Как найти направляющие векторы прямых онлайн

Этот онлайн калькулятор предназначен для проверки решений задач, которые можно сформулировать следующим образом:

Записать канонические (или параметрические) уравнения прямой, заданной уравнениями двух плоскостей
.

Вы задаете коэффициенты уравнений плоскостей, А₁, B₁, C₁, D₁ и A₂, B₂, C₂, D₂, калькулятор выдает уравнения прямой в параметрической и канонической формах, а также найденную точку, принадлежащую прямой и направляющий вектор прямой.

Обратите внимание, в том случае если уравнения плоскостей заданы в виде

при вводе коэффициентов D₁ и D₂ надо поменять знак.

Немного теории, как обычно, можно почерпнуть под калькулятором

Канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей

Если плоскости пересекаются, то система уравнений, приведенная в начале статьи, задает прямую в пространстве. Для записи уравнений этой прямой в каноническом виде, надо найти какую либо точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор.

Точка, принадлежащая прямой, также принадлежит и каждой из плоскостей, то есть является одним из решений системы уравнений выше. Для нахождения точки, принадлежащей прямой, переходят от системы из двух уравнений с тремя неизвестными к системе из двух уравнений с двумя неизвестными, произвольно принимая какую-либо координату точки за ноль. Как правило, при решении задач, выбирают ту координату, при занулении которой решение системы из двух уравнений с двумя неизвестными дает в ответе целые числа. Калькулятор учитывает этот факт и также пытается найти целочисленное решение, зануляя все координаты по очереди.

Направляющий вектор прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей, которые задаются коэффициентами A, B и С в общем уравнении плоскости . Таким образом его можно найти как результат векторного произведения нормальных векторов плоскостей .

Точка и вектор дают нам канонические уравнения прямой:

Существуют частные случаи, когда одна или две координаты направляющего вектора равны нулю.

В случае, если нулю равны две координаты, направляющий вектор коллинеарен одной из координатных осей. Соответственно, точки прямой могут принимать любое значение по этой оси, при этом значения по двум другим осям будут постоянны. Например, если двумя нулевыми координатами будут y и z, канонические уравнения прямой будут выглядеть так:

В случае. если нулю равна одна координата, направляющий вектор лежит в одной из координатных плоскостей (плоскостей, образованных парами координатных осей), значение координаты по третьей оси, ортогональной этой плоскости (как раз той, для которой координата направляющего вектора равна нулю), опять будет постоянным. Например, если нулевой координатой будет x, то канонические уравнения прямой будут выглядеть так:

Эти случаи также учитываются калькулятором.

Параметрические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей

Зная точку, принадлежащую прямой и ее направляющий вектор, несложно записать и параметрические уравнения прямой.
Для точки , принадлежащей прямой, и направляющего вектора параметрические уравнения прямой выглядят так:

Составим уравнение прямой проходящей через две точки A(2; 1) и B(0; 2).

Составим каноническое уравнение прямой

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой

Подставим в формулу координаты точек:

В итоге получаем каноническое уравнение прямой:

Составим параметрическое уравнение прямой

Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:

где:

— направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор ;

— координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.

В итоге получим параметрическое уравнение прямой:

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $overline{S}$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $overline{S}$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $overline{r_0}$ и $overline{r}$. Вектор $overline{MM_0}$ при этом будет колинеарен вектору $overline{S}$.

Вектор $overline{r}$ можно выразить через сумму векторов $overline{MM_0}$:

$overline{r} = overline{r_0} + overline{MM_0}left(1right).$

Вектор $overline{MM_0}$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $overline{S}$ и связан с ним соотношением $overline{MM_0}= toverline{S}left(2right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

• Общее уравнение прямой;
• Уравнение с угловым коэффициентом;
• Через параметрические уравнения;
• Каноническое уравнение;
• С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

$frac{x-x_0}{l}= frac{y-y_0}{m}left(4right)$

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

$overline{S}=(l; m)$.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$frac{x-x_1}{x_2 — x_1}= frac{y-y_1}{y_2-y_1}left(5right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $overline{S}$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид:
$begin{cases} x=x_0 + lt \ y=y_0 + mt end{cases}$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $overline{S}=(l; m)$.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0left(6right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

$Ax = — By – C$

Теперь разделим всё на $A$:

$x=-frac{By}{A} — frac{C}{A}$

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

$frac{x}{B}=-frac{y}{A} — frac{C}{AB}$

$frac{x}{B} = frac{y + frac{C}{B}}{-A}left(7right)$

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $overline{S}$ будут равны $(B; -A)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

$y = kx + b$

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

$y — kx – b= 0$

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

$frac{x}{1}=frac{y-b}{k}$,

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $overline{S}= (1;k)$.

2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением , то вектор  является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение  задаёт прямую, которая параллельна оси  и координаты полученного направляющего вектора  удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор  в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение  задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора  на 5, получаем направляющий вектор .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!

Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой  по точке  и направляющему вектору . Проверка состоит в двух действиях:

Во-первых, по уравнению прямой  восстанавливаем её направляющий вектор:  – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки  должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

 – получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Задача 62

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору

Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!

Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!

В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:

Задача 63

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору .

Решение: формула  не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

переставим части местами:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой :
 – полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору .

2) Подставим координаты точки  в уравнение :

 – получено верное равенство, значит, точка  удовлетворяет уравнению.

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос: зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае?

Причин две. Во-первых, формула в виде дроби  гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы  состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.

Задача 64

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору , выполнить проверку.

Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?

2.2.2. Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин