Как найти направляющий вектор плоскости в пространстве

Основные виды
уравнений плоскости.

1)

—общее
уравнение плоскости
;

2)
— уравнение плоскости, проходящей через
точкуМ₁(
x₁,
y₁,
z₁
)
перпендикулярно нормальному вектору

;

3)

—уравнение
плоскости в отрезках,
где а,
b,
с
— величины отрезков, отсекаемых
плоскостью на координатных осях Ох
,Оy,
Оz
соответственно ;

4)

—уравнение
плоскости,
проходящей
через три точки
М₁(
x₁,
y₁,
z₁
) , М₂(
x₂,
y₂,
z₂
) , М₃(
x₃,
y₃,
z₃
).

Основные виды
уравнений прямой.

1)

—общее
уравнение прямой,
как пересечение двух плоскостей , где
направляющий вектор прямой находится
из векторного произведения нормальных
векторов плоскостей

;

2)

—каноническое
уравнение прямой
или уравнение прямой , проходящей через
точку М₁(
x₁,
y₁,
z₁
)
параллельно вектору ;.

3)

— уравнение
прямой, проходящей через
две точки
М₁(
x₁,
y₁,
z₁
) и
М₂(
x₂,
y₂,
z₂
);

4)

—векторное
уравнение прямой,
где
— радиус-вектор точки, лежащей на прямой,— направляющий вектор прямой, или в
параметрической форме.

Расстояние
от точки
до плоскости

определяется по формуле.

Угол
между двумя прямыми,
заданными в канонической форме
, определяется
как угол между их направляющими векторами

.

Угол
между прямой

и
плоскостью
определяется так :

.

Задача.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А(1,2,3)
параллельно прямой
.

Решение.
Так как прямые параллельны, значит
направляющий вектор для искомой прямой
будет таким же, как и для данной, т.е.
.
Поэтому применяем каноническое уравнение
прямой, проходящей через точкуА
(1,2,3)
параллельно вектору
, т.е..

Задача.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А(2,-3,5)
параллельно прямой, заданной в виде
пересечения двух плоскостей:
.

Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей

.

Тогда
каноническое уравнение прямой, проходящей
через точку А(2,-3,5)
параллельно вектору
будет.

Задача.
Дана пирамида АВСD
с вершинами
А(1,5,7),
В(-1,0,1), С
( 3,-2,4 ), D
( 0,1,-1 ). Найти
угол между ребром АD
и гранью
АВС .

Решение.
Найдем
уравнение грани АВС
, т.е.
уравнение плоскости, проходящей через
три точки А
,
В и С
.

Уравнение
ребра AD
— уравнение
прямой, проходящей через две точки А
и D
:

.

Тогда
угол между ребром и гранью будем находить
по формуле угла между прямой и плоскостью:

.

Задача.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку А(1,2,3)
и через прямую, данную в виде пересечения
двух плоскостей

.

Решение.
Воспользуемся
уравнением пучка плоскостей, проходящих
через данную прямую
.
Так как плоскость должна проходить
через точкуА,
то, подставив ее координаты в уравнение
пучка, найдем λ
:

.

Теперь,
подставив λ
в уравнение
пучка, получим искомую плоскость:

Задача.
Найти точку
пересечения прямой
и плоскости
.

Решение.
Параметрически уравнения прямой
запишутся в виде
.
Далее, подставив в уравнение плоскости,
найдемt
:
.

По
данному t
найдем
координаты точки пересечения

.

Задание 4.1.

Даны
координаты вершин пирамиды АВСD.
Найти:

1)
Уравнение грани АВС;

2)
Уравнение высоты DM,
опущенной из точки D
на грань АВС;

3)
Длину высоты ДМ;

4)
Уравнение ребра DC;

5)
Угол наклона ребра DC
к плоскости АВС.

1.
А(-3;-2;-4), B(-4;2;-7),
C(5;0;3),
D(-1;3;0)

2.
A(2;-2;1), B(-3;0;-5), C(0;-2;-1), D(-3;4;2)

3.
A(5;4;1), B(-1;-2;-2), C(3;-2;2), D(-5;5;4)

4.
A(3;6;-2), B(0;2;-3), C(1;-2;0), D(-7;6;6)

5.
A(1;-4;1), B(4;4;0), C(-1;2;-4), D(-9;7;8)

6.
A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4), D(3;1;-4)

7.
A(0;6;-5), B(8;2;5), C(2;6;-3), D(5;0;-6)

8.
A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1), D(7;-1;-8)

9.
A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4), D(9;-2;-10)

10.
A(3;4;-1), B(2;-4;2), C(5;6;0), D(11;-3;-12)

11.
A(2;1;3), B(3;-2;-4), C(-1;-3;-2), D(5;-3;4)

12.
A(4;1;1), B(-2;-1;3), C(1;-3;-4), D(6;-5;5)

13.
A(-3;-2;2), B(0;1;5), C(1;-2;-2), D(-1;9;-2)

14.
A(-1;0;4), B(2;2;5), C(3;2;4), D(2;3;1)

15.
A(-2;0;5), B(1;-4;-6), C(3;2;4), D(2;3;1)

16.
A(2;1;-1), B(0;3;-1), C(5;2;1), D(-2;-1;5)

17.
A(2;3;0), B(3;4;1), C(-2;5;-1), D(3;4;-5)

18.
A(-3;0;-4), B(2;7;2), C(4;-1;-1), D(-3;-2;7)

19.
A(1;-4;-4), B(-1;0;-3), C(2;5;1), D(5;6;-9)

20.
A(3;2;0), B(5;-2;-1), C(-4;3;-3), D(2;3;-3)

21.
A(1;1;1), B(6;3;2), C(0;7;1), D(2;3;4)

22.
A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5)

23.
A(-1;2;0), B(8;1;1), C(2;7;-1), D(4;3;6)

24.
A(-1;-1;0), B(9;2;1), C(0;8;-1), D(4;4;7)

25.
A(0;1;0), B(8;2;1), C(1;7;2), D(3;5;1)

Задание 4.2.

Даны
координаты точек А,
В, С. Требуется:

1)
составить каноническое уравнение
прямой АВ;

2)
составить уравнение прямой, проходящей
через точку С
параллельно прямой АВ;

3)
составить уравнение плоскости, проходящей
через точку С
перпендикулярно
прямой АВ;

4)
найти следы этой плоскости на
координатных плоскостях.

1.
A(3;-1;5), B(7;1;1), C(4;-2;1). 2. A(-1;2;3), B(3;4;-1),
C(0;1;-1).

3.
A(2;-3;7), B(6;-1;3), C(3;-4;3). 4. A(0;-2;6), B(4;0;2),
C(1;-3;2).

5.
A(-3;1;2), B(1;3;-2), C(-2;0;-2). 6. A(-2;3;1), B(2;5;-3),
C(-1;2;-3).

7.
A(-4;0;8), B(0;2;4), C(-3;-1;4). 8. A(1;4;0), B(5;6;-4),
C(2;3;-4).

9.
A(4;-4;9), B(8;-2;5), C(5;-5;5). 10. A(5;5;4), B(9;7;0),
C(6;4;0).

11.
A(3;0;4), B(5;2;6), C(2;3;-3). 12. A(3;-2;2), B(-3;1;2),
C(-1;2;1).

13.
A(1;-1;1), B(-2;1;3), C(4;-5;-2). 14. A(3;-1;2), B(4;-1;-1),
C(2;0;2).

15.
A(-1;2;1), B(-3;1;2), C(3;-2;2). 16. A(9;-11;5), B(7;4;2),
C(-7;13;-3).

17.
A(2;4;-1), B(2;-4;2), C(3;6;0). 18. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5),
C(0;4;-4).

19.
A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1). 20. A(4;6;-1), B(7;2;4),
C(-2;0;-4).

21.
A(3;3;0), B(-1;2;-4), C(-9;7;8). 22. A(7;2;4), B(-2;0-4),
C(3;1;-4).

23.
A(8;2;5), B(2;6;-3), C(5;0;-6). 24. A(0;-6;1), B(4;2;1),
C(7;-1;-8).

25.
A(1;8;-5), B(0;4;-4), C(9;-2;-10).

Задание 4.3.

Даны
уравнение прямой в виде пересечения
двух плоскостей и координаты точки А.
Требуется:

1)
составить уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую и точку
А;

2)
составить каноническое уравнение
прямой, проходящей через точку А
и параллельно оси ОX;

3)
найти угол между полученной прямой
и плоскостью;

4)
найти расстояние от начала координат
до плоскости.

1.
2x-y-3z=-1 A(3;0;2)

x+5y+z=0

2.
x+2y+3z=1 A(1;2;0)

2x-3y+2z=9

3.
x+y — z=1 A(-1;2;1)

8x+3y-6z=2

4.
x+y-z=-2 A(2;-3;0)

4x-3y+z=1

5.
2x+5y-3z=4 A(0;4;-2)

4x-3y+2z=9

6.
2x+7y-z=8 A(-3;0;5)

x+2y+z=4

7.
3x+4y+2z=8 A(1;3;0)

x+5y+z=0

8.
x-4y-2z=-3 A(5;1;-2)

3x+y+z=5

9.
x+y-z=1 A(-2;0;1)

x+2y+z=4

10.
3x+y+z=5 A(0;-5;2)

4x-3y+z=1

11.
x+4y-5z=-1 A(2;-1;2)

2x-y+3z=-2

12.
x+y-2z=-1 A(2;0;-1)

3x-y+z=2

13.
2x-y+z=3 A(1;1;-2)

2x+4y-z=4

14.
x+2y-3z=1 A(0;2;1)

2x-y+2z=-2

15.
3x-y+z=-2 A(1;-1;2)

x+2y-z=1

16.
2x-y+3z=6 A(1;2;4)

x+2y-z=-3

17.
3x+y+z=4 A(1;3;2)

x +3z=5

18.
3x+2y-5z=4 A(2;1;2)

x-2y+3z=4

19.
3x-5y+z=8 A(-1;2;3)

2x+y-z=-2

20.
2x-3y-3z=9 A(2;-5;3)

x-2y+z=-3

21.
x+y+z=3 A(1;1;7)

2x-3y+z=5

22.
x-y+2z=4 A(1;2;1)

2x+y+z=3

23.
x+y+2z=5 A(1;1;1)

3x+y+3z=-2

24.
x+2y-3z=3 A(1;2;0)

x+3y+z=2

25.
x+y+z=1 A(0;1;2)

x-3y+2z=10

31

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание

• Уравнения плоскости в координатной форме
  • Общее уравнение плоскости
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки
  • Параметрические уравнения плоскости
• Уравнения плоскости в векторном виде
  • Векторное параметрическое уравнение плоскости
  • Нормальное векторное уравнение плоскости
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Определение. Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости.

Уравнения плоскости в координатной форме

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат:

   

при этом вектор с координатами является нормальным вектором к плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно получить, если решить систему уравнений

   

Здесь и — координаты трёх точек плоскости. Заметим, что уравнений в системе три, а переменных — четыре. То есть решение этой системы мы получаем с точностью до коэффициента. Этот коэффициент роли не играет — после подстановки решения в уравнение плоскости на него можно сократить. Рассмотрим это на примере.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и

Решение. Составляем систему уравнений

   

Числа выражаем через :

   

Получаем уравнение плоскости

   

или, после сокращения на ,

   

Параметрические уравнения плоскости:

   

Здесь — некоторая точка плоскости, и  — координаты направляющих веторов плоскости, — параметры.

Уравнения плоскости в векторном виде

 Векторное параметрическое уравнение плоскости:

   

где — направляющие векторы плоскости, — радиус-вектор некоторой фиксированной точки плоскости.

Это уравнение также можно записать в виде

   

То есть для того, чтобы вектор был радиус-вектором некоторой точки плоскости, необходимо, чтобы вектора и лежали в одной плоскости, то есть их смешанное произведение было равно нулю.

Нормальное векторное уравнение плоскости:

   

где — нормальный вектор плоскости.

Это уравнение также можно записать в виде

   

Если вектор — единичный (его длина равна ), то величина есть расстояние от точки до плоскости. Смысл этого уравнения в том, что проекция радиус-вектора любой точки плоскости на нормаль к ней есть постоянная величина, равная расстоянию до этой плоскости.

Направляющий вектор прямой: определение и примеры

Важным геометрическим объектом, который изучают в плоском пространстве, является прямая. В трехмерном же пространстве, помимо прямой, появляется еще плоскость. Оба объекта удобно задавать с помощью направляющих векторов. Что это такое, как применяют эти вектора для определения уравнений прямой и плоскости? Эти и другие вопросы освещаются в статье.

Прямая и способы ее задавания

Каждый школьник хорошо представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. С точки зрения математики, прямая представляет собой набор точек, которые в случае их попарного произвольного соединения между собой приводят к получению совокупности параллельных векторов. Это определение прямой используют для написания уравнения для нее как в двумерном, так и в трехмерном пространстве.

Вам будет интересно: Шаболда — это слово с непростой судьбой

Для описания рассматриваемого одномерного объекта пользуются разными видами уравнений, которые перечислены в списке ниже:

• общего вида;
• параметрическое;
• векторное;
• каноническое или симметричное;
• в отрезках.

Каждый из названных видов имеет некоторые преимущества по отношению к другим. Например, уравнением в отрезках удобно пользоваться при изучении поведения прямой относительно осей координат, уравнение общего вида удобно при нахождении направления, перпендикулярного заданной прямой, а также при вычислении угла ее пересечения с осью x (для плоского случая).

Вам будет интересно: Телескопы рефлекторные: описание, устройство, история создания

Поскольку тема данной статьи связана с направляющим вектором прямой, то далее будем рассматривать только уравнение, где этот вектор является принципиальным и содержится явно, то есть векторное выражение.

Задание прямой через вектор

Предположим, что у нас имеется некоторый вектор v¯ с известными координатами (a; b; c). Поскольку координат три, то вектор задан в пространстве. Как изобразить его в прямоугольной системе координат? Делается это очень просто: на каждой из трех осей откладывается отрезок, длина которого равна соответствующей координате вектора. Точка пересечения трех перпендикуляров, восстановленных к плоскостям xy, yz и xz, будет концом вектора. Началом же его является точка (0; 0; 0).

Тем не менее приведенное положение вектора не является единственным. Аналогичным образом можно нарисовать v¯, располагая его начало в произвольной точке пространства. Эти рассуждения говорят о том, что задать конкретную прямую с помощью вектора нельзя. Он задает семейство из бесконечного числа параллельных прямых.

Вам будет интересно: Формула угла между плоскостью и прямой. Примеры использования формулы

Теперь зафиксируем некоторую точку P(x0; y0; z0) пространства. И зададим условие: через P должна проходить прямая. В этом случае вектор v¯ тоже должен содержать эту точку. Последний факт означает, что можно задать одну единственную прямую, используя P и v¯. Она запишется в виде следующего уравнения:

Здесь Q — любая точка, принадлежащая прямой. Эту точку можно получить, подобрав соответствующий параметр λ. Записанное уравнение называется векторным, а v¯ получил название направляющего вектора прямой. Располагая его так, чтобы он проходил через P, и изменяя его длину с помощью параметра λ, мы получаем каждую точку Q прямой.

В координатной форме уравнение запишется так:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)

И в явном (параметрическом) виде можно записать:

Если в приведенных выражениях исключить третью координату, то мы получим векторные уравнения прямой на плоскости.

Для каких задач полезно знать направляющий вектор ?

Как правило, это задачи на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Также определяющий направление прямой вектор используется при вычислении дистанции между прямыми и точкой и прямой, для описания поведения прямой относительно плоскости.

Две прямые будут параллельными, если таковыми являются их направляющие вектора. Соответственно, перпендикулярность прямых доказывается с помощью перпендикулярности их векторов. В этих типах задач достаточно рассчитать скалярное произведение рассматриваемых векторов, чтобы получить ответ.

В случае задач на вычисление расстояний между прямыми и точками направляющий вектор входит явно в соответствующую формулу. Запишем ее:

Здесь P1P2¯ — построенный на точках P1 и P2 направленный отрезок. Точка P2 является произвольной, лежащей на прямой с вектором v¯, точка же P1 является той, до которой следует определить расстояние. Она может быть как самостоятельной, так и принадлежать другой прямой или плоскости.

Отметим, что рассчитывать расстояние между прямыми имеет смысл только тогда, когда они являются параллельными или скрещивающимися. Если же они пересекаются, то d равно нулю.

Приведенная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой, только в этом случае P1 должна принадлежать плоскости.

Решим несколько задач, чтобы нагляднее показать, как пользоваться рассматриваемым вектором.

Задача на составление векторного уравнения

Известно, что прямая описывается следующим равенством:

Следует написать соответствующее выражение в векторной форме.

Это типичное уравнение прямой, известное каждому школьнику, записано в общем виде. Покажем, как его переписать в векторной форме.

Выражение можно представить в виде:

Видно, что если его раскрыть, то получится исходное равенство. Теперь разделим его правую часть на два вектора так, чтобы только один из них содержал иксы, имеем:

(x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4)

Остается вынести x за скобки, обозначить его греческим символом и поменять вектора правой части местами:

(x; y) = (0; -4) + λ × (1; 3)

Мы получили векторную форму записи исходного выражения. Координаты направляющего вектора прямой равны (1; 3).

Задача на определение взаимного расположения прямых

В пространстве заданы две прямые:

(x; y; z) = (1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z) = (3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

Они являются параллельными, скрещивающимися или пересекающимися?

Ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) будут направляющими для этих прямых. Выразим в параметрической форме эти уравнения и подставим координаты первого во второе. Получаем:

x = 3 + γ = 1 — λ => γ = -2 — λ;

y = 2 + 2 × γ = 3 × λ => γ = 3 / 2 × λ — 1;

z = 2 = -2 + λ => λ = 4

Подставляем найденный параметр λ в два уравнения выше, получаем:

γ = 3 / 2 × λ — 1 = 5

Параметр γ не может одновременно принимать два разных значения. Это означает, что прямые не имеют ни одной общей точки, то есть являются скрещивающимися. Параллельными они не являются, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу (для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго).

Математическое описание плоскости

Для задания плоскости в пространстве приведем уравнение общего вида:

A × x + B × y + C × z + D = 0

Здесь латинские большие буквы представляют собой конкретные числа. Первые три из них определяют координаты нормального вектора плоскости. Если его обозначить n¯, тогда:

Этот вектор является перпендикулярным плоскости, поэтому его называют направляющим. Его знание, а также известные координаты какой-либо точки, принадлежащей плоскости, однозначно задают последнюю.

Если точка P(x1; y1; z1) плоскости принадлежит, тогда свободный член D рассчитывается следующим образом:

D = -1 × (A × x1 + B × y1 + C × z1)

Решим пару задач с использованием общего уравнения для плоскости.

Задача на нахождение нормального вектора плоскости

Плоскость задана в следующем виде:

(y — 3) / 2 + (x + 1) / 3 — z / 4 = 1

Как найти направляющий вектор для нее?

Из приведенной выше теории следует, что координаты нормального вектора n¯ являются коэффициентами, стоящими перед переменными. В связи с этим для нахождения n¯ следует записать уравнение в общем виде. Имеем:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y — 1 / 4 × z — 13 / 6 = 0

Тогда нормальный вектор плоскости равен:

Задача на составление уравнения плоскости

Даны координаты трех точек:

Как будет выглядеть уравнение плоскости, содержащей все эти точки.

Через три точки, которые одной прямой не принадлежат, можно провести только одну плоскость. Чтобы найти ее уравнение, сначала вычислим направляющий вектор плоскости n¯. Для этого поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, принадлежащие плоскости, и вычислим их векторное произведение. Оно даст вектор, который этой плоскости будет перпендикулярен, то есть n¯. Имеем:

M1M2¯ = (1; -1; 5); M1M3¯ = (-1; -2; -2);

n¯ = [M1M2¯ × M1M3¯] = (12; -3; -3)

Возьмем точку M1 для составления выражения плоскости. Получаем:

D = -1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0) = -12;

12 × x — 3 × y — 3 × z — 12 = 0 =>

4 × x — y — z — 4 = 0

Мы получили выражение общего типа для плоскости в пространстве, определив сначала направляющий вектор для нее.

Свойство векторного произведения следует запомнить при решении задач с плоскостями, поскольку оно позволяет простым способом определять координаты нормального вектора.

Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой

С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.

В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое направляющий вектор прямой

Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a → является направляющий вектором прямой a , то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t · a → при любом значении t , соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a 1 являются параллельными, то вектор a → будет направляющим и для a , и для a 1 .

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a , то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей O x , O y и O z направляющими будут координатные векторы i → , j → и k → .

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой O x y , а потом с системой O x y z , расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в O x y можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y . С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.

Приведем пример задачи.

В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x — 1 4 = y + 1 2 — 3 . Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.

Решение

Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4 , — 3 . Это и будет нужный нам ответ.

Ответ: 4 , — 3 .

Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.

У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x = — 1 y = 7 — 5 · λ , при этом λ ∈ R . Найдите координаты направляющих векторов.

Решение

Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x = — 1 + 0 · λ y = 7 — 5 · λ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a → = ( 0 , 5 ) . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t · a → или 0 , — 5 · t , где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.

Ответ: 0 , — 5 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида A x + B y + C = 0 . Если A = 0 , то исходное уравнение можно переписать как B y + C = 0 . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i → = 1 , 0 .

А если B = 0 , то уравнение прямой мы можем записать как A x + C = 0 . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j → = 0 , 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x — 2 = 0 . Найдите координаты любого направляющего вектора.

Решение

В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) . Он будет для нее направляющим.

Ответ: ( 0 , 1 )

А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.

2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.

3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n → = A , B .

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3 x + 2 y — 10 = 0 . Запишите координаты любого направляющего вектора.

Решение

Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:

3 x + 2 y — 10 = 0 ⇔ 3 x = — 2 y + 10

Получившееся равенство преобразовываем и получаем:

3 x = — 2 y + 10 ⇔ 3 x = — 2 ( y — 5 ) ⇔ x — 2 = y — 5 3

Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2 , 3

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Вектор a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:

1) канонического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

2) параметрического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.

Рассмотрим конкретную задачу.

Прямая в пространстве задана уравнением вида x — 1 4 = y + 1 2 0 = z — 3 . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.

Решение

В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4 , 0 , — 3 . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4 · t , 0 , — 3 · t при условии, что t является действительным числом.

Ответ: 4 · t , 0 , — 3 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x = 2 y = 1 + 2 · λ z = — 4 — λ .

Решение

Перепишем данные уравнения в виде x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = — 4 — 1 · λ .

Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.

Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ?

Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.

Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , будет перпендикулярен нормальным векторам n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 — это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x + 2 y + 3 z — 1 = 0 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 .

Решение

Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x + 2 y + 3 z — 1 = 0 и 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 . У них следующие координаты: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , — 4 .

У нас получится:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 — 4 = i → · 2 · ( — 4 ) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 — — k → · 2 · 2 — i → · 3 · 4 — j → · 1 · ( — 4 ) = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k →

Выходит, что вектор n 1 → × n 2 → = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = — 20 , 10 , 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.

Ответ: — 20 , 10 , 0

В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.

Направляющий вектор прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный прямой, которую он определяет или совпадающий с ней.

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $overline$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $overline$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $overline$ и $overline$. Вектор $overline$ при этом будет колинеарен вектору $overline$.

Вектор $overline$ можно выразить через сумму векторов $overline$:

$overline = overline + overlineleft(1right).$

Вектор $overline$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $overline$ и связан с ним соотношением $overline= toverlineleft(2right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.

Рисунок 1. Направляющий вектор прямой L

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

$overline = overline + toverlineleft(3right)$

Данное равенство носит название векторного уравнения прямой.

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

• Общее уравнение прямой;
• Уравнение с угловым коэффициентом;
• Через параметрические уравнения;
• Каноническое уравнение;
• С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

Готовые работы на аналогичную тему

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$frac= fracleft(5right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $overline$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.

Даны две точки $(5; 10)$ и $(2;1)$. Составьте уравнение прямой и выпишите координаты направляющего вектора.

Подставим координаты данных точек в уравнение $(5)$ и получим:

Ответ: координаты направляющего вектора $overline$ равны $(3;9)$.

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид: $begin x=x_0 + lt \ y=y_0 + mt end$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $overline=(l; m)$.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0left(6right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

Теперь разделим всё на $A$:

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $overline$ будут равны $(B; -A)$.

Дано общее уравнение прямой $6x-7y + 5 = 0$. Получите направляющий вектор для данной прямой.

Воспользуемся уравнением прямой $(7)$. Из этого уравнения получается, что координаты направляющего вектора равны $(6;7)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $overline= (1;k)$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25.02.2022

источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/napravljajuschij-vektor-prjamoj-koordinaty-napravl/

http://spravochnick.ru/matematika/napravlyayuschiy_vektor_pryamoy/

1. Поверхности и линии первого порядка.

   Начать изучение
   

2. Параметрические уравнения прямой и плоскости.

   Начать изучение
   

3. Прямая линия на плоскости.

   Начать изучение
   

4. Векторные уравнения плоскости и прямой.

   Начать изучение
   

5. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

   Начать изучение
   

6. Уравнения прямой в пространстве.

   Начать изучение
   

Поверхности и линии первого порядка.

Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,label{ref1}
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть (A^{2}+B^{2}+C^{2} neq 0). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,label{ref2}
$$
при условии (A^{2}+B^{2} neq 0).

В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения eqref{ref1} и eqref{ref2} определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем о порядке алгебраических линий и поверхностей  следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы.

Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.

---

Параметрические уравнения прямой и плоскости.

Прямая линия (на плоскости или в пространстве) полностью определена, если на ней задана точка (M_{0}) и задан ненулевой вектор (boldsymbol{a}), параллельный этой прямой. Разумеется, и точку, и вектор можно выбрать по-разному, но мы будем считать, что они как-то выбраны, и называть их начальной точкой и направляющим вектором. Аналогично, плоскость задается точкой и двумя неколлинеарными векторами, ей параллельными, — начальной точкой и направляющими векторами плоскости.

Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.

Пусть дана прямая. Обозначим через (boldsymbol{r}_{0}) и (boldsymbol{a}) соответственно радиус-вектор ее начальной точки (M_{0}) и направляющий вектор. Рассмотрим некоторую точку (M) с радиус-вектором (boldsymbol{r}) (рис. 6.1).

Вектор (overrightarrow{M_{0}M} = boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}), начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда (M) также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки (M) найдется такое число (t), что
$$
boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0} = tboldsymbol{a}.label{ref3}
$$

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу eqref{ref3} в качестве (t), вектор (boldsymbol{r}) в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение eqref{ref3} называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина (t), принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Рассмотрим прямую в пространстве. Пусть ((x, y, z)) и ((x_{0}, y_{0}, z_{0})) — координаты точек (M) и (M_{0}), соответственно, а вектор (boldsymbol{a}) имеет компоненты ((a_{1}, a_{2}, a_{3})). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения eqref{ref3}, мы получим
$$
x-x_{0} = a_{1}t, y-y_{0} = a_{2}t, z-z_{0} = a_{3}t.label{ref4}
$$
Для прямой на плоскости мы получаем, аналогично,
$$
x-x_{0} = a_{1}t, y-y_{0} = a_{2}t.label{ref5}
$$
Уравнения eqref{ref4} или eqref{ref5} называются параметрическими уравнениями прямой.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) ее направляющие векторы, а через (boldsymbol{r}_{0}) — радиус-вектор ее начальной точки (M_{0}). Пусть точка (M) с радиус-вектором (boldsymbol{r}) — произвольная точка пространства (рис. 6.2).

Вектор (overrightarrow{M_{0}M} = boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}), начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец (M) также лежит на плоскости. Так как (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) не коллинеарны, в этом и только этом случае (boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}) может быть по ним разложен. Поэтому, если точка (M) лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа (t_{1}) и (t_{2}), что
$$
boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0} = t_{1}boldsymbol{p}+t_{2}boldsymbol{q}.label{ref6}
$$

Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров (t_{1}) и (t_{2}). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения (t_{1}) и (t_{2}), уравнение eqref{ref6} определит некоторую точку плоскости.

Пусть ((x, y, z)) и ((x_{0}, y_{0}, z_{0})) — координаты точек (M) и (M_{0}) соответственно, а векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) имеют компоненты ((p_{1}, p_{2}, p_{3})) и ((q_{1}, q_{2}, q_{3})). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения eqref{ref6}, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_{0} = t_{1}p_{1}+t_{2}q_{1}, y-y_{0} = t_{1}p_{2}+t_{2}q_{2}, z-z_{0} = t_{1}p_{3}+t_{2}q_{3}.label{ref7}
$$

Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра (t), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.

---

Прямая линия на плоскости.

Параметрическое уравнение прямой утверждает, что точка (M) лежит на прямой тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки (M_{0}) коллинеарна направляющему вектору (boldsymbol{a}). Пусть в некоторой общей декартовой системе координат на плоскости заданы координаты точек и вектора (M(x, y)), (M_{0}(x_{0}, y_{0})), (boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})). Тогда условие коллинеарности может быть записано в виде равенства
$$
begin{vmatrix}
x-x_{0}& y-y_{0}\
a_{1}& a_{2}
end{vmatrix}
= 0.label{ref8}
$$

Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.

Уравнение eqref{ref8} линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид (a_{2}x-a_{1}y+(a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}) = 0), то есть (Ax+By+C = 0), где (A = a_{2}), (B = -a_{1}) и (C = a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}).

С другой стороны, при заданной системе координат для произвольного линейного многочлена (Ax+By+C), (A^{2}+B^{2} neq 0), найдутся такая точка (M_{0}(x_{0}, y_{0})) и такой вектор (boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})), что
$$
Ax+By+C =
begin{vmatrix}
x-x_{0}& y-y_{0}\
a_{1}& a_{2}
end{vmatrix}.label{ref9}
$$
Действительно, выберем числа (x_{0}) и (y_{0}) так, чтобы (Ax_{0}+By_{0}+C = 0). В качестве таких чисел можно взять, например,
$$
x_{0} = frac{-AC}{A^{2}+B^{2}}, y_{0} = frac{-BC}{A^{2}+B^{2}}.label{ref10}
$$
Если (C = -Ax_{0}-By_{0}), то (Ax+By+C = A(x-x_{0})+B(y-y_{0})), то есть выполнено равенство eqref{ref9} при (a_{2} = A), (a_{1} = -B). Итак, мы получили следующее утверждение.

Пусть в уравнении прямой (Ax+By+C = 0) коэффициент (B) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,label{ref11}
$$
где (k = -A/B), а (b = -C/B). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: (k = a_{2}/a_{1}) (рис. 6.3).

Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от (boldsymbol{e}_{1}) к (boldsymbol{e}_{2}) (рис. 6.4).

Положив (x = 0) в уравнении eqref{ref11}, получаем (y = b). Это означает, что свободный член уравнения (b) является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.

Если же в уравнении прямой (B = 0) и ее уравнение нельзя представить в виде eqref{ref11}, то обязательно (A neq 0). В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид (x = x_{0}), где (x_{0} = -C/A) — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.

---

Векторные уравнения плоскости и прямой.

Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка (M) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки (M_{0}) компланарна направляющим векторам (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{p}, boldsymbol{q}) = 0.label{ref12}
$$
Вектор (boldsymbol{n} = [boldsymbol{p}, boldsymbol{q}]) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение eqref{ref12} в виде
$$
(boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{n}) = 0.label{ref13}
$$

Уравнения eqref{ref12} и eqref{ref13} называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в eqref{ref13} (D = -(boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{n})), получим
$$
(boldsymbol{r}, boldsymbol{n})+D = 0.label{ref14}
$$

Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные eqref{ref13} и eqref{ref14},
$$
(boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{n}) = 0 mbox{или} (boldsymbol{r}, boldsymbol{n})+C = 0.nonumber
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор (boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}) перпендикулярен ненулевому вектору (boldsymbol{n}), перпендикулярному направляющему вектору (boldsymbol{a}), и потому коллинеарен (boldsymbol{a}).

Рассмотрим вектор (boldsymbol{a} = alpha_{1}boldsymbol{e}_{1}+alpha_{1}boldsymbol{e}_{2}+alpha_{1}boldsymbol{e}_{3}) в общей декартовой системе координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{e}_{3}). Очевидно, что ((boldsymbol{a}, boldsymbol{n}) = alpha_{1}(boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{n})+alpha_{2}(boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{n})+alpha_{3}(boldsymbol{e}_{3}, boldsymbol{n})). Теперь из формул eqref{ref15} следует, что
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{n}) = Aalpha_{1}+Balpha_{2}+Calpha_{3}.nonumber
$$
(Заметьте, что в общей декартовой системе координат числа (A), (B), (C), вообще говоря, не являются координатами вектора (boldsymbol{n}), и скалярное произведение не записывается как сумма произведений одноименных компонент, но ((boldsymbol{a}, boldsymbol{n})) выглядит так же, как и в прямоугольных координатах.) Теперь очевидным становится следующее утверждение.

Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.

Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.

Векторное уравнение прямой линии в пространстве может быть написано в виде
$$
[boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{a}] = 0.label{ref19}
$$
Здесь (boldsymbol{a}) — направляющий вектор прямой, а (boldsymbol{r}_{0}) — радиус-вектор ее начальной точки. В самом деле, это уравнение, как и векторное параметрическое, выражает коллинеарность векторов (boldsymbol{r}_{0}) и (boldsymbol{a}).

---

Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.

Условия eqref{ref20} выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами ((A, B)) и ((A_{1}, B_{1})). Точно так же условия eqref{ref22} означают коллинеарность векторов с компонентами ((A, B, C)) и ((A_{1}, B_{1}, C_{1})). Поэтому согласно ранее доказанным этому и этому утверждениям условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде
$$
begin{vmatrix}
A& B\
A_{1}& B_{1}
end{vmatrix}
= 0,label{ref24}
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
begin{vmatrix}
B& C\
B_{1}& C_{1}
end{vmatrix} =
begin{vmatrix}
C& A\
C_{1}& A_{1}
end{vmatrix} =
begin{vmatrix}
A& B\
A_{1}& B_{1}
end{vmatrix}
= 0.label{ref25}
$$

Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.

---

Уравнения прямой в пространстве.

Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
left{begin{array}{l}
Ax+By+Cz+D = 0,\
A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1} = 0.
end{array}right.label{ref26}
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно eqref{ref25} означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:
$$
begin{vmatrix}
B& C\
B_{1}& C_{1}
end{vmatrix}^{2} +
begin{vmatrix}
C& A\
C_{1}& A_{1}
end{vmatrix}^{2} +
begin{vmatrix}
A& B\
A_{1}& B_{1}
end{vmatrix}^{2}
neq 0.label{ref27}
$$

Разумеется, систему eqref{ref26} можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.

Вспомним параметрические уравнения прямой eqref{ref4}. Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда
$$
t = frac{x-x_{0}}{alpha_{1}}, t = frac{y-y_{0}}{alpha_{2}}, t = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}},nonumber
$$
и мы получаем два равенства
$$
frac{y-y_{0}}{alpha_{2}} = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}}, frac{x-x_{0}}{alpha_{1}} = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}},label{ref28}
$$
или, в более симметричном виде,
$$
frac{x-x_{0}}{alpha_{1}} = frac{y-y_{0}}{alpha_{2}} = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}},label{ref29}
$$
Уравнения eqref{ref28} представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная (x)), а вторая параллельна оси ординат.

Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, (alpha_{1}), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_{0}, frac{y-y_{0}}{alpha_{2}} = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}},label{ref30}
$$
Эта прямая лежит в плоскости (x = x_{0}) и, следовательно, параллельна плоскости (x = 0). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не (alpha_{1}), а другая компонента.

Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, (alpha_{1}) и (alpha_{2}), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_{0}, y = y_{0}.label{ref31}
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.

Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений eqref{ref26}. По условию eqref{ref27} один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для определенности, что (AB_{1}-A_{1}B neq 0). В силу утверждения 9 при любом фиксированном (z) система уравнений будет иметь единственное решение ((x, y)), в котором (x) и (y), разумеется, зависят от (z). Они — линейные многочлены от (z): (x = alpha_{1}z+beta_{1}), (y = alpha_{2}z+beta_{2}).

Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя (z) на (t), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = alpha_{1}t+beta_{1}, y = alpha_{2}t+beta_{2}, z = t.nonumber
$$

Первые две координаты начальной точки прямой (M_{0}(beta_{1}, beta_{2}, 0)) можно получить, решая систему eqref{ref26} при значении (z = 0).

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты ((alpha_{1}, alpha_{2}, 1)). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами ((A, B, C)) и (A_{1}, B_{1}, C_{1}) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой eqref{ref26}, по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора
$$
begin{vmatrix}
B& C\
B_{1}& C_{1}
end{vmatrix},
begin{vmatrix}
C& A\
C_{1}& A_{1}
end{vmatrix},
begin{vmatrix}
A& B\
A_{1}& B_{1}
end{vmatrix}.label{ref32}
$$