Как найти напряжение между узлами цепи

Наиболее простым методом расчета электрической цепи с двумя узлами – является метод узлового напряжения или метод двух узлов.

Важно отличать метод узлового напряжения (метод двух узлов) от метода узловых напряжений.

---

Содержание

• Методика расчёта
• Пример решения задач методом двух узлов
• Онлайн программа для расчета электрических цепей постоянного тока методом двух узлов.

---

Метод узлового напряжения (двух узлов)

Определим разность потенциалов между двумя узлами цепи А и B.

Найдём потенциал точки А, перемещаясь по первой ветви от узла B до А.

Исходя из выражения (1) можно записать:

Выразим ток первой ветви

где r₁ и g₁ – сопротивление и проводимость первой ветви соответственно.

Аналогично составляются уравнения для оставшихся ветвей.

По первому закону Кирхгофа запишем уравнение для узла B

Подставим в вышеуказанное уравнение выражения токов (2-5).

Раскрыв скобки, находим узловое напряжение U:

Общее выражение узлового напряжения

Исходя из вышеизложенного, узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей. ЭДС направленная к узлу A, записывается со знаком «+», если в противоположную сторону, то со знаком «-».

Давайте рассмотрим применения метода на конкретном примере.

Пример решения задач методом двух узлов (метод узлового напряжения)

У нас есть бесплатная онлайн программа для расчета электрических цепей методом двух узлов.

Пример. Электрическая цепь постоянного тока представлена на рисунке 2. Определить токи в ветвях методом двух узлов, если ЭДС источников равна E1 = 40 В, E2 = 50 В, E3 = 10 В, а сопротивления r1 = 10 Ом, r2 = 20 Ом, r3 = 15 Ом, r4 = 12 Ом.

Порядок расчёта:

1. Так как действительные направления токов до расчёта цепи нам неизвестны — произвольно указываем направления токов в ветвях, например, как на Рисунке 3.

1. Определим проводимость ветвей.

1. Найдем напряжение U_AВ. Для этого воспользуемся формулой 6.

В числителе записываем произведения ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, причем ЭДС направленная к узлу A, записывается со знаком «+», если в противоположную сторону, то со знаком «-».

В знаменателе указываем сумму проводимостей всех ветвей:

Подставляем раннее найденные значения проводимостей и значения ЭДС указанные в условии задачи:

1. Определим токи в ветвях. С учетом направления ЭДС

Подставляем численные значения

Токи I₃ и I₄ получились с отрицательными значениями, следовательно их направление противоположно ранее принятому.

Правильность решения можно проверить при помощи баланса мощностей.

Так же для себя правильность решения задачи можно проверить выполнением первого закона Кирхгофа, а именно:

С учетом погрешности, условие выполняется.

Бесплатная онлайн программа.

Метод двух узлов. Решение задач

Одним из распространенных методов расчета электрических цепей является метод двух узлов. Этот метод применяется в случае, когда в цепи всего два узла.

Алгоритм действий таков:

1 —  Потенциал одного из узлов принимается равным нулю

2 —  Составляется узловое уравнение для другого узла

3 —  Определяется напряжение между узлами

4 —  По закону Ома, находятся токи в ветвях

Рассмотрим пример 

1 – Примем потенциал узла 2 равным нулю φ₂=0. Тогда напряжение U₁₂ будет направлено из точки с большим потенциалом, к точке с меньшим.

2 — Составим узловое уравнение для узла 1. 

где g₁,g₂,g₃ проводимости ветвейЗнак ЭДС определяется её направлением, если к узлу, то положительное, если от узла – отрицательное.

3 – Определим напряжение U₁₂ между узлами

А так как φ₂=0, то 

Для общего случая формула напряжения выглядит следующим образом 

4 – Найдем токи в ветвях. Причем если направление ЭДС совпадает с направление напряжения, то берем напряжение со знаком плюс. В противном случае со знаком минус. 

Как всегда, лучше всего проверить задачу с помощью баланса мощностей. Напомним, что мощность источников ЭДС должна быть равна мощности приемников.

Таким образом, задача решена методом двух узлов. Спасибо за внимание! 

Рекомендуем к прочтению — Метод узловых потенциалов

Просмотров: 59161

Содержание:

Метод узловых напряжений:

Метод узловых напряжений (узловых потенциалов) является наиболее общим. Он базируется на первом законе Кирхгофа (ЗТК) и законе Ома. В отличие от методов, рассмотренных в лекции 4, метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной количеству рёбер (ветвей) дерева (2.1)

Идея метода состоит в следующем:

1. Выбирается базисный узел — один из узлов цепи, относительно которого рассчитываются напряжения во всех узлах; базисный               узел помечается цифрой 0.
2. Потенциал базисного узла принимается равным нулю.
3. Рассчитываются напряжения во всех узлах относительно базисного.
4. По закону Ома находятся токи и напряжения в соответствующих ветвях.

Напряжения в узлах цепи, отсчитанные относительно базисного, называют узловыми напряжениями.

Определение:

Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются узловые напряжения, называется методом узловых напряжений.

В дальнейшем будем полагать, что цепь имеет

Предварительно покажем, что при известных узловых напряжениях можно найти напряжения на всех элементах цепи, а потому и все токи. Действительно, напряжение на любой ветви определяется по второму закону Кирхгофа (ЗНК) как разность соответствующих узловых напряжений, а токи в элементах найдутся по закону Ома. Для контура, включающего элементы   (рис. 5.1), по ЗНК имеем:

откуда

Аналогично можно записать

что и требовалось показать.

Составление узловых уравнений

При составлении уравнений для, схемы рис. 5.1 будем полагать, что задающие токи и источников тока (их на схеме два) известны.

Тогда согласно первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 в предположении, что в общем случае они связаны со всеми другими узлами, получим:

Выразим токи в уравнениях через узловые напряжения, как показано в разд. 5.1:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем узловые уравнения:

Полученный результат позволяет сделать следующие выводы:

— ый и -ый узлы; все эти слагаемые входят в уравнение с отрицательным знаком.

Аналогично записываются узловые уравнения для всех других узлов цепи, в результате чего образуется система узловых уравнений вида:

где:

— собственная проводимость -го узла цепи, являющаяся арифметической суммой проводимостей всех элементов, подключённых одним из зажимов к -му узлу;

  — взаимная проводимость -го и -го узлов цепи, являющаяся проводимостью элемента, включённого между -ым и -ым            узлами;

— задающий ток -го узла цепи, являющийся алгебраической суммой задающих токов источников тока, подключённых одним         из зажимов к -му узлу цепи; слагаемые этой суммы входят в правые части уравнений со знаком «+», если направление отсчёта           задающего тока источника ориентировано в сторону к-го узла, и со знаком в противном случае.

Систему узловых уравнений принято записывать в канонической форме, а именно:

• токи, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;
• неизвестные напряжения записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;
• уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами узлов. Такая запись применена в (5.2).

Система (5.2) является линейной неоднородной системой независимых уравнений, поэтому позволяет найти искомые узловые напряжения. Методы решения таких систем широко известны (Крамера, Гаусса, Гаусса—Жордана).

Метод узловых напряжений даёт существенное сокращение необходимого числа уравнений по сравнению с методом токов элементов. Выигрыш оказывается тем значительнее, чем больше независимых контуров имеет цепь.

Система называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов (в данном случае это ) не равен нулю.

Особенности составления узловых уравнений

Метод узловых напряжений можно применять и в тех случаях, когда в анализируемой цепи имеются источники напряжения. При этом:

• напряжение между любой парой узлов, к которым подключён источник напряжения, известно;
• в качестве базисного желательно выбирать узел, к которому одним из своих зажимов подключён источник напряжения — тогда   узловое напряжение, отсчитываемое между базисным узлом и вторым зажимом источника, равно ЭДС источника или    отличается от него знаком; кроме того, базисным может быть выбран узел, к которому подключено наибольшее число элементов,        если этот выбор не противоречит первой рекомендаций;
• уменьшается число независимых узловых напряжений, а потому понижается и порядок системы, т. е. число входящих в систему          независимых уравнений;
• если цепь содержит источников напряжения, имеющих один общий зажим, то число узловых уравнений, которое можно                  составить для такой цепи, равно

Пример 5.1.

Записать систему узловых уравнений для удлинителя(рис. 5.2), рассмотренного в лекции 4.

Решение. Удлинитель содержит четыре узла и один источник тока, поэтому согласно (5.3) достаточно составить всего два узловых уравнения

Собственная проводимость второго узла

взаимные проводимости второго узла

собственная проводимость третьего узла

взаимные проводимости третьего узла

Теперь получим систему узловых уравнений, записав узловые уравнения для второго и третьего узлов:

Поскольку запишем эту систему уравнений в каноническом виде

Эта система уравнений и является окончательным результатом решения задачи, поставленной в примере.

Если содержащиеся в цепи источники напряжения не имеют общего зажима, то задачу анализа следует решать или методом узловых напряжений в сочетании с принципом наложения или путём эквивалентных преобразований перейти к другой модели цепи.

При составлении узловых уравнений для цепей, содержащих многополюсники (например, транзисторы, операционные усилители
и т. д), следует прежде всего заменить эти многополюсники их схемами замещения.

Метод узлового напряжения

Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлам, можно осуществить методом узлового напряжения. Напряжение межи узлами и называется узловым. UAB R3 узловое напряжение цепи (рис. 4.9) Для различных ветвей (рис. 4.9) узловое напряжение UAB можно опредо лить следующим образом.

1. Поскольку для первой ветви источник работает в режиме генератор:

Величина тока определяется как

где  — проводимость

2.Для второй ветви источник работает в режиме потребителя следовательно

Тогда ток

3.Для третьей ветви

(Потенциал точки В для третьей ветви больше, чем потенций точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом)

Величину тока можно определить по закону Ома

По первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):

Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3), .4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать

Решив это уравнение относительно узлового напряжения U_AB,  можно определить его значение

Следовательно, величина узлового напряжения определяется отношением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости ветвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей:

Для определения знака алгебраической суммы направление токов во всех ветвях выбирают одинаковым, т.е. от одного узла другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режиме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работающего в режиме потребителя, со знаком «минус». Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя узлами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению 4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5). Узловое напряжение UAB может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви.

Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно словно выбранному.

Пример 4.7

В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется определить токи, если:

Решение

Узловое напряжение

где

тогда 

Токи в ветвях будут соответственно равны

Как видно из полученных результатов, направление токов противоположно выбранному. Следовательно, источник £ работает в режиме потребителя.

Пример 4.8

Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление которых одинаковы: , питают потребитель (нагрузку) с сопротивлением R= 5,85 Ом.

Как изменится ток второго генератора: 1) при увеличении его ЭДС (£2) на 1 %; » 2) при увеличении узлового напряжения (U_AB) на 1 %.

Решение

Определяется узловое напряжение U_AB цепи (рис. 4.11)

где

=

Тогда ток второго генератора

При увеличении Е₂ на 1 %, его величина станет равной

тогда

При этом 

Следовательно, увеличение ЭДС генератора Е₂ на 1 % приводит увеличению тока этого генератора на 24 %.

2. При увеличении узлового напряжения на 1% его величины станет равной

При этом Таким образом, ток второго генератора при увеличении узлового напряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.

Знак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока .

Определение метода узловых напряжений

Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются потенциалы в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти разности потенциалов называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Напряжение на какой-либо ветви равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви; произведение же этого напряжения на комплексную проводимость данной ветви равно току в этой ветви. Таким образом, зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.

Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны также потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.

На рис. 7-7 в виде примера изображена электрическая схема с двумя источниками тока, имеющая три узла: 1, 2 и 3. Выберем в данной схеме в качестве базиса узел 3 и

обозначим узловые напряжения точек 1 и 2 через Согласно принятым на рис. 7-7 обозначениям комплексные проводимости ветвей равны соответственно:

Для заданной электрической цепи с тремя узлами могут быть записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а именно: для узла 1

для узла 2

Величина представляющая собой сумму комплексных проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1, называется собственной проводимостью узла 1 величина равная комплексной проводимости ветви между узлами 1 и 2, входящая в уравнения со знаком минус, называется об-, щей проводимостью между узлами 1 и 2.

Если заданы токи источников тока и комплексные проводимости ветвей, то узловые напряжения находятся совместным решением уравнений.

В общем случае если электрическая схема содержит q узлов, то на основании первого закона Кирхгофа получается система из q — 1 уравнений (узел q принят за базисный):

Здесь ток источника тока, подходящий к узлу, берется со знаком плюс, а отходящий от узла — со знаком минус; — собственная проводимость всех ветвей, сходящихся в данном узле — общая проводимость между узламп входящая со знаком минус при выбранном направлении всех узловых напряжений к базису, независимо от того, является ли данная электрическая цепь планарной или непланарной.

Решив систему уравнений (7-5) при помощи определителей получим формулу для узлового напряжения относительно базиса:

где — определитель системы

— алгебраическое дополнение элемента данного определителя.

Первый индекс i алгебраического дополнения, обозначающий номер строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует номеру узла, заданный ток источника тока которого умножается на данное алгебраическое дополнение. Второй индекс обозначающий номер столбца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует номеру узла, для которого вычисляется узловое напряжение.

Уравнения (7-5), выражающие первый закон Кирхгофа, записаны в предположении, что в качестве источников электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников э. д. с. последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.

Если в схеме имеются ветви, содержащие только э. д, с. (проводимости таких ветвей бесконечно велики), то эти ветви следует рассматривать как источники неизвестных токов, которые затем исключаются при сложении соответствующих уравнений. Дополнительными связями между неизвестными узловыми напряжениями будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным э. д. с. 

Определитель снабжен индексом у, так как его элементами являются комплексные проводимости.

При наличии только одной ветви с э. д. с. и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь; тогда напряжение другого узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.

Метод узловых напряжений имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа. Если заданная электрическая схема имеет q узлов и р ветвей, то в соответствии со сказанным выше, метод узловых напряжений представляет преимущество при q — 1 < р — q + 1. или, что то же, при 2 (q — 1) < р.

Здесь имеется в виду общий случай, когда число уравнений не сокращается за счет известных контурных токов
или узловых напряжении.

Пример 7-3. 

Пользуясь методом узловых напряжений определить ток в диагонали мостовой схемы (см. рис. 7-6).

В результате замены заданного источника э. д. с. .эквивалентным источником тока получается схема (рис. 7-8), содержащая четыре узла. Для этой схемы по первому закону Кирхгофа записывают 4—1 = 3 уравнения (по числу независимых узлов). Если выбрать в данной схеме в качестве базиса узел 4 и направить узловые напряжения к базису, то уравнения примут вид:

для узла 1

для узла 2

для узла 3

Решение полученной системы уравнений относительно даст

где

Умножив найденное узловое напряжение на проводимость диагональной ветви мостовой схемы и изменив знак в соответствии с выбранным ранее направлением тока (см. рис. 7,-3), найдем искомый ток:

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
→
1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)

1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)

Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)

В методе узловых потенциалов за вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС).

Отметим, что метод узловых потенциалов без предварительного преобразования схемы не применим к схемам с взаимной индукцией.

Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), не имеющих общего узла нужно применять особые способы составления системы уравнений метода узловых потенциалов.

Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), имеющих общий узел, этот общий узел принимают за опорный узел (заземляют). Тогда потенциалы узлов, соединенных этими идеальными источниками ЭДС без пассивных элементов с опорным узлом, равны ЭДС этих идеальных источников (+E, если идеальный источник ЭДС направлен от опорного узла и –E в противном случае).

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Он применяется для определения токов в ветвях схемы с двумя узлами и произвольным числом параллельных активных и пассивных ветвей.

---

Решение задач методом узловых потенциалов и методом двух узлов

---

Задача 1.4.1 Рассчитать цепь рис. 1.4.1 методом узловых, потенциалов.

Рис. 1.4.1

Решение. В рассматриваемой схеме четыре узла. Заземлим узел 4 (опорный узел)

φ 4 =0.

Тогда

φ 3 = φ 4 + E 2 =200  B.

Необходимо найти потенциалы узлов 1 и 2. Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для узлов 1 и 2.

Рассматривая узел 1, получим

φ 1 ⋅ g 11 − φ 2 ⋅ g 12 − φ 3 ⋅ g 13 =J+ E 1 R 1 + R ′ 1

или

φ 1 ⋅ g 11 − φ 2 ⋅ g 12 =J+ E 1 R 1 + R ′ 1 + E 1 ⋅ g 13 .

В правой части этого уравнения оба слагаемых учтены со знаком плюс, так как J и E₁ направлены к узлу 1.

Рассматривая узел 2 (правая часть уравнения равна нулю, так как в ветвях, подсоединенных к узлу 2, нет источников энергии), получим

Индивидуалка Лиза (25 лет) т.8 929 529-57-81 Москва, метро Полянка. газификатор — вся актуальная информация на нашем сайте.

− φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 − φ 3 ⋅ g 23 =0

или

− φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 = E 2 ⋅ g 23 .

Найдем собственную проводимость первого узла

g 11 = 1 R 6 + 1 R 1 + R ′ 1 + 1 R ИТ + 1 R 2 + 1 R 5 = 1 20 + 1 25 + 1 25 + 1 40 =0,155  См.

Проводимость ветви с идеальным источником тока равна нулю, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока R_ИТ равно бесконечности.

Собственная проводимость узла 2

g 22 = 1 R 2 + 1 R 3 + 1 R 4 = 1 25 + 1 30 + 1 35 =0,102  См.

Взаимные проводимости между узлами

g 13 = 1 R 6 + 1 R 1 + R ′ 1 = 1 20 + 1 25 =0,09  См; g 21 = g 12 = 1 R 2 = 1 25 =0,04  См; g 23 = 1 R 3 = 1 30 =0,033  См.

Подставив в уравнения известные величины, получим

{ φ 1 ⋅0,155− φ 2 ⋅0,04=39 − φ 1 ⋅0,04+ φ 2 ⋅0,102=6,6

Для решения этой системы используем метод определителей. Главный определитель системы

Δ=| 0,155 −0,04 −0,04 0,102 |=0,01421.

Частные определители

Δ 1 =| 39 −0,04 6,6 0,102 |=4,242; Δ 2 =| 0,155 39 −0,04 6,6 |=2,583.

Находим потенциалы узлов

φ 1 = Δ 1 Δ = 4,242 0,01421 =298,6   В;    φ 2 = Δ 2 Δ = 2,583 0,01421 =181,8   В.

Определяем токи в ветвях (положительные направления токов в ветвях с ЭДС выбираем по направлению ЭДС, в остальных ветвях произвольно)

I 1 = φ 3 − φ 1 + E 1 R 1 + R ′ 1 = 200−298,6+150 10+15 =2,056  А.

В числителе этого выражения от потенциала узла 3, из которого вытекает ток I₁, вычитается потенциал узла 1, к которому ток подтекает. Если ЭДС ветви совпадает (не совпадает) с выбранным направлением тока, то она учитывается со знаком плюс (минус). В знаменателе выражения учитываются сопротивления ветви.

Аналогично определяем другие токи (направления токов указаны на схеме рис. 1.4.1)

I 1 = φ 3 − φ 1 R 6 = 200−298,6 20 =−4,93  А; I 2 = φ 1 − φ 2 R 2 = 298,6−181,8 25 =4,67  А; I 3 = φ 3 − φ 2 R 3 = 200−181,8 30 =0,607  А; I 4 = φ 2 − φ 4 R 4 = 181,8−0 35 =5,194  А.

Для определения тока в ветви с идеальной ЭДС зададимся направлением тока I₇. По первому закону Кирхгофа для узла 3 составим уравнение

− I 7 + I 3 + I 1 + I 6 =0.

Откуда

I 7 = I 3 + I 1 + I 6 =0,607+2,056−4,98=−2,317  A.

Задача 1.4.2 Определить токи в схеме рис. 1.4.2 методом узлового напряжения.

Рис. 1.4.2

Решение

1 Находим напряжение между двумя узлами по методу двух узлов

U ab = φ a − φ b = E 1 ⋅ g 1 +J g 1 + g 2 + g 3 = 32⋅ 1 1 +18 1 1 + 1 6 + 1 2 =30   B.

При составлении этого уравнения по методу двух узлов в числителе необходимо брать произведение ЭДС на проводимость своей ветви со знаком плюс, если ЭДС направлена к узлу a, и минус — если направлена от узла a к узлу b.

Аналогичное правило определяет и знаки токов источников тока.

2 Находим токи по закону Ома (по закону Ома для ветви с ЭДС)

I 1 = E 1 + φ b − φ a R 1 = E 1 − U ab R 1 = 32−30 1 =2  А; I 2 = U ab R 2 = 30 6 =5  А; I 3 = U ab R 3 = 30 2 =15  А.

Правильность решения проверим по первому закону Кирхгофа

I 1 − I 2 + I 3 +J=0; 2−5−15+18=0.

---

Метод узловых потенциалов в статье ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи

опорный узел,
метод двух узлов,
метод узловых напряжений,
метод узловых потенциалов,
собственная проводимость,
взаимная проводимость

При расчете токов методом двух узлов
вначале определяют напряжение между
узлами, а затем по закону Ома для участка
цепи находят токи в ветвях. Для схемы
(рис. 6) заданы параметры элементов:

r₁= 2 Ом,r₀₁= 0,5 Ом,

E₁= 100 В,r₂= 4 Ом,

E₂= 40 В, r₃= 5 Ом,

E₄= 10 В,r₄= 20
Ом.

Рис. 6

Определить токи во всех ветвях методом
двух узлов.

Порядок расчета:

А.Выбираем условное положительное
направление напряжения, например, от
узла «a» к «b»,aего величину определяем
по формуле:

.

ЭДС, направленные к узлу с большим
потенциалом «a» (Е₁,
Е₂), входят в формулу U_abсо
знаком «плюс». Полученное при расчете
положительное значение U_abпоказывает, что истинное направление
U_abсовпадает с условно положительным.

Б.Выбираем условно положительное
направление тока в ветви. При выбранном
направлении U_abпотенциал узла «а»
выше потенциала узла «b»
Поэтому направление тока пассивной
ветви выбираем совпадающим с направлением
U_ab. Токи активных
ветвей возьмем направленными от узла
«b» к узлу «а».

В.Определяем токи в ветвях по закону
Ома:

;

;

;

.

Знак «минус» тока показывает, что его
истинное направление в ветви противоположно
выбранному.

Источник ЭДС работает в режиме генератора
(разряд аккумулятора), если положительное
направление тока в ветви совпадает с
положительным направлением ЭДС этой
ветви. Если же положительные направления
тока в ветви и источника ЭДС не совпадают,
то ЭДС работает в режиме двигателя
(заряд аккумулятора).

Если в одну из ветвей схемы с двумя
узлами включен идеальный источник ЭДС,
внутреннее сопротивление которого
равно нулю, то узловое напряжение
определяется только величиной этой
ЭДС.

3. Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Сущность метода состоит в том, что для
упрощения расчета цепей синусоидального
тока переходят от уравнений для мгновенных
значений, являвшихся по сути
интегро-дифференциальными уравнениями,
к алгебраическим уравнениям в комплексной
форме. Расчет цепи удобнее вести для
комплексных действующих величин
синусоидальных токов и напряжений.

Для
схемы (рис. 10) заданы следующие параметры:

r1 = 4,5 Ом, r2 = 5 Ом, r3 = 2,7 Ом,
X1 = 3 Ом,

X2 = 1,5 Ом, X3 = 4,5 Ом, X4 = 3,5 Ом,

U= 14,76 В, Ψ_U= 54,37.

Рис. 7

Для заданной схемы определить токи в
ветвях, записать баланс активных и
реактивных мощностей, записать мгновенное
значение тока и построить в масштабе
топографическую диаграмму.

Порядок расчета:

А.Определяем комплексные сопротивления
каждой ветви

,

,

.

Б.Определяем комплексное сопротивление
разветвленного участка «ас»:

В.Определяем комплексное сопротивление
всей цепи:

=₁+_ac= 4,5 + j3 + 3,29 –j1,13 = 7,79 + j1,87
= 7,95e^j13,57ْ .

Г.Записываем приложенное напряжение
в комплексной форме и определяем ток
I₁ в неразветвленной части
цепи:

A.

Д.Определяем напряжение на
разветвленном участке «ас»:

_ac=_1ac=3,48e^-j19ْ
=6,46e^j21,8=(6+j2,4)В.

Е.Определяем токи в остальных
ветвях:

A,

A.

Ж. Записываем мгновенное значение
тока i₃по его комплексному
действующему значению=1,23ej^80,8ْ
А.

Комплексная амплитуда тока
==1,23e^j80,8ْ
,

А.

З.
Комплексную мощность всей цепи определяем
как
=P±jQ,

где
=14,76e^j54.37ْ
В,
İ₁=1,85e^j40,8ْ

А,
=1,85e^—j40,8
ْ
А,
=14.76e^j54,37ْ
1,85e^—j40,8ْ
=
=27,3e^j13,57ْ
=
(26,5+j6,4)ВА.

И.
По закону сохранения энергии активная
мощность всей цепи равна сумме активных
мощностей всех n
активных сопротивлений, входящих в
цепь:
=4,51,85²+51,2²+2,71,23²=26,52
Вт.

К.
По закону сохранения энергии реактивная
мощность всей цепи равна алгебраической
сумме мощностей всех m
реактивных сопротивлений, входящих в
цепь (X_k>0,
если сопротивление индуктивное и X_k<0,
если емкостное):
=31,852+(3,51,5)1,22+(4,5)1,232+

+6,43
Вт.

Баланс активных и реактивных мощностей
сходится:

P=26,5≈26,52Вт Q=6,4≈6,43 Вт.

Л.Топографическая диаграмма — это
векторная диаграмма цепи, в которой
каждой точке электрической схемы
соответствует точка на топо­графической
диаграмме (рис. 8).

Это достигается тем, что векторы
напряжений на отдельных элемента х
схемы строятся в той последовательности,
в которой они расположены в схеме
(обходим схему в направлении тока).

Для построения топографической диаграммы
определяем напряжения на всех элементах
цепи.

U_r1 =
I₁ R₁
= 1,85 
4,5 = 8,34 В U_r3 =
I₃ r₃
= 1,23 
2,7 = 3,32 В

U_X1 =
I₁ X₁
= 1,85 
3 = 5,55 В U_X3
= I₃
X₃ =
1,23 
4,5 =5,54 В

U_r2 =
I₂ R₂
= 1,2 5
= 6 В I1 = 1,85 А

U_X2 =
I₂ X₂
= 1,2 
1,5 = 1,8 В I2 = 1,2 А

U_X4
=I₂ X₄
= 1,23,5 = 4,2 ВI3 = 1,23 А.

М.
Выбираем масштабы по току и напряжению
μ_I =
0,25 А/см, μ_U
= 1 В/см.
Построениетопографической диаграммы
начинаем с разветвленного участка цепи,
а именно ее второй ветви, содержащей
большее число элементов. Из т. «а»,
отложив в произвольном направлении токI₂, строим векторы_X2,_r2,_X4,
ориентируя их соответствующим образом
относительно тока I₂. Векторная
сумма этих трех напряжений даст величину
вектора_ас.
Аналогичным образом строим напряжение_аспо току третьей ветвиI₃.
Совместим эти две диаграммы с помощью
циркуля и линейки (по общему для них
вектору_ас).

Отсюда определим положение векторов
тока I₂иI₃относительно друг друга. Определяем
ток в неразветвленной цепи по уравнению
₁=₂+₃.
Затем из т. «c», ориентируя вектора
напряжений_X1и_r1относительно вектора тока
₁,
строим вектор напряжения_ab,
равный в масштабе величине приложенного
напряжения:

U
=
abμu
= 14,9 см1В/см=14,9
В≈14,76 В.

Построенную топографическую диаграмму
помещаем на комплексную плос­кость,
отложив под углом –Ψ_u =54,37°
от вектора приложенного напряжения
положительную ось вещественных чисел
(при –Ψ_u<0 – угол откладываем по
часовой стрелке, приΨ>0против). Если
величины углов между векторами токов
и положительной осью вещественных чисел
равны соответственно аргументам
комплексных действующих значений токов
I₁, I₂, иI₃,
то расчет цепи и построение топографической
диаграммы верны.

Рис. 8

З А Д А Н И Е 1

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Задача 1

Расчет разветвленной цепи с одним
источником электроэнергии.

По данным табл. 1, 2, 3 определить ток
в неразветвленной части цепи и ветви,
указанной в табл.1.

Рис. 9

Задача 2

По
данным табл. 4 определить количество
уравнений, необходимое и достаточное
для определения токов во всех ветвях
схемы по законам Кирхгофа. Составить
эти уравнения в общем виде.

Рис. 10

Задача 3а

Пользуясь методом узлового напряжения,
определить значения и направления всех
токов в ветвях схемы по данным табл. 5,
6, 7. Составить численный баланс мощностей.

Рис. 11

Задача 3b

Пользуясь методом контур­ных токов,
определить зна­чения и направления
всех токов в ветвях схемы по данным
табл. 5, 6, 7. Соста­вить численный баланс
мощностей.

Рис. 12

Задача 3c

Пользуясь методом наложения, определить
значения и направления всех токов в
ветвях схемы по данным табл. 5, 6, 7.
Составить численный баланс мощностей.

Рис. 13

Пример определения данных по варианту
задания

Задача 1

табл. 1 табл. 2 табл 3

табл. 4 Задача 2

табл. 5 табл. 6 табл. 7

Задача 3

З А Д А Н И Е 2

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Задача 1.Для электрической цепи,
схема которой изображена на рис. 14 – 63
по заданным в табл. 8 сопротивлениям и
Э.Д.С. выполнить следующее:

1. составить систему уравнений, необходимых
   для определения токов по первому и
   второму законам Кирхгофа;

2. найти все токи, пользуясь методом
   контурных токов;

3. проверить правильность решения,
   применив метод узлового напряжения;
   предварительно упростить схему, заменив
   треугольник сопротивлений R₄,R₅иR₆эквивалентной звездой, начертить
   расчетную схему с эквивалентной звездой
   и показать на ней токи;

4. определить ток в резисторе R₆методом эквивалентного генератора;

5. определить показание вольтметра и
   составить баланс мощностей для заданной
   схемы;

6. построить в масштабе потенциальную
   диаграмму для внешнего контура.

Рис. 14
Рис. 15

Рис. 16
Рис. 17

Рис. 18 Рис. 19

Рис. 20
Рис. 21

Рис. 22
Рис. 23

Рис. 24 Рис. 25

Рис. 26 Рис. 27

Рис. 28
Рис. 29

Рис. 30 Рис. 31

Рис. 32
Рис. 33

Рис. 34 Рис. 35

Рис. 36
Рис. 37

Рис. 38 Рис. 39

Рис. 40 Рис. 41

Рис. 42
Рис. 43

Рис.44
Рис. 45

Рис. 46 Рис. 47

Рис.48 Рис. 49

Рис. 50 Рис. 51

Рис. 52 Рис. 53

Рис. 54 Рис. 55

Рис. 56 Рис. 57

E₃

Рис. 58 Рис. 59

Рис. 60 Рис. 61

Рис. 62 Рис. 63

З А Д А Н И Е 3

СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

По данным табл. 9, 10, 11 рассчитать
токи в ветвях заданной цепи приf= 50 Гц. Используя данные расчета, записать
мгновенное значение указанной в табл.
9 величины. Составить баланс мощностей.
В масштабе построить топографическую
диаграмму.

Пример определения данных по варианту
задания:

табл. 9табл.10табл.11

13 8 16 17 5 10 19 4 Окончание табл. 1 25 11 19 5 9 14 20 13 12 9 15 17 19 5 8 20 7 11 10 13 15 17 5 6 12 8 24 9 12 18 13 16 17 23 7 10 2 8 10 13 12 20 16 23 5 12 10 15 19 20 8 9 8 9 13 16 19 15 22 3 7 16 19 5 11 17 10 8 5 9 15 16 14 17 13 21 2 13 11 12 20 23 14 7 1 11 13 16 19 16 20 6 11 13 5 20 23 12 6 4 5 13 20 10 12 22 19 19 8 12 13 18 6 20 16 5 15 16 22 6 14 10 18 2 11 19 21 24 — 8 16 4 5 11 12 6 14 20 18 17 2 12 13 18 19 16 20 11 3 9 15 16 22 6 14 16 4 6 16 19 13 20 9 2 10 11 12 16 5 7 17 15 6 11 16 20 1 10 15 20 10 1 1 8 9 16 17 22 10 14 6 8 17 23 13 15 9 Вариант Ветви, сопротивле- ния которых равны бесконечности (разрыв цепи) Ветви, сопротивле- ния которых равны нулю (К.З. ветви) Ветвь, в которой следует определить ток Вариант Ветви, сопротивле- ния которых равны бесконечности (разрыв цепи) Ветви, сопротивления которых равны нулю (К.З. ветви) Ветвь, в которой следует определить ток

Таблица 2 13 40 Окончание табл. 2 25 220 12 38 11 220 24 36 10 110 23 40 9 36 22 12 8 12 21 50 7 20 20 45 6 60 19 45 5 95 18 80 4 80 17 110 3 120 16 120 2 100 15 80 1 50 14 50 Вариант U,В Вариант U,В

Таблица 3 13 5,3 Окончание табл. 3 25 12 12 5 11 6,8 24 4 10 40 23 30 9 20 22 25 8 6 21 6,3 7 50 20 18 6 28 19 8 5 12 18 6 4 15 17 12 3 4,8 16 10 2 8 15 40 1 10 14 20 Вариант r, Ом Вариант r, Ом

Таблица 4 13 2 5 6 Окончание табл. 4 25 1 8 10 12 3 6 9 11 2 3 5 8 24 6 8 10 10 7 8 9 23 1 5 11 9 1 6 8 22 3 5 10 8 4 5 3 21 1 7 8 7 5 6 8 20 1 4 6 11 6 2 3 6 8 19 2 6 7 5 5 8 9 18 2 3 6 8 4 4 5 6 8 11 17 2 6 10 3 7 9 10 11 16 1 2 9 2 1 3 7 9 15 1 2 4 5 1 7 9 10 11 14 1 8 11 Вариант Цепь не содержит ветвей Вариант Цепь не содержит ветвей

Таблица 5 13 3a 2 5 6 Окончание табл. 5 25 3a 1 8 10 12 3c 3 6 9 11 3b 2 3 5 8 24 3c 6 8 10 10 3a 7 8 9 23 3b 1 5 11 9 3c 1 6 8 22 3a 3 5 10 8 3b 4 5 3 21 3c 1 7 8 7 3a 5 6 8 20 3b 1 4 6 11 6 3c 2 3 6 8 19 3a 2 6 7 5 3b 5 8 9 18 3c 2 3 6 8 4 3a 4 5 6 8 11 17 3b 2 6 10 3 3c 7 9 10 11 16 3a 1 2 9 2 3b 1 3 7 9 15 3c 1 2 4 5 1 3a 7 9 10 11 14 3b 1 8 11 Вариант № задачи Цепь не содержит ветвей Вариант № задачи Цепь не содержит ветвей

Таблица 6

Ва­ри­ант	E1,В	E2,В	E3,В	E4,В	E5,В	E6,В	E7,В	E8,В	E9,В	E10,В	U2,В
1	50	40	80	100	60	90	110	100	45	120	80
2	80	40	60	90	100	150	70	80	25	40	75
3	160	80	90	100	150	200	75	80	30	70	90
4	200	40	150	40	250	180	80	100	50	150	220
5	140	15	75	80	70	50	75	40	60	50	35
6	50	250	60	120	110	100	80	90	50	40	50
7	40	70	80	30	90	50	65	85	90	110	150
8	60	90	40	50	80	45	85	90	100	75	120
9	90	80	45	75	110	80	150	40	50	35	60
10	80	60	50	100	75	130	75	20	110	80	30
11	70	50	30	70	120	60	80	90	130	45	200
12	50	40	90	80	100	75	60	120	70	140	90
13	45	45	60	75	90	130	70	100	150	45	60
14	30	75	80	130	150	50	200	60	70	150	80
15	25	100	70	90	80	150	100	50	140	60	120
16	75	25	110	70	140	60	100	75	140	80	100
17	100	120	85	100	80	75	150	90	100	70	65
18	120	70	95	65	70	100	200	60	105	80	140
19	100	90	100	70	50	80	140	90	100	65	50
20	50	80	50	100	85	65	50	150	60	100	80
21	40	110	65	70	140	100	60	90	65	140	100
22	60	200	70	50	80	100	90	140	75	65	150
23	80	50	60	150	70	140	100	65	50	80	60
24	50	100	90	140	50	80	65	70	90	100	140
25	45	80	85	100	65	90	50	150	100	80	70

Таблица 7

Вариант	r1= r10, Ом	r1,Ом	r2,Ом	r3,Ом	r4,Ом	r5,Ом	r6,Ом	r7,Ом	r8,Ом	r9,Ом	r10,Ом
1	2	10	12	16	20	18	28	25	14	10	9
2	3	15	18	30	20	40	30	12	25	14	16
3	4	20	16	25	14	30	34	40	42	45	28
4	5	30	16	40	25	17	50	15	35	40	18
5	1	8	7	12	9	24	18	10	30	26	15
6	2	20	28	30	40	12	20	50	15	25	14
7	4	30	18	12	16	40	32	20	50	18	26
8	3	18	35	15	20	18	30	40	16	28	60
9	1	7	15	9	20	10	6	28	12	16	20
10	2	8	10	15	12	17	20	16	22	7	9
11	4	18	17	40	28	12	20	38	50	20	60
12	2	9	10	14	25	28	18	20	16	12	10
13	4	40	25	32	20	50	18	30	28	17	34
14	2	15	26	30	10	18	9	24	12	7	8
15	1	17	20	12	28	6	10	20	9	15	7
16	3	16	24	15	12	18	30	14	10	20	7
17	2	10	20	12	30	14	32	16	17	18	30
18	6	30	70	40	25	60	45	50	17	54	23
19	4	40	36	50	27	50	37	18	60	30	40
20	5	50	65	40	60	30	40	75	45	32	50
21	1	8	20	10	14	35	18	12	15	24	16
22	2	20	30	9	15	25	14	12	10	7	15
23	5	50	25	35	55	40	50	28	60	30	35
24	4	24	37	54	20	30	32	40	45	60	23
25	3	35	50	60	25	30	40	28	35	60	50

Таблица
8

Номер	Е1, В	Е2, В	Е3, В	R01, Ом	R02, Ом	R03, Ом	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом
варианта	рисунка
0	1,1	22	24	10	0,2	—	1,2	2	1	8	4	10	6
1	1,2	55	18	4	0,8	—	0,8	8	4	3	2	4	4
2	1,3	36	10	25	—	0,4	0,5	4	8	3	1	2	7
3	1,4	16	5	32	—	0,6	0,8	9	3	2	4	1	5
4	1,5	14	25	28	0,9	1,2	—	5	2	8	2	2	6
5	1,1	20	22	9	0,1	—	1,1	1	2	6	3	8	4
6	1,6	5	16	30	0,4	—	0,7	6	4	3	2	5	3
7	1,7	10	6	24	0,8	0,3	—	3,5	5	6	6	3	1
8	1,8	6	20	4	—	0,8	1,2	4	6	4	4	3	3
9	1,9	21	4	10	—	0,2	0,6	5	7	2	8	1	1
10	1,10	4	9	18	0,8	—	0,7	2,7	10	4	8	10	2
11	1,11	4	24	6	0,9	—	0,5	9,0	8	1	6	10	4
12	1,12	16	8	9	0,2	0,6	—	2,5	6	6	5	10	5
13	1,13	48	12	6	0,8	1,4	—	4,2	4	2	12	6	2
14	1,14	12	36	12	—	0,4	1,2	3,5	5	1	5	6	9
15	1,15	12	6	40	1,2	0,6	—	2,0	3	8	5	7	8
16	1,16	8	6	36	1,3	—	1,2	3,0	2	1	6	8	6
17	1,17	72	12	4	0,7	1,5	—	6,0	1	10	4	12	4
18	1,18	12	48	6	—	0,4	0,4	2,5	1	4	15	2	2
19	1,19	12	30	9	0,5	—	0,5	3,5	2	3	3	1	3
20	1,20	9	6	27	—	1,0	0,8	4,5	2	8	13	4	3
21	1,21	15	63	6	1,0	—	1,2	5,0	3	1	2	12	3
22	1,22	54	27	3	1,2	0,9	—	8,0	3	1	4	2	2
23	1,23	36	9	24	—	0,8	0,8	3,0	4	2	1	5	1
24	1,24	3	66	9	—	0,7	1,2	1,0	4	2	2	7	3
25	1,25	12	30	25	1,0	0,4	—	1,0	5	1	1	6	4
26	1,26	30	16	10	0,6	0,8	—	2,0	5	3	1	8	5
27	1,27	10	32	10	0,6	—	1,0	1,5	6	1	7	1	5
28	1,28	5	10	36	0,3	—	0,8	1,2	6	3	2	2	2

Окончание табл.8

Номер	Е1, В	Е2, В	Е3, В	R01, Ом	R02, Ом	R03, Ом	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом
варианта	рисунка
29	1,29	40	25	8	—	0,2	0,2	3,0	3	2	4	3	2
30	1,30	8	40	10	0,8	1,0	—	5,0	3	3	3	2	1
31	1,31	22	24	10	0,2	—	1,2	2	1	8	4	10	6
32	1,32	55	18	4	0,8	—	0,8	8	4	3	2	4	4
33	1,33	36	10	25	—	0,4	0,5	4	8	3	1	2	7
34	1,34	16	5	32	—	0,6	0,8	9	3	2	4	1	5
35	1,35	14	25	28	0,9	1,2	—	5	2	8	2	2	6
36	1,36	5	16	30	0,4	—	0,7	6	4	3	2	5	3
37	1,37	10	6	24	0,8	0,3	—	3,5	5	6	6	3	1
38	1,38	6	20	4	—	0,8	1,2	4	6	4	4	3	3
39	1,39	21	4	10	—	0,2	0,6	5	7	2	8	1	1
40	1,40	4	9	18	0,8	—	0,7	2,7	10	4	8	10	2
41	1,41	4	24	6	0,9	—	0,5	9,0	8	1	6	10	4
42	1,42	16	8	9	0,2	0,6	—	2,5	6	6	5	10	5
43	1,43	48	12	6	0,8	1,4	—	4,2	4	2	12	6	2
44	1,44	12	36	12	—	0,4	1,2	3,5	5	1	5	6	9
45	1,45	12	6	40	1,2	0,6	—	2,0	3	8	5	7	8
46	1,46	8	6	36	1,3	—	1,2	3,0	2	1	6	8	6
47	1,47	72	12	4	0,7	1,5	—	6,0	1	10	4	12	4
48	1,48	12	48	6	—	0,4	0,4	2,5	1	4	15	2	2
49	1,49	12	30	9	0,5	—	0,5	3,5	2	3	3	1	3
50	1,50	9	6	27	—	1,0	0,8	4,5	2	8	13	4	3

Таблица 9 Вариант Цепь не содержит элементов Определить мгн. значение указанной величины 1 r1 UL1 2 r2 UL2 3 r3 UL3 4 L1 i1 5 L2 i2 6 L3 i3 7 C1 UC2 8 C2 UC3 9 C3 UC1 10 L1,C2 UL2 11 L2,C1 UL1 12 L3,C2 UL2 13 L2,C3 UR1 14 L1,r2 UR3 15 L2,r3 i1 16 L3,r1 i2 17 C1,r1 i3 18 C2,r3 UR2 19 C3,r1 UL1 20 C1 i1 21 C2 i2 22 C3 i3 23 L1 UC1 24 L2 UL1 25 L3 UR1

Таблица 10 Вариант U, В Ψْu 1 110 15 2 150 -20 3 100 45 4 80 -50 5 70 18 6 60 -45 7 200 -15 8 220 60 9 160 30 10 180 -90 11 100 70 12 80 45 13 120 24 14 90 -80 15 60 25 16 70 -40 17 85 50 18 90 17 19 200 20 20 100 -20 21 140 35 22 120 90 23 110 25 24 140 -30 25 150 -15

Таблица 11

Вариант	r1, Ом	r2, Ом	r3, Ом	L1, мГн	L2, мГн	L3, мГн	C1, мкФ	C2, мкФ	C3, мкФ
1	6	4	8	47,8	100	26,4	76	200	250
2	4,5	16	20	47,8	10,5	5,7	620	150	180
3	5	10	4,5	19,1	30,5	63,7	160	100	430
4	10	6	8	31,8	31,8	53,2	150	180	520
5	20	15	7,2	63,7	85,4	47,8	76	300	88
6	8	10	20	38,2	63,7	63,7	710	318	88
7	9	8	18	31,8	30,2	53,2	180	160	600
8	8	10	10,5	38,2	15,9	85,4	800	150	180
9	12	6,8	20	44,6	44,6	100	150	520	76
10	15	10	8,3	30,2	85,4	9,6	318	318	180
11	10	10	5,6	8,7	21	47,8	150	120	318
12	5,4	4,2	5,8	44,6	9,6	31,8	710	330	900
13	6,2	12	10	26,4	47,8	15,9	200	600	160
14	7	10	6	53,2	85,4	22,8	600	330	220
15	13	5,6	9	15,9	53,2	53,2	600	190	1640
16	6,5	12	8	38,1	30,2	63,7	1000	150	1700
17	2,9	10	8,2	44,6	38,2	30,2	180	300	160
18	12	5	6,8	38,2	63,7	47,8	160	330	430
19	4,8	11	5,2	21	15,9	100	1800	160	900
20	4,8	7	5	21	30,2	26,4	1800	160	900
21	16	18	14	21	63,7	47,2	100	159	80
22	12	6,8	10	44,6	44,6	100	180	520	76
23	6,3	10	6,3	87,8	7,6	63,7	430	80	190
24	9,2	15	7	31,8	81,9	26,4	180	280	190
25	8,3	4,5	10	65,4	39,2	9,6	330	430	150