмотрим магнитную связь двух катушек с токами, расположенных друг от друга так, что магнитный поток, вызванный током первой катушки I1 сцеплен с витками обеих катушек.

Предположим, что потоков магнитного рассеяния нет, т. е. все магнитные линии одной катушки сцеплены с другой катушкой (рис. 8.21, а).
Собственное потокосцепление первой катушки
Электрическое поле и его расчёт
где N1 — число витков первой катушки.

Магнитный поток, созданный током первой катушки, сцеплен с витками второй катушки.

Взаимное потокосцепление, как и собственное, пропорционально току, создающему поток:

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.21. Магнитная связь двух катушек

Коэффициент пропорциональности М1.2 — величина постоянная (в неферромагнитных средах), зависит от конструктивных особенностей рассматриваемой системы катушек и называется взаимоиндуктивностью.

Из уравнений (8.24) и (8.25) следует, что
Электрическое поле и его расчёт
Магнитная связь может осуществляться потоком второй катушки, имеющей ток I2.
По аналогии с первой катушкой, собственное потокосцепление второй катушки
Электрическое поле и его расчёт

взаимное потокосцепление
Электрическое поле и его расчёт
Отношение индуктивности L2 к взаимоиндуктивности М2.1

Электрическое поле и его расчёт
Из отношений индуктивностей катушек к взаимоиндуктивности находим
Электрическое поле и его расчёт
Нетрудно доказать, что коэффициенты М1.2 и М2.1 одинаковы.

Для этого предположим, что вторая катушка с током I2 удаляется в бесконечность. Потокосцепление этой катушки изменяется на величину взаимного потокосцепления. Работа, совершаемая при удалении катушки, согласно формуле (8.21), определяется произведением Электрическое поле и его расчётУчитывая относительность движения, ту же работу можно определить произведением Электрическое поле и его расчётт.е.
Электрическое поле и его расчёт
Отсюда
Электрическое поле и его расчёт
или
Электрическое поле и его расчёт
Взаимоиндуктивность выражается через индуктивности катушек:
Электрическое поле и его расчёт

Коэффициент связи

Формула (8.26) справедлива при отсутствии рассеяния магнитных потоков, т. е. когда между катушками существует наибольшая магнитная связь. В действительности некоторая часть линий магнитной индукции поля данной катушки сцеплена только с собственными витками (на рис. 8.21, б это относится к первой катушке). Этими линиями определяется магнитный поток рассеяния Фs, который не образует магнитной связи катушек; поэтому в реальных устройствах, где используется магнитная связь, поток рассеяния должен быть по возможности уменьшен.

Из-за потоков рассеяния магнитная связь катушек оказывается неполной (Ф1.21). При этом взаимоиндуктивность будет меньше величины Электрическое поле и его расчётчто учитывается коэффициентом связи k:
Электрическое поле и его расчёт

Коэффициент связи Электрическое поле и его расчёт теоретически может изменяться от 0 до 1.
Потоки рассеяния уменьшить до нуля практически невозможно, поэтому коэффициент связи k всегда меньше единицы.

В системе магнитносвязанных контуров или катушек различают согласное и встречное включение.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.22. Согласное и встречное включение катушек

Если направления намагничивающих сил двух катушек, определенные по правилу буравчика, совпадают, то включение катушек называется согласным (рис. 8.22, а). При несовпадении этих направлений включение называется встречным (рис. 8.22, б).

Для изменения направления намагничивающей силы катушки можно, согласно правилу буравчика, изменить направление тока или направление хода витков (правая или левая намотка).

Изменяя направление тока или направление намотки одной из катушек, получают согласное или встречное включение.

При встречном включении катушек можно добиться такого положения, когда потоки обеих катушек, определенные порознь, равны, а результирующий поток в соответствии с принципом наложения равен нулю.

Если требуется получить катушку без индуктивности, можно применить бифилярную намотку, которая выполняется проводом, сложенным вдвое.
Магнитный поток, а следовательно, и индуктивность бифилярно намотанной катушки равны нулю, так как каждый виток ее состоит из двух проводников с противоположным направлением тока. 

Вычисление индуктивностей

Проводящие контуры, катушки — наиболее распространенные элементы электротехнических устройств, а индуктивность является конструктивной характеристикой этих элементов и применяется при расчетах. Поэтому важно не только само понятие об индуктивности, но и вычисление ее для различных случаев.

Индуктивность катушки

Определим индуктивность участка l бесконечно длинной цилиндрической катушки, имеющей на этом участке N витков диаметром D (см. рис. 8.15).
Магнитное поле такой катушки равномерное. В этом случае по формуле (8.13)
Электрическое поле и его расчёт
Если витки катушки плотно прилегают друг к другу, можно считать поток всех витков одинаковым:
Электрическое поле и его расчёт
где S = πD2/4 — площадь поперечного сечения катушки.

Согласно формуле (8.23), индуктивность
Электрическое поле и его расчёт
Выражение (8.28) можно использовать для приближенного вычисления индуктивности цилиндрической катушки конечной длины, если Электрическое поле и его расчёт 

Точность результата тем больше, чем больше отношение Электрическое поле и его расчёт Индуктивность кольцевой катушки на тороидальном сердечнике (см. рис. 8.6, где l = 2πr) приближенно определяют по этой же формуле.

В практике (например, радиотехнической) применяются катушки различной формы, для которых условие Электрическое поле и его расчёт чаще всего не выполняется. Для определения индуктивности применяются расчетные кривые или эмпирические формулы, поправочные коэффициенты к формуле (8.28), приводимые в справочниках.

Индуктивность двухпроводной линии

Для определения индуктивности участка двухпроводной линии (рис. 8.23) нужно применить формулу (8.23), для чего предварительно следует подсчитать потокосцепление.

Поток, сцепленный с контуром, образованным прямым и обратным проводами линии, нужно подсчитать по формуле (8.16), учитывая, что магнитное поле линейного тока неравномерное.

Выделим между проводами элемент площади dS = ldx, в пределах которой магнитную индукцию можно считать постоянной:
Электрическое поле и его расчёт
или
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.23. К определению индуктивности двухпроводной линии

Поток, образованный током прямого провода, определим суммированием элементарных потоков на всем расстоянии между проводами в свету:
Электрическое поле и его расчёт
Учитывая, что Электрическое поле и его расчёт вместо a — r0 можно взять a:
Электрическое поле и его расчёт
Точно такой же поток и в том же направлении создается током обратного провода, поэтому общий поток
Электрическое поле и его расчёт
Двухпроводная линия, имея прямой и обратный провода, образует один виток; поэтому потокосцепление численно равно определенному магнитному потоку: Электрическое поле и его расчёт

Индуктивность
Электрическое поле и его расчёт

Подсчет по формуле (8.29) дает неточный результат, так как не была учтена внутренняя индуктивность, образованная магнитным потоком внутри проводов.
 

Задача 8.17.

Определить индуктивность кольцевой катушки прямоугольного поперечного сечения S = 6 см2, имеющей наружный радиус r2 = 11 см, внутренний r1 = 9 см, а число витков N = 500 (см. рис. 8.6).
Решение. Магнитная индукция по формуле (8.12)
Электрическое поле и его расчёт
При плотной намотке тонким проводом магнитный поток можно считать одинаковым для всех витков, поэтому потокосцепление
Электрическое поле и его расчёт
Индуктивность катушки
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт

Магнитные свойства вещества

Ранее магнитное поле рассматривалось в вакууме, где из-за отсутствия вещества оно не испытывает на себя его влияния и определяется только токами в проводах. Эти токи будем называть внешними.

Если магнитное поле внешних токов создается в веществе, то поле воздействует на него, а вещество определенным образом изменяет магнитное поле. 

Намагничивание вещества

Любое вещество, находящееся в магнитном поле внешних токов, приходит в особое состояние намагниченности, характеризующееся возникновением в нем добавочного магнитного поля.

Движение заряженных частиц внутри атома можно рассматривать как элементарные внутриатомные токи, поэтому добавочное магнитное поле, возникшее в результате намагничивания, будем называть полем элементарных (внутренних) токов.

Магнитные свойства элементарного кругового тока (рис. 8.24, а) можно характеризовать магнитным моментом, величина которого определяется произведением элементарного кругового тока и площади описанного им круга, а направление — по правилу буравчика:
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.24. Магнитный момент элементарных токов

При отсутствии магнитного поля внешних токов элементарные токи внутри вещества ориентированы беспорядочно, поэтому общий магнитный момент даже малых объемов вещества оказывается равным нулю, а магнитное поле элементарных токов не обнаруживается.

Влияние магнитного поля внешних токов на круговые элементарные токи в веществе состоит в том, что изменяется ориентация осей вращения частиц так, что их магнитные моменты оказываются направленными в одну сторону.
Интенсивность и характер намагничивания у различных веществ в одинаковом магнитном поле внешних токов значительно отличаются. Поэтому все вещества делятся на три группы.

К первой группе относятся диамагнитные вещества, в которых магнитное поле элементарных токов направлено против вызвавшего его поля внешних токов. Иначе говоря, результирующее магнитное поле в веществах этой группы слабее магнитного поля внешних токов. К диамагнитным веществам относятся вода, водород, кварц, серебро, медь и др.

Ко второй и третьей группам относятся соответственно парамагнитные (алюминий, кислород, воздух и т. д.) и ферромагнитные вещества (железо, никель, кобальт и Некоторые их сплавы). Общим для веществ этих групп является то, что при намагничивании магнитные моменты элементарных токов в них ориентируются в направлении ноля внешних токов. В результате магнитное поле усиливается.

Ферромагнитные вещества имеют особое значение в электротехнике, поэтому их магнитные свойства. Здесь отметим лишь, что магнитная индукция в ферромагнитном веществе во много (сотни и тысячи) раз больше, чем в парамагнитном, при одинаковой намагничивающей силе внешних токов. 

Намагниченность вещества

Из сказанного ранее ясно, что результирующее магнитное поле в веществе складывается из двух полей: поля внешних токов (токов в проводах) и поля элементарных внутренних токов.

В связи с этим для равномерного магнитного поля катушки (рис. 8.24, б) при наличии внутри ее какого-либо сердечника, например стального, можно записать уравнение, аналогичное уравнению (8.9) (это можно сделать и при неравномерном поле; равномерное поле взято для упрощения рассуждения):
Электрическое поле и его расчёт
где Iв — полный элементарный ток, сцепленный с контуром а-6-в-г.

Сравнивая (8.31) с (8.13), видим, что магнитная индукция в веществе (парамагнитном или ферромагнитном) больше, чем в вакууме, в связи с действием элементарных токов, т. е. благодаря намагничиванию вещества.
Степень намагничивания вещества оценивается вектором намагниченности М.

Для однородного по всем направлениям вещества величина вектора намагниченности равна геометрической сумме магнитных моментов элементарных токов в единице объема вещества:
Электрическое поле и его расчёт

Напряженность магнитного поля

Найдем величину общего магнитного момента элементарных токов, сцепленных с контуром а-б-в-г, учитывая, что при одинаковой ориентации токи с контуром сцеплены только на участке а-г длиной l (рис. 8.24, б):
Электрическое поле и его расчёт
где iв — элементарный ток, сцепленный с контуром а-б-в-г; S — площадь, ограниченная контуром элементарного тока. Подставив Электрическое поле и его расчёт в формулу (8.32), получим
Электрическое поле и его расчёт
откуда
Электрическое поле и его расчёт
Равенство (8.31) можно представить в виде

Электрическое поле и его расчёт
или
Электрическое поле и его расчёт

Из формулы (8.33) следует, что магнитное поле в веществе можно рассматривать как результат действия только токов в проводах (в витках катушки), если в качестве характеристики поля принять новую векторную величину Н, которая называется напряженностью магнитного поля:
Электрическое поле и его расчёт
С введением этого понятия формула (8.33) примет вид
Электрическое поле и его расчёт

Это уравнение подобно уравнению (8.13), полученному на основе представления о циркуляции вектора магнитной индукции в поле тока бесконечно длинной катушки.

Напряженность Н как характеристика магнитного поля не зависит от свойств среды, а определяется только величиной токов в проводах, что значительно облегчает расчеты магнитных полей.

Магнитная проницаемость вещества

Из уравнения (8.34) можно выразить величину магнитной индукции в веществе:
Электрическое поле и его расчёт
Намагниченность вещества является результатом действия внешнего магнитного поля токов. Коэффициент пропорциональности между напряженностью поля Н и намагниченностью М называется магнитной восприимчивостью Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Магнитная восприимчивость выражает способность вещества намагничиваться под действием внешнего магнитного ноля. Учитывая выражение (8.35), запишем
Электрическое поле и его расчёт
В этой формуле величина μ0Н характеризует только магнитное поле в вакууме, обозначается В0, а называется магнитной индукцией в вакууме:
Электрическое поле и его расчёт
Магнитную индукцию в веществе можно выразить формулой
Электрическое поле и его расчёт
Величина
Электрическое поле и его расчёт
характеризует магнитные свойства вещества, в котором существует магнитное поле, и называется абсолютной магнитной проницаемостью,
На основе формулы (8.37) абсолютную магнитную проницаемость можно определить отношением модуля магнитной индукции к модулю напряженности магнитного поля.

В практике удобно пользоваться отношением абсолютной магнитной проницаемости вещества μa к магнитной постоянной μ0:
Электрическое поле и его расчёт
Величина Электрическое поле и его расчётназывается относительной магнитной проницаемостью и показывает, во сколько раз магнитное поле в веществе получается сильнее (или слабее), чем в вакууме, при прочих равных условиях, т. е.
Электрическое поле и его расчёт
Магнитная восприимчивость ферромагнитных веществ велика, поэтому их величина Электрическое поле и его расчёт Для остальных веществ Электрическое поле и его расчёт а Электрическое поле и его расчёт
 

Задача 8.21.

На кольцевой неферромагнитный сердечник, средний радиус которого r = 48 см, намотана обмотка, имеющая N1 = 2000 витков. На эту обмотку концентрично наложена вторая обмотка с числом витков N2 = 3500. Площадь поперечного сечения сердечника S = 20 см2. Определить взаимную индуктивность обмоток, если коэффициент магнитной связи между ними k = 0,9. При последовательном соединении обмоток и токе I = 3 А определить магнитный поток в сердечнике в двух случаях: а) обмотки включены согласно; б) обмотки включены встречно.
Решение. Для определения взаимной индуктивности воспользуемся формулой (8.27). Но предварительно найдем индуктивность каждой катушки.
Индуктивность первой катушки
Электрическое поле и его расчёт
Индуктивность второй катушки
Электрическое поле и его расчёт
Взаимная индуктивность
Электрическое поле и его расчёт
Для определения магнитного потока найдем намагничивающую силу:
а)    при согласном включении
Электрическое поле и его расчёт
б)    при встречном включении
Электрическое поле и его расчёт
Напряженность магнитного поля
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт

Магнитная индукция

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Магнитный поток

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Закон полного тока и его применение

Введение понятия о магнитной проницаемости вещества позволяет все формулы, полученные ранее для магнитного поля в вакууме, применить и для магнитного поля в веществе, заменив в них магнитную постоянную магнитной проницаемостью μa. О такой возможности свидетельствует полная аналогия формул (8.36) и (8.37).

Это обстоятельство вместе с понятием о напряженности магнитного поля является основой для формулировки закона полного тока.

Закон полного тока

В формуле (8.8)
Электрическое поле и его расчёт
вместо μ0 запишем μa, а вместо магнитной индукции подставим равную ей величину Электрическое поле и его расчёт Получим
Электрическое поле и его расчёт
Уравнение (8.40) выражает закон полного тока: 
циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром.

В тех случаях, когда напряженность магнитного поля имеет одинаковую величину по всему контуру, а выбранный контур совпадает с линией магнитной индукции, уравнение (8.40) оказывается более простым: Электрическое поле и его расчёта для катушек
Электрическое поле и его расчёт

Если контур содержит несколько участков с различными величинами напряженности поля (Н1, Н2, .., Нn), но в пределах каждого участка напряженность не меняется, то уравнение (8.40) можно записать так:
Электрическое поле и его расчёт
где n — номер участка контура.
В таком выражении закон полного тока напоминает второй закон Кирхгофа и применяется при расчете магнитных цепей.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.25. Изменение характеристик магнитного поля на границе двух сред

Изменение магнитного поля на границе двух сред

Выделим на границе двух сред, имеющих относительные магнитные проницаемости μr1 и μr2, замкнутый контур а-б-в-г-д-е-а (рис. 8.25) около некоторой точки А.

Магнитная индукция и напряженность магнитного поля в этой точке характеризуются векторами B1 и Н1, в первой и В2 и Н2 во второй среде.
Разложим векторы В и Н в обеих средах на нормальные Вn, Нn и тангенциальные Вt и Ht составляющие.

При отсутствии на поверхности раздела сред токов проводимости по закону полного тока для указанного контура Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Учитывая равенство соответствующих отрезков контура, получим Н1t = H2t или
Электрическое поле и его расчёт
 

На границе двух сред тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля не изменяется.

Магнитный поток сквозь поверхность раздела сред создают только нормальные составляющие магнитной индукции. Учитывая же непрерывность линий магнитной индукции, можно заключить, что магнитный поток на границе двух сред не изменяется. Таким образом,
Электрическое поле и его расчёт
где ΔS — любой элемент площади на границе раздела сред.

Сокращая на ΔS, получим B1n = B2n или
Электрическое поле и его расчёт
Разделим равенство (8.43) на (8.44):
Электрическое поле и его расчёт
Отсюда
Электрическое поле и его расчёт
Равенство (8.45) выражает закон преломления линий магнитной индукции на границе двух сред.

В частном случае, когда линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости раздела, тангенциальные составляющие напряженности и индукции равны нулю. Магнитная индукция на границе двух сред в этом случае не изменяется [см. формулу (8.44)]: B1 = B2.

Напряженность магнитного поля изменяется скачком:
Электрическое поле и его расчёт
или Электрическое поле и его расчёт
и оказывается больше в среде с меньшей магнитной проницаемостью.
 

Задача 8.24.

Определить изменение направления линий магнитной индукции на границе стали с воздухом, если известны для стали μr1 = 1000; α1 = 89°.
Решение. По формуле (8.45),
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Случай изменения магнитного поля на границе ферромагнитной среды и воздуха часто встречается в электромагнитных устройствах, где магнитный поток замыкается по стальным участкам, чередующимся с воздушными зазорами.
Магнитная проницаемость стали во много раз больше магнитной проницаемости воздуха, поэтому при значениях α1 даже близких к 90°, α2 получается близким к нулю.
Практически можно считать, что линии магнитной индукции в воздухе у границы со сталью перпендикулярны поверхности раздела.

Свойства и применение ферромагнитных материалов

Ферромагнитные вещества широко применяются в электротехнике благодаря их способности намагничиваться и значительно усиливать внешнее магнитное поле. Для практики большое значение имеют особые свойства ферромагнитных веществ, выявляющиеся в процессе намагничивания. Эти свойства можно проследить на опыте, измеряя напряженность поля Н и магнитную индукцию В катушки со стальным сердечником (рис. 8.26).

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.26. Схема для намагничивания ферромагнитного сердечника

Намагничивание ферромагнитных материалов

С ростом напряженности поля Н магнитная индукция В увеличивается по закону Электрическое поле и его расчёт

График В(Н), соответствующий первоначальному намагничиванию и показанный на рис. 8.27, называется кривой первоначального намагничивания. Там же даны зависимости от напряженности поля обоих слагаемых μ0М и μ0Н, из которых складывается магнитная индукция в ферромагнитной среде.
Получив состояние магнитного насыщения, уменьшим напряженность внешнего магнитного поля Н. Магнитная индукция уменьшается по кривой 1-2 (рис. 8.28), которая не совпадает с кривой первоначального намагничивания (кривая 0-1). При Н = 0 магнитная индукция имеет остаточное значение Вr.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.27. Зависимость магнитной индукции и намагниченности от напряженности поля

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 8.28. График циклического перемагничивания ферромагнитного сердечника

Размагничивание сердечника как бы запаздывает по сравнению с уменьшением напряженности поля. Это явление называют магнитным гистерезисом.

Особенностью ферромагнитных веществ является наличие сильных магнитных связей молекул, вследствие чего в них образуются весьма малые (микроскопические) области, внутри которых магнитные моменты молекул ориентированы в одну сторону. Такие области имеют значительный общий магнитный момент и называются самопроизвольно намагниченными.
В отсутствие внешнего магнитного поля ферромагнитные вещества не проявляют своих магнитных свойств, так как магнитные моменты самопроизвольно намагниченных областей направлены беспорядочно. Общий магнитный момент всего объема тела оказывается равным нулю.
Усиление магнитного поля в ферромагнитной среде, а также явления магнитного насыщения и остаточного магнетизма хорошо объясняются изменением ориентации магнитных моментов областей самопроизвольной намагниченности под действием внешнего поля.

В образовании внутреннего магнитного поля участвуют не отдельные молекулы, как в диамагнитных и парамагнитных веществах, а целые области, обладающие магнитным моментом.

Магнитное насыщение означает, что все магнитные моменты ориентированы по направлению внешнего поля. Остаточный магнетизм объясняется тем, что при снятии внешнего поля определенная часть магнитных моментов сохраняет приобретенное при намагничивании направление, так что результирующий магнитный момент объема сердечника не уменьшается до нуля.

Магнитный гистерезис

Изменив направление тока в катушке и, следовательно, направление внешнего поля в сердечнике, увеличим напряженность поля (вектор Н изменил направление). Магнитная индукция уменьшается до нуля (отрезок кривой 2-3), а затем изменит направление на обратное.

Величину напряженности поля Н, необходимую для уничтожения поля в сердечнике, называют коэрцитивной (задерживающей) силой. В точке 3 внешнее поле скомпенсировало остаточное поле намагниченности сердечника (—Нс = М). В дальнейшем результирующее поле в сердечнике изменяет направление и усиливается, пока не наступает насыщение (участок 3-4). Аналогично можно получить данные и начертить нижнюю часть графика 4-5-6-1. Полученную замкнутую кривую В(Н) называют петлей магнитного гистерезиса.

Циклическое перемагничивание вещества в области значений В и Н, меньших тех, которые соответствуют полному насыщению, тоже образует петлю гистерезиса, полностью заключенную внутри предельной петли.
Ряд таких петель гистерезиса показан на рис. 8.29. Кривую 0-1- 2-3-4, проведенную через вершины всех петель гистерезиса, называют основной кривой намагничивания. Она проходит близко к кривой первоначального намагничивания, но не совпадает с ней.

Основную кривую намагничивания используют при технических расчетах магнитных систем. На рис. 8.30 изображены основные кривые намагничивания некоторых ферромагнитных материалов.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.29. Петли магнитного гистерезиса

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.30. Основные кривые намагничивания некоторых ферромагнитных материалов

Свойства ферромагнитных материалов

На основе опыта намагничивания и перемагничивания ферромагнитных материалов можно сформулировать основные их свойства.

  1. Ферромагнитные вещества относительно легко и сильно намагничиваются. Относительная магнитная проницаемость μr для некоторых ферромагнитных материалов достигает значений 105 и выше.
  2. С ростом напряженности внешнего магнитного поля намагниченность и магнитная индукция увеличиваются; однако намагниченность и магнитная индукция не пропорциональны напряженности поля (см. рис. 8.27). Это значит, что магнитная восприимчивость Электрическое поле и его расчёт и магнитная проницаемость μr — не постоянные величины, а зависят от намагниченности М.
  3. Начиная с некоторой напряженности поля Н при ее увеличении происходит магнитное насыщение, т. е. такое состояние ферромагнитных веществ, при котором рост напряженности поля не влечет за собой увеличения намагниченности.
  4. При уменьшении напряженности поля Н после достижения состояния насыщения намагниченность и магнитная индукция уменьшаются. Однако величины М и В отличаются от тех, которые были зафиксированы для одинаковых Н при увеличении напряженности. 
  5. При устранении внешнего поля (Н = 0) обнаруживается остаточная намагниченность (М и В не равны нулю).
  6. При увеличении напряженности поля Н в обратном направлении происходит сначала размагничивание намагниченного образца, а затем намагничивание в обратном направлении (М и В меняют знак) до насыщения.
  7. При циклическом перемагничивании с определенной частотой ферромагнитное вещество нагревается, что свидетельствует о затрате энергии на перемагничивание.

Абсолютная магнитная проницаемость ферромагнитного вещества определяется в каждой точке основной кривой намагничивания (рис. 8.31) отношением
Электрическое поле и его расчёт
где mВ и mН — масштабы по осям координат.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 8.31. К определению магнитной проницаемости

Магнитная проницаемость, определяемая этим отношением, называется статической.

Как видим, с ростом напряженности поля магнитная проницаемость вначале увеличивается, а при переходе в область насыщения уменьшается.
Кроме статической магнитной проницаемости μa определяется дифференциальная магнитная проницаемость μaдиф. Последняя пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к основной кривой намагничивания в каждой точке:
Электрическое поле и его расчёт

Что касается затрат энергии на перемагничивание, то, как будет показано дальше, величина их пропорциональна площади, ограниченной петлей магнитного гистерезиса.

Магнитно-мягкие и магнитно-твердые материалы

Для всех ферромагнитных материалов отмеченные свойства являются общими, однако проявляются они по-разному в зависимости от их химического состава.
В связи с этим различают две основные группы ферромагнитных материалов: магнитно-твердые и магнитно-мягкие.

Магнитно-твердые материалы имеют большие величины остаточной магнитной индукции и коэрцитивной силы, широкую петлю магнитного гистерезиса. Магнитно-твердыми являются хромовольфрамовые, хромомолибденовые стали (Вr = 1 Т, Нс = 60 А/см); сплав алнико (Al, Ni, CO) и др.

Для магнитно-мягких материалов характерны большая магнитная проницаемость и малая коэрцитивная сила (узкая петля магнитного гистерезиса).

К магнитно-мягким материалам относятся электротехническая сталь (малоуглеродистая с присадкой кремния от 1,7 до 4%), чистое электролитическое железо, электротехнический чугун, пермаллой (80% Ni и 20% Fe) и др.
Магнитно-мягкие материалы применяются для устройства магнитных цепей электрических машин, аппаратов, электромагнитов и т. п. Свойства материалов обеспечивают в этих устройствах создание сильных магнитных полей при относительно небольших величинах намагничивающих сил IN и относительно малые потери энергии при перемагничивании.

Задача 8.27.

Решить задачу 8.21, если сердечник выполнен из электротехнической стали, характеристика намагничивания которой приведена на рис. 8.30.
Решение. Магнитную проницаемость стали можно принять постоянной условно в предположении, что в тех пределах изменения магнитной индукции, какие имеют место при переключении обмоток, характеристика намагничивания стали близка к прямой. Если характеристику намагничивания нельзя хотя бы приближенно считать прямолинейной, то формула (8.27) в этом случае непригодна. Взаимную индуктивность обмоток можно определить по формуле (8.25), предполагая без тока сначала одну, а затем другую обмотки.
В этом случае Электрическое поле и его расчёт
Для определения индуктивности катушки нельзя воспользоваться и формулой (8.28), так как неизвестна магнитная проницаемость стали.
При разомкнутой второй обмотке найдем индуктивность L1 и взаимоиндуктивность М1.2.
Намагничивающая сила обмотки
Электрическое поле и его расчёт
Напряженность поля
Электрическое поле и его расчёт
Магнитную индукцию находят по кривой намагничивания электротехнической стали в следующем порядке (см. рис. 8.30 и 8.31). На оси абсцисс определяют точку 1, отстоящую от начала координат на расстоянии 0-1, выражающем в принятом масштабе найденную величину напряженности поля. Из этой точки проводят прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с кривой намагничивания в точке 2. Эту точку проектируют на ось ординат, где и читают ответ — величину магнитной индукции (отрезок 0-3).
Для H1 = 20 А/см

Электрическое поле и его расчёт
Магнитный поток
Электрическое поле и его расчёт
Собственное потокосцепление первой обмотки
Электрическое поле и его расчёт
Индуктивность первой обмотки
Электрическое поле и его расчёт
Найдем взаимное потокосцепление, считая поток рассеяния Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Взаимная индуктивность
Электрическое поле и его расчёт

Расчет электрических полей

В рабочем состоянии электрических устройств и установок между токоведущими частями имеется разность потенциалов, т. е. существует электрическое поле.

Кроме основного (разрешенного) канала тока имеется бесчисленное множество потенциальных каналов, которые закрыты электрической изоляцией. Таким образом, электрическая изоляция находится под действием электрического поля и должна быть рассчитана на то, чтобы надежно выполнять свои функции. Для расчета необходимо определить характеристики электрического поля.
Эти и другие вопросы, относящиеся к электрическому полю, рассматриваются в данной главе.

Применение закона кулона для расчета электрического поля

Расчет электрических полей на основе закона Кулона применяется в тех случаях, когда электрические заряды тел можно рассматривать сосредоточенными в весьма малом объеме, т. е. полагать заряженные тела точечными.
 

Электрическое поле уединенного заряженного тела

Из закона Кулона следует, что напряженность элегического поля уединенного точечного заряженного тела
Электрическое поле и его расчёт

где Q — величина заряда тела; Q0 — заряд пробного тела; r — расстояние от заряженного тела до точки, в которой определяется напряженность поля.
Электрическое поле уединенного точечного заряженного тела неравномерно. Найдем потенциал поля в некоторой точке 1 (см. рис. 7.3), используя выражение (1.3), с помощью которого выразим работу в поле на пути от некоторой точки 1 до бесконечности:
Электрическое поле и его расчёт
где r1 — расстояние от заряженного тела до точки 1.
Положение точки 1 выбрано произвольно, поэтому полученное выражение можно записать для любой точки
Электрическое поле и его расчёт
Напряжение между точками 1 и 2
Электрическое поле и его расчёт
Между напряженностью электрического поля и потенциалом в некоторой точке имеется определенная связь, которую выразим в общем виде.
Из выражения (1.3) следует:
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Знак минус в этих выражениях указывает на то, что энергия убывает, если перемещение происходит в направлении напряженности поля. 
Отсюда

Электрическое поле и его расчёт
Еn — величина проекции вектора Е на направление dl.

Электрическое поле группы заряженных тел

При рассмотрении электрического поля в вакууме (а также в воздухе) установили, что напряженность поля линейно зависит от заряда тела [в выражении (7.1) Q = const]. Поэтому при определении напряженности результирующего поля от действия нескольких заряженных тел можно пользоваться принципом наложения полей.

В каждой точке пространства, окружающего заряженные тела, электрическое поле одного тела накладывается на поле другого.

Для определения общей напряженности нужно найти величину и направление вектора напряженности каждого из составляющих полей, а затем сложить векторы:
Электрическое поле и его расчёт
Принцип наложения действителен и при определении потенциала в некоторой точке результирующего поля. Но потенциалы складываются алгебраически, так как они скалярные величины:

Электрическое поле и его расчёт

Задача 7.1. Два точечных тела, заряды которых Q1 = 3,2 • 10-11 Кл и Q2 = -4,267 • 10-11 Кл, расположены в воздухе в противоположных вершинах воображаемого прямоугольника со сторонами 6 и 8 см (рис. 7.1). Определить напряженность и потенциал в двух других вершинах и в точках 5, 6, 7, 8.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 7.1. К задаче 7.1
Решение. Определим в заданных точках напряженность электрического поля каждого заряженного тела в отдельности по формуле (7.1), обозначая напряженность буквой Е с индексами. Первая цифра индекса указывает, с каким заряженным телом связано поле, вторая — точку, где определяется напряженность этого поля.
В точке 3
Электрическое поле и его расчёт
По формуле (7.2),

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Согласно принципу наложения, общую напряженность поля найдем геометрическим (векторным) сложением составляющих.
По условию задачи векторы Е1.3 и Е2.3 направлены под углом 90° друг к другу. Поэтому напряженность результирующего поля можно подсчитать как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются эти векторы:
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
В общем случае определение напряженности результирующего поля можно выполнить графически, по правилам векторного сложения или по теореме косинусов.
В точке 5
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт

По условию задачи векторы Е1.5 и Е2.5 направлены по прямой 1-2 в одну сторону. Поэтому величину напряженности результирующего поля можно найти как сумму численных значений Е1.5 и Е2.5:
Е5 = Е1.5 + Е2.5 = 180 + 106,7 = 286,7 В/м;
V5 = V1.5 + V2.5 = 13,6 В.

Напряженность и потенциал результирующего поля в точках 4, 6, 7, 8 определите самостоятельно.

Теорема Гаусса и ее применение

В практике чаще встречаются случаи, когда заряд тела распределен по его поверхности с некоторой плотностью. В таких случаях задачи решаются более просто на основе теоремы Гаусса.

Поток вектора напряженности электрического поля

Рассматривая электрическое поле, изображенное на рис. 7.3, выделим элемент поверхности площадью dS. Он представляет собой маленькую часть сферы радиусом r, в центре которой помещено точечное тело с положительным зарядом Q.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 7.3. К определению потока вектора напряженности электрического поля

В силу геометрической симметрии поля вектор напряженности Е по величине одинаков во всех точках поверхности и направлен перпендикулярно ей. Произведение ЕdS выражает величину элементарного потока dN вектора напряженности электрического поля через элемент поверхности dS, если линии напряженности перпендикулярны пронизываемой ими поверхности:
Электрическое поле и его расчёт
Определим полный поток N вектора напряженности электрического поля, для чего сложим элементарные потоки по всей поверхности сферы:
Электрическое поле и его расчёт
Вынося постоянную величину Е за знак суммы и учитывая, что вектор Е всюду перпендикулярен поверхности сферы, получаем
Электрическое поле и его расчёт
где Электрическое поле и его расчёт — площадь сферы; следовательно,
Электрическое поле и его расчёт
Подставляя напряженность поля в формулу (7.1), получим
Электрическое поле и его расчёт
 

Теорема Гаусса

Приведенные рассуждения справедливы и при отрицательном заряде с той лишь разницей, что поток вектора напряженности в этом случае отрицательный.

Из формулы (7.8) следует, что поток N не зависит от радиуса сферической поверхности.

Потоку вектора напряженности электрического поля можно придать некоторую наглядность с помощью линий напряженности. 

Вследствие симметрии электрического поля в рассматриваемом случае линии напряженности пронизывают всю поверхность сферы и их плотность (число линий на единицу площади) одинакова. Предположим, что эта плотность выбрана численно равной напряженности поля. Тогда общее число линий, пронизывающих поверхность сферы, будет численно равно полному потоку вектора напряженности поля N.

Число линий напряженности, а следовательно, и поток вектора напряженности остаются одинаковыми для сферы любого радиуса. Это справедливо и для элементов dS и dS» сферических поверхностей, через которые проходят одни и те же линии напряженности (рис. 7.3), образующие конус с вершиной в центре сферы.

Элементарный поток вектора напряженности заключен внутри указанного конуса и пронизывающие элемент поверхности dS линии напряженности образуют элементарную трубку поля. Сложив потоки всех трубок по всему объему шара, получим полный поток вектора напряженности электрического поля точечного заряженного тела.

Можно доказать, что формула (7.8) справедлива не только для сферы, окружающей точечное заряженное тело, но и для любой замкнутой поверхности.

В общем случае направление вектора напряженности Е может быть не перпендикулярно элементу поверхности dS около выбранной точки А (рис. 7.4). Угол между направлением вектора Е и внешней нормалью n к поверхности в точке А обозначим а (внешняя нормаль — это линия, перпендикулярная поверхности в выбранной точке, направленная от этой поверхности с внешней стороны). Для определения потока через элемент поверхности нужно взять проекцию вектора Е на направление внешней нормали
Электрическое поле и его расчёт
где

Электрическое поле и его расчёт
Тогда
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 7.4. К определению потока вектора напряженности электрического поля

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 7.5. К определению напряженности электрического поля заряженной плоскости

Суммирование элементарных потоков по всей замкнутой поверхности дает полный поток
Электрическое поле и его расчёт
Если внутри замкнутой поверхности находится любое число тел с разноименными зарядами, в формулы (7.8) и (7.9) следует ввести алгебраическую сумму всех зарядов:
Электрическое поле и его расчёт
Алгебраическая сумма зарядов берется в данном случае потому, что линии напряженности при положительных и отрицательных зарядах направлены противоположно.

Формула (7.10) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая формулируется так: поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности к электрической постоянной.

Поле заряженной плоскости

Бесконечная плоскость (рис. 7.5) имеет заряд, распределенный с плотностью а. Выделим вокруг части этой плоскости замкнутую поверхность, которая образована двумя плоскими поверхностями S, параллельными заряженной плоскости, и цилиндрической боковой поверхностью, перпендикулярной ей. Вследствие симметрии все точки поверхности S имеют одинаковую напряженность поля.

Кроме того, вектор напряженности направлен перпендикулярно заряженной плоскости, т. е. перпендикулярно поверхности S и параллельно цилиндрической боковой поверхности. В этом случае поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность равен нулю и, следовательно, общий поток равен потоку через поверхности S.
Заряд, заключенный внутри выделенной поверхности, составляет σS.
Согласно теореме Гаусса,
Электрическое поле и его расчёт
Отсюда
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 7.6. К определению напряженности и потенциала электрического поля между двумя заряженными плоскостями

Электрическое поле двух параллельных бесконечных плоскостей, несущих разноименные заряды одинаковой плотности (рис. 7.6), определяется наложением полей положительной и отрицательной пластин. 
Как видно из формулы (7.11), напряженность поля бесконечной плоскости не связана с расстоянием от нее. Поэтому вне пластин (точка А) поля положительной и отрицательной пластин взаимно скомпенсированы, т. е. результирующая напряженность поля равна нулю (Е = 0).
Между пластинами (точка В) поля их складываются, поэтому
Электрическое поле и его расчёт

Таким образом, между двумя бесконечными плоскостями, заряженными противоположно с одинаковой плотностью заряда, напряженность поля одинакова во всех точках по величине и направлению, т. е. электрическое поле равномерно.

Поле заряженного шара

Наметим в пространстве, окружающем заряженный шар, произвольную точку 1, отстоящую от центра шара на расстоянии r (рис. 7.7) Выделим сферическую поверхность, концентричную с поверхностью заряженного шара, так, чтобы точка 1 лежала на этой поверхности. Вследствие симметрии все точки выделенной поверхности имеют одинаковую напряженность. В данном случае вектор напряженности Е направлен радиально в каждой точке, т. е. перпендикулярно выбранной сферической поверхности.
Поток вектора напряженности поля через выделенную сферическую поверхность
Электрическое поле и его расчёт
Заряд шара
Электрическое поле и его расчёт
где σ — поверхностная плотность заряда; R — радиус шара.

Согласно теореме Гаусса [см. формулу (7.8)],
Электрическое поле и его расчёт
Отсюда для напряженности поля получим выражение
Электрическое поле и его расчёт
Напряженность поля заряженного шара имеет такое же выражение, какое получено из закона Кулона для точечного заряженного тела. Следовательно, заряд шара можно считать сосредоточенным в центре и рассматривать заряженный шар как точечное заряженное тело. При r = R

Электрическое поле и его расчёт
На рис. 7.7 показаны графики зависимости напряженности и потенциала поля уединенного заряженного шара от расстояния r.

Поле заряженного прямого провода

Проведем через некоторую точку 1 пространства цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с осью провода круглого сечения (рис. 7.8).
Вследствие симметрии во всех точках выделенной поверхности линии напряженности перпендикулярны ей, а напряженность поля одинакова: Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 7.7. К определению напряженности и потенциала электрического поля заряженного шара

Электрическое поле и его расчёт
   Рис. 7.8. К определению напряженности электрического поля прямого заряженного провода

Поток вектора напряженности
Электрическое поле и его расчёт
где 2πrl — боковая поверхность цилиндра.
Поток через основания цилиндра равен нулю, так как линии напряженности не пронизывают их.

Согласно теореме Гаусса,
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
где Q = τl; τ — линейная плотность заряда на проводе.

Задача 7.3.

Построить графики напряженности электрического поля заряженного шара (поверхностная плотность заряда σ = 2 • 10-8 Кл/м2, радиус шара R = 5 см) и заряженного прямого провода (линейная плотность заряда τ = 4 • 10-8 Кл/м).
Решение. Для построения графиков нужно задаться несколькими значениями расстояния r от центра шара или оси провода до точек, в которых предполагается определить напряженность поля. По формуле (7.13) определяют напряженность электрического поля заряженного шара E1, по формуле (7.14) — заряженного провода E2.

При r = 10 см
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Определите напряженность электрического поля в обоих случаях в точках, положение которых определяется расстоянием r = 5, 20, 50, 100 см и ∞; постройте графики Е(r) в прямоугольной системе координат.

Электрическое поле в однородном диэлектрике

По сравнению с проводниками количество свободных заряженных частиц в единице объема диэлектрика очень мало. Поэтому при наличии электрического поля направленным движением свободных заряженных частиц можно пренебречь и считать, что в диэлектрике преобладают электростатические явления.

При этом электрическое поле воздействует на вещество диэлектрика, которое определенным образом изменяет электрическое поле.

Поляризация диэлектрика

Различают диэлектрики с полярными и неполярными молекулами. Полярные молекулы в электрическом отношении можно уподобить электрическому диполю (рис. 7.9, а). Электрическим диполем называют совокупность двух точечных заряженных тел, обладающих равными по величине и противоположными по знаку зарядами, расстояние между которыми очень мало по сравнению с расстоянием от них до точек, в которых рассматривается поле диполя.
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 7.9. Диэлектрик в электрическом поле

Электрической характеристикой диполя является его электрический момент р, численное значение которого равно произведению величины заряда точечных тел на расстояние между ними:
Электрическое поле и его расчёт.
Вектор электрического момента направлен от отрицательного заряда к положительному.

Полярные молекулы в диэлектрике расположены так, что электрические моменты их направлены беспорядочно. Поэтому тела, в состав которых входят полярные молекулы, в целом нейтральны, хотя каждая полярная молекула создает свое электрическое поле.

Рассмотрим диэлектрик, помещенный в равномерное электрическое поле с напряженностью Е между двумя заряженными металлическими пластинами (рис. 7.9).

Во внешнем электрическом поле полярная молекула (диполь) испытывает действие пары сил, которая поворачивает ее таким образом, что электрический момент диполя оказывается направленным так же, как и напряженность поля (рис. 7.9, б).

В неполярных молекулах диэлектрика под действием внешнего электрического поля происходит смещение заряженных частиц вдоль его направления, в результате чего они приобретают свойство диполей. Это явление называется поляризацией диэлектрика.

Поляризованность диэлектрика

Степень поляризации диэлектрика оценивают вектором поляризованности P. Для однородного по всем направлениям диэлектрика величина вектора поляризованности представляет геометрическую сумму электрических моментов р молекул, заключенных в единице объема:
Электрическое поле и его расчёт
Поляризованность тем больше, чем сильнее электрическое поле. Зависит она и от свойства диэлектрика. Поэтому поляризованность можно выразить произведением
Электрическое поле и его расчёт
где Электрическое поле и его расчёт — диэлектрическая восприимчивость (относительная ) — величина, характеризующая способность диэлектрика поляризоваться под действием электрического поля.

В результате поляризации диэлектрика диполи стремятся располагаться вдоль линий напряженности электрического поля. При этом внутри диэлектрика в любом объеме, не меньшем объема молекулы, сохраняется равенство общих зарядов того и другого знака, так что диэлектрик остается нейтральным. По поверхностям диэлектрика, прилегающим к металлическим пластинам, распределены частицы, имеющие заряд одного знака: отрицательный — на границе с положительной пластиной и положительный— на границе с отрицательной пластиной (рис. 7.9, в).

На обеих поверхностях заряд распределен равномерно с одинаковой плотностью σ. Таким образом, на границе между металлической пластиной и диэлектриком распределены два вида заряженных частиц: свободные частицы металлической пластины с общим зарядом Q0 и связанные частицы диэлектрика с общим зарядом Qп противоположного знака.

Электрическое поле в диэлектрике соответствует общему заряду частиц Q = Q0 — Qп; оно физически существует в пространстве между молекулами диэлектрика. Это поле можно также представить как результат наложения двух полей — внешнего (напряженность Е0) и внутреннего (напряженность Еп).

В данном случае внешним полем называется поле свободных заряженных частиц металлических пластин при отсутствии диэлектрика, а внутренним — поле связанных заряженных частиц диэлектрика, существующее независимо от внешнего поля. Независимое существование внутреннего поля диэлектрика до некоторой степени условно, так как оно возникает только при наличии внешнего поля и в большинстве случаев исчезает при его отсутствии.
Однако имеются такие диэлектрики, которые, будучи поляризованными внешним электрическим полем, сохраняют остаточную поляризацию (сегнетоэлектрики и электреты).

Электрическое смещение

На основании теоремы Гаусса [см. формулу (7.8)] для равномерного поля свободных заряженных частиц
Электрическое поле и его расчёт
а для поля в диэлектрике
Электрическое поле и его расчёт

Найдем величину вектора поляризованности Р (рис. 7.9, в). Электрический момент элементарного поверхностного заряда имеет значение σdSl, где l — расстояние между пластинами или толщина диэлектрика; σSl — момент всего объема диэлектрика.

Таким образом числитель выражения (7.16) в данном случае имеет величину σSl, а знаменатель — Sl.
Тогда поляризованность
Электрическое поле и его расчёт
Величина поляризованности равна плотности заряда на поверхности диэлектрика.

Вместе с тем заряд связанных частиц на поверхности диэлектрика равен общему заряду частиц, которые смещаются в диэлектрике через любую плоскость, параллельную обкладкам.

Согласно выражению (7.19),
Электрическое поле и его расчёт
Общий заряд связанных частиц с учетом выражения (7.20)

Электрическое поле и его расчёт

Тогда
Электрическое поле и его расчёт
или
Электрическое поле и его расчёт

Из этого выражения следует, что электрическое поле в диэлектрике можно рассматривать только в связи с зарядом Q0 свободных заряженных частиц и не учитывать явление поляризации, если в качестве характеристики поля принять другую векторную величину D, называемую электрическим смещением:
Электрическое поле и его расчёт
С введением этого понятия формула (7.21) упрощается:
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое смещение как характеристика электрического поля не зависит от свойств среды, а определяется только зарядом свободных частиц, что значительно облегчает расчеты электрических полей.
В выражение (7.22) подставим численное значение вектора поляризованности согласно (7.17):
Электрическое поле и его расчёт
В этой формуле величина ε0Е характеризует только электрическое поле в вакууме, обозначается D0 и называется электрическим смещением в вакууме:
Электрическое поле и его расчёт
Слагаемым Электрическое поле и его расчёт учитывается явление поляризации диэлектрика.

Диэлектрическая проницаемость

Сравнивая выражения (7.18) и (7.19), нетрудно установить, что при внесении диэлектрика в пространство между металлическими пластинами электрическое поле становится слабее того поля, которое создается при отсутствии диэлектрика и прочих одинаковых условиях, т. е. Е < Е0.
Это обстоятельство формально можно учесть, введя в выражения, определяющие напряженность поля, вместо электрической постоянной ε0 величину εa > ε0, считая заряд по-прежнему равным заряду Q0 свободных частиц.

Величина εa, называемая диэлектрической проницаемостью веществ, наряду с диэлектрической восприимчивостью Электрическое поле и его расчёт характеризует электрические свойства диэлектрика.
Из выражения (7.23) электрическое смещение можно выразить формулой
Электрическое поле и его расчёт
Величина Электрическое поле и его расчётхарактеризующая свойства диэлектрика, и есть упомянутая ранее диэлектрическая проницаемость.
Диэлектрическая проницаемость имеет такую же размерность, что и электрическая постоянная.

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 7.10. Вольт-кулоновые характеристики конденсаторов

Обычно электрические свойства веществ оценивают отношением их диэлектрической проницаемости εa к электрической постоянной ε0:

Электрическое поле и его расчёт

Диэлектрическая восприимчивость Электрическое поле и его расчёт диэлектриков — величина положительная, поэтому εr > 1, а εa > ε0.

Величина εr называется относительной диэлектрической проницаемостью и показывает, во сколько раз электрическое поле в диэлектрике слабее, чем в пустоте, при прочих равных условиях.

Емкость конденсаторов, изготовленных с применением таких диэлектриков, не зависит от величины напряжения между его обкладками. Такие конденсаторы называются, линейными, так как зависимость их заряда от напряжения — Q(U) — прямолинейная (рис. 7. 10, а). Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков сильно зависит от напряженности электрического поля, что видно из рис. 7.10, б, на котором эта зависимость показана вместе с графиком D (Е). Конденсатор с сегнетоэлектриком имеет нелинейную вольт-кулоновую характеристику Q(U). Такие конденсаторы применяются в устройствах автоматики.

Электрическая емкость

Связь уединенного проводника, имеющего электрический заряд Q, с собственным электрическим полем характеризуется величиной заряда. В этом поле поверхность проводника является поверхностью равного потенциала V; такой же потенциал имеют все точки в объеме проводника, поэтому можно говорить о потенциале проводника.

При увеличений или уменьшении заряда совершается работа и энергетическая характеристика (потенциала) проводника соответственно увеличивается или уменьшается.

Однако при равном изменении зарядов двух проводников, каждый из которых уединен, изменения их потенциалов могут быть неравными. На зависимость между потенциалом и зарядом уединенного проводника влияют форма и размеры его поверхности, а также среда, в которую проводник помещен. Для выражения этого влияния введено понятие электрической емкости уединенного проводника С.

Общее выражение емкости

Электрическая емкость проводника есть величина, характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу:
Электрическое поле и его расчёт

Связь потенциала и заряда проводника в данном случае выражена в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены, а потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю.

В вакууме это отношение для данного проводника остается неизменным независимо от величины заряда. Во многих диэлектриках, используемых в практике, емкость проводника тоже постоянна в широких пределах изменения заряда.

Единица емкости
[С] = кулон/вольт = фарад (Ф).
Фарад — очень крупная единица емкости, поэтому в практических расчетах часто выражают емкость в долях фарада — микрофарадах (мкФ) и пикофарадах (пФ): 1Ф = 106 мкФ = 1012 пФ.

В системе заряженных проводников на заряд и потенциал каждого проводника влияют форма, расположение и величина зарядов других проводников. В этом случае применяется понятие о емкости системы проводников.

Наибольшее значение для практики имеют системы из двух проводников, получающих равные по величине, но противоположные по знаку заряды. Устройства из двух изолированных друг от друга проводников, которые получают равные по величине, но противоположные по знаку заряды, называются конденсаторами.

Проводники конденсатора, имея равные по величине, но противоположные по знаку заряды (см. рис. 1.6, а), имеют разные потенциалы V1 и V2. Следовательно, между проводниками имеется напряжение U = V1 — V2.
 

Величина, характеризующая связь заряда конденсатора с напряжением между его обкладками, численно равная отношению заряда к напряжению, называется емкостью конденсатора:
Электрическое поле и его расчёт

Емкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, расстояния и свойств среды между обкладками.

Проводимость диэлектриков, используемых для заполнения пространства между обкладками конденсатора, ничтожно мала. Поэтому конденсаторы могут служить для накопления и сохранения электрического поля и его энергии.
 

Емкость плоского конденсатора

Конденсатор называется плоским, если его обкладками являются две плоскопараллельные металлические пластины (см.рис. 1.6, а).
Обычно расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, поэтому электрическое поле плоского конденсатора можно считать равномерным.

Для определения емкости воспользуемся формулой (7.12), в которой электрическую постоянную ε0 заменим диэлектрической проницаемостью εa диэлектрика. С учетом формулы (1.5) получим
Электрическое поле и его расчёт
Умножим обе части равенства на S — площадь одной пластины:

Электрическое поле и его расчёт

Емкость плоского конденсатора

Электрическое поле и его расчёт

Емкость цилиндрического конденсатора

Обкладками цилиндрического конденсатора служат две цилиндрические поверхности, оси которых совпадают (рис. 7.11). Электрическое поле неравномерное, но имеет радиальную симметрию.

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 7.11. К определению емкости цилиндрического конденсатора

Полагая и в этом случае расстояние между обкладками малым по сравнению с длиной конденсатора, т. е. пренебрегая искажением поля у его краев, для определения емкости используем выводы [формулу (7.14)]. Обозначим радиусы обкладок: внутренней — r1, внешней — r2; потенциалы— V1 и V2. Потенциал внутренней обкладки V1 можно найти, если к потенциалу V2 прибавить работу по перемещению заряженных частиц между обкладками конденсатора, отнесенную к единице заряда.

Напряженность электрического поля на пути между обкладками не постоянна, поэтому работу определим как сумму работ на элементарных участках пути dr, столь малых, что в пределах таких участков напряженность поля можно считать постоянной:
Электрическое поле и его расчёт

Напряжение между обкладками

Электрическое поле и его расчёт
Емкость цилиндрического конденсатора
Электрическое поле и его расчёт
 

Емкость двухпроводной линии

Определим емкость двухпроводной линии, у которой радиус проводов r0, расстояние между осями проводов а, длина проводов l, напряжение между проводами U, а заряд этой системы проводов Q (рис. 7.12).

При а >> r0 будем полагать, что заряд каждого провода распределен равномерно по его поверхности. Это значит, что взаимное влияние проводов на распределение зарядов по поверхности не учитывается.

Для определения разности потенциалов между проводами воспользуемся формулой (7.14). В некоторой точке А, находящейся между проводами в плоскости, проведенной через их оси, напряженность поля:

первого провода
Электрическое поле и его расчёт
второго провода
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 7.12. К определению емкости двухпроводной линии

Заряды проводов имеют противоположные знаки, поэтому между проводами векторы E1 и E2 направлены в одну сторону. Общая напряженность поля в точке А
Электрическое поле и его расчёт
Напряженность поля зависит от расстояния r, поэтому напряжение между проводами
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Учитывая, что а >> r0, напряжение между проводами
Электрическое поле и его расчёт
Емкость двухпроводной линии
Электрическое поле и его расчёт
 

Задача 7.8.

Определить емкость и заряд плоского воздушного конденсатора, у которого площадь обкладки S = 100 см2, расстояние между обкладками l = 5 мм, напряжение между обкладками U = 100 В.
Решение.

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
 

Задача 7.9.

Определить емкость цилиндрического воздушного конденсатора, имеющего радиусы обкладок r1 = 40 мм; r2 = 50 мм и длину l = 0,5 м.
Решение.
Электрическое поле и его расчёт

Электрическая прочность диэлектрика

Диэлектрик, разделяющий проводники с разными электрическими потенциалами (электроизоляция), находится в электрическом поле и несет электрическую нагрузку, величина которой ограничена электрической прочностью диэлектрика.

В электрических устройствах электрическую изоляцию часто выполняют из нескольких диэлектриков с различной диэлектрической проницаемостью. Например, обмотки силового трансформатора, изолированные хлопчатобумажной изоляцией, погружают в трансформаторное масло, которое также является изолятором и одновременно охлаждающей средой. Между обмотками устанавливаются барьеры из электротехнического картона.
Таким образом, электрическая изоляция, имеющая различные конструктивные формы, должна быть не только сконструирована, но и рассчитана на электрическую прочность.
 

Пробивная напряженность

Напряженность электрического поля в диэлектрике зависит, как уже известно, от напряжения между проводниками (электродами), расстояния между ними, формы и размеров электродов, свойств диэлектрика.

При увеличении напряженности электрического поля, т. е. увеличении электрической нагрузки изоляции, наступает в конце концов разрушение диэлектрика (пробой).

Величина напряженности электрического поля, при которой начинается пробой диэлектрика и изоляционные свойства его нарушаются, называют пробивной напряженностью или электрической прочностью диэлектрика.
Отношение электрической прочности к действительной величине напряженности поля называют запасом прочности:
Электрическое поле и его расчёт
 

Изменение электрического поля на границе двух диэлектриков

Рассмотрим плоский конденсатор, между обкладками которого имеется два слоя диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями εr1 и εr2 (рис. 7.13).
Величина и направление вектора напряженности электрического поля на границе раздела диэлектриков изменяются тем больше, чем больше отличаются их диэлектрические проницаемости.

Плоскость раздела диэлектриков параллельна плоскости обкладок. В этом случае линии напряженности поля перпендикулярны плоскости раздела, т. е. в обоих диэлектриках их направления совпадают.

На основании теоремы Гаусса напишем выражения для электрического смещения в диэлектриках:
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Как видно, при направлении поля, перпендикулярном плоскости раздела диэлектриков, электрическое смещение в обоих диэлектриках одинаково: численно оно равно поверхностной плотности заряда обкладок конденсатора:
Электрическое поле и его расчёт
Нетрудно убедиться в том, что напряженность поля в обоих диэлектриках не будет одинакова:
Электрическое поле и его расчёт
или
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Рис. 7.13. Конденсатор с двумя слоями разнородных диэлектриков

Напряженность поля больше в диэлектрике с меньшей диэлектрической проницаемостью.

Скачкообразное изменение напряженности поля на границе раздела двух диэлектриков, имеющих разные диэлектрические проницаемости, физически объясняется тем, что вследствие разной поляризованности диэлектриков на границе образуется избыточный связанный заряд плотностью Электрическое поле и его расчёт это приводит к усилению поля в одном диэлектрике и ослаблению в другом.
Наличие заряда на границе раздела диэлектриков дает основание считать конденсатор с двумя или несколькими слоями составленным из двух или нескольких конденсаторов.
Устройство изоляции из нескольких слоев различных диэлектриков в неравномерном электрическом поле позволяет в определенной мере выравнять напряженность электрического поля и тем создать более благоприятные условия для работы изоляции и сократить ее размеры.
 

Задача 7.12.

Между обкладками плоского воздушного конденсатора, имеющими площадь S = 1800 см2 и напряжение U0 = 1,2 кВ, расстояние l составляет 0,5 см. Определить напряженность электрического поля и заряд конденсатора. Как изменятся эти величины, если конденсатор отключить от источника напряжения, а пространство между обкладками заполнить парафином (εr = 2)?
Решение. Напряженность электрического поля плоского конденсатора определяется отношением напряжения к расстоянию между обкладками [см. формулу (1.5)]:
Электрическое поле и его расчёт
Для определения заряда найдем емкость конденсатора по формуле (7.29):
Электрическое поле и его расчёт
заряд
Электрическое поле и его расчёт
После отключения конденсатора от источника напряжения заряд Q сохраняется неизменным и в том случае, если воздух как диэлектрик между пластинами заменить парафином. При этом предполагается, что утечки заряда нет.
Емкость конденсатора с парафином будет уже другой, так как в формулу (7.29) вместо ε0 должна быть подставлена величина εa = ε0 [см. формулу (7.26)]:
Электрическое поле и его расчёт
При этом же заряде Q0 и увеличении емкости напряжение между обкладками уменьшится:
Электрическое поле и его расчёт
Напряженность поля также уменьшится:
Электрическое поле и его расчёт
Вывод. При замене диэлектрика заряд конденсатора, отключенного от источника напряжения, сохраняется неизменным; напряжение между обкладками и напряженность поля изменяются обратно пропорционально относительной диэлектрической проницаемости.
 

Задача 7.13.

Решить задачу 7.12 при условии, что конденсатор остается подключенным к источнику напряжения.
Решение. Если конденсатор после замены диэлектрика остается подключенным к источнику напряжения, то напряженность поля при любом диэлектрике остается неизменной (геометрические размеры конденсатора также не изменились):
Электрическое поле и его расчёт
Изменение емкости конденсатора (в данном случае увеличение в два раза) приведет к увеличению заряда в два раза:
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 7.14. К задаче 7.16

Задача 7.16. 

Плоский воздушный конденсатор находится под напряжением 20 кВ. Расстояние между обкладками равно 2 см, площадь обкладок 200 см2. Определить емкость, запас электрической прочности конденсатора, если электрическая прочность воздуха 30 кВ/см.
Определить емкость конденсатора, распределение напряжения между слоями и запас электрической прочности, если, не отключая конденсатора от источника заряда, в воздушный промежуток между обкладками параллельно им внести лист стекла толщиной 0,5 см (рис. 7.14) с относительной диэлектрической проницаемостью εr1 = 7. Электрическая прочность стекла больше, чем воздуха.
Решение. Напряженность электрического поля воздушного конденсатора [см. формулу (1.5)]:
Электрическое поле и его расчёт
Запас прочности
Электрическое поле и его расчёт
После внесения в воздушный промежуток стекла найдем распределение напряжения между слоями, имея в виду, что общее напряжение конденсатора равно сумме напряжений слоев:
Электрическое поле и его расчёт
где l1 и l2 — толщина слоев.
Согласно формулам (7.33) и (7.25),
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Отсюда
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Запас электрической прочности конденсатора определяется по менее электрически прочному диэлектрику, в данном случае воздуху:
Электрическое поле и его расчёт
Таким образом, при внесении в воздушный промежуток стекла запас электрической прочности конденсатора уменьшился, несмотря на то что электрическая прочность стекла сама по себе больше, чем воздуха.

Емкость воздушного конденсатора
Электрическое поле и его расчёт
Емкость конденсатора после внесения стекла определим из выражения, полученного раньше для напряжения на конденсаторе, умножив и разделив правую его часть на S:
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт

Соединения конденсаторов

Система заряженных проводников может содержать не два, а больше проводников. Каждая пара проводников, полностью изолированных друг от друга, характеризуется электрической емкостью.

Практический интерес обычно представляет вопрос о распределении заряда и потенциалов в системе проводников, когда она заряжена от источника постоянного напряжения. Во многих случаях системы заряженных проводников по отношению к источнику можно рассматривать как последовательное, параллельное или смешанное соединение конденсаторов.

Последовательное соединение

На рис. 7.15 изображены три конденсатора, соединенные последовательно. К зажимам источника постоянного напряжения (точки 1, 2, 3, 4) присоединены две крайние обкладки последовательной цепочки конденсаторов, другие обкладки с источником непосредственно не соединяются и заряжаются вследствие электростатической индукции. Поэтому заряд всех конденсаторов и каждого в отдельности один и тот же:
Электрическое поле и его расчёт
Для упрощения расчетов можно группу конденсаторов заменить одним с эквивалентной емкостью.
Электрическое поле и его расчёт

Рис. 7.15. Последовательное соединение конденсаторов

Электрическое поле и его расчёт

Рис. 7.16. Параллельное соединение конденсаторов

Напряжение на эквивалентном конденсаторе равно общему напряжению группы последовательно соединенных конденсаторов:
Электрическое поле и его расчёт
Учитывая (7.28) и (7.36), получим:
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Если в последовательную цепь соединяются n конденсаторов одинаковой емкости Сn, то эквивалентная емкость
Электрическое поле и его расчёт

Параллельное соединение

При параллельном соединении все конденсаторы соединены одной обкладкой в общей точке 1, а другой обкладкой — в общей точке 2 (рис. 7.16). К этим точкам подводится напряжение источника. В таком случае группу конденсаторов тоже можно заменить одним с эквивалентной емкостью С.

Все конденсаторы имеют между обкладками одно и то же напряжение U, а заряды получаются разными:
Электрическое поле и его расчёт
Каждый конденсатор получает заряд независимо от другого, поэтому общий заряд равен сумме зарядов конденсаторов:
Электрическое поле и его расчёт
Подставляя сюда выражения зарядов (7.39) и сокращая на U, получим
Электрическое поле и его расчёт
Эквивалентная емкость равна сумме емкостей. При параллельном соединении n конденсаторов одинаковой емкости Сn эквивалентная емкость
Электрическое поле и его расчёт

Задача 7.18. Определить заряд и напряжение каждого конденсатора в схеме рис. 7.17, а, если емкости их С1 = 8 мкФ, С2 = 5 мкФ, С3 = 3 мкФ, а общее напряжение U = 100 В.
Решение. Такого типа задачу нужно решать, начав с определения эквивалентной емкости. Конденсаторы С2 и Сз соединены параллельно относительно точек 1, 2 схемы. Заменим эти два конденсатора одним с эквивалентной емкостью С2.3 (рис. 7.17, б). Согласно формуле (7.40),
Электрическое поле и его расчёт
В новой, упрощенной схеме между точками 1, 2 вместо двух конденсаторов включен один С2.3. Емкость его равна емкости двух конденсаторов С2 и С3. При такой замене распределение напряжений в схеме не изменилось, не изменился и общий заряд в системе. По отношению к точкам 1 и 3 конденсаторы С2.3 и С1 соединены последовательно.
Заменим эти два конденсатора одним с эквивалентной емкостью С, которая является общей емкостью между точками 1 и 3 в схеме рис. 7.17, а. После замены получим схему рис. 7.17, в, где к зажимам источника напряжения (точки 1, 3) подключен один конденсатор.
Электрическое поле и его расчёт
Рис. 7.17. к задаче 7.18

Согласно формуле (7.37),
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Общий заряд системы конденсаторов в схеме рис. 7.17, а

Электрическое поле и его расчёт

Общий заряд системы равен заряду конденсаторов С1 и С2.3:

Электрическое поле и его расчёт

На основании этого определяют напряжения:
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Напряжение U2 является общим для конденсаторов С2 и С3. Заряды этих конденсаторов:
Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт
Проверка: Электрическое поле и его расчёт
 

Задача 7.19.

Определить емкость каждого конденсатора в цепи рис. 7.17, а, если известно, что общий заряд ее Q = 1 Кл при напряжении U = 200 В, а заряд третьего конденсатора Q3 = 0,4 Кл при напряжении U2 = 40 В.

Решение. Эквивалентная емкость всей цепи
Электрическое поле и его расчёт
Емкость третьего конденсатора
Электрическое поле и его расчёт
Заряд, напряжение и емкость второго конденсатора:

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Заряд, напряжение и емкость первого конденсатора:

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт
Проверка определения емкостей для схемы рис. 7.17:
Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле

Каждый химический элемент (вещество) состоит из совокупности мельчайших материальных частиц — атомов.

В состав атомов любого вещества входят элементарные частицы, часть которых обладает электрическим зарядом. Атом представляет собой систему, состоящую из ядра, вокруг которого вращаются электроны.

В ядре атома сосредоточены протоны, несущие в себе положительный заряд. Электроны имеют отрицательный электрический заряд. В электрически нейтральном атоме заряд электронов равен по абсолютной величине заряду протонов.

Электроны вращаются вокруг ядра по строго определенным орбитам (слоям). В каждом слое количество электронов не должно превышать определенного числа (Электрическое поле и его расчёт где Электрическое поле и его расчёт — номер слоя). Так, например, в первом, ближайшем к ядру слое могут находиться максимум два электрона, во втором — не более восьми и т.д.

Порядковый номер химического элемента в Периодической таблице Менделеева численно равен положительному заряду ядра этого элемента, следовательно, и числу вращающихся вокруг него электронов. На рис. 1.1 схематически показана структура атомов Водорода (а), кислорода (б) и алюминия (в) с порядковыми номерами 1, 8 и 13.
Электрическое поле и его расчёт

Атомы, у которых внешние электронные слои целиком заполнены, имеют устойчивую электронную оболочку. Такой атом прочно держит все электроны и не нуждается в получении добавочного их количества.

Атом кислорода, например, имеющий шесть электронов, размешенных во внешнем слое, обладает возможностью притянуть к себе два недостающих электрона для заполнения внешнего электронного слоя. Это достигается путем соединения с атомами таких элементов, у которых внешние электроны слабо связаны со своим ядром. Например, электронами внешнего (третьего) слоя атома алюминия, которые слабо удерживаются и легко могут быть вырваны из атома.

Если нарушается равенство числа электронов и протонов, то из электрически нейтрального атом становится заряженным. Заряженный атом называется ионом.

Если в силу каких-либо причин атом потеряет один или несколько электронов, то в нем нарушится равенство зарядов и такой атом становится положительным ионом, поскольку в нем преобладает положительный заряд протонов ядра. Если атом приобретает один или несколько электронов, то он становится отрицательным ионом, так как в нем преобладает отрицательный заряд.

Вещество (твердое тело, жидкость, газ) считается электрически нейтральным, если количество положительных и отрицательных зарядов в нем одинаково. Если же в нем преобладают положительные или отрицательные заряды, то оно считается соответственно положительно или отрицательно заряженным.

В Единой системе конструкторской документации (ЕСКД), которая используется в данном учебнике, электрический заряд (количество электричества) обозначается буквой Q или q, а единицей заряда (в системе СИ) является 1 кулон, то есть [Q] = Кл (кулон). Электрон и протон имеют равный по величине, но противоположный по знаку заряд Электрическое поле и его расчёт Кл.

Электрический заряд или заряженное тело создают электрическое поле.

Электрическое поле — это пространство вокруг заряженного тела или заряда, в котором обнаруживается действие сил на пробный заряд, помещенный в это пространство.

Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами, называется электростатическим.

Напряженность электрического поля

Обнаружить электрическое поле можно пробным зарядом, если поместить его в это поле. Пробным называется положительный заряд, внесение которого в исследуемое поле не приводит к его изменению. То есть пробный заряд не влияет ни на силу, ни на энергию, ни на конфигурацию поля.

Электрическое поле и его расчёт

Если в точку А электрического поля (рис. 1.2), созданного зарядом Q, расположенную на расстоянии от него, внести пробный заряд q, то на него будет действовать сила Электрическое поле и его расчёт причем если заряды Q и q имеют одинаковые знаки, то они отталкиваются (как это изображено на рис. 1.2), а если разные, то притягиваются.

Величина силы Электрическое поле и его расчёт действующей на пробный заряд q, помешенный в точку А электрического поля, пропорциональна величине заряда q и интенсивности электрического поля, созданного зарядом Q в точке А

Электрическое поле и его расчёт

где Электрическое поле и его расчёт — напряженность электрического поля, характеризующая интенсивность поля в точке А.

Из (1.1) видно, что

Электрическое поле и его расчёт

То есть напряженность каждой точки электрического поля характеризуется силой, с которой поле действует на единицу заряда, помещенного в эту точку. Таким образом, напряженность является силовой характеристикой каждой точки электрического поля.

Измеряется напряженность электрического поля в вольтах на метр Электрическое поле и его расчёт

Напряженность электрического поля — величина векторная.

Направление вектора напряженности в любой точке электрического поля совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку поля (см. рис. 1.2).

Поскольку в дальнейшем будут учитываться только значения силы и напряженности, будем обозначать их Fu £ соответственно.

Напряженность является параметром каждой точки электрического поля и не зависит от величины пробного заряда q. Изменение величины q приводит к пропорциональному изменению силы F(l.l), а отношение Электрическое поле и его расчёт (1.2), т.е. напряженность Электрическое поле и его расчёт остается неизменной.

Для наглядности электрическое поле изображают электрическими линиями, которые иногда называют линиями напряженности электрического поля, или силовыми линиями. Электрические линии направлены от положительного заряда к отрицательному. Линия проводится так, чтобы вектор напряженности поля в данной точке являлся касательной к ней (рис. 1.3в).

Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле называется однородным, если напряженность его во всех точках одинакова по величине и направлению. Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга.

Однородное поле, например, существует между пластинами плоского конденсатора (рис. 1.3г).
 

Напряженность поля точечных зарядов

Точечным считается заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается его действие.

Сила взаимодействия Электрическое поле и его расчёт двух точечных зарядов Электрическое поле и его расчёт (рис. 1.2) определяется по закону Кулона:

Электрическое поле и его расчёт

где Электрическое поле и его расчёт — расстояние между зарядами; Электрическое поле и его расчёт — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой взаимодействуют заряды.

Из (1.3) следует, что напряженность электрического поля заряда Q в точке А (рис. 1.2) равна

Электрическое поле и его расчёт

Таким образом, напряженность поля Электрическое поле и его расчёт созданная зарядом Q в точке А электрического поля, зависит от величины заряда Q, создающего поле, расстояния точки А от источника поля Электрическое поле и его расчёт и от абсолютной диэлектрической проницаемости среды Электрическое поле и его расчёт в которой создается поле. Диэлектрическая проницаемость характеризует электрические свойства среды, т. е. интенсивность поляризации.

Единицей измерения абсолютной диэлектрической проницаемости среды является фарад на метр

Электрическое поле и его расчёт

так как Электрическое поле и его расчёт

Различные среды имеют разные значения абсолютной диэлектрической проницаемости. Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума
Электрическое поле и его расчёт
называется электрической постоянной.

Абсолютную диэлектрическую проницаемость любой среды Электрическое поле и его расчёт удобно выражать через электрическую постоянную Электрическое поле и его расчёт и диэлектрическую проницаемость Электрическое поле и его расчёт— табличную величину (Приложение 2).

Диэлектрическая проницаемость Электрическое поле и его расчёт, которую иногда называют относительной, показывает, во сколько раз абсолютная диэлектрическая проницаемость среды больше, чем электрическая постоянная, т. е.

Электрическое поле и его расчёт

Из (1.6) следует

Электрическое поле и его расчёт

Таким образом, напряженность электрического поля, созданного зарядом Q на расстоянии Электрическое поле и его расчёт от него, определяется выражением

Электрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчётЭлектрическое поле и его расчёт

Напряженность электрического поля, созданного несколькими зарядами в какой-либо точке А этого поля, определяется геометрической суммой напряженностей, созданных в этой точке каждым точечным зарядом: Электрическое поле и его расчёт (см. рис. 1.4).

Пример 1.1

Расстояние между точечными зарядами Электрическое поле и его расчёт равно Электрическое поле и его расчёт Вычислить величину напряженности в точке А, удаленной от заряда Электрическое поле и его расчёт на расстояние Электрическое поле и его расчёт а от заряда Электрическое поле и его расчёт на расстояние Электрическое поле и его расчёт (рис. 1.5), если: Электрическое поле и его расчёт Кл; Электрическое поле и его расчётЭлектрическое поле и его расчёт
Электрическое поле и его расчёт

Решение

Напряженность, созданная зарядом Электрическое поле и его расчёт в точке А 

Электрическое поле и его расчёт

Напряженность, созданная зарядом Электрическое поле и его расчёт в точке А

Электрическое поле и его расчёт

Направление векторов напряженности Электрическое поле и его расчёт созданных зарядами Электрическое поле и его расчёт и результирующего вектора напряженности Электрическое поле и его расчёт в точке А изображены на рис. 1.5.

Между векторами напряженности в данном примере угол равен 90° Электрическое поле и его расчёт что справедливо только для прямоугольного треугольника), следовательно, результирующий вектор напряженности в точке А определяется выражением Электрическое поле и его расчёт

Теорема Гаусса

Произведение напряженности электрического поля Е и площадки S, перпендикулярной к ней, в однородном электрическом поле называют потоком вектора напряженности поля N сквозь эту площадку (рис. 1.6а)

Электрическое поле и его расчёт

где Электрическое поле и его расчёт — нормальная (перпендикулярная площадке S) составляющая вектора напряженности Электрическое поле и его расчёт электрического поля.

Как следует из рис. 1.6а, Электрическое поле и его расчёт

Единица измерения потока вектора напряженности

Электрическое поле и его расчёт

Для неоднородного электрического поля площадку Sразбивают на элементарные бесконечно малые площадки Электрическое поле и его расчёт для каждой из которых поле можно считать однородным.

Тогда элементарный поток Электрическое поле и его расчёт

Для определения потока вектора напряженности сквозь всю площадку S элементарные потоки Электрическое поле и его расчёт суммируют (интегрируют) по всей площади S

Электрическое поле и его расчёт

Если, например, точечный заряд Q расположен в центре сферической поверхности радиусом r (рис. 1.66), то напряженность во всех точках этой поверхности, как следует из (1.8), равна 

Электрическое поле и его расчётЭлектрическое поле и его расчёт

Векторы напряженности перпендикулярны этой поверхности, т.е. Электрическое поле и его расчёт и одинаковы во всех точках этой поверхности. Тогда поток вектора напряженности поля сквозь эту поверхностьЭлектрическое поле и его расчёт

где Электрическое поле и его расчёт — площадь поверхности шара радиусом Электрическое поле и его расчёт Следовательно, поток вектора напряженности будет равен
Электрическое поле и его расчёт
То есть поток вектора напряженности N не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения зарядов внутри нее.

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность определяется отношением суммы зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды Электрическое поле и его расчёт

Формула (1.11) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая применяется для расчета электрического поля.

Пример 1.2

Определить поток вектора напряженности электрического поля сквозь сферическую поверхность радиусом r = 3 см (рис. 1.66), заполненную маслом Электрическое поле и его расчёт если в ее центре находится точечный электрический заряд Электрическое поле и его расчёт Определить напряженность электрического поля на поверхности сферы.

Решение

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность

Электрическое поле и его расчёт

Тогда напряженность на поверхности сферы

Электрическое поле и его расчёт

где Электрическое поле и его расчёт
 

Напряженность на поверхности сферы можно определить также по формуле (1.8)

Электрическое поле и его расчёт

То есть результат получился таким же.

Потенциал и напряжение в электрическом поле

Для энергетической характеристики каждой точки электрического поля вводится понятие «потенциал». Обозначается потенциал буквой Электрическое поле и его расчёт

Потенциал в каждой точке электрического поля характеризуется энергией W, которая затрачивается (или может быть затрачена) полем на перемещение единицы положительного заряда q из данной точки за пределы поля, если поле создано положительным зарядом, или из-за пределов поля в данную точку, если поле создано отрицательным зарядом (рис. 1.7а).

Электрическое поле и его расчёт

Из приведенного выше определения следует, что потенциал в точке А равен Электрическое поле и его расчёт потенциал в точке Электрическое поле и его расчёт, а потенциал в точке С — Электрическое поле и его расчёт

Измеряется потенциал в вольтах
Электрическое поле и его расчёт
Величина потенциала в каждой точке электрического поля определяется выражением
Электрическое поле и его расчёт
Потенциал — скалярная величина. Если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал в каждой точке поля определяется алгебраической суммой потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом.

Так как (рис. 1.7а) Электрическое поле и его расчёт то из (1.12) следует, что Электрическое поле и его расчётЭлектрическое поле и его расчёт если поле создано положительным зарядом.

Если в точку А (рис. 1.7а) электрического поля поместить положительный пробный заряд q, то под действием сил поля он будет перемещаться из точки А в точку В, а затем в точку С, т. е. в направлении поля. Таким образом, положительный пробный заряд перемещается из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом. Между двумя точками с равными потенциалами заряд перемещаться не будет. Следовательно, для перемещения заряда между двумя точками электрического поля должна быть разность потенциалов в этих точках. . Разность потенциалов двух точек электрического поля характеризует напряжение Электрическое поле и его расчёт между этими точками

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Напряжение между двумя точками электрического поля характеризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положительного заряда между этими точками, т. е. Электрическое поле и его расчёт

Измеряется напряжение в вольтах (В). Между напряжением и напряженностью в однородном электрическом поле (рис. 1.8) существует зависимость

Электрическое поле и его расчёт

откуда следует
Электрическое поле и его расчёт
Из (1.13) видно, что напряженность однородного электрического поля определяется отношением напряжения между двумя точками поля к расстоянию между этими точками.

В общем случае для неоднородного электрического поля значение напряженности определяется отношением
Электрическое поле и его расчёт
где Электрическое поле и его расчёт — напряжение между двумя точками поля на одной электрической линии на расстоянии Электрическое поле и его расчёт между ними.

Единица напряженности электрического поля определяется из выражения (1.13)
Электрическое поле и его расчётЭлектрическое поле и его расчёт

Потенциалы в точках электрического поля могут иметь различные значения. Однако в электрическом поле можно выделить ряд точек с одинаковым потенциалом. Поверхность, проходящая через эти точки, называется равнопотенциальной, или эквипотенциальной.

Равнопотенциальная поверхность любой конфигурации перпендикулярна к линиям Рис 19    электрического поля. Обкладки цилиндрического конденсатора (рис. 1.76) и плоского конденсатора (рис. 1.9) имеют одинаковый потенциал по всей площади каждой обкладки и являются равнопотенциальными поверхностями.

Пример 1.3

Для условия примера 1.1 определить потенциал Электрическое поле и его расчёт в точке А, созданный зарядами Электрическое поле и его расчёт

Решение

Электрическое поле и его расчёт

Следовательно, алгебраическая сумма потенциалов равна

Электрическое поле и его расчёт

Пример 1.4

Точечный заряд Электрическое поле и его расчёт Кл помещен в центре плоского воздушного конденсатора, расстояние между пластинами которого равно 4,5 см. Напряжение между пластинами Электрическое поле и его расчёт Определить напряженность Электрическое поле и его расчёт электрического поля в точках А и В, находящихся на расстоянии 0,5 см справа и слева от заряда Q и лежащих на электрической линии, проходящей через заряд Q (рис. 1.9).

Решение

Напряженность однородного электрического поля между пластинами конденсатора

Электрическое поле и его расчёт

Напряженности, созданные зарядом Q в точках А и В,

Электрическое поле и его расчёт

Напряженности, созданные в точках А и В однородным электрическим полем конденсатора и зарядом Q, определяются геометрической суммой векторов напряженностей Электрическое поле и его расчёт

В точке В векторы напряженностей Электрическое поле и его расчёт совпадают по направлению, а в точке А векторы Электрическое поле и его расчёт направлены в противоположные стороны. Следовательно:

Электрическое поле и его расчёт
 

Электропроводность и проводники

Способность вещества проводить электрический ток называется электропроводностью.

По электропроводности все вещества делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Проводники обладают высокой электропроводностью. Различают проводники первого и второго рода.

К проводникам первого рода относятся все металлы, некоторые сплавы и уголь. В этих проводниках связь между электронами и ядром атома слаба, в результате чего электроны легко покидают пределы атома и становятся свободными. Направленное перемещение свободных электронов и обуславливает электропроводность проводников первого рода. Таким образом, проводники первого рода обладают электронной проводимостью.

К проводникам второго рода относятся электролиты, в которых происходит процесс электролитической диссоциации, разделение молекул на положительные и отрицательные ионы (ионизация). Направленное перемещение ионов обуславливает электропроводность проводников второго рода, т. е. в проводниках второго рода v имеет место ионная проводимость.

В проводниках отсутствует электростатическое поле (рис. 1.106).

Электрическое поле и его расчёт

Если проводник поместить в электростатическое поле, то пол действием сил этого поля происходит перемещение зарядов в проводнике: положительных — в направлении внешнего поля, отрицательных — в противоположном направлении (рис. 1.10а). Такое разделение зарядов в проводнике под действием внешнего поля называется электростатической индукцией.

Разделенные внутри проводника заряды создают свое электрическое поле, направленное от положительных зарядов к отрицательным, т. е. против внешнего поля (рис. 1.10а).

Очевидно, разделение зарядов в проводнике прекратится тогда, когда напряженность поля разделенных зарядов Электрическое поле и его расчёт станет равной напряженности внешнего поля в проводнике Электрическое поле и его расчёт т. е. Электрическое поле и его расчёт а результирующее поле

Электрическое поле и его расчёт

Электрическое поле и его расчёт

Таким образом, результирующее поле внутри проводника станет равным нулю (рис. 1.106). На этом принципе работает электростатический экран, защищающий часть пространства от внешних электрических полей (рис. 1.11). Для того чтобы внешние электрические поля не влияли на точность электроизмерения, измерительный прибор помещают внутрь замкнутой проводящей оболочки (экрана), в которой электрическое поле отсутствует (рис. 1.11).
 

Электропроводность и диэлектрики

Электропроводность диэлектриков практически равна нулю в силу весьма сильной связи между электронами и ядром атомов диэлектрика.

Электрическое поле и его расчёт

Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем произойдет поляризация атомов, т. е. смещение разноименных зарядов в самом атоме, но не разделение их (рис. 1.12а). Поляризованный атом (молекула) может рассматриваться как электрический диполь (рис. 1.126), в котором «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смешаются. Диполь — это система двух разноименных зарядов, расположенных на малом расстоянии друг от друга в замкнутом пространстве атома или молекулы.

Электрический диполь — это атом диэлектрика, в котором орбита электрона вытягивается в направлении, противоположном направлению внешнего поля Электрическое поле и его расчёт (рис. 1.126).

Поляризованные атомы создают свое электрическое поле, напряженность которого направлена против внешнего поля. В результате поляризации результирующее поле внутри диэлектрика ослабляется.

Интенсивность поляризации диэлектрика зависит от его диэлектрической проницаемости (Приложение 2). Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем интенсивней поляризация в диэлектрике и тем слабее электрическое поле в нем:

Электрическое поле и его расчёт

Этим еще раз подтверждается справедливость формулы (1.8)

Электрическое поле и его расчёт

Таким образом, напряженность электрического поля обратно пропорциональна абсолютной диэлектрической проницаемости среды Электрическое поле и его расчёт в которой создается электрическое поле.

Если диэлектрик поместить в сильное электрическое поле, напряженность которого можно увеличивать, то при каком-то значении напряженности произойдет пробой диэлектрика, при этом электроны отрываются от атома, т. е. происходит ионизация диэлектрика. Таким образом, диэлектрик становится проводником.

Напряженность внешнего поля, при которой происходит пробой диэлектрика, называется пробивной напряженностью диэлектрика.

А напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика, называют напряжением пробоя, или электрической прочностью диэлектрика.

Электрическое поле и его расчёт

где Электрическое поле и его расчёт— пробивное напряжение, т.е. напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика; Электрическое поле и его расчёт — толщина диэлектрика.

Напряженность электрического поля, которая допускается в диэлектрике при использовании его в электрических установках, называется допустимой напряженностью. Допустимая напряженность должна быть в несколько раз меньше электрической прочности. Электрическая прочность некоторых диэлектриков приведена в Приложении 2.
 

Электропроводность и полупроводники

К полупроводникам относятся материалы, которые по своим электрическим свойствам занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.

Широкое применение в полупроводниковой технике получили такие материалы, как германий, кремний, селен, арсенид галлия и др.

Электропроводность и концентрация носителей зарядов в полупроводниках зависит от температуры, освещенности, примесей, степени сжатия и т. д.

Электрическая проводимость полупроводника зависит от рода примесей, имеющихся в основном материале полупроводника, и от технологии изготовления его составных частей.

Различают две основные разновидности электрической проводимости полупроводников — электронную и «дырочную».

Природа электрического тока в полупроводниках с электронной проводимостью та же, что и в проводниках первого рода. Однако так как свободных электронов в единице объема полупроводника во много раз меньше, чем в единице объема металлического проводника, то ток в полупроводнике будет во много раз меньше, чем в металлическом проводнике. В технике электронная проводимость называется проводимостью Электрическое поле и его расчёт-типа (от слова negative — отрицательный).

Полупроводник обладает «дырочной» проводимостью, если атомы его примеси стремятся захватить электроны атомов основного вещества полупроводника, не отдавая своих внешних электронов.

Электрическое поле и его расчёт

Если атом примеси «отберет» электрон у атома основного вещества, то в последнем образуется свободное место — «дырка» (рис. 1.13).

Атом полупроводника, потерявший электрон, называют «дыркой». Если «дырка» заполняется электроном, перешедшим из соседнего атома, то она «ликвидируется» и атом становится электронейтральным, а «дырка» смешается на место его атома, потерявшего электрон. Таким образом, если на полупроводник, обладающий «дырочной» проводимостью, действует электрическое поле, то «дырки» будут перемещаться в направлении поля.

Перемещение «дырок» в направлении электрического поля аналогично перемещению положительных электрических зарядов в поле, т. е. электрическому току в полупроводнике.

«Дырочная проводимость» в технике называется Электрическое поле и его расчёт-проводимостью (от слова positive — положительный).

Нельзя строго разграничивать полупроводники по проводимости, так как наряду с «дырочной» проводимостью полупроводник обладает и электронной проводимостью.

Рассмотрим природу полупроводниковой проводимости на примере вентиля, представляющего собой контактное соединение двух проводников, один из которых обладает электронной проводимостью Электрическое поле и его расчёт-типа, а другой — «дырочной» Электрическое поле и его расчёт-типа (рис. 1.14).

Вследствие большой концентрации электронов в полупроводнике типа п по сравнению с полупроводником Электрическое поле и его расчёт-типа, электроны из первого проводника будут проникать во второй. Аналогично происходит проникновение «дырок» в полупроводник Электрическое поле и его расчёт-типа. В результате такого проникновения зарядов в тонком пограничном слое возникают разноименные заряженные слои, между которыми создается электрическое поле, напряженность которого Электрическое поле и его расчёт (рис. 1.14а, б). Напряженность Электрическое поле и его расчёт создана контактной разностью потенциалов в пограничном слое двух полупроводников.

Эта напряженность Электрическое поле и его расчёт образует потенциальный барьер в пограничном слое, препятствующий дальнейшему проникновению зарядов в пограничный слой каждого полупроводника. Напряженность Электрическое поле и его расчёт направлена против силы, действующей на положительный заряд.
Электрическое поле и его расчёт

Если к полупроводникам, образующим Электрическое поле и его расчёт-переход, подвести напряжение от постороннего источника с напряжением U, то на границе полупроводников создается электрическое поле с напряженностью Электрическое поле и его расчёт (рис. 1.14), направление которого зависит от полярности источника.

При прямом включении источника Электрическое поле и его расчёт созданная им напряженность Электрическое поле и его расчёт направлена против напряженности Электрическое поле и его расчёт, т. е. ослабляет ее (рис. 1.14а). В результате чего уменьшается противодействие перемещению положительных зарядов в пограничном слое и увеличивается прямой ток в полупроводниках Электрическое поле и его расчёт

Если напряженность Электрическое поле и его расчёт станет равной Электрическое поле и его расчёт то противодействие заряженным частицам полупроводника определяется только сопротивлением полупроводника.

При обратном включении источника Электрическое поле и его расчёт созданная им напряженность Электрическое поле и его расчёт направлена в одном направлении с Электрическое поле и его расчёт следовательно, усиливает ее (рис. 1.146). При этом усиливается противодействие положительным зарядам в полупроводнике, в результате чего обратный ток Электрическое поле и его расчёт в ряде случаев может считаться равным нулю.

Таким образом, контактное соединение двух полупроводников с разными проводимостями Электрическое поле и его расчёт обладает явно выраженной односторонней проводимостью, т. е. является вентилем (см. гл. 19 п. 2).

Односторонняя проводимость, малые габариты и другие свойства полупроводников используются в разнообразных приборах и устройствах (выпрямители, усилители и пр.). Полупроводники являются основным «строительным» материалом современных диодов, транзисторов, фоторезисторов, микропроцессоров и другой электронной техники.

  • Расчет неразветвленной однородной магнитной цепи
  • Энергия магнитного поля
  • Синусоидальные Э.Д.С. и ток
  • Электрические цепи с взаимной индуктивностью
  • Дуальные цепи
  • Электромеханические аналогии
  • Индуктивно связанные электрические цепи
  • Фильтры и топологические методы анализа линейных электрических цепей

В этой статье мы обсудим электрическое поле, создаваемое заряженными частицами в точке, и направление поля, а также несколько фактов.

Электрическое поле в точке представляет собой результирующее поле, создаваемое всеми заряженными частицами, окружающими эту точку, и интенсивность поля прямо пропорциональна заряду источника и расстоянию от точки до источника.

Как найти электрическое поле в точке?

Электрическое поле, создаваемое заряженной частицей, может быть притягивающим или отталкивающим в зависимости от заряда частицы.

Электрическое поле в любой точке вокруг этой области, образованной заряженной частицей, прямо пропорционально заряду, который она несет, и обратно пропорционально расстоянию между зарядом и рассматриваемой точкой.

Электрическое поле в точке из-за наличия заряда q1 просто задается соотношением

Где д1 это заряд, создающий электрическое поле

r — расстояние, разделяющее заряд и точку

В случае, если в точке P присутствует заряд, мы знаем, что электрическая сила между двумя заряженными частицами равна

Где д1 заряженная частица

И д2 частица в точке P в электрическом поле, образованном частицей q1

r — расстояние, разделяющее две частицы

То же самое изображено на диаграмме ниже

Электрическое поле, создаваемое заряженной частицей в точке

Направление электрического поля показано на диаграмме, так как частица в точке P заряжена противоположно, электрическая сила является силой притяжения.

Тогда электрическое поле, создаваемое частицей q1 в точке P есть

Это формула для расчета электрического поля в любой точке, присутствующей в поле, развиваемом заряженной частицей.

Задача 1: Каково электрическое поле в точке, вызванной зарядом 5 Кл, находящимся на расстоянии 5 см?

Данный:

q1= 5C

г=5 см=0.05 м

Электрическое поле, обусловленное зарядом q1=5С

9 * 109*5С/(0.05)2

45 * 109/ 0.0025

18 * 1012N / C

Электрическое поле в точке равно 18*1012N / C

Как найти результирующее электрическое поле в точке?

Суммарное электрическое поле в точке представляет собой сумму всех электрических полей, действующих в точке.

Чистое электрическое поле можно рассчитать, сложив все электрические поля, действующие в точке, электрические поля могут быть притягивающими или отталкивающими в зависимости от заряда, который генерирует электрическое поле.

Рассмотрим следующую диаграмму, показывающую частицы с различным зарядом q1, д2, д3, а q4 окружён точкой P, отстоящей на разное расстояние r1, г2, г3и г4 соответственно от точки.

Чистое электрическое поле в точке

Теперь здесь электрическое поле из-за заряда q1 is

Точно так же электрическое поле заряда q2 is

Электрическое поле, обусловленное зарядом q3 is

Электрическое поле, обусловленное зарядом q4 is

Тогда суммарное электрическое поле в точке P равно

Если имеется «n» зарядов, то суммарное электрическое поле в точке, обусловленное всеми зарядами, равно

Как найти напряженность электрического поля в точке?

Напряженность электрического поля — это напряженность поля и потенциал поля в точке.

Электростатическую силу можно рассчитать как отношение электростатической силы к заряду, на который действует сила или же заряд создает электрическое поле в определенной точке, отстоящей на некоторое расстояние.

Задача 2: Какова напряженность электрического поля в точке, удаленной на расстояние 0.25 м от заряда +2С?

Данный: д=+2С

r = 0.25 м

У нас есть,

= 9 * 109*2/(0.25)2

9 * 109* 2/0.0625

228 * 109N / C

Следовательно, электрическое поле в точке на расстоянии 0.25 м от заряда +2C равно 228*109N / C

Как найти напряженность электрического поля в точке?

Его можно рассчитать как отношение электрической силы, действующей в точке на единицу заряда частицы, и дается соотношением E=F/q

Чем больше электростатическая сила, действующая на заряды или в точке исходной частицей, тем больше будет напряженность электрического поля пространства, создаваемого заряженной частицей. Напряженность поля будет максимальной, когда расстояние между точкой и источником будет минимальным и если заряд источника несет более высокий заряд.

Как найти направление электрического поля в точке?

Мы можем найти направление электрического поля в точке, введя пробный заряд в электрическое поле.

В основном, направление положительно заряженной частицы — радиально наружу, тогда как направление поля отрицательно заряженной частицы — радиально внутрь.

При введении точечного заряда в область электрического поля заряд будет демонстрировать внезапный дрейф и выравниваться в направлении поля, что указывает направление электрического поля, создаваемого зарядом источника.

Если мы поместим положительный пробный заряд в поле, то направление электрического поля будет таким, как показано на диаграмме ниже:

Направление электрического поля из-за положительно заряженного носителя

А что касается отрицательного точечного заряда, направление электрического поля излучается внутрь, как показано ниже:

Направление электрического поля из-за отрицательно заряженных носителей

Если мы поместим два противоположно заряженных носителя в электрическое пространство, то направление поля будет направлено от положительно заряженной частицы к отрицательному носителю заряда.

Направление электрического поля из-за двух противоположно заряженных

Если в поле поместить два заряда с одинаковыми зарядами, то на каждый из зарядов будет действовать сила отталкивания. Предположим, у нас есть два положительных заряда, тогда сила отталкивания будет оказывать силу толкания друг на друга.

Как найти величину электрического поля в точке?

Величина электрического поля в точке — это чистая электрическая сила, действующая на единицу заряда в этой точке.

Величина электрического поля рассчитывается по формуле

и величина поля всегда положительна независимо от знака заряда.

Каковы величина и направление электрического поля в точке, удаленной от источника заряда на расстоянии 15 см, имеющего заряд -15 мКл?

Данный: q=-15мКл

г=15 см=0.15 м

= 9 * 109Nm2C-2 *[-15*10-6]/(0.15)2

= 135 * 103/ 0.0225

= 6 * 106N / C

Величина электрического поля 6*106N / C

Электрическое поле в точке на экваториальной линии

Экваториальная линия — это линия, перпендикулярная осевой линии диполя, соединяющая два противоположно заряженных носителя.

Электрическое поле в точке на экваториальной линии

Рассмотрим точку «P» на экваториальной линии, электрическое поле в точке P из-за заряда –q равно

А электрическое поле в точке P из-за заряда +q равно

Величина обоих электрических полей одинакова,

Мы можем рассчитать результирующее электрическое поле в точке P, применив закон параллелограмма сложения векторов.

[E1]=[Е2]

Э=2Э1Cosθ—-(5)

Подставляя значение для «E», мы имеем,

Из треугольника APO находим значение Cosθ как

Cosθ=l/√r2=l2

Используя это в приведенном выше уравнении,

р=2ql

Для г>>>XNUMX,

Электрическое поле в точке на осевой линии диполя

Диполь образуется за счет разделения противоположных зарядов на некотором расстоянии.

Осевая точка — это центральная точка между двумя зарядами, образующими электрические диполи, наша цель — найти электрическое поле на этой осевой линии, соединяющей точку в середине двух зарядов.

Рассмотрим два заряда +q и –q и осевую точку между ними, расположенную в точке «О». Расстояние между двумя зарядами равно 2l. Пусть «p» будет точкой на осевой линии.

Электрическое поле в точке на осевой линии диполя

Напряженность электрического поля в точке P из-за заряда +q равна

E=1/4π∈0*к/(рл)2

А напряженность электрического поля в точке P из-за заряда -q равна

Следовательно, результирующее электрическое поле в точке P на осевой линии диполя E=E1+E2

q/4π∈0*q(1/(рл)2-1/(р+XNUMX)2)

q/4π∈0(4рл/(р2-l2)2)

Мы знаем, что

Электрический момент

Следовательно,

Если г>>>XNUMX, то

Электрическое поле в точке на экваториальной плоскости

Рассмотрим экваториальную плоскость, стоящую в осевой точке «О». Величина электрического поля в точке «P» на плоскости равна из-за зарядов +q и –q.

Электрическое поле в экваториальной плоскости

Суммарное электрическое поле в точке равно

Из уравнения (6) мы знаем, что

Полное электрическое поле противоположно электрическому диполю, поэтому результирующее электрическое поле отрицательно.

Для больших расстояний, т.е. r>>a,

Следовательно, электрическое поле в экваториальной плоскости равно

Электрическое поле в точке на оси заряженного кольца.

Рассмотрим однородно заряженное кольцо радиуса r и небольшой заряженный элемент dq на кольце. Пусть P — точка, лежащая на центральной оси заряженного кольца на расстоянии l от его центра. Пусть θ — угол, образованный осью и линией, соединяющей точку P и элемент заряда.

электрическое поле в точке

Электрическое поле на оси заряженного кольца

Суммарное электрическое поле создается всеми зарядами вокруг кольца. Поле, перпендикулярное оси, равно нулю, поэтому единственная составляющая электрического поля, которая принимается во внимание, — это x-компонента.

Элемент электрического поля

Из диаграммы

Следовательно,

Интегрируя это уравнение

Оно равно напряжению электрического поля в точке на оси, идущей от центра заряженного кольца.

Для больших расстояний r>>>l,

Это уравнение дает электрическое поле в точке на оси заряженного кольца, имеющей большой радиус.

Электрическое поле в точке, обусловленное точечным зарядом

Рассмотрим исходный заряд Q, создающий электрическое поле

Пусть q — пробный заряд, помещенный в это поле на расстоянии r от исходного заряда.

Электрическая сила между двумя произведенными теперь зарядами равна

Электрическое поле, создаваемое точечным зарядом, равно E=F/q.

Что равно

Q может быть положительным или отрицательным в зависимости от заряда, который он несет.

Электрическое поле в точке, обусловленное двумя зарядами

Если есть два заряда Q1 и Q2 разделены некоторым расстоянием ‘r’, тогда электрическая сила между ними равна

Электрическое поле в точке, обусловленное двумя зарядами

Электрическое поле, обусловленное зарядом Q1 в точке P есть

Электрическое поле, обусловленное зарядом Q2 в точке P есть

Суммарное электрическое поле в точке равно

Электрическое поле в точке зависит от количества зарядов, окружающих ее, и от электрической силы, действующей на эту точку.

Напряженность электрического поля в точке между двумя параллельными листами

Рассмотрим два параллельных листа с плотностью заряда +σ и –σ, разделенных некоторым расстоянием.

Электрическое поле в точке между двумя параллельными листами

Линии электрического поля будут проходить от положительно заряженной пластины к отрицательно заряженной пластине. Электрическое поле перпендикулярно плоскому листу, а величина электрического поля равна

Пусть P будет точкой между двумя параллельными листами. Величина электрического поля одинакова и имеет то же направление, что показано на рисунке между двумя пластинами, поэтому результирующее электрическое поле в точке P равно

Это напряженность электрического поля в точке между двумя заряженными пластинами. В любой точке за пределами этого параллельного слоя заряда напряженность электрического поля равна нулю.

Часто задаваемые вопросы

Если результирующая электростатическая сила между двумя зарядами +3C и -2C помещена в точки A и B соответственно, разделенные расстоянием 10 фм, то каково расстояние от точки A, где напряженность электрического поля равна нулю?

Данный: q1=+3С

q2=-2С

d=10 фм

ds=(10-s) FM

Пусть электрическое поле, создаваемое зарядом q1,Eb а электрическое поле, создаваемое зарядом q2 быть Еb

Точка, в которой напряженность электрического поля равна нулю,

Решение этого уравнения с помощью квадратичной формулы

Разделение не может быть отрицательным, поэтому исключая другую часть и учитывая только положительный член уравнения, мы находим

Следовательно, расстояние от точки А, где напряженность электрического поля равна нулю, равно

ds= 10-4.5=5.5 фм

Узнайте больше о Являются ли линии электрического поля перпендикулярными?

Как определить направление вектора напряженности

Заряженные тела могут воздействовать друг на друга без соприкосновения через электрическое поле. Поле, которое создается неподвижными электрическими частицами, называется электростатическим.

Как определить направление вектора напряженности

Инструкция

Если в электрическое поле, создаваемое зарядом Q, поместить еще один заряд Q0, то оно будет воздействовать на него с определенной силой. Это характеристика называется напряженностью электрического поля E. Она представляет собой отношение силы F, с которое поле действует на положительный электрический заряд Q0 в определенной точке пространства, к значению этого заряда: E = F/Q0.

В зависимости от конкретной точки пространства, значение напряженности поля E может меняться, что выражается формулой Е = Е (x, y, z, t). Поэтому напряженность электрического поля относится к векторным физическим величинам.

Поскольку напряженность поля зависит от силой, действующей на точечный заряд, то вектор напряженности электрического поля E одинаков с вектором силы F. Согласно закону Кулона, сила, с которой взаимодействуют две заряженные частицы в вакууме, направлена по прямой линии, которая соединяет эти заряды.

Майкл Фарадей предложил наглядно изображать напряженность поля электрического заряда с помощью линий напряженности. Эти линии совпадают с вектором напряженности во всех точках по касательной. На чертежах их принято обозначать стрелками.

В том случае, если электрическое поле однородно и вектор его напряженности постоянен по своему модулю и направлению, то линии напряженности параллельны с ним. Если электрическое поле создается положительно заряженным телом, линии напряженности направлены от него, а в случае с отрицательно заряженной частицей — по направлению к нему.

Обратите внимание

Вектор напряженности имеет лишь одно направление в каждой точке пространства, поэтому линии напряженности никогда не пересекаются.

Источники:

  • Напряженность электрического поля

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти частоту цифры
  • Как найти lобщ в электротехнике
  • Как найти земельный налог пример
  • Как найти теплоту холодильника
  • Найди такого же идиота как ты